高等数学习题2-1答案

习题2-1

1.解：当自变量从x 变到1x 时，相应地从y ()=8f x x 1变到1()=8f x x ，所以导数

111111

()()8()lim

lim 8x x x x f x f x x x y x x x x →→−−′==−−=. 2.解：由导数的定义可知 022020()()

()lim

()()( lim 2 lim 2h h h f x h f x f x h

a x h

b x h

c ax bx c h

axh h bh ax b h →→→+−′=++++−++=++==+)。 3．解：0022()22()lim lim x x x x x sin sin cos x x cos x cos x x

x

Δ→Δ→+ΔΔ−⋅+Δ−′==ΔΔ 0022lim lim 2

2x x x sin x x -sin sin x Δ→Δ→Δ+Δ=⋅Δx =− 4. 解：（1）不能，（1）与()f x 在0x 的取值无关，当然也就与()f x 在0x 是否连续无关，故是0()f x ′存在的必要条件而非充分条件.

（2）可以，与导数的定义等价.

（3）可以， 与导数的定义等价.

5. 解：（1）4

5x ； （2）3212x −−； （3）157227x ； （4）1

ln 3x ； （5）5

616x −； （6）. 22x e 6. 解：物体在t 时刻的运动速度为：，故物体在时的速度为：2

()()3()V t S T t m /s ′==2t =s 22()3212()t m /s ==⋅=V t . 7．证明：由导数定义，知：

00()(0)()(0)(0)lim

lim 0x x f x f f x f f x x

→→−−′==−− 00()(0)()(0)lim lim (0)0t x t t f t f f t f f t t =−→→−−′==−=−−− 所以，。

(0)0f ′=

8. 解：，故在点(2的切线平行于直线；同理在点242y x x ,y ′====45,4)4y x =−39,24⎛⎞−⎜⎟⎝⎠

的切线垂直于直线26. 5x y −+=09.解：过点(11)(39),,,的直线的斜率为：91431

K −==−，而2()2y x x ′′==，令，得：，所以该抛物线上过点的切线平行于此割线.

24x =2x =(2,4)10.解：（1）连续，但因为

23000/f (h )f ()h

h +−−==1h 因而2300(0)(0)1lim lim /h h f h f h

h →→+−==+∞，即导数为无穷大。 （2）21000x sin ,x y x ,x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩

∵，而20001lim lim 0x x x y x sin y x =→→===，所以函数在处连续而0x =201

lim 00x x sin

x x →=−，所以函数在点处可导. 0x =11.解：要使函数()f x 在1x =处连续且可导，则应满足

011

(1)(1)lim ()lim ()(1),lim x x x f x f f x f x f x +−Δ→→→+Δ−==Δ存在， 11lim ()lim ()x x f x ax b a b ++→→=+=+∵11()lim x x x lim f x e e a b e −−

→→==∴+= ， 又 00(1)(1)(1)lim lim x x f x f a x b e x x

++Δ→Δ→+Δ−+Δ+−=ΔΔ∵ 100(1)(1)lim lim x x x f x f e e e x x

−−+ΔΔ→Δ→+Δ−−==ΔΔ∵， 要使0(1)(1)lim x f x f x Δ→+Δ−Δ存在，则00(1)lim lim ()x x a x b e a b e a e x x

++Δ→Δ→+Δ+−+−=+ΔΔ==， 00a b e a e,b a e

+−=⎧∴∴=⎨=⎩。 12.解：因为2

00()(0)(0)=lim lim 0x x f x f x f x x

+++Δ→Δ→Δ−Δ′==ΔΔ 00()(0)(0)=lim lim 1x x f x f x f x x

−−−Δ→Δ→Δ−−Δ′==ΔΔ−− (0)(0)1f f +−′′∴≠=，所以不存在.

(0)f ′

13.解：当时，0x >3()f x x =是初等函数，所以2

()3f x x ′=；同理，当时0x <2

()3f x x ′=−；当时0x =300(0)=lim 0x x f x −−→−−′=，300(0)=lim 0x x f x ++→−′=，故，所以或. (0)0f ′=223,0()0,030x x f x x x x ⎧−<⎪′==⎨⎪>⎩

223,0()3,x x f x x x ⎧−≤′=⎨>⎩0)14．(1)证明：设()(f x f x −=，且()f x 可导，则由导数定义

000()()[()]()()lim

lim ()() lim ()h h h f x h f x f x h f x f x h h f x h f x f x h →→→−+−−−−−−′−==−−′=−=−− 即结论可证。

(2)略.

15.解：当时，不妨设，则在的某一邻域中有，故(0)0f ≠(0)0f >0x =()0f x >|()|()f x f x =，所以|()|f x 在处也可导；

0x =当时，由于(0)0f =|()||(0)|()(0)sgn 00

f x f f x f x x x −−=−−，其中 10010,x sgn x ,x ,x >⎧⎪=⎨⎪−<⎩

0=||，分别在处计算左、右极限，得在处的左导数为，右导数为|(，所以|(0x =0x =|(0)f ′−0)f ′)|f x 在处也可导的充分必要条件。

0x =(0)0f ′=16.略

17.略