6.7 经济应用Ⅴ

解 得 Q1 = 4 , Q2 = 5 , 对 应 p1 = 10 ( 万 元 / 万元/ 吨), p 2 = 7 (万元/吨). 唯一, 且实际问题一定存在最大值, 因驻点 (4,5) 唯一 , 且实际问题一定存在最大值 , 故最 大值必在驻点处达到, 大值必在驻点处达到,相应地最大利润为 L = −2 × 4 2 − 5 2 + 16 × 4 + 10 × 5 − 5 = 52 (万元). 万元).
解得 x1 = 0 , x2 = 1.5 . 因此, 万元全部用于报纸广告, 因此 , 将广告费 1.5 万元全部用于报纸广告 , 可使利润最 大.
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设生产某种产品必须投入两种要素, 例 5 设生产某种产品必须投入两种要素, x1 和 x 2 分别 为两要素的投入量, Q 为产出量;若生产函数为
2011年1月6日星期四 企业的总收益为 (2)企业的总收益为 R ( x, y ) = p1 x + p 2 y ,偏导数 ∂R ∂R ′ = R′ ( x, y) 分别表示这两种产品的 = Rx ( x, y ) 与 y ∂y ∂x 边际收益; 边际收益;
(3)企业所创造的总利润为 L(x, y) = R(x, y) −C(x, y) , (3)企业所创造的总利润为 ∂L ∂L ′ = L′ ( x, y ) 分别表示这两种 = Lx ( x, y ) 与 偏导数 y ∂y ∂x 产品的边际利润 边际利润. 产品的边际利润.
′′ ′′ 在 点 ( 8 , 11 ) 处 , A = Lxx (8,11) = −4 , B = Lxy (8,11) = −3 C = L′′ (8,11) = −6 , AC − B 2 = 15 > 0 yy
在点( 且 A = −4 < 0 ,所以函数 L( x, y) 在点( 8 , 11 )处取到极 大值,也即最大值. 大值 , 也即最大值 . 即当企业每天生产甲种产品 8 单 单位时, 获得的利润最大, 位 , 乙种产品 11 单位时 , 获得的利润最大 , 最大利润 为 L(8 , 11) = 755 .
令
′ Lx ( x, y ) = 65 − 4 x − 3 y = 0 , ′ Ly ( x, y ) = 90 − 3 x − 6 y = 0
4
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解得唯一的驻点: 解得唯一的驻点: x = 8 , y = 11 .
′′ ′′ Lxx ( x, y ) = −4 , Lxy ( x, y ) = −3 , L′′ ( x, y ) = −6 , yy
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某企业销售两种产品, 例 1 某企业销售两种产品,两种产品的需求量 x 所确定, 与 y 是由产品的价格 p1 与 p 2 所确定,需求函数为 x = 40 − 2 p1 + p 2 , y = 25 + p1 − p 2 , 假设企业生产两种产品 x 单位与 y 单位的成本为
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例 2 某单位计划用 5000 元购买甲、乙两种商品,假 元购买甲、乙两种商品, 设购买甲种商品的数量为 x ,乙种商品的数量为 y , 并且购买这两种商品的效用函数为 U ( x, y ) = 3 ln x + 2 ln y , 已知甲种商品的单价为 60 元,乙种商品的单价为 40 试问两种商品各购买多少时, 元,试问两种商品各购买多少时,才能使购买这两种 商品的效用最大? 商品的效用最大?
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(2) 若 实 行 价 格 无 差 别 策 略 , 则 p1 = p2 , 于 是 有 约 束 条 件 2Q1 − Q2 = 6 .作拉格朗日函数 2 F(Q1, Q2 ) = −2Q12 − Q2 +16 1 +10 2 − 5 + λ(2Q1 − Q2 − 6) Q Q ′ FQ1 = −4Q1 +16 + 2λ = 0 ′ 令 FQ2 = −2Q2 +10 − λ = 0 , 2Q1 − Q2 − 6 = 0 解得 Q1 = 5 , Q2 = 4 , λ = 2 ,对应 p1 = p2 = 8 . 万元). 最大利润 L = −2 × 52 − 42 + 16 × 5 + 10 × 4 − 5 = 49 (万元). 由上述结果可知, 由上述结果可知,企业实行差别定价所得总利润要大于统一价格的 总利润. 总利润.
2 1
2 2
f x′1 ( x1 , x2 ) = 13 − 8 x2 − 4 x1 = 0 f x′2 ( x1 , x2 ) = 31 − 8 x1 − 20 x2 = 0 万元), 万元). 解得 x1 = 0.75 (万元), x 2 = 1.25 (万元).
f x′′x1 ( x1 , x2 ) = −4 , f x′′x2 ( x1 , x2 ) = −8 , f x′′x2 ( x1 , x2 ) = −20 , 1 1 2
R ( x, y ) = xp1 + yp2 = x(65 − x − y ) + y (90 − x − 2 y ) = 65 x + 90 y − x − 2 xy − 2 y
2 2
总利润函数为: 总利润函数为: L ( x, y ) = R ( x, y ) − C ( x, y )
= 65 x + 90 y − 2 x 2 − 3 xy − 3 y 2
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例 4 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商 品的广告,根据统计资料, 万元) 品的广告,根据统计资料,销售收入 R (万元)与电台广告 万元) 万元) 费用 x1 ( 万元 ) 及报纸广告费用 x2 ( 万元 ) 之间的关系有 如下经验公式: 如下经验公式: 2 R = 15 + 14x1 + 32x2 − 8x1 x2 − 2 x12 − 10x2 . (1)在广告费用不限的情况下 求最优广告策略; 在广告费用不限的情况下, (1)在广告费用不限的情况下,求最优广告策略; (2)若提供的广告费用为 万元, (2) 若提供的广告费用为 1.5 万元 , 求相应地最优广 告策略. 告策略.
令
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在点 (0.75,1.25) 处, 2 A = −4 , B = −8 , C = −20 , AC − B = 80 − 84 = 16 > 0 且 A = −4 < 0 , 所以函数 f ( x1 , x 2 ) 在点 (0.75,1.25) 处 取到极大值, 也即最大值. 所以, 取到极大值 , 也即最大值 . 所以 , 当电台广告费用为 0.75 万元,报纸广告费用为 1.25 万元时,可使利润最 万元, 万元时, 大. (2) 问 题 是 求 利 润 函 数 f ( x1 , x 2 ) 在 约 束 条 件 x1 + x 2 = 1.5 下的条件极值. 下的条件极值.
经济应用Ⅴ 第七节 经济应用Ⅴ
第六章
设某企业生产甲、 乙两种产品,这两种产品的数 设某企业生产甲、 乙两种产品, 量分别为 x 和 y , 这两种产品的价格分别定为 p1 和 假设这两种产品在市场上供需平衡, p 2 ,假设这两种产品在市场上供需平衡,即销售量等 于产量. 于产量.
(1)这两种产品的总成本为 (1)这两种产品的总成本为 C = C ( x, y) , 偏导数 ∂C ∂C ′ = Cx ( x, y) 与 = C′ (x, y) 分别表示这两种产品的 y ∂x ∂y 边际成本; 边际成本;
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例 3 假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产 品,两个市场的需求函数分别是 p 1 = 18 − 2 Q 1 , p 2 = 12 − Q 2 , 分别表示该产品在两个市场的价格(单位: 其中 p 1 和 p 2 分别表示该产品在两个市场的价格(单位: 万元/ 分别表示该产品在两个市场的销售量 万元/吨), Q 1 和 Q 2 分别表示该产品在两个市场的销售量 即需求量,单位: ),并且该企业生产这种产品的总成 (即需求量,单位:吨),并且该企业生产这种产品的总成 本函数是 C = 2Q + 5 , 表示该产品在在两个市场的销售总量, 其中 Q 表示该产品在在两个市场的销售总量,即 Q = Q1 + Q 2 . 如果该企业实行价格差别政策, (1) 如果该企业实行价格差别政策,试确定两个市场 上该产品的销售量和价格,使该企业获得最大利润; 上该产品的销售量和价格,使该企业获得最大利润; 如果该企业实行价格无差别政策, (2) 如果该企业实行价格无差别政策,试确定两个市 场上该产品的销售量及其统一的价格, 场上该产品的销售量及其统一的价格,使该企业的总利 润最大化;并比较两种价格策略下的总利润的大小. 润最大化;并比较两种价格策略下的总利润的大小.
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解 (1)利润函数为 利润函数为
2 f ( x1 , x 2 ) = 15 + 14 x1 + 32 x 2 − 8 x1 x 2 − 2 x12 − 10 x 2 − ( x1 + x 2 )
= 15 + 13x1 + 31x 2 − 8 x1 x 2 − 2 x − 10 x
C ( x, y ) = x + xy + y . 求使企业获得最大利润的这两种产品的生产水平 企业获得的最大利润是多少? 企业获得的最大利润是多少?