9.1直线的方程
高考北师大版数学总复习课件：9.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程
1．本单元知识特点： (1)直线与方程、圆与方程是解析几何的基础．圆锥曲线是解 析几何的核心，也是高考重点考查的内容之一． (2)概念、公式较多，用坐标法研究平面几何的思想在解题中 显得内容多、难度大、综合性较强． (3)注重常规题型及常规方法在解决问题中的作用．
2．在复习过程中应特别注意： (1)与直线有关的各种题型解题方法的熟练应用． (2)与圆锥曲线有关的定义、方程、图像、几何性质及应用． (3)重视直线与直线位置关系的灵活应用， 在解决直线与圆锥 曲线有关问题时，注意与“距离”、“中点”、“弦长”相关的 问题的解法．
[答案] D
) B．a－b＝1 D．a－b＝0
[解析] ∵sinα＋cosα＝0，∴tanα＝－1， a 即－ ＝－1，∴a－b＝0. b
4． 经过点 A(1,2)， 并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有 ( ) A． 1 条 C． 3 条 B．2 条 D． 4 条
[答案] B
[解析] 设直线在 x 轴，y 轴上的截距分别为 a， b，则 a＝ b 若 a＝ b＝ 0，则直线方程为 y＝ kx ∵直线过 A(1,2)，∴ k＝ 2，∴直线方程为 y＝ 2x x y 若 a≠ 0， b≠ 0，则直线方程为 ＋ ＝1 a b 1 2 ∵直线过 A(1,2)，则 ＋ ＝1 a b 若 a＝ b，则 a＝ b＝ 3，∴直线方程为 x＋ y－3＝ 0 ∴满足条件的直线有 2 条，故选 B.
x y ＋ ＝1 a b
适用范围 不含垂直于坐标轴和过原 点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0 平面直角坐标系内的直线 (A2＋B2≠0) 都适用
3.过 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)的直线方程 (1)若 x1＝ x2，且 y1≠ y2 时，直线垂直于 x 轴，方程为 x＝x1 ； (2)若 x1≠ x2，且 y1＝ y2 时，直线垂直于 y 轴，方程为 y＝y1 ； (3)若 x1＝ x2＝ 0，且 y1≠ y2 时，直线即为 y 轴，方程为 x＝0 ； (4)若 x1≠ x2，且 y1＝ y2＝ 0 时，直线即为 x 轴，方程为 y＝ 0.
课时作业14：§9.1 直线的方程
§9.1直线的方程1.直线3x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为()A.30°B.60°C.150°D.120°答案 B解析设直线的倾斜角为α，斜率为k，化直线方程为y＝3x＋a，∴k＝tan α＝ 3.∵0°≤α<180°，∴α＝60°.2.过点(－1，2)且倾斜角为150°的直线方程为()A.3x－3y＋6＋3＝0B.3x－3y－6＋3＝0C.3x＋3y＋6＋3＝0D.3x＋3y－6＋3＝0答案 D解析∵k＝tan 150°＝－3 3，∴直线方程为y－2＝－33(x＋1)，即3x＋3y－6＋3＝0.3.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()A.k1<k2<k3B.k3<k1<k2C.k3<k2<k1D.k1<k3<k2答案 D解析直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k3<k2，因此k1<k3<k2，故选D.4.已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A.1B.－1C.－2或－1D.－2或1答案 D解析 令x ＝0，y ＝2＋a ，令y ＝0，x ＝2＋a a， 则2＋a ＝2＋a a. 即(a ＋2)(a －1)＝0，∴a ＝－2或a ＝1.5.直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 答案 B解析 由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1， 又－1≤－1a 2＋1<0，所以倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π. 6.(2020·保定模拟)已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( )A.y ＝3x ＋2B.y ＝3x －2C.y ＝3x ＋12D.y ＝－3x ＋2答案 A解析 直线x －2y －4＝0的斜率为12，∴直线l 在y 轴上的截距为2. ∴直线l 的方程为y ＝3x ＋2.7.直线kx ＋y ＋2＝－k ，当k 变化时，所有的直线都过定点______________.答案 (－1，－2)解析 kx ＋y ＋2＝－k 可化为y ＋2＝－k (x ＋1)，根据直线方程的点斜式可知，此类直线恒过定点(－1，－2).8.已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角形，则直线l 的方程为________________. 答案 x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0解析 设所求直线l 的方程为x a ＋y b＝1. ∵k ＝16，即b a ＝－16，∴a ＝－6b . 又三角形面积S ＝3＝12|a |·|b |，∴|ab |＝6. 则当b ＝1时，a ＝－6；当b ＝－1时，a ＝6.∴所求直线方程为x －6＋y 1＝1或x 6＋y －1＝1. 即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.9.(2019·福州模拟)若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1，1)，则该直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为________.答案 4解析 ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1，1)，∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·a b＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立.∴直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为4.10.设点A (－1，0)，B (1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是_____. 答案 [－2，2]解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1，0)时，b 分别取得最小值－2和最大值2.∴b 的取值范围是[－2，2].11.设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R ).(1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围.解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0. 当直线不经过原点时，截距存在且均不为0， ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1. ∴a ＝0，即方程为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)>0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0. ∴a ≤－1.综上可知a 的取值范围是(－∞，－1].12.已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R ).(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程.(1)证明 直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2，1).(2)解 依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k k， 在y 轴上的截距为1＋2k ，且k >0，所以A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0，1＋2k )， 故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12×(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时取等号， 故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.13.已知P (－3，2)，Q (3，4)及直线ax ＋y ＋3＝0.若沿PQ →的方向延长线段PQ 与直线有交点(不含Q 点)，则a 的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎭⎫－73，－13 解析 直线l ：ax ＋y ＋3＝0是过点A (0，－3)的直线系，斜率为参变数－a ，易知PQ ，QA ，l 的斜率分别为：k PQ ＝13，k AQ ＝73，k l ＝－a .若l 与PQ 延长线相交，由图可知k PQ <k l <k AQ ，解得－73<a <－13. 14.已知动直线l 0：ax ＋by ＋c －3＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，且Q (4，0)到动直线l 0的最大距离为3，则12a ＋2c的最小值为________. 答案 32解析 ∵动直线l 0：ax ＋by ＋c －3＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，∴a ＋bm ＋c －3＝0.又Q (4，0)到动直线l 0的最大距离为3，∴(4－1)2＋m 2＝3，解得m ＝0.∴a ＋c ＝3.则12a ＋2c ＝13(a ＋c )⎝⎛⎭⎫12a ＋2c ＝13⎝⎛⎭⎫52＋c 2a ＋2a c ≥13⎝⎛⎭⎫52＋2c 2a ·2a c ＝32， 当且仅当c ＝2a ＝2时取等号.15.已知方程kx ＋3－2k ＝4－x 2有两个不同的解，则实数k 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤0，34B.⎝⎛⎦⎤512，34C.⎝⎛⎦⎤512，1D.⎝⎛⎭⎫512，34 答案 B解析 由题意得，半圆y ＝4－x 2与直线y ＝kx ＋3－2k 有两个交点，又直线y ＝kx ＋3－2k ⇒y －3＝k (x －2)过定点C (2，3)，如图所示，又点A (－2，0)，B (2，0)，当直线在AC 位置时，斜率k ＝3－02＋2＝34.当直线和半圆相切时，由2＝|0－0－2k ＋3|k 2＋1，解得k ＝512，故实数k 的取值范围为⎝⎛⎦⎤512，34.16.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程.解 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2， 由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得 ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n 2＝12·m －3n 2，(m －0)·(－3n －1)＝(n －0)·(m －1)， 解得m ＝3，所以A (3，3).又P (1，0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32， 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)， 即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.。
课时作业10：§9.1 直线的方程
§9.1 直线的方程1．直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．150° D ．120°答案 B解析 化直线方程为y ＝3x ＋a ， ∴k ＝tan α＝ 3.∵0°≤α<180°，∴α＝60°.2．(2018·北京海淀区模拟)过点(2,1)且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( )A ．x ＝2B ．y ＝1C ．x ＝1D ．y ＝2 答案 A解析 ∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为3π4，依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，∴斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x ＝2.3．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( ) A.13 B ．－13C ．－32D.23答案 B解析 依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.4．(2017·深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )答案 B解析 当a >0，b >0时，－a <0，－b <0.选项B 符合． 5.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则 ( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2 答案 D解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2，故选D.6．已知两点M (2，－3)，N (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A ．k ≥34或k ≤－4B ．－4≤k ≤34C.34≤k ≤4 D ．－34≤k ≤4答案 A解析 如图所示，∵k PN ＝1－(－2)1－(－3)＝34，k PM ＝1－(－3)1－2＝－4， ∴要使直线l 与线段MN 相交， 当l 的倾斜角小于90°时，k ≥k PN ；当l 的倾斜角大于90°时，k ≤k PM ， ∴k ≥34或k ≤－4.7．已知直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点__________． 答案 (2，－2)解析 直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得x ＝2，y ＝－2， 所以直线l 恒过定点(2，－2)．8．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，则k 的取值范围是_____． 答案 [)－3，0∪⎣⎡⎭⎫33，1解析 当π6≤α<π4时，33≤tan α<1，∴33≤k <1；当2π3≤α<π时，－3≤tan α<0，∴－3≤k <0. ∴k ∈[－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1. 9．已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为______．答案 x ＋13y ＋5＝0解析 BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12，∴BC 边上中线所在的直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0.10．直线l 过点(－2,2)且与x 轴、y 轴分别交于点(a,0)，(0，b )，若|a |＝|b |，则直线l 的方程为_____．答案 x ＋y ＝0或x －y ＋4＝0解析 若a ＝b ＝0，则直线l 过(0,0)与(－2,2)两点，直线l 的斜率k ＝－1，直线l 的方程为y ＝－x ， 即x ＋y ＝0.若a ≠0，b ≠0，则直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b ＝1，|a |＝|b |，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，此时，直线l 的方程为x －y ＋4＝0.11．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程： (1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解 (1)由题意知，直线l 存在斜率． 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴、y 轴上的截距分别为－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，则它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.12.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)． 又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.13．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( ) A ．4x －3y －3＝0 B ．3x －4y －3＝0 C ．3x －4y －4＝0 D ．4x －3y －4＝0答案 D解析 由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0. 14．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________． 答案 [－2,2]解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值－2和最大值2. ∴b 的取值范围是[－2,2]．15．(2017·豫南九校联考)若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝55，则l 的斜率为( ) A ．－12B ．－12或－2C.12或2 D ．－2答案 D解析 ∵sin θ＋cos θ＝55，① ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝15，∴2sin θcos θ＝－45，∴(sin θ－cos θ)2＝95，易知sin θ>0，cos θ<0， ∴sin θ－cos θ＝355，②由①②解得⎩⎨⎧sin θ＝255，cos θ＝－55，∴tan θ＝－2，即l 的斜率为－2，故选D.16．(2017·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( ) A.π4 B.π3 C.2π3 D.3π4答案 D解析 由f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x 知，函数f (x )的图象关于x ＝π4对称，所以f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，所以a ＝－b ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为k ＝ab ＝－1，又直线倾斜角的取值范围为[0，π)，所以该直线的倾斜角为3π4，故选D.。
高三数学 专题9.1 直线的方程(讲+练)(原卷版+解析版)
专题9.1 直线的方程1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.知识点一 直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角，当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0，π)． 知识点二 直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k ＝tan θ.(2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1 .知识点三 直线方程的五种形式考点一 直线的倾斜角与斜率【典例1】（山西平遥中学2019届模拟）(1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π6，π3B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围是__________．【答案】 (1)B (2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)【解析】(1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3. (2)如图，因为k AP ＝1－02－1＝1， k BP ＝3－00－1＝－3， 所以k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．【方法技巧】直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此求倾斜角或斜率的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2和⎝⎛⎭⎫π2，π三种情况讨论．当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．【变式1】（湖南浏阳一中2019届模拟）直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，πC.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π【答案】B【解析】因为a 2＋1≠0，所以直线的斜截式方程为y ＝－1a 2＋1x －1a 2＋1，所以斜率k ＝－1a 2＋1，即tan α＝－1a 2＋1，所以－1≤tan α<0，解得3π4≤α<π，即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π.故选B. 考点二 直线方程的求法【典例2】（ 北京师范大学实验中学2019届模拟）根据所给条件求直线的方程． (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.【解析】(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)，从而cos α＝±31010， 则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1.又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0；当斜率存在时，设斜率为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点到直线的距离公式得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. 【方法技巧】求直线方程的两种方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程．(2)待定系数法：设出所求直线方程的某种形式，由条件建立所求参数的方程(组)，解这个方程(组)求出参数，再把参数的值代入所设直线方程即可．【变式2】（河北正定中学2019届模拟）过点P (3，1)，且比直线l ：x ＋3y －1＝0的倾斜角小30°的直线方程为__________．【答案】 3x ＋y －4＝0【解析】直线l ：x ＋3y －1＝0的斜率为－33，所以其倾斜角为150°，则所求直线的倾斜角为120°，因此所求直线的斜率k ＝－ 3.又直线过点P (3，1)，所以所求直线的方程为y －1＝－3(x －3)，即3x＋y －4＝0.考点三 直线方程的综合应用【典例3】（ 辽宁阜新实验中学2019届模拟）(1)已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．(2)已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．【解析】(1)由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，当a ＝12时，面积最小．故当四边形的面积最小时，实数a 的值为12.(2)依题意知直线l 的斜率k 存在且k <0， 则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)， 可得A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )， 所以S △ABO ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎡⎦⎤12＋－9k ＋4－k ≥ 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2－9k4－k ＝12×(12＋12) ＝12， 当且仅当－9k ＝4－k，即k ＝－23时，等号成立．故△ABO 的面积的最小值为12， 此时直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0. 【方法技巧】(1)含有参数的直线方程可看作是直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题时，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．【变式3】（吉林长春市实验中学2019届模拟）当k ＞0时，两直线kx －y ＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形面积的最大值为__________．【答案】24【解析】因为2x ＋ky －2＝0与x 轴交于点(1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝0，2x ＋ky －2＝0，解得y ＝2kk 2＋2，所以两直线kx －y＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形面积为12×1×2k k 2＋2＝1k ＋2k≤122，故三角形面积的最大值为24.考点四 综合考查【典例4】（黑龙江哈尔滨市第六中学2019届质检）若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝55，则l 的斜率为( )A ．－12 B.－12或－2 C.12或2D ．－2【答案】D【解析】∵sin θ＋cos θ＝55，① ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝15，∴2sin θ cos θ＝－45，∴(sin θ－cos θ)2＝95，易知sin θ＞0，cos θ＜0， ∴sin θ－cos θ＝355，②由①②解得⎩⎨⎧sin θ＝255，cos θ＝－55，∴tan θ＝－2，即l 的斜率为－2.【变式4】（江苏扬州中学2019届模拟）已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．【解析】(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1， 则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k ≥0，故k 的取值范围是[)0，＋∞.(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2kk ＜0且1＋2k ＞0，∴k ＞0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.专题9.1 直线的方程1．（江苏省无锡一中2019届期中）直线l 的方程为3x ＋3y －1＝0，则直线l 的倾斜角为( ) A ．150° B ．120° C ．60°D ．30°2．（河南省鹤壁一中2019届期末）若函数y 1＝sin 2x 1－32⎝⎛⎭⎫x 1∈⎣⎡⎦⎤0，π2，函数y 2＝x 2＋3，则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为( )A.2π12B.＋272C.＋212D.－33＋152723．（山西省晋城一中2019届质检）如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 24．（湖北省黄石一中2019届月考）若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(－1,2) D ．(－1，－2)5．(陕西师大附中2019届月考)如果AB ＞0，且BC ＜0，则直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限6．（黑龙江省牡丹江一中2019届期中）设点 A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段 AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，－52∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－43，52 C.⎣⎡⎦⎤－52，43D.⎝⎛⎦⎤－∞，－43∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞7．（ 浙江省舟山一中2019届期末）直线l 过原点且平分▱ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为B (1,4)，D (5,0)，则直线l 的方程为________．8．（湖北省鄂州一中2019届期中）过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．9．（江西省南昌二中2019届期末）若 ab >0，且 A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．10．（河北衡水中学2019届期中）已知点A (3,4)，分别求出满足下列条件的直线方程． (1)经过点A 且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．11．（江西省鹰潭一中2019届模拟）在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )12．（广东惠州一中2019届质检）直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－1，15B.⎝⎛⎭⎫－1，12 C ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞ D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 13．（安徽省亳州一中2019届模拟）在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0 B.3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝014．（广西省来宾一中2019届模拟）若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B.(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)15．（山东省滨州一中2019届质检）已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π416．（四川省德阳一中2019届模拟）设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )(点P 与点A ，B 不重合)，则△P AB 的面积最大值是( )A ．2 5B ．5 C.52D. 5 17．（陕西省渭南一中2019届模拟）已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为__________________．18. （广东省云浮一中2019届模拟）如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，则直线AB 的方程为____________________________．19．（ 甘肃省兰州一中2019届调研）已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.20．（四川省雅安一中2019届模拟）已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 所在直线的方程．1.（2019·浙江高三学业考试）直线y -26x =+的斜率为( )A.2B.-2C.12 D.12- 2．（2019·浙江高三学业考试）直线210x y +-=经过点（ ）A.（1，0）B.（0，1）C.11,22⎛⎫⎪⎝⎭D.11,2⎛⎫⎪⎝⎭专题9.1 直线的方程1．（江苏省无锡一中2019届期中）直线l 的方程为3x ＋3y －1＝0，则直线l 的倾斜角为( ) A ．150° B ．120° C ．60°D ．30°【答案】A【解析】由直线l 的方程为3x ＋3y －1＝0可得直线l 的斜率为k ＝－33，设直线l 的倾斜角为α(0°≤α<180°)，则tan α＝－33，所以α＝150°.故选A. 2．（河南省鹤壁一中2019届期末）若函数y 1＝sin 2x 1－32⎝⎛⎭⎫x 1∈⎣⎡⎦⎤0，π2，函数y 2＝x 2＋3，则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为( )A.2π12B.＋272C.＋212D.－33＋272【答案】B【解析】设z ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2，则z 的几何意义是两条曲线上动点之间的距离的平方．因为y 1＝sin 2x 1－32⎝⎛⎭⎫x 1∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以y 1′＝2cos 2x 1.因为函数y 2＝x 2＋3的斜率为1，所以令y 1′＝2cos 2x 1＝1，解得x 1＝π6，则y 1＝0，即函数在⎝⎛⎭⎫π6，0处的切线和直线y 2＝x 2＋3平行，则最短距离为d ＝⎪⎪⎪⎪π6＋32.所以(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎪π6＋322＝＋272.故选B.3．（山西省晋城一中2019届质检）如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2【答案】D【解析】直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2.故选D.4．（湖北省黄石一中2019届月考）若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( )A ．(1，－2)B ．(1,2)C ．(－1,2)D ．(－1，－2)【答案】A【解析】因为k ，－1，b 三个数成等差数列，所以k ＋b ＝－2，即b ＝－2－k ，于是直线方程化为y ＝kx －k －2，即y ＋2＝k (x －1)，故直线必过定点(1，－2)．5．(陕西师大附中2019届月考)如果AB ＞0，且BC ＜0，则直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率k ＝－A B ＜0，在y 轴上的截距为－C B＞0，所以直线不经过第三象限． 6．（黑龙江省牡丹江一中2019届期中）设点 A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段 AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，－52∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－43，52 C.⎣⎡⎦⎤－52，43 D.⎝⎛⎦⎤－∞，－43∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞ 【答案】B【解析】易知直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M (0，－2)，且斜率为－a .因为k MA ＝3－－－2－0＝－52， k MB ＝2－－3－0＝43， 由图可知－a ＞－52且－a ＜43，所以a ∈⎝⎛⎭⎫－43，52. 7．（ 浙江省舟山一中2019届期末）直线l 过原点且平分▱ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为B (1,4)，D (5,0)，则直线l 的方程为________．【答案】y ＝23x 【解析】直线l 平分平行四边形ABCD 的面积，则直线l 过BD 的中点(3,2)，则直线l ：y ＝23x . 8．（湖北省鄂州一中2019届期中）过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．【答案】y ＝－53x 或x －y ＋8＝0 【解析】当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ；当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y －a＝1，即x －y ＝a .代入点(－3,5)，得a ＝－8.即直线方程为x －y ＋8＝0.9．（江西省南昌二中2019届期末）若 ab >0，且 A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．【答案】16【解析】根据A (a,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y b ＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab ＞0，故a ＜0，b ＜0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，可得ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时，等号成立．故ab 的最小值为16.10．（河北衡水中学2019届期中）已知点A (3,4)，分别求出满足下列条件的直线方程．(1)经过点A 且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．【解析】(1)设直线在x ，y 轴上的截距均为a .①若a ＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)，所以直线的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0. ②若a ≠0，设所求直线的方程为x a ＋y a ＝1.又点(3,4)在直线上，所以3a ＋4a＝1，所以a ＝7.所以直线的方程为x ＋y －7＝0.综合①②可知所求直线的方程为4x －3y ＝0或x ＋y －7＝0.(2)由题意可知所求直线的斜率为±1.又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)．故所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.11．（江西省鹰潭一中2019届模拟）在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )【答案】B【解析】由题意l 1：y ＝－ax －b ，l 2：y ＝－bx －a ，当a ＞0，b ＞0时，－a ＜0，－b ＜0.选项B 符合．12．（广东惠州一中2019届质检）直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－1，15B.⎝⎛⎭⎫－1，12C ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 【答案】D【解析】设直线l 的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k .令－3＜1－2k＜3，解不等式得k ＜－1或k ＞12. 13．（安徽省亳州一中2019届模拟）在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0 B.3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0【答案】C【解析】因为MO ＝MN ，所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以k MN ＝－k MO ＝3，所以直线MN 的方程为y －3＝3(x ＋1)，即3x －y ＋6＝0，选C.14．（广西省来宾一中2019届模拟）若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2] B.(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)【答案】C【解析】令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，因为14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]． 15．（山东省滨州一中2019届质检）已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π4【答案】D【解析】由f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x 知，函数f (x )的图象关于x ＝π4对称，所以f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，所以－b ＝a ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为k ＝a b ＝－1，又直线倾斜角的取值范围为[0，π)，所以该直线的倾斜角为3π4，故选D.16．（四川省德阳一中2019届模拟）设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx－y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )(点P 与点A ，B 不重合)，则△P AB 的面积最大值是( )A ．2 5B ．5C.52D. 5 【答案】C【解析】由题意可知动直线x ＋my ＝0过定点A (0,0)．动直线mx －y －m ＋3＝0⇒m (x －1)＋3－y ＝0，因此直线过定点B (1,3)．当m ＝0时，两条直线分别为x ＝0，y ＝3，交点P (0,3)，S △P AB ＝12×1×3＝32.当m ≠0时，两条直线的斜率分别为－1m ，m ，则－1m·m ＝－1，因此两条直线相互垂直．当|P A |＝|PB |时，△P AB 的面积取得最大值．由2|P A |＝|AB |＝12＋32＝10，解得|P A |＝ 5.所以S △P AB ＝12|P A |2＝52.综上可得，△P AB 的面积最大值是52. 17．（陕西省渭南一中2019届模拟）已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为__________________．【答案】4x －3y －4＝0【解析】由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12， 所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， 所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)， 即4x －3y －4＝0.18. （广东省云浮一中2019届模拟）如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，则直线AB 的方程为____________________________．【答案】(3＋3)x －2y －3－3＝0【解析】由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2， 由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得 ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32， 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)， 即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.19．（ 甘肃省兰州一中2019届调研）已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16. 【解析】(1)由题意知，直线l 存在斜率．设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k ＋4， 由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83. 故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.20．（四川省雅安一中2019届模拟）已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程；(3)BC 边的垂直平分线DE 所在直线的方程．【解析】(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2， 即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2. BC 边的中线AD 经过A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线的方程为x －3＋y 2＝1， 即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12， 则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.1.（2019·浙江高三学业考试）直线y -26x =+的斜率为( )A.2B.-2C.12D.12- 【答案】B【解析】由26y x =-+可知斜率2k =-，本题选B 。
高考数学一轮复习 专题9.1 直线的方程(讲)
专题9.1 直线的方程【考纲解读】【直击考点】题组一 常识题1． 已知直线l 经过A (－cos θ，sin 2θ)，B (0，1)不同的两点，直线l 的斜率为____________，倾斜角的取值范围是____________．2． 直线l 的倾斜角α＝60°，且过点(3，1)，则直线l 的方程为____________．【解析】因为α＝60°，所以k ＝tan α＝ 3.又直线l 过点(3，1)，所以直线l 的方程为y －1＝3(x －3)，即y ＝3x －2.3． 直线的斜率为2，在x 轴上的截距为－1，则直线的斜截式方程为__________________． 【解析】直线过点(－1，0)，斜率为2，由点斜式方程得y －0＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋2. 题组二 常错题4．当a ＝3时，直线ax ＋(a －3)y －1＝0的倾斜角为____________．【解析】当a ＝3时，直线ax ＋(a －3)y －1＝0可化为3x －1＝0，其倾斜角为90°.5．直线l 经过点(5，10)，且原点到直线l 的距离是5，则直线l 的方程为__________________． 【解析】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝5；当直线l 的斜率存在时，设其为k ，则直线l 的方程为y －10＝k (x －5)，由点到直线的距离公式可得k ＝34，故直线l 的方程为3x －4y ＋25＝0.6．过点P (－1，2)且在两轴上的截距相等的直线方程为____________________．题组三 常考题7．过A (1，2)，B (2，1)两点的直线的斜率为______________． 【解析】k AB ＝2－11－2＝－1.8．过原点且斜率为12的直线方程为______________．【解析】利用点斜式可得直线方程为y ＝12x .【知识清单】考点1 直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角①定义．当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴的正方向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. ②范围：倾斜角α的范围为0απ≤<． 2．直线的斜率①定义．一条直线的倾斜角(90)αα≠的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即tan k α＝，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线l 与x 轴平行或重合时, 0α=, tan 00k ==.②过两点的直线的斜率公式．经过两点11122212()()()P x y P x y x x ≠，，，的直线的斜率公式为2121y y k x x --＝.3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．4.直线的倾斜角α、斜率k 之间的大小变化关系： （1）当[0,)2πα∈时，0,k α>越大，斜率越大；（2）当(,)2παπ∈时，0,k α<越大，斜率越大.考点2 直线的方程1.直线的点斜式方程：直线l 经过点000(,)P x y ，且斜率为k ，则直线l 的方程为：)(00x x k y y -=-.这个方程就叫做直线点斜式方程.特别地，直线l 过点),0(b ，则直线l 的方程为：b kx y +=.这个方程叫做直线 的斜截式方程.2.直线的两点式方程直线l 过两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠，则直线l 的方程为：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--.这个方程叫做直线的两点式方程.当21x x =时，直线与x 轴垂直，所以直线方程为：1x x =；当21y y =时，直线与y 轴垂直，直线方程为：1y y=.特别地，若直线l 过两点12(,0),(0,)(0)P a P b ab ≠，则直线l 的方程为：1x ya b+=，这个方程叫做直线的截距式方程.3.直线的一般式方程关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程.由一般式方程可得，B 不为0时，斜率A k B =-，截距C b B=- 【考点深度剖析】直线是解析几何中最基本的内容，对直线的考查一是在选择题、填空题中考查直线的倾斜角、斜率、直线的方程等基本知识，二是在解答题中与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识进行综合考查．【重点难点突破】考点1 直线的倾斜角与斜率【1-1】经过两点A(4,2y ＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为34π，则y ＝ . 【答案】－3 【解析】由()21342y +---＝242y +y 2＝＋，得y 2tan ＋＝34π1.y 3∴＝－＝－. 【1-2】经过P(0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________，________.【答案】[1,1]－，0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦∪3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【思想方法】1.由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y＝tan x的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限制；2.求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依据正切函数y＝tan x的单调性求k的范围．【温馨提醒】若斜率k是含参数的一个式子，则利用函数或不等式的方法求其范围；若是给出图形求斜率与倾斜角的范围，则采用数开结合的方法求其范围．考点2 直线的方程【2-1】三角形的顶点是A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)，求这个三角形三边所在直线的方程．【答案】5100x y -+=，38150x y ++=，5360x y +-=整理得：5100x y -+=.这就是直线AC 的方程．【2-2】已知点A （-3，-1），B （1，5），直线l 过线段AB 的中点，且在x 轴上的截距是它在y 轴上的截距的2倍.求直线l 的方程． 【答案】230x y +-=【2-3】(1) 直线210mx y m -++=恒过一定点，则此定点为 .(2) 直线l 过点(3,2)P ，且分别交x 轴，y 轴的正半轴于A ,B 两点.求三角形OAB 的面积最小值及此时直线l 的方程.【答案】（1）(2,1)-；（2）243y x =-+. 【解析】（1）法一、直线210mx y m -++=可变形为：1(2)y m x -=+.这是直线的点斜式方程，由这个方程可知．直线恒过点 (2,1)-.法二、直线210mx y m -++=可变形为：(2)(1)0x m y +--=.若该方程对任意m 都成立，则2010x y +=⎧⎨-=⎩，即21x y =-⎧⎨=⎩，所以直线恒过点 (2,1)-. 法三、在方程210mx y m -++=中，令0m =得：10y -+=即1y =；令1m =得：30x y -+=，将1y =代入30x y -+=得2x =-.将21x y =-⎧⎨=⎩代入210mx y m -++=得21210m m --++=恒成立，所以直线210mx y m -++=恒过点(2,1)-.（2）由题设知，直线不可能与x 轴垂直，即直线的斜率必存在.设直线的斜率为k ，则其点斜式的方程为【思想方法】求直线方程的常用方法有1.直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．3. 直线在x(y)轴上的截距是直线与x(y)轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．【温馨提醒】涉及直线在两坐标轴上截距相等问题，要特别注意截距均为0的情况；另外，某些涉及直线问题中，往往要讨论直线的斜率是否存在的情况，也应特别注意.【易错试题常警惕】求直线方程忽视零截距致误典例(12分)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0 (a∈R)．(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．易错分析本题易错点求直线方程时，漏掉直线过原点的情况．规范解答解(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.[2分]当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.∴a－2a＋1＝a－2，即a＋1＝1.[4分]∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.[6分][失误与防范]与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点：(1)明确直线方程各种形式的适用条件点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．。
专题9.1---直线与直线方程--学生版
专题9.1直线与直线方程练基础1.（福建高考真题（文））“a=1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（2020·肥东县综合高中月考（文））点(),P x y 在直线40x y +-=上，O 是坐标原点，则OP 的最小值是（）A B C ．D3．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:1l y =-，则直线l （）．A ．过点)2-BC ．倾斜角为60°D ．在y 轴上的截距为14．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:10l x my m -+-=，则下列说法正确的是（）．A ．直线l 的斜率可以等于0B ．若直线l 与y 轴的夹角为30°，则m =m =C ．直线l 恒过点()2,1D ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则1m =或1m =-5．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线l 的方程为20ax by +-=，则下列判断正确的是（）．A ．若0ab >，则直线l 的斜率小于0B ．若0b =，0a ≠，则直线l 的倾斜角为90°C ．直线l 可能经过坐标原点D ．若0a =，0b ≠，则直线l 的倾斜角为0°6．（2021·全国高二课时练习）直线3240x y +-=的斜率为______，在x 轴上的截距为______.7．（2021·全国）已知直线1:1l y x =+，将直线1l 绕点()1,2按逆时针方向旋转45︒后，所得直线2l 的方程为_______，将直线1l 绕点()1,2按顺时针方向旋转45°后，所得直线3l 的方程为_______．8．（2021·浙江衢州·高二期末）已知直线1l ：3480x y +-=和2l ：320x ay -+=，且12l l //，则实数a =__________，两直线1l 与2l 之间的距离为__________．9.（2020·浙江开学考试）已知直线1l 的方程为3420x y --=，直线2l 的方程为6810x y --=，则直线1l 的斜率为___________，直线1l 与2l 的距离为___________.10．（2021·抚松县第一中学高二月考）已知A （1，0），B （﹣1，2），直线l ：2x ﹣ay ﹣a ＝0上存在点P ，满足|PA |+|PB |＝a 的取值范围是___________．练提升1.（2021·绥德中学高一月考）已知0a >，0b >，直线220ax by -+=恒过点(2-，1)，则14a b+的最小值为（）A ．8B ．9C ．16D ．182．（2019·四川高考模拟（文））已知点(3,0)P -在动直线(1)(3)0m x n y -+-=上的投影为点M ，若点3(2,2N ，那么||MN 的最小值为（）A．2B．32C．1D．123．（2019·湖南衡阳市八中高三月考（文））已知直线l 的倾斜角为θ且过点，其中1sin(22p q-=，则直线l 的方程为()20y --=40y +-= C.0x -=360y +-=4．（四川高考真题（文））设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是（）A．B．C．D．5.（2020·浙江）已知点(2,1)M -，直线l 过点M 且与直线210x y -+=平行，则直线l 的方程为____________；点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为_______________.6．（2019·黑龙江鹤岗·月考（文））已知直线l 经过点()4,3P ，且与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，O 为坐标原点.（1）若点O 到直线l 的距离为4，求直线l 的方程；（2）求OAB ∆面积的最小值.7.（2021·抚松县第一中学高二月考）已知直线l 1：2x +y +3＝0，l 2：x ﹣2y ＝0．(1)求直线l 1关于x 轴对称的直线l 3的方程，并求l 2与l 3的交点P ；(2)求过点P 且与原点O （0，0）距离等于2的直线m 的方程．8．（2021·宝山区·上海交大附中高一开学考试）如图，点(),4A m ，()4,B n -在反比例函数()0ky k x=>的图象上，经过点A ､B 的直线与x 轴相交于点C ，与y 轴相交于点D .（1）若2m =，求n 的值；（2）求m n +的值；（3）连接OA ､OB ，若tan tan 1AOD BOC ∠+∠=，求直线AB 的函数关系式.9．（2021·全国高二课时练习）已知点()2,1P -.（1）求过点P 且与原点的距离为2的直线的方程.（2）是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.10．（2021·全国高三专题练习）AOB 是等腰直角三角形，||2AB =，动直线l 过点(1,1)P 与AOB 的斜边、直角边分别交于不同的点M 、N （如图所示）.（1）设直线l 的斜率为k ，求k 的取值范围，并用k 表示M 的坐标；（2）试写出表示AMN 的面积S 的函数解析式()S k ，并求()S k 的最大值.练真题1.（上海高考真题（文））已知直线1l ：(3)(4)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=平行，则k 的值是（）.A．1或3B．1或5C．3或5D．1或22．（2020·山东高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3．（2021·山东高考真题）如下图，直线l 的方程是（）A 330y --=B 3230x y -=C 3310y --=D ．310x -=4．（2021·湖南高考真题）点(0,1)-到直线3410x y -+=的距离为（）A ．25B ．35C ．45D ．15.（全国高考真题（理））已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（）A.（0，1）B.21122⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭， C.21123⎛⎤-⎥ ⎝⎦， D.1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，6.（2011·安徽高考真题（理））在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线。
(天津专用)2020版高考数学大一轮复习9.1直线方程与圆的方程精练
9.1 直线方程与圆的方程【真题典例】挖命题【考情探究】分析解读从高考试题来看,本节主要考查基础知识和基本方法,一是考查直线的倾斜角与斜率的关系、斜率公式以及直线方程的求解;二是圆的标准方程和一般方程的互化以及利用待定系数法、数形结合法求圆的方程,考查形式以选择题和填空题为主.同时圆的方程作为由直线方程向曲线方程的过渡,蕴含着解析法的解题思路和解题方法,是解析法的基础,因此,以圆为载体考查解析法的基本思想和方法是历年高考考查的重点.破考点【考点集训】考点一直线的倾斜角、斜率与方程1.已知直线l过定点(0,1),则“直线l与圆(x-2)2+y2=4相切”是“直线l的斜率为”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B2.过点M(1,2)的直线l将圆(x-2)2+y2=9分成两段弧,当其中的劣弧最短时,直线l的方程是.答案x-2y+3=0考点二直线与直线的位置关系3.已知圆的方程为(x+1)2+y2=2,则圆心到直线y=x+3的距离为( )A.1B.C.2D.2答案 B4.已知直线3x+(1-a)y+1=0与直线x-y+2=0平行,则a的值为( )A.4B.-4C.2D.-2答案 A5.已知a∈R,则“直线y=ax-1与y=-4ax+2垂直”是“a=”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B考点三圆的方程6.若直线x+y+a=0是圆x2+y2-2y=0的一条对称轴,则a的值为( )A.1B.-1C.2D.-2答案 B7.(2015课标Ⅰ, ,5分)一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.答案-+y2= 5炼技法【方法集训】方法1 直线方程的求法1.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是( )A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0答案 D方法2 两直线平行与垂直问题的解决策略2.已知直线3x+4y+3=0与直线6x+my-14=0平行,则它们之间的距离是( )D.A.2B.8C.5答案 A3.已知直线l1:ax+y-1=0,直线l2:x-y-3=0,若直线l1的倾斜角为,则a= ;若l1⊥l2,则a= ;若l1∥l2,则两平行直线间的距离为.答案-1;1;2方法3 关于对称问题的求解策略4.若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为( )A.(x-1)2+y2=1B.x2+(y+1)2=1C.x2+(y-1)2=1D.(x+1)2+y2=1答案 C方法4 圆的方程的求法5.(2018天津文,12,5分)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为.答案x2+y2-2x=06.(2016江苏改编,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程.解析圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0<y0<7,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为--=2.设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离d=5=5.因为BC=OA==25,而MC2=d2+,所以25= 55+5,解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.评析本题主要考查直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆的位置关系,考查分析问题、解决问题的能力及运算求解能力.过专题【五年高考】A组自主命题·天津卷题组1.(2013天津文,5,5分)已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=( )A.-B.1C.2D.答案 C2.(2016天津文,12,5分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,5)在圆C上,且圆心到,则圆C的方程为.直线2x-y=0的距离为55答案(x-2)2+y2=9B组统一命题、省(区、市)卷题组1.(2016课标Ⅱ, ,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )A.-B.-C.D.2答案 A2.(2015课标Ⅱ, ,5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )A.2B.8C.4D.10答案 C3.(2014广东,10,5分)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为.答案5x+y-3=04.(2014江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是.答案-35.(2018课标Ⅱ, 9, 分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C 交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.解析(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0),设A(x1,y1),B(x2,y2).由- ,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.由题设知=8,解得k=-1(舍去),或k=1,因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5. 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则-5,-解得,或,-因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.方法总结有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应注重利用根与系数的关系进行整体运算.一般地,求直线和圆的方程时,利用待定系数法求解.6.(2017课标Ⅲ, , 分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.解析(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由 ,可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.又x1=,x2=,故x1x2==4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为·=-=-1,所以OA⊥OB故坐标原点O在圆M上.(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=.由于圆M过点P(4,-2),因此·=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-.当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.当m=-时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为9,-,圆M的半径为 5,圆M的方程为-9+= 5.解后反思解直线与圆锥曲线相交问题时,常联立方程,消元得到一个一元二次方程,然后利用根与系数的关系处理.以某线段为直径的圆的方程,也可以用该线段的两端点坐标(x1,y1)、(x2,y2)表示:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.疑难突破将直径所对的圆周角为9 °转化为两向量数量积等于0,进而由根与系数的关系进行整体运算求解.7.(2015课标Ⅰ, , 分)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N 两点.(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.解析(1)由题设可得M(2,a),N(-2,a)或M(-2,a),N(2,a).又y'=,故y=在x=2处的导数值为,C在点(2,a)处的切线方程为y-a=(x-2),即x-y-a=0.y=在x=-2处的导数值为-,C在点(-2,a)处的切线方程为y-a=-(x+2),即x+y+a=0.故所求切线方程为x-y-a=0和x+y+a=0.(5分)(2)存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.故x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而k1+k2=-+-= a-=.当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意.(12分)C组教师专用题组1.(2016四川,8,5分)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M 是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为( )A. B. C. D.1答案 C2.(2015北京,2,5分)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2答案 D3.(2017江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若·≤ ,则点P的横坐标的取值范围是.答案[-5,1]4.(2015湖北文,16,5分)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准．．方程为;(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为.答案(1)(x-1)2+(y-)2=2 (2)--1【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2018天津河西三模,4)设a∈R,则“a= ”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 C2.(2018天津十二区县二模,4)已知m为实数,直线l1:mx+y-1=0,l2:(3m-2)x+my-2=0,则“m= ”是“l1∥l2”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案 A二、填空题(每小题5分,共20分)3.(2017天津和平四模,12)经过圆x2+2x+y2=0的圆心,且与直线x+y-2=0垂直的直线方程是.答案x-y+1=04.(2017天津耀华中学二模,10)已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为.答案205.(2017天津一中3月月考,12)圆心在直线x-2y+7=0上的圆C与x轴交于A(-2,0)、B(-4,0)两点,则圆C的方程为.答案(x+3)2+(y-2)2=56.(2018天津河东一模,12)已知A(0,),B(1,0),点P为圆x2+y2+2x=0上的任意一点,则△PAB面积的最大值为.答案。
2019年高三一轮复习热点题型9.1直线的方程
已知平面直角坐标系中的两点 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，点 M (x ，y)是线段 AB 的中点，则 x ＝ 1 y ＋y 2 y ＝ 1 (2)计算公式：若由 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)确定的直线不垂直于 x 轴，则 k ＝ 2直线的倾斜角为 θ (θ≠ )，则 k ＝tan_θ.§9.1 直线的方程1.平面直角坐标系中的基本公式(1)两点的距离公式：已知平面直角坐标系中的两点 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 d (A ，B)＝|AB|＝ (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)中点公式：x ＋x 2 2，2 .2.直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，我们规定，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.(2)倾斜角的范围：[0°，180°). 3.直线的斜率(1)定义：通常，我们把直线 y ＝kx ＋b 中的系数 k 叫做这条直线的斜率，垂直于 x 轴的直线，人们常说它的斜率不存在；y －y 1x 2－x 1π24.直线方程的五种形式名称 方程 适用范围(x 1≠x 2).若y－y1x－x1y2－y1x2－x1＋＝1(5)不经过原点的直线都可以用＋＝1表示.(×)y P y解析由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0，故直点斜式斜截式两点式截距式y－y＝k(x－x)y＝kx＋b＝x ya b不含直线x＝x0不含垂直于x轴的直线不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)不含垂直于坐标轴和过原点的直线Ax＋By＋C＝0一般式平面直角坐标系内的直线都适用(A2＋B2≠0)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.(√)(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.(×)(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.(×)(4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示.(×)x ya b(6)经过任意两个不同的点P1(x1，1)，2(x2，2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.(√)1.直线3x－y＋a＝0的倾斜角为()A.30°C.150°B.60°D.120°答案B解析化直线方程为y＝3x＋a，∴k＝tanα＝ 3.∵0°≤α<180°，∴α＝60°.2.如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()A.第一象限C.第三象限B.第二象限D.第四象限答案CC CA B线经过一、二、四象限，不经过第三象限.当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5，m－12答案⎣0，4⎦∪⎝2，π⎭又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣0，4⎦∪⎝2，π⎭.例1(1)直线2xcosα－y－3＝0⎝α∈⎣6，3⎦⎭的倾斜角的取值范围是(A.⎣6，3⎦B.⎣4，3⎦C.⎣4，2⎦D.⎣4，3⎦3.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__________________.答案3x－2y＝0或x＋y－5＝0解析当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；x ya a23a a所以直线方程为x＋y－5＝0.综上，直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.4.(教材改编)若过点A(m,4)与点B(1，m)的直线与直线x－2y＋4＝0平行，则m的值为________.答案34－m1解析＝，∴m＝3.5.直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角的取值范围为____________.⎡π⎤⎛π⎫m2－1解析直线l的斜率k＝＝1－m2≤1.1－2若l的倾斜角为α，则tanα≤1.⎡π⎤⎛π⎫题型一直线的倾斜角与斜率⎛⎡ππ⎤⎫)⎡ππ⎤⎡ππ⎤⎡ππ⎤⎡π2π⎤(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取因为 α∈⎣6，3⎦，所以 ≤cos α≤ 2 2 则有 tan θ∈[1， 3 ].又 θ∈[0，π)，所以 θ∈⎣4，3⎦， 即倾斜角的取值范围是⎣4，3⎦.(2)如图，∵k AP ＝＝1， k BP ＝ ＝－ 3，1－02－(－1) 3 k BP ＝ ＝ 3.如图可知，直线 l 斜率的取值范围为⎣3， 3⎦.值范围为__________________.答案 (1)B (2)(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)解析 (1)直线 2xcos α－y －3＝0 的斜率 k ＝2cos α，⎡π π⎤ 1 3 ，因此 k ＝2·cos α∈[1， 3 ].设直线的倾斜角为 θ，⎡π π⎤⎡π π⎤1－02－13－00－1∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞).引申探究1.若将本例(2)中 P(1,0)改为 P(－1,0)，其他条件不变，求直线 l 斜率的取值范围.解 ∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0， 3)，∴k AP ＝ 1＝ ，3－00－(－1)⎡1 ⎤2.将本例(2)中的 B 点坐标改为 B(2，－1)，求直线 l 倾斜角的范围.解 如图：直线 PA 的倾斜角为 45°， 直线 PB 的倾斜角为 135°，由图象知 l 的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°).率求倾斜角的范围时，要分⎣0，2⎭与⎝2，π⎭两种情况讨论.由正切函数图象可以看出，当α∈⎡⎣0，2⎫⎭时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈⎛⎝2，π⎫⎭时，斜率k∈(－A.⎣6，2⎭∪⎝2，6⎦B.⎣0，6⎦∪⎣6，π⎭C.⎣0，6⎦D.⎣6，6⎦(2)已知实数x，y满足2x＋y＝8，当2≤x≤3时，则的最大值为________；最小值为________.∵－1≤cosα≤1，∴－3≤k≤.≤tanθ≤.结合正切函数在⎣0，2⎭∪⎝2，π⎭上的图象可知，0≤θ≤或≤θ<π.(2)本题可先作出函数y＝8－2x(2≤x≤3)的图象，把看成过点(x，y)和y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标分别是(2,4)，(3,2).因为的几何意义是直线OP y y(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为10思维升华直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜⎡π⎫⎛π⎫πππ2∞，0).(1)直线xcosα＋3y＋2＝0的倾斜角的范围是()⎡ππ⎫⎛π5π⎤⎡π⎤⎡5π⎫⎡5π⎤⎡π5π⎤yx答案(1)B(2)22 3解析(1)由xcosα＋3y＋2＝0得直线斜率k＝－33cosα.3 33设直线的倾斜角为θ，则－33 33⎡π⎫⎛π⎫π5π66yx原点的直线的斜率进行求解.如图，设点P(x，)，因为x，满足2x＋y＝8，且2≤x≤3，所以点P(x，yx2y2的斜率，且k OA＝2，k OB＝3，所以x的最大值为2，最小值为3.题型二求直线的方程例2根据所给条件求直线的方程：10；故所求直线方程为 y ＝± (x ＋4).a 12－a－3 12－a |10－5k| k 2＋1 设倾斜角为 α，则 sin α＝ 10(0<α<π)，从而 cos α＝±，则 k ＝tan α＝± .从而 ＋＝1，解得 a ＝－4 或 a ＝9.由点线距离公式，得 ＝5，解得 k ＝ ..(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12；(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为 5.解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.103 10 110 313即 x ＋3y ＋4＝0 或 x －3y ＋4＝0.x y(2)由题设知截距不为 0，设直线方程为 ＋ ＝1， 又直线过点(－3,4)，4 a故所求直线方程为 4x －y ＋16＝0 或 x ＋3y －9＝0.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为 x －5＝0； 当斜率存在时，设其为 k ，则所求直线方程为 y －10＝k(x －5)， 即 kx －y ＋(10－5k)＝0.34故所求直线方程为 3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为 x －5＝0 或 3x －4y ＋25＝0.思维升华 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件. 用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距 式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论， 判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况求适合下列条件的直线方程：∴l 的方程为 y ＝ x ，即 x －4y ＝0.若 a ≠0，则设 l 的方程为 ＋ ＝1，∴ ＋ ＝1，因此所求直线方程为 y ＋3＝－ (x ＋1)，解 方法一 设直线方程为 ＋ ＝1 (a >0，b >0)，点 P(3,2)代入得 ＋ ＝1≥2∴tan 2α＝ 2tan α ab ，得 ab ≥24，(1)经过点 P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点 A(－1，－3)，倾斜角等于直线 y ＝3x 的倾斜角的 2 倍.解 (1)设直线 l 在 x ，y 轴上的截距均为 a.若 a ＝0，即 l 过点(0,0)及(4,1)，14x ya a∵l 过点(4,1)，4 1a a∴a ＝5，∴l 的方程为 x ＋y －5＝0.综上可知，直线 l 的方程为 x －4y ＝0 或 x ＋y －5＝0. (2)由已知：设直线 y ＝3x 的倾斜角为 α， 则所求直线的倾斜角为 2α. ∵tan α＝3，31－tan 2 α＝－4.又直线经过点 A(－1，－3)，34即 3x ＋4y ＋15＝0.题型三 直线方程的综合应用命题点 1 与均值不等式相结合求最值问题例 3 已知直线 l 过点 P(3,2)，且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A 、B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线 l 的方程.x ya b3 26a b⎛⎫ ∴△S ABO ＝ (2－3k)⎝3－k ⎭2 ⎢ ⎥⎢ ＝ ×(12＋12)＝12.当且仅当－9k ＝ ，即 k ＝－ 时，等号成立.－k＋2，所以四边形的面积 S ＝ ×2×(2－a)＋ ×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝a －2⎭2＋ .1 32 b 2从而 △S AOB ＝2ab ≥12，当且仅当a ＝b 时等号成立，这时 k ＝－a ＝－3，从而所求直线方程为2x ＋3y －12＝0.方法二 依题意知，直线 l 的斜率 k 存在且 k<0. 则直线 l 的方程为 y －2＝k(x －3) (k<0)，2 且有 A ⎝3－k ，0⎭，B(0,2－3k)，1 ⎛ 2⎫＝1⎡12＋(－9k )＋ 4 ⎤2⎣ (－k )⎦≥1⎡12＋22⎣4 ⎤(－9k )· ⎥(－k )⎦1 242 3△即 ABO 的面积的最小值为 12.故所求直线的方程为 2x ＋3y －12＝0.命题点 2 由直线方程解决参数问题例 4 已知直线 l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当 0＜a ＜2 时，直线 l 1，l 2 与两 坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数 a 的值.解 由题意知直线 l 1，l 2 恒过定点 P(2,2)，直线 l 1 的纵截距为 2－a ，直线 l 2 的横截距为 a 2221 1 ⎛ 1⎫ 15 4，当 a ＝12时，面积最小.思维升华 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用均值不等式 求解最值.(2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程(3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或答案(1)5 (2)－∴|P A |·|PB|≤ ＝ ＝5，当且仅当|P A|＝|PB|时，上式等号成立.＝－ .均值不等式求解.(1)(2014·四川)设 m ∈R ，过定点 A 的动直线 x ＋my ＝0 和过定点 B 的动直线 mx－y －m ＋3＝0 交于点 P(x ，y)，则|P A |·|PB|的最大值是________.(2)(2015· 安徽)在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 y ＝2a 与函数 y ＝|x －a|－1 的图象只有一个交点，则 a 的值为________.12解析 (1)∵直线 x ＋my ＝0 与 mx －y －m ＋3＝0 分别过定点 A ，B ，∴A(0,0)，B(1,3).当点 P 与点 A(或 B)重合时，|P A |·|PB|为零； 当点 P 与点 A ，B 均不重合时，∵P 为直线 x ＋my ＝0 与 mx －y －m ＋3＝0 的交点， 且易知此两直线垂直， ∴△APB 为直角三角形， ∴|AP|2＋|BP|2＝|AB|2＝10，|P A|2＋|PB|2 102 2(2)∵|x －a|≥0 恒成立，∴要使 y ＝2a 与 y ＝|x －a|－1 只有一个交点，必有 2a ＝－1，解得 a1213.求直线方程忽视零截距致误典例 (12 分)设直线 l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0 (a ∈R). (1)若 l 在两坐标轴上截距相等，求 l 的方程； (2)若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围.易错分析 本题易错点求直线方程时，漏掉直线过原点的情况.规范解答⎪⎪⎩⎩.解(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.[2分]当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.a－2∴＝a－2，即a＋1＝1.[4分]a＋1∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.[6分](2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，⎧－(a＋1)>0，⎧－(a＋1)＝0，∴⎨或⎨⎪a－2≤0⎪a－2≤0，∴a≤－1.[10分]综上可知a的取值范围是a≤－1.[12分]温馨提醒(1)在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解.(2)常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形，注意分类讨论思想的运用[方法与技巧]直线的倾斜角和斜率的关系：(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率.(2)直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：αk0°0°<α<90°k>090°不存在90°<α<180°k<0[失误与防范]与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点：(1)明确直线方程各种形式的适用条件点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线.(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零.(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论.A.m ≠－ A.⎝0，3⎦B.⎣3，2⎭C.⎝2， 3 ⎦D.⎣3，π⎭ 切线的倾斜角的取值范围是⎣3，2⎭.A 组 专项基础训练(时间：35 分钟)1.若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0 表示一条直线，则参数 m 满足的条件是()32C.m ≠0 且 m ≠1B.m ≠0D.m ≠1答案 D⎧⎪2m 2＋m －3＝0，解析 由⎨解得 m ＝1，⎪⎩m 2－m ＝0，故 m ≠1 时方程表示一条直线.2.(2015· 山东枣庄第八中学第二次阶段性检测)如果 f ′(x)是二次函数，且 f ′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1， 3)，那么曲线 y ＝f(x)上任一点的切线的倾斜角的取值范围是()⎛ π⎤⎛π 2π⎤ ⎡π π⎫⎡π ⎫答案 B解析 f ′(x)＝a(x －1)2＋ 3 (a>0)，∴k ≥ 3.⎡π π⎫3.如图中的直线 l 1，l 2，l 3 的斜率分别为 k 1，k 2，k 3，则 ( )A.k 1＜k 2＜k 3B.k 3＜k 1＜k 2C.k 3＜k 2＜k 1D.k 1＜k 3＜k 2 答案 D解析 直线 l 1 的倾斜角 α1 是钝角，故 k 1＜0，直线 l 2 与 l 3 的倾斜角 α2 与 α3 均为锐角，且 α2＞α3，所以 0＜k 3＜k 2，因此 k 1＜k 3＜k 2，故选 D.4.设直线 ax ＋by ＋c ＝0 的倾斜角为 α，且 sin α＋cos α＝0，则 a ，b 满足 ( )A.a ＋b ＝1B.a －b ＝1解析 由 sin α＋cos α＝0，得 ＝－1，即 tan α＝－1.又因为 tan α＝－ ，所以－ ＝－1.6.若直线 l 的斜率为 k ，倾斜角为 α，而 α∈⎣6，4⎭∪⎣ 3 ，π⎭，则 k 的取值范围是__________. 答案[－ 3，0)∪⎣ 3 ，1⎭ 解析 当 ≤α< 时， ≤tan α<1，∴ 3≤k<1.当 ≤α<π 时，－ 3≤tan α<0.∴k ∈⎣ 3，1⎭∪[－ 3，0). 解析 设所求直线的方程为 ＋ ＝1.a b ①2②C.a ＋b ＝0D.a －b ＝0答案 Dsin αcos αa ab b即 a ＝b ，故应选 D.5.已知直线 PQ 的斜率为－ 3，将直线绕点 P 顺时针旋转 60°所得的直线的斜率为( )A. 3C.0 B.－ 3D.1＋ 3答案 A解析 直线 PQ 的斜率为－ 3，则直线 PQ 的倾斜角为 120°，所求直线的倾斜角为 60°，tan60°＝ 3.⎡π π⎫ ⎡2π ⎫⎡ 3 ⎫π π 36 4 332π3 ⎡ 3 ⎫7.一条直线经过点 A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 1，则此直线的方程为________________________________________________________________________. 答案 x ＋2y －2＝0 或 2x ＋y ＋2＝0x ya b∵A(－2,2)在此直线上，2 2 ∴－ ＋ ＝1.又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为 1，1 ∴ |a |·|b |＝1.故所求的直线方程为 ＋ ＝1 或 ＋ ＝1，－1 －2－2 解析 根据 A(a,0)、B(0，b )确定直线的方程为 ＋ ＝1，又 C(－2，－2)在该直线上，故＋ ＝1，⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ 解得 m ＝－ .⎧a －b ＝1， ⎧a －b ＝－1，由①②可得(1)⎨ 或(2)⎨⎪ab ＝2 ⎪ab ＝－2.⎧a ＝2， ⎧a ＝－1，由(1)解得⎨ 或⎨ 方程组(2)无解.⎪b ＝1 ⎪b ＝－2，x y x y2 1即 x ＋2y －2＝0 或 2x ＋y ＋2＝0 为所求直线的方程.8.若 ab >0，且 A(a,0)、B(0，b )、C(－2，－2)三点共线，则 ab 的最小值为________.答案 16x ya b a－2b所以－2(a ＋b )＝ab.又 ab >0，故 a <0，b <0.根据均值不等式 ab ＝－2(a ＋b )≥4 ab ，从而 ab ≤0(舍去)或 ab ≥4，故 ab ≥16，当且仅当 a ＝b ＝－4 时取等号.即 ab 的最小值为 16.9.设直线 l ：(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －2m ＋6＝0 (m ≠－1)，根据下列条件分别确定 m的值：(1)直线 l 在 x 轴上的截距为－3； (2)直线 l 的斜率为 1.解 (1)∵l 在 x 轴上的截距为－3，∴－2m ＋6≠0，即 m ≠3，又 m ≠－1， ∴m 2－2m －3≠0.2m －6令 y ＝0，得 x ＝ ，m 2－2m －3由题意知， m 2m－6 ＝－3，2－2m －353(2)由题意知 2m 2＋m －1≠0，m 2－2m －3 且－ ＝1，解得 m ＝ .2m 2＋m －1解得 k ＝ .所以 k l ＝－ ＝2.4 310.已知点 P(2，－1).(1)求过点 P 且与原点的距离为 2 的直线 l 的方程；(2)求过点 P 且与原点的距离最大的直线 l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点 P 且与原点的距离为 6 的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.解 (1)过点 P 的直线 l 与原点的距离为 2，而点 P 的坐标为(2，－1)，显然，过点 P(2，－1)且垂直于 x 轴的直线满足条件， 此时 l 的斜率不存在，其方程为 x ＝2.若斜率存在，设 l 的方程为 y ＋1＝k(x －2)， 即 kx －y －2k －1＝0.|－2k －1|由已知得 ＝2，k 2＋134此时 l 的方程为 3x －4y －10＝0.综上，可得直线 l 的方程为 x ＝2 或 3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点 P 与原点 O 的距离最大的直线是过点 P 且与 PO 垂直的直线，如图所示.由 l ⊥OP ，得 k l k OP ＝－1，1 kOP由直线方程的点斜式，得 y ＋1＝2(x －2)，即 2x －y －5＝0.∴a＋b＝ab，即＋＝1，∴a＋b＝(a＋b)⎝a＋b⎭＝2＋＋≥2＋2ba＝4，解析直线AB的方程为＋＝1，∵动点P(x，y)在直线AB上，则x＝3－y，∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)＝[－y－22＋4]≤3.即当P点坐标为⎝2，2⎭时，xy取最大值3.|－5|所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为＝ 5.5(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线.B组专项能力提升(时间：25分钟)11.若直线ax＋b y＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为()A.1 C.4B.2 D.8答案C解析∵直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，11a b⎛11⎫b aa bab当且仅当a＝b＝2时上式等号成立.∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.12.已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________.答案3x y3434334434⎛3⎫13.设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________.答案[－2,2]直线y＝x上时，求直线AB的方程.3⎝2，2⎭由点C在y＝x上，且A、P、B三点共线得3＋3213n所以l AB：y＝(x－1)，解析b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值.∴b的取值范围是[－2,2].14.如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在12解由题意可得k OA＝tan45°＝1，k OB＝tan(180°－30°)＝－3所以直线l OA：y＝x，l OB：y＝－x.设A(m，m)，B(－3n，n)，⎛m－3n m＋n⎫所以AB的中点C ⎪，12⎧m＋n＝1·m－3n，⎨222解得m＝3，所以A(3，3).⎩m－0＝－n－－1，3又P(1,0)，所以k AB＝k AP＝＝，3－133，3＋32即直线AB的方程为(3＋3)x－2y－3－3＝0.15.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于△B，AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l的方程.(1)证明直线l的方程是k(x＋2)＋(1－y)＝0，(2)解 由方程知，当 k ≠0 时直线在 x 轴上的截距为－ ，在 y 轴上的截距为 1＋2k ，要⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ，0⎪⎭，B(0,1＋2k). (3)解 由 l 的方程，得 A － 依题意得⎨k<0，∵S ＝ ·|OA |·|OB|＝ · ⎪ ⎪·|1＋2k|k ＝ ⎝4k ＋k ＋4⎭≥ ×(2×2＋4)＝ · “＝”成立的条件是 k >0 且 4k ＝ ，即 k ＝ ，＝⎧x ＋2＝0， ⎧x ＝－2， 令⎨ 解得⎨⎪1－y ＝0， ⎪y ＝1，∴无论 k 取何值，直线总经过定点(－2,1).1＋2kk⎧1＋2k使直线不经过第四象限，则必须有⎨－ k ≤－2，⎩1＋2k ≥1，当 k ＝0 时，直线为 y ＝1，符合题意，故 k ≥0.⎛ 1＋2k ⎫ ⎝ k⎧1＋2k－⎩1＋2k >0，解得 k>0.1 1 ⎪1＋2k ⎪2 2 ⎪ k ⎪1 (1＋2k )2 1⎛1 ⎫ 12 2 2＝4，1 1 k 2∴S min 4，此时直线 l 的方程为 x －2y ＋4＝0.解得 k >0；。
高考数学(浙江省专用)复习专题测试：第九章 直线和圆的方程 §9.1 直线方程和两直线间的位置关系
(浙江专用)
第九章 直线和圆的方程
§9.1 直线方程和两直线间的位置关系
五年高考
考点一 直线及其方程
(2013湖南,8,5分)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P
出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于 ( )
4
答案 解析
-1;1;2 2 依题意有k=-a=tan =1,则a=-1.若l1⊥l2,则-a×1=-1,得a=1.
|1 (3) | =2 2 . 2
4
若l1∥l2,则a=-1,直线l1:x-y+1=0,两平行直线间的距离为d=
B组
一、选择题
2015—2017年高考模拟·综合题组
y=1平行,则有- =-2,即a=4,故选C.
a 2
二、填空题
3.(2017浙江金华十校调研,11)已知直线l1:2x-2y+1=0,直线l2:x+by-3=0,若l1⊥l2,则b= ∥l2,则两直线间的距离是 答案 解析 1;
7 2 4
; 若l 1
.Leabharlann 利用两直线垂直与平行的充要条件知,l1⊥l2等价于2×1+(-2)×b=0,因此b=1.
考点二
两直线的位置关系
ln x, 0 x 1, 1.(2016四川,9,5分)设直线l1,l2分别是函数f(x)= ln x, x 1 图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相
交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是 ( A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞)
2019-2020年高考数学总复习专题9.1直线方程和圆的方程试题含解析
2019-2020年高考数学总复习专题9.1直线方程和圆的方程试题含解析 【三年高考】 1．【xx 江苏高考，10】在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为【答案】【考点定位】直线与圆位置关系2．【xx 江苏，理9】在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为 .【答案】【解析】圆的圆心为，半径为，点到直线的距离为2222(1)33512d +⨯--==+，所求弦长为22925522455l r d =-=-=． 【考点】直线与圆相交的弦长问题．3．【xx 江苏，理12】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是__________．【答案】4. 【xx 高考新课标2理数改编】圆的圆心到直线的距离为1，则a ＝ ．【答案】【解析】试题分析：圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：考点：圆的方程、点到直线的距离公式.【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断．若d>r，则直线与圆相离；若d＝r，则直线与圆相切；若d<r，则直线与圆相交．(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；如果Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切；如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交．提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法．5. 【xx高考新课标3理数】已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则__________________.【答案】4考点：直线与圆的位置关系．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．6．【xx高考山东文数改编】已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是．【答案】相交【解析】由（）得（），所以圆的圆心为，半径为，因为圆截直线所得线段的长度是，所以=MN ==，，因为，所以圆与圆相交． 考点：1.直线与圆的位置关系；2.圆与圆的位置关系.【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系问题，是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，解答此类问题，注重“圆的特征直角三角形”是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.7.【xx 高考北京文数改编】圆的圆心到直线的距离为 ．【答案】【解析】试题分析：圆心坐标为，由点到直线的距离公式可知．考点：直线与圆的位置关系【名师点睛】点到直线(即)的距离公式记忆容易，对于知求，很方便.8．【xx 高考上海文科】已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则的距离________.【答案】 【解析】试题分析：利用两平行线间距离公式得d 5=== 考点：两平行线间距离公式.【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即的系数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.9．【xx 高考浙江文数】已知，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______.【答案】；5．【解析】试题分析：由题意，，时方程为，即，圆心为，半径为5，时方程为224448100x y x y ++++=，不表示圆．考点：圆的标准方程.【易错点睛】由方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆可得的方程，解得的值，一定要注意检验的值是否符合题意，否则很容易出现错误．10.【xx 高考天津文数】已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点在圆C 上，且圆心到直线 的距离为，则圆C 的方程为__________.【答案】【解析】 试题分析：设，则2|2|452,25355a a r =⇒==+=，故圆C 的方程为 考点：直线与圆位置关系【名师点睛】求圆的方程有两种方法：(1)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a ，b ，r 的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D ，E ，F 的方程组求解．(2)几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．11．【xx 高考新课标2，理7】过三点，，的圆交y 轴于M ，N 两点，则________.【答案】412.【xx 高考陕西，理15】设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为 ．【答案】【解析】因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则，因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，因为，所以，即，解得，因为，所以，所以，即的坐标是，所以答案应填：．13.【xx 高考湖北，理14】如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（在的上方）， 且．（Ⅰ）圆的标准．．方程为 ； （Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：①； ②； ③．其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①②③【解析】（Ⅰ）依题意，设（为圆的半径），因为，所以，所以圆心，故圆的标准方程为.（Ⅱ）联立方程组，解得或，因为在的上方，所以，，令直线的方程为，此时，，所以，，，，因为，，所以. 所以2221(21)22222NBMANA MB -==-=-+，222121222222NBMANA MB +=+=+=-+14．【xx 陕西高考理第12题】若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_______.【答案】【解析】因为圆心与点关于直线对称，所以圆心坐标为.所以圆的标准方程为：,故答案为.【xx 年高考命题预测】纵观近几年各地高考试题，对直线方程和圆的方程这部分的考查，主要考查直线的方程、圆的方程，从题型来看，高考中一般以选择题和填空的形式考查，难度较低，部分省份会在解答题中，这部分内容作为一问，和作为进一步研究其他问题的基础出现，难度较高，虽然全国各地对这部分内容的教材不同，故对这部分内容的侧重点不同，但从直线方程和圆的方程的基础知识，解析几何的基本思想的考查角度来说，有共同之处，恰当地关注图形的几何特征，提高解题效率．对直线方程的考查．一般会和倾斜角、斜率、直线方向向量或者其他知识结合．平面内两条直线的位置关系的考查，属于简单题，主要以两条直线平行、垂直为主，以小题的形式出现．对圆的方程的考查，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，关注确定圆的条件．预测xx年对这一部分考查不会有太大变化．【xx年高考考点定位】高考对直线的方程和圆的方程的考查有二种主要形式：一是考查直线的方程；二是考查平面内两条直线的位置关系；三是考查圆的方程．【考点1】直线的方程【备考知识梳理】1、直线的倾斜角和斜率(1)直线的的斜率为k，倾斜角为α，它们的关系为：k＝tanα；(2)若Ａ（x1,y1），Ｂ（x２,y２），则．2.直线的方程a.点斜式：；b.斜截式：；c.两点式：；d.截距式：；e.一般式：，其中A、B不同时为0.【规律方法技巧】1. 斜率的定义是，其中是切斜角，故可结合正切函数的图象研究切斜角的范围与斜率的取值范围以及斜率的变化趋势．2. 直线的方向向量也是体现直线倾斜程度的量，若是直线的方向向量，则（）．3.平行或者垂直的两条直线之间的斜率关系要倍加注意.3.直线的五种直线方程，应注意每个方程的适用范围，解答完后应检验不适合直线方程的情形是否也满足已知条件．【考点针对训练】1.已知直线过直线和的交点，且与直线垂直，则直线的方程为________【答案】【解析】由题意得：直线可设为，又过直线和的交点，所以直线的方程为2.过点引直线，使点，到它的距离相等，则这条直线的方程为．【答案】【解析】显然直符合题意，此直线过线段的中点，又，时方程为，化简为，因此所求直线方程为或．【考点2】两条直线的位置关系【备考知识梳理】（1）若l 1，l 2均存在斜率且不重合：①l 1//l 2 k 1=k 2；②l 1l 2 k 1k 2=－1；③（2）若0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 当时，平行或重合，代入检验；当时，相交；当时，．【规律方法技巧】1．与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线22(00)Ax By C A B ≠＋＋＝＋垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直：；(2)平行：.2．转化思想在对称问题中的应用对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法．【考点针对训练】1.若直线l 1：x ＋2y －4＝0与l 2：mx ＋(2－m )y －3＝0平行，则实数m 的值为 ．【答案】【解析】由题意得：2.已知直线，直线()()2:2220l m x m y -+++=，且，则的值为____.【答案】-1或-2【解析】根据两直线平形当斜率存在时，需满足斜率相等，纵截距不等，所以当时，显然两直线平行，符合题意；当时，，，若平行需满足且，解得：，综上，答案为-1或-2.【考点3】几种距离【备考知识梳理】(1)两点间的距离：平面上的两点间的距离公式：(2)点到直线的距离：点到直线的距离.(3)两条平行线间的距离：两条平行线与间的距离.【规律方法技巧】1．点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式．2．动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|PA |＝|PB |这一条件的转化处理．1.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 ．【答案】2【解析】由题意，，所以直线方程为，即，.2.已知直线l 1：ax+2y+6=0，l 2：x+（a 1）y+a 21=0，若l 1⊥l 2，则a= ，若 l 1∥l 2，则a= ，此时l 1和l 2之间的距离为 ．【答案】， 1，；【考点4】圆的方程【备考知识梳理】标准式：，其中点（a ，b ）为圆心，r>0，r 为半径，圆的标准方程中有三个待定系数，使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小． 一般式：022=++++F Ey Dx y x ，其中为圆心为半径，，圆的一般方程中也有三个待定系数，即D 、E 、F ．若已知条件中没有直接给出圆心的坐标（如题目为：已知一个圆经过三个点，求圆的方程），则往往使用圆的一般方程求圆方程．【规律方法技巧】1．二元二次方程是圆方程的充要条件“A=C ≠0且B=0”是一个一般的二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的必要条件．二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件为“A=C ≠0、B=0且”，它可根据圆的一般方程推导而得．2．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．3．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．1．已知圆的圆心为抛物线的焦点,且与直线相切,则该圆的方程为_________________.【答案】【解析】抛物线的焦点为（1,0），所以圆的圆心为（1,0），圆心到直线的距离，所以所求圆的方程为．2．已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为______________________.【答案】【解析】直线与直线两条平行线的距离，圆的半径，由，得，由，得，直径的两个端点，，因此圆心坐标，圆的方程．【两年模拟详解析】1．【xx届江苏省如东高级中学高三2月摸底】在平面直角坐标系中,已知过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则实数__________．【答案】2．【xx届湖南省长沙市长郡中学高三下第六次月考理科】若直线和直线将圆分成长度相等的四段弧，则．【答案】18【解析】试题分析：由题意得：圆心到两直线距离相等，且等于，因此或，即18考点：直线与圆位置关系3．【xx届江苏省扬州中学高三12月月考】已知动圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为，则满足条件的所有圆的半径之积是．【答案】【解析】试题分析：设圆心，半径为，根据圆被轴所截得的弦长为得：，又切点是，所以，且，所以解得或，从而或，，所以答案应填：．考点：1、直线与圆相切；2、直线与圆相交；3、圆的标准方程．4．【xx 届南京市、盐城市高三年级第二次模拟】在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为______.【答案】【解析】 由题意得，直线的斜率为，且经过点,直线的斜率为，且经过点，且直线所以点落在以为直径的圆上，其中圆心坐标，半径为，则圆心到直线的距离为，所以点到直线的最大距离为。
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要点梳理
忆一忆知识要点
1. 直线的有关概念 (1)直线的倾斜角 ①定义 ②倾斜角的范围 (2)直线的斜率 ①定义 ②过两点的直线的斜率公式 (3)直线的截距 (4)直线的方向向量与法向量
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要点梳理
2 . 直线的方程
忆一忆知识要点 方程 适用范围
点斜式
斜截式
y－y0=k(x－x0) y = kx + b
22
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变式训练 1
经过 P(0,－1)作直线 l，若直线 l 与连接 A(1,－2)， B(2, 1)的线段总有公共点，求直线 l 的倾斜角 α 与斜率
k 的范围． 方法一 解 方法一 如图所示， 如图所示， －2－－1 1－－1 －2－－1 1－－1 kPA＝ 方法一 1－0 ＝－1，kPB 如图所示， ＝1， 方法一 如图所示， ， kPA＝ 1－0 ＝－1，kPB＝ ＝ 2－0 ＝1， 2－0 －2－－1 1－－1 －2－－1 1－－1 ＝－1，k ＝1－－1＝1， kPA＝ PB 由图可观察出： k PB＝ 1－0 －1，kPA＝ 1－0 ＝1， 2－0 由图可观察出： ＝－1，kPB＝ 2－0 ＝1， 2－0 直线 l 倾斜角 α 的范围是[135° ，180° )∪[0° ，45° ]； 由图可观察出： 直线 l 倾斜角 α 的范围是[135° ，180° )∪[0° ，45° ]； 直线 ll 倾斜角 α 的范围是[135° 的斜率 k 的范围是[－1,1]． )∪[0° ，180° ，45° ]； 直线 ll的斜率 k α 的范围是[135° 倾斜角)∪[0° )∪[0° ，45° ]； 直线 ，180° 的范围是[－1,1]． 围是[135° ，45° ]； ，180° l 的斜率 k 的范围是[－1,1]． 直线 l 的斜率 k 的范围是[－1,1]． 围是[－1,1]．
2 ∴直线 ll 的斜率的取值范围是 (( ,,,11] [5, )． 的斜率的取值范围是 1 [5, ) ． ∴直线 l 的斜率的取值范围是 ( 1 ] [5, ) ． ∴直线 l 的斜率的取值范围是 ( , 2 ] [5, ) ． ] 2 ∴直线 2 2 主页
y－2＝k(x＋1)，即 kx－y＋k＋2＝0. y－2＝k(x＋1)，即 kx－y＋k＋2＝0. ∵A、BB两点在直线的两侧或其中一 ∵A、B两点在直线的两侧或其中一点在直线 l l上， ∵A, 两点在直线的两侧或其中一点在直线 上， 两点在直线的两侧或其中一点在直线 l 上， 点在直线 l上， ∵A、B 两点在直线的两侧或其中一点在直线 l 上， ∴(－2k＋3＋k＋2)(3k－0＋k＋2)≤0， ∴(－2k＋3＋k＋2)(3k－0＋k＋2)≤0， ∴(－2k＋3＋k＋2)(3k－0＋k＋2)≤0， ∴(－2k＋3＋k＋2)(3k－0＋k＋2)≤0， 11 即(k－5)(4k＋2)≥0，∴k≥5 或 k≤－ . . 即(k－5)(4k＋2)≥0，∴k≥5 或 k≤－ 2 11 2 即(k－5)(4k＋2)≥0，∴k≥5 或 k≤－ . . 即(k－5)(4k＋2)≥0，∴k≥5 或 k≤－ 22 1 即直线 l l的斜率 kk的取值范围是 (( , 1 ] [5, ))． 即直线 的斜率 的取值范围是 , ] [5, ． 2 即直线 l 的斜率 k 的取值范围是 (( , 1 ] [5, ) ． , 1 ]2 [5, ) ． 的斜率 k 的取值范围是
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变式训练 1
经过 P(0,－1)作直线 l，若直线 l 与连接 A(1,－2)， B(2, 1)的线段总有公共点，求直线 l 的倾斜角 α 与斜率 k方法二 设直线 l 的斜率为 k， 的范围． 设直线 l 的斜率为 k， 方法二 设直线 l 的斜率为 k， 方法二 方法二 设直线 l 的斜率为 k， 方法二 设直线 的斜率为 k， 方法二 设直线 l l的斜率为 k， 方法二 设直线 ll的斜率为 k， 方法二 设直线 y＋1＝kx, 则直线 l 的方程为 y＋1＝kx, 则直线 l 的方程为 y＋1＝kx, 则直线 l 的方程为 的斜率为 k， 则直线 l 的方程为 y＋1＝kx, 则直线 的方程为 y＋1＝kx, 则直线 l l的方程为 y＋1＝kx, 则直线 ll的方程为 y＋1＝kx, 则直线 的方程为 即 kx－y－1＝0. kx－y－1＝0. 即 即 kx－y－1＝0. y＋1＝kx, 即 kx－y－1＝0. 即 kx－y－1＝0. 即 kx－y－1＝0. 即 kx－y－1＝0. 即∵A、B 两点在直线的两侧或其中一点在直线 l 上． kx－y－1＝0. ∵A、B 两点在直线的两侧或其中一点在直线 l 上． ∵A、B 两点在直线的两侧或其中一点在直线 l 上． ∵A、B 两点在直线的两侧或其中一点在直线 l 上． ∵A、B 两点在直线的两侧或其中一点在直线 上． ∵A、B 两点在直线的两侧或其中一点在直线 l l上． ∵A、B 两点在直线的两侧或其中一点在直线 ll上． ∵A、B 两点在直线的两侧或其中一点在直线 上． ∴(k＋2－1)(2k－1－1)≤0， ∴(k＋2－1)(2k－1－1)≤0， ∴(k＋2－1)(2k－1－1)≤0， ∴(k＋2－1)(2k－1－1)≤0， ∴(k＋2－1)(2k－1－1)≤0， ∴(k＋2－1)(2k－1－1)≤0， ∴(k＋2－1)(2k－1－1)≤0， ∴(k＋2－1)(2k－1－1)≤0， 即 2(k＋1)(k－1)≤0.∴－1≤k≤1. 2(k＋1)(k－1)≤0.∴－1≤k≤1. 即 即 2(k＋1)(k－1)≤0.∴－1≤k≤1. 即 2(k＋1)(k－1)≤0.∴－1≤k≤1. 即 2(k＋1)(k－1)≤0.∴－1≤k≤1. 即 2(k＋1)(k－1)≤0.∴－1≤k≤1. 即 2(k＋1)(k－1)≤0.∴－1≤k≤1. 即∴直线 l 的倾斜角 α 的范围是[135° )∪[0° 45° 2(k＋1)(k－1)≤0.∴－1≤k≤1. ,180° )∪[0° 45° ∴直线 l 的倾斜角 α 的范围是[135° ,180° )∪[0° , ]； , ]； ∴直线 l 的倾斜角 α 的范围是[135° ,180° , 45° ]； ∴直线 l 的倾斜角 α 的范围是[135° )∪[0° ,,, 45° ,180° )∪[0° 45° ]； ∴直线 的倾斜角 的范围是[135° ,180° )∪[0° ]； ]； ∴直线 ll的倾斜角 α 的范围是[135°,180° ∴直线 l l的倾斜角 αα的范围是[135° ,180°)∪[0°45°]； ,180° )∪[0°, 45° , 45° ]； ∴直线 l 的斜率 k 的范围是[－1, 1]． 直线 l 的斜率 k 的范围是[－1, 1]． 直线 的倾斜角 α 的范围是[135° 直线 l 的斜率 k 的范围是[－1, 1]． 直线 l 的斜率 k 的范围是[－1, 1]． 直线 的斜率 的范围是[－1, 1]． 直线 ll的斜率 k 的范围是[－1, 1]． 直线 l l的斜率 kk的范围是[－1, 1]． 主页 直线 的斜率 k 的范围是[－1, 1]．
【例 2】求适合下列条件的直线方程： (1)经过点 P(3, 2),且在两坐标轴上的截距相等； 方法一设直线 l 在 x，y 轴上的截距均为 a， 方法一设直线 l 在 x，y 轴上的截距均为 a， 方法一设直线 l 在 x，y 轴上的截距均为 a， 解若 a＝0，即 l 过点(0,0)和(3,2)， 方法一 设直线 l 在 x，y 轴上的截距均为 a， 若 a＝0，即 l 过点(0,0)和(3,2)， 若 a＝0，即 l 过点(0,0)和(3,2)， 若∴l 的方程为 y＝2x，即 2x－3y＝0. a＝0，即 l 过点(0,0)和(3,2)， 2 2 x，即 2x－3y＝0. ∴l 的方程为 y＝ y ∴l 的方程为 y＝3x，即 2x－3y＝0. 23 3 ∴l 的方程为 y＝ x，即 2x－3y＝0. x y 3 的方程为x＋y ＝1， x y 若 a≠0，则设 l 的方程为a ＋a ＝1， 若 a≠0，则设 l 若 a≠0，则设 l 的方程为 a＋ a＝1， x ay a 3 2 若 a≠0，则设 l 的方程为 ＋ ＝1， 3 2 a a 3 ＋2 ＝1，∴a＝5， ∵l 过点(3,2)，∴a＋a＝1，∴a＝5， ∵l 过点(3,2)，∴a a ∵l 过点(3,2)，∴a＋a＝1，∴a＝5， x 3 2 ∵l 过点(3,2)，∴ ＋ ＝1，∴a＝5， ∴l 的方程为 x＋y－5＝0， a a ∴l 的方程为 x＋y－5＝0， ∴l 的方程为 x＋y－5＝0， 综上可知,直线 l 的方程为 2x－3y＝0 或 x＋y－5＝0. 综上可知,直线 l 的方程为 ∴l 的方程为 x＋y－5＝0， 2x－3y＝0 或 x＋y－5＝0. 综上可知,直线 l 的方程为 2x－3y＝0 或 x＋y－5＝0.
( A1 x B1 y C1 ) ( A2 x B2 y C2 ) 0
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基础自测
题号 答案
1 2
45或135
1
4
3 4 5
x y 1 0 或 4x 3 y 0
D
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【例 1】已知直线 l 过点 P(－1, 2),且与以 A(－2,－3), B(3, 0) 为端点的线段相交, 求直线 l 的斜率的取值范围. 2－－3 2－－3 2－－3 解:方法一如图所示,直线 PA 的斜率 kPA＝ 2－－3 ＝5, 解:方法一如图所示,直线 PA 的斜率 kPA＝ －1－－2＝5, 解:方法一 如图所示,直线 PA 的斜率 k ＝－1－－2＝5, 解:方法一如图所示,直线 PA 的斜率 kPAPA＝－1－－2＝5, －1－－2 0－2 1 0－2 1 直线 PB 的斜率 kPB＝ 0－2 ＝－ 1 0－2 直线 PB 的斜率 kPB＝ 3－－1＝－1.. 2 直线 PB 的斜率 kPB＝ 3－－1 ＝－2. . 的斜率 kPB＝3－－1＝－22 3－－1 当直线 l 绕着点P由PA旋转到与 y y 轴平行的位置 PC 时， 当直线 绕着点 P 由 PA 旋转到与 当直线 ll 绕着点 P 由 PA 旋转到与 y 轴平行的位置 PC 时， 当直线 l 绕着点 P 由 PA 旋转到与 轴平行的位置 PC 时， 当直线 l 绕着点 P 由 PA 旋转到与 yy轴平行的位置 PC 时， 轴平行的位置PC 时， 它的斜率变化范围是[5,＋∞)； 它的斜率变化范围是[5,＋∞)； 它的斜率变化范围是[5,＋∞)； 它的斜率变化范围是[5,＋∞)； 当直线 绕着点 P 由 PC 旋转到 PB 的位置时， 当直线 ll 绕着点 P 由 PC 旋转到 PB 的位置时， 当直线 l 绕着点 P 由 PC 旋转到 PB 的位置时， 当直线 l 绕着点 P 由 PC 旋转到 PB 的位置时， 1 它的斜率的变化范围是((,,, 1 ]] .. 1 ]. 1 它的斜率的变化范围是 ( 它的斜率的变化范围是 2 它的斜率的变化范围是 (, 2 ] . 2