北师大版高中数学必修四第三章两角和与差的正弦、正切公式一学案
高中数学 第三课时 3.1.2 两角和与差的正弦教案 北师大版必修4
学生练习
学生看书
培养学生的分析能力和运算推理能力
归纳小结
作业
本节所学知识：Sin(α±β)公式的推导及Sin(α±β)的应用。
P132/A 4，B 1，3
师生一起总结
培养学生的归纳整理的学习习惯
五、教学反思：
例：求证：
Sin(α+β)=SinαCosβ+Cosα－β)=SinαCosβ－CosαSinβ
分析：等式两边的特征？
如何由左→右把α+β的正弦化成α、β的正、余弦？联系所学知识，已学过的哪一个公式可把α+β的三角函数化成α、β的函数形式？（学生回答）故需要把（α+β）的正弦化成与α+β的相关的余弦形式即可。
三、教学方法：温故、推新，循序渐进，以学生为主体逐步掌握本节知识要点
四、教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
复习：⑴Cos(α β)=？
⑵Sin(π/2－α)=?
⑶任意角三角函数的定义：
若p(x，y)︱op︱=r
则Sinα=? Cosα=?
学生回答
为证明Sin(α β)作好准备。
公式推导及理解
解：（略）
注：凡形如的相关问题，一般提出 去处理。
练习：(1)求y=Sinx＋Cosx的最值和周期
(2)p138例5
问题：求点p’(x’，y’)的坐标必须知怎样的条件？
由所给点P的坐标可知哪些结论？
师生共同完成解答过程
若把向量 =(3，4)改为 =(x，y)，结论变吗？再把45°改为θ，对结论有影响吗？
问：Sin(α+β)应化成哪个角的余弦形式？
高中数学学案 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式第1课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)1.两角和的余弦公式cos(α＋β)＝cos_αcos _β－sin_αsin _β,简记为C (α＋β),使用的条件为α,β为任意角． 2．两角和与差的正弦公式名称 简记符号 公式 使用条件 两角和 的正弦 S (α＋β)sin(α＋β)＝sin_αcos _β＋cos_αsin _βα,β∈R两角差 的正弦S (α－β) sin(α－β)＝sin_αcos _β－cos_αsin _βα,β∈R状元随笔 公式的记忆方法 (1)理顺公式间的联系．C (α＋β)――→以－β代βC (α－β)――→诱导公式S (α－β)――→以－β代βS (α＋β) (2)注意公式的结构特征和符号规律．对于公式C (α－β),C (α＋β),可记为“同名相乘,符号反”． 对于公式S (α－β),S (α＋β),可记为“异名相乘,符号同”． 公式逆用：sinαcosβ＋cosαsinβ＝sin(α＋β), sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β), cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β), cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(α＋β)． [小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的．( ) (2)存在α,β∈R ,使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( ) (3)对于任意的α,β∈R ,sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( ) (4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√2．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°等于( ) A ．0 B.12C.32D ．1 解析：sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105° ＝sin 15°cos75°＋cos 15°sin 75° ＝sin(15°＋75°)＝sin 90°＝1. 答案：D3．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,若sin α＝35,则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.75B.15 C ．－75 D ．－15解析：易得cos α＝45,则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αco s π4－sin αsi n π4＝15.答案：B4．计算sin 7π12＝________.解析：sin 7π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝sin π3cos π4＋cos π3sin π4＝32×22＋12×22＝6＋24. 答案：6＋24类型一 给角求值例1 求值：(1)cos 105°；(2)cos 31°＋cos 91°sin 29°.【解析】 (1)cos 105°＝cos(60°＋45°)＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45° ＝12×22－32×22＝2－64. (2)cos 31°＋cos 91°sin 29°＝cos 31°＋cos (60°＋31°)sin 29°＝cos 31°＋cos 60°cos 31°－sin 60°sin 31°sin 29°又因为π2<β<π,所以β＝2π3.对比例题β的范围更改则α＋β的范围更改,再由sin(α＋β)求cos(α＋β)最后利用sinβ＝sin[(α＋β)－α]公式求值．3.1.2[基础巩固](25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分) 1．sin 105°的值为( ) A.3＋22 B.2＋12 C.6－24 D.2＋64解析：sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝22×12＋22×32＝2＋64. 答案：D2．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32C ．－12 D.12解析：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝12.答案：D3．若cos α＝－45,α是第三象限的角,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A ．－7210 B.7210C ．－210 D.210解析：因为cos α＝－45,α是第三象限的角,所以sin α＝－35,由两角和的正弦公式可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4。
数学示范教案：第三章第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第三课时)
第三章第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式第三课时导入新课思路1。
(复习导入)让学生回忆上节课所学的六个公式，并回忆公式的来龙去脉，然后让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯．教师引导学生回顾比较各公式的结构特征，说出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的深刻理解．这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用．思路2。
（问题导入)教师可打出幻灯,出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答．1．化简下列各式：（1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β；（2）错误!－错误!－sin x －cos x ；（3）sin α＋βsin α－βsin 2αcos 2β＋错误!。
答案：（1）cos α；（2）0；（3）1。
2．证明下列各式:（1）sin α＋βcos α－β＝错误!； (2）tan(α＋β)tan(α－β)（1－tan 2αtan 2β)＝tan 2α－tan 2β；(3）错误!－2cos(α＋β）＝错误!.答案：证明略．教师根据学生的解答情况进行一一点拨，并对上节课所学的六个公式进行回顾复习,由此展开新课．推进新课错误!错误!①请同学们回忆这一段时间我们一起所学的和、差角公式。
②请同学们回顾两角和与差公式的区别与联系,可从推导体系中思考.活动：待学生稍做回顾后，教师打出幻灯，出示和与差角公式，让学生进一步在直观上发现它们内在的区别与联系，理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用,更要体会由特殊到一般的数学思想方法．教师引导学生观察，当α、β中有一个角为90°时，公式就变成诱导公式，所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例．在应用公式时,还要注意角的相对性，如α＝（α＋β)－β，错误!＝(α－错误!)－(错误!－β)等．让学生在整个的数学体系中学会数学知识，学会数学方法,更重要的是学会发现问题的方法，以及善于发现规律及其内在联系的良好习惯，提高数学素养．sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ〔S（α±β）〕;cos(α±β）＝cosαcosβ∓sinαsinβ〔C(α±β)〕；tan（α±β)＝错误!〔T（α±β)〕．讨论结果：略．错误!思路1例1利用和差角公式计算下列各式的值．（1)sin72°cos42°－cos72°sin42°;（2)cos20°cos70°－sin20°sin70°；(3)错误!。
高中数学北师大版必修四3.2.3【教学设计】《两角和与差的正切函数》
两角和与差的正切函数》教材通过类比正、余弦函数的定义的推导得出正切函数的定义，锻炼学生类比推理的的能力。
【知识与能力目标】理解并掌握正切函数的定义。
【过程与方法目标】类比正、余弦函数的定义得出正切函数的定义。
【情感态度价值观目标】通过正切函数定义的过程，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神。
【教学重点】理解并掌握正切函数的定义。
【教学难点】理解并掌握正切函数的定义。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、探究新知。
和角与差角正切公式的应用()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-⋅()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+⋅和角与差角正切变形公式的应用二、 例题解析。
例题1、不查表求值1tan105（）2tan 75（）3tan15（）1221tan ,tan(),tan(2).25ααβαβ=-=--例题、（）已知求 ()44tan ,tan(),tan 2.55αβαβα+=-=-（2）已知求 ()21tan ,tan(),tan().5444ππαββα+=-=+（3）已知求 ()2αβααβ-=+-解：（1）()tan(2)tan ()αβααβ∴-=+-tan tan()1tan tan()ααβααβ+-=-⋅- 12()25121()25+-=-⋅- 112= ()()2ααβαβ=++-（2）()t a n 2t a n ()()ααβαβ∴=++- tan()tan()01tan()tan()αβαβαβαβ++-==-+⋅- ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+⋅-⋅()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-⋅+⋅1tan105（）tan(6045)=+tan 60tan 451tan 60tan 45+=-⋅=2=-2tan 75（）tan(4530)2=+=3tan15（）tan(4530)2=-=。
(北师大版)高中数学必修四：3.2《两角和与差的正弦、余弦函数》教案设计
两角和与差的正弦、余弦函数一.教学目标1.知识与技能：（1）能够推导两角差的余弦公式；（2）能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式；（3）能够运用两角和的正、余弦公式进行化简、求值、证明；（4）揭示知识背景，引发学生学习兴趣；（5）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.2.过程与方法：通过创设情境：通过向量的手段证明两角差的余弦公式，让学生进一步体会向量作为一种有效手段的同时掌握两角差的余弦函数，然后通过诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式；讲解例题，总结方法，巩固练习.3.情感态度价值观：通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力.二.教学重、难点 ：重点: 公式的应用.难点: 两角差的余弦公式的推导.三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式.(2)探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.(3)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学过程（一）、复习：1、写出两角和与差的余弦公式，说说它是如何推导的。
2、写出两角和与差的正弦公式，说说它是如何推导的。
3、说说公式结构的特征。
（二）、例题解析：例1、利用和（差）角公式计算下列各式的值（1）sin 72cos 42cos72sin 42-；（2）cos 20cos70sin 20sin 70-；解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.（1）()1sin 72cos 42cos 72sin 42sin 7242sin 302-=-==； （2）()cos 20cos 70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==；例2、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===，，于是有 43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin 44455πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例3、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===-又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===- 所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.例4x x解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？)()1cos sin 30cos cos30sin 22sin 302x x x x x x x ⎫==-=-⎪⎪⎭思考：=，我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于12的. （三）、小结： 本节我们学习了两角和与差正弦、余弦公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.（四）作业： 习题3-2 A 组第2,3题．五、课后反思：。
高中数学必修四导学案-两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3. 1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教材分析本节的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，为了引起学生学习本章的兴趣，理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲。
二、教学目标⒈掌握两角和与差公式的推导过程；⒉培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力；⒊发展学生的正、逆向思维能力，构建良好的思维品质。
三、教学重点难点重点：两角和与差公式的应用和旋转变换公式；难点：两角和与差公式变aSina ＋bCosa 为一个角的三角函数的形式。
四、学情分析五、教学方法1．温故、推新，循序渐进，以学生为主体逐步掌握本节知识要点2．学案导学：见后面的学案。
3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备多媒体课件七、课时安排：1课时八、教学过程（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+． 这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？ 提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+． ()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦ 让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-． 通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-． 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈ 以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+ 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈． （二）例题讲解例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===， 3sin 35tan 4cos 45ααα-===- ， 于是有43sin sin cos cos sin 4442210πππαα⎛⎫⎛⎫-=-=--= ⎪ ⎝⎭⎝ 43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 两结果一样，我们能否用第一章知识证明？ 3tan tan 144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭ 例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、s i n 72c o s 42c o s 72s i n 42-；（2）、c o s 20c o s 70s i n 20s i n 70-；（3）、1t a n 151t a n 15+-． 解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象. （1）、()1s i n72c o s 42c o s 72s i n 42s i n7242s i n 302-=-==； （2）、()co s 20c o s 70s i n 20s i n 70c o s 2070c o s 900-=+==； （3）、()1t a n 15t a n 45t a n 15t a n 4515t a n 6031t a n 151t a n 45t a n 15++==+==--．例3x x解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？)()1cos 30cos cos30sin 22sin 302x x x x x -=-=-思考：余弦分别等于2和2的. （三）反思总结，当堂检测。
高中数学北师大版必修4第3章2两角和与差的的正切函数w
陕西省榆林育才中学高中数学 第3章《三角恒等变形》2两角和与差的的正切函数导学案 北师大版必修4【学习目标】1．能按照两角和与差的正弦、余弦公式得出两角和与差的正切公式，提升转化能力与分析问题的能力．2．能熟练应用公式解决简单的三角函数式的化简、求值问题. 【重点难点】重点：两角和与差的正切公式的推导及应用． 难点：公式的变形及“1”的灵活利用．【利用说明】认真阅读讲义P118～120，尝试利用两角和与差的正弦及余弦公式推导两角和与差的正切公式，并注意公式成立的条件，勾画出有疑惑的地方与同窗交流探讨，最后结合讲义基础知识和例题，完成导学案．【自主学习】1．知识链接（1）在同角三角函数大体关系中，tan _______,α=其中角α的范围是 ．（2）两角和与差的正弦、余弦公式（其中α，β为任意角）：①=+)cos(βα_________________； ②=-)cos(βα__________________； ③=+)sin(βα ； ④=-)sin(βα___________________；2．公式推导 当cos()0αβαβαβ+++≠时，将S 与C 两边分别相除，就有sin cos cos sin ().()a βαβαβ++===tan (T αβ+) 在上式中,以-β替换β,就取得 (-)αβ=tan .(T αβ-) 其中,αβ应该知足条件：___________________________________________.3．公式变形：【合作探讨】1．已知.2,20,2tan ,31tan πβππαβα<<<<-== （1）求tan()αβ-； （2）求βα+的值．2．求下列各式的值：（1） 75tan 175tan 1+-； （2）︒︒︒+︒+︒40tan 20tan 120tan 40tan 20tan .3．已知tan()2,tan()3,αβαβ+=--=-求tan 2,tan 2.αβ的值【课堂检测】1．求值：（1）17tan 43tan 117tan 43tan -+ ； （2）.50tan 10tan 3)50tan 10(tan ⋅++2．已知1tan()2,tan .42παβ+== （1）求tan α的值； （2）求sin()2sin cos .2sin sin cos()αβαβαβαβ+-++的值【课后训练】。
2018版高中数学北师大版必修四学案：第三章 2.2 两角和与差的正弦、余弦函数
2.2 两角和与差的正弦、余弦函数学习目标 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式的过程.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．知识点一 两角和的余弦思考 如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？梳理 两角和的余弦公式公式cos(α＋β)＝________________简记符号使用条件α，β都是________记忆口决：“余余正正，符号相反”知识点二 两角和与差的正弦思考1 如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？思考2 怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？梳理 两角和与差的正弦公式内容两角和的正弦两角差的正弦简记符号S(α＋β)S(α－β)公式形式sin(α＋β)＝___________________sin (α－β)＝__________________记忆口诀：“正余余正，符号相同”．类型一 给角求值例1 (1)＝________.sin 50°－sin 20°cos 30°cos 20°(2)化简求值：sin(x ＋27°)cos(18°－x )－sin(63°－x )·sin(x －18°)．反思与感悟 (1)解答此类题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式．(2)解题时应注意观察各角之间的关系，恰当运用拆角、拼角技巧，以达到正负抵消或可以约分的目的，从而使问题得解．跟踪训练1 计算：(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；(2)sin(54°－x )cos(36°＋x )＋cos(54°－x )sin(36°＋x )．类型二 给值求值例2 已知sin ＝，cos ＝，且0<α<<β<，求cos(α＋β)的值．(3π4＋α)513(π4－β)35π43π4反思与感悟 (1)给值(式)求值的策略①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解．跟踪训练2 已知<β<α<，cos(α－β)＝，π23π41213sin(α＋β)＝－，求cos 2α与cos 2β的值．35类型三 可化为两角和与差的正弦形式例3 将下列各式写成A sin(ωx ＋φ)的形式：(1)sin x －cos x ；3(2)sin(－x )＋cos(－x )．24π464π4反思与感悟 一般地对于a sin α＋b cos α形式的代数式，可以提取，化为a 2＋b 2A sin(ωx ＋φ)的形式，公式a sin α＋b cos α＝sin(α＋φ)(或a sin α＋b cos a 2＋b 2α＝cos(α－φ))称为辅助角公式．利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值．a 2＋b 2跟踪训练3 sin －cos ＝________.π123π121．计算cos ＋sin 的值是( )2π126π12A. B ．2 C ．2 D.22222．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( )A ．－ B. C ．－ D.323212123．已知锐角α、β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝________.25510104．设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(α－)＝________.π635π125．化简：sin cos －cos ·(π4－3x )(π3－3x )(π6＋3x )sin .(π4＋3x )1．公式的推导和记忆(1)理顺公式间的逻辑关系C (α－β)C (α＋β)S (α＋β) S (α－β)．―――――――→以－β代换β ―――――――→诱导公式 ―――――――→以－β代换β (2)注意公式的结构特征和符号规律对于公式C (α－β)，C (α＋β)可记为“同名相乘，符号反”；对于公式S (α－β)，S (α＋β)可记为“异名相乘，符号同”．(3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式C (α－β)，C (α＋β)，S (α－β)，且公式sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，角α，β的“地位”不同也要特别注意．2．应用公式需注意的三点(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式．(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式．(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin 2α＋cos 2α，1＝sin 90°，＝cos 60°，＝sin 60°等，1232再如：0，，，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数．122232答案精析问题导学知识点一思考 用－β代换cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中的β便可得到．梳理 cos αcos β－sin αsin β C (α＋β)任意角知识点二思考1 sin(α＋β)＝cos ＝cos ＝cos cos β＋sin sin β＝sin[π2－(α＋β)][(π2－α)－β](π2－α)(π2－α)αcos β＋cos αsin β.思考2 用－β代换β，即可得sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.梳理 sin αcos β＋cos αsin βsin αcos β－cos αsin β题型探究例1 (1) (2)1222跟踪训练1 解 (1)原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝.12(2)原式＝sin[(54°－x )＋(36°＋x )]＝sin 90°＝1.例2 解 ∵0<α<<β<，π43π4∴<＋α<π，－<－β<0.3π43π4π2π4又∵sin ＝，(3π4＋α)513cos ＝，(π4－β)35∴cos ＝－，(3π4＋α)1213sin ＝－.(π4－β)45∴cos(α＋β)＝sin[π2＋(α＋β)]＝sin[(3π4＋α)－(π4－β)]＝sin cos －cos ·(3π4＋α)(π4－β)(3π4＋α)sin(π4－β)＝×－×51335(－1213)(－45)＝－.3365跟踪训练2 解 ∵<β<α<，π23π4∴0<α－β<，π<α＋β<.π43π2∴sin(α－β)＝1－cos2(α－β)＝ ＝，1－(1213)2513cos(α＋β)＝－1－sin2(α＋β)＝－ ＝－.1－(－35)245∴cos 2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝－×－×＝－，451213(－35)5133365cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝－×＋×＝－.451213(－35)5136365例3 解 (1)sin x －cos x 3＝2(sin x －cos x )3212＝2(cos sin x －sin cos x )π6π6＝2sin(x －)．π6(2)原式＝[sin(－x )＋cos(－x )]2212π432π4＝[sin sin(－x )＋cos cos(－x )]22π6π4π6π4＝cos(－x －)＝cos(－x )22π4π622π12＝sin(x ＋)．225π12跟踪训练3 －2当堂训练1．B 2.D 3. 4. 5.3π42102－64。
北师大版高中数学必修四第三章2.2两角和与差的三角函数教案
精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
北师大版高中数学必修四两角和与差的正弦教案
教学目标：通过练习掌握两角和的正弦公式的应用教学重点：通过练习掌握两角和的正弦公式的应用教学过程1 在△ABC 中，已知cosA =135，cosB =54，则cosC 的值为（ A ） （A ）6516 （B ）6556 （C ）65566516或 （D ）6516- 解：因为C = π - (A + B)， 所以cosC = - cos(A + B)又因为A,B ∈(0, π), 所以sinA =1312, sinB =53, 所以cosC = - cos(A + B) = sinAsinB - cosAcosB =651654135531312=⨯-⨯ 2已知434παπ<<，40πβ<<，53)4cos(-=+απ，135)43sin(=+βπ， 求sin(α + β)的值解：∵434παπ<< ∴παππ<+<42 又53)4cos(-=+απ ∴54)4sin(=+απ ∵40πβ<< ∴πβππ<+<4343 又135)43sin(=+βπ ∴1312)43cos(-=+βπ ∴sin(α + β) = -sin[π + (α+ β)] = )]43()4sin[(βπαπ+++- )]43sin()4cos()43cos()4[sin(βπαπβπαπ+++++-= 6563]13553)1312(54[=⨯--⨯-= 3已知sin α + sin β = 22，求cos α + cos β的范围 解：设cos α + cos β = t ， 则(sin α + sin β)2 + (cos α + cos β)2=21+ t 2∴2 + 2cos (α - β) = 21+ t 2 即 cos(α - β) = 21t 2 -43 又∵-1≤cos(α - β)≤1 ∴-1≤21t 2 -43≤1 ∴214-≤t ≤214 4已知sin(α+β) =21，sin(α-β) =101，求βαtan tan 的值 解：由题设：⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+51sin cos 103cos sin 101sin cos cos sin 21sin cos cos sin βαβαβαβαβαβα 从而：235103sin cos cos sin tan tan =⨯==βαβαβα 或设：x =βαtan tan ∵5)sin()sin(=-+βαβα ∴5111tan tan 1tan tan tan tan tan tan cos cos )sin(cos cos )sin(=-+=-+=-+=-+x x βαβαβαβαβαβαβαβα ∴x =23 即βαtan tan =23 5．求证：cosx+sinx=2cos(x 4π-) 证：左边= 2(22cosx+22sinx)=2( cosxcos 4π+sinxsin 4π) =2cos(x 4π-)=右边又证：右边=2( cosxcos 4π+sinxsin 4π)=2(22cosx+22sinx)课堂练习：第147页练习A、B 课后作业：略。
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两角和与差的正弦、正切公式（一）
学习目标
1、利用余弦公式推出两角和、差正弦、余弦和正切公式
2、记住，并会用两角和、差正弦、余弦和正切公式
学习重点难点
重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；
难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用
知识链接
1、诱导公式
cos()_________α-= sin()_________α-=
sin()cos_________αβ+= sin()cos_________αβ-=
tan()_________αβ+= tan()_________αβ-=
2、cos()αβ-=__________________________________________________
探索：
cos()αβ-=
sin()αβ+=
sin()αβ-=
tan()αβ+=
tan()αβ-=
拓展提升与巩固练习
1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.
2、已知()21tan ,tan ,544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的值．
3、利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（1）、sin 72cos 42cos72sin 42- （2）、cos 20cos70sin 20sin 70- （3）、1tan151tan15
+-．
知识归纳总结
当堂检测P131练习。