机械优化设计试题及答案

计算题
1．试用牛顿法求()221285f X x x =+的最优解，设()[]01010T
X =。

初始点为()[]01010T
X =，则初始点处的函数值和梯度分别为
()()0120
121700164200410140f X x x f X x x =+⎡⎤⎡⎤∇==⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦
，沿梯度方向进行一维搜索，有
()010000010200102001014010140X X f X αααα-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∇=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
0α为一维搜索最佳步长，应满足极值必要条件
()
()[]
()()()(){
}
()
αϕαααααα
αα
min 14010514010200104200108min min 2
0002
00
01=-⨯+-⨯-⨯+-⨯=∇-=X f X f X f
()001060000596000ϕαα'=-=， 从而算出一维搜索最佳步长 059600
0.05622641060000
α=
=
则第一次迭代设计点位置和函数值01010200 1.245283010140 2.1283019X αα--⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦
⎣⎦ ()124.4528302f X =，从而完成第一次迭代。

按上面的过程依次进行下去，便可
求得最优解。

2、试用黄金分割法求函数()20
f ααα
=+
的极小点和极小值，设搜索区间
[][],0.2,1a b =（迭代一次即可）
解：显然此时，搜索区间[][],0.2,1a b =，首先插入两点12αα和，由式 ()1()10.61810.20.5056b b a αλ=--=--= ()2()0.20.61810.20.6944a b a αλ=+-=+⨯-=
计算相应插入点的函数值()()4962.29,0626.4021==ααf f 。

因为()()12f f αα>。

所以消去区间[]1,a α，得到新的搜索区间[]1,b α， 即[][][]1,,0.5056,1b a b α==。

第一次迭代：
插入点10.6944α=， 20.50560.618(10.5056)0.8111α=+-=
相应插入点的函数值()()1229.4962,25.4690f f αα==，
由于()()12f f αα>，故消去所以消去区间[]1,a α，得到新的搜索区间[]1,b α，
则形成新的搜索区间[][][]1,6944.0,,1==b a b α。

至此完成第一次迭代，继续重复迭代过程，最终可得到极小点。

3．用牛顿法求目标函数()22
121625f X x x =++5的极小点，设()[]022T
X =。

解：由 ()
[]022T X =，则()11022326450100f x x f X x f x ∂⎢⎥
⎢⎥∂⎡⎤⎡⎤
⎢⎥∇===⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦
⎣⎦⎢⎥∂⎣⎦
()222
1
122022221
2320050f f x x x f X f f x x x ⎢⎥
∂∂⎢⎥∂∂∂⎡⎤
⎢⎥∇==⎢⎥
⎢⎥∂∂⎣⎦⎢
⎥∂∂∂⎣⎦
，其逆矩阵为
()1
2010321050f X -⎡⎤⎢⎥⎡⎤∇=⎢⎥⎣⎦
⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
因此可得：()()1102001
02640322110000
50X X f X f X -⎡⎤
⎢⎥
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∇∇=-=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦
()15f X =，从而经过一次迭代即求得极小点[]00T
X *=，()5f X *=
4.下表是用黄金分割法求目标函数 ()20
f ααα=+的极小值的计算过程，请完成
下表。

5、 求二元函数f(x 1,x 2)=x 12+x 22-4x 1-2x 2+5在x 0=[0 0]T 处函数变化率最大的方向和数值？ 解：由于函数变化率最大的方向是梯度方向，这里用单位向量P 表示函数变化率最大和数值是梯度的模II )(0x f ∇II 。

求f(x 1,x 2)在0x 点处的梯度方向和数值，计算如下：
)(0x f ∇=0
21x x f x f ⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂=0224221
x x x ⎥⎦⎤⎢
⎣⎡--=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--24 II )(0x f ∇II =22
21)()(
x f
x f ∂∂+∂∂=52)2()4(22=-+- P=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡-
-=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡--=∇∇51525224)()(00x f x f 在21x x -平面上画出函数等值线和0x （0,0）点处的梯度方向P ，如图2-1所示。

从图中可以看出，在0x 点函数变化率最大的方向P 即为等值线的法线方向，也就是同心圆的半径方向。

6、 用共轭梯度法求二次函数f(x 1,x 2)=x 12+2x 22-4x 1-2 x 1x 2 的极小点及极小值？ 解： 取初始点 x 0 []T
11=
则 g 0=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢
⎣
⎡---=∇2424422)(012210
x x x x x x f
取 d 0=-g 0=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-24 沿d 0方向进行一维搜索，得
x 1=x 0+
αd 0=
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡00021412411ααα 其中的0α为最佳步长，可通过f （x 1）=0)(),(min 01
1='αϕαϕα
求得 0α=
4
1
则 x 1 = ⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡00
021412411ααα=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡212 为建立第二个共轭方向d 1，需计算 x 1 点处的梯度及系数0β值，得
g 1=∇f （x 1）=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢
⎣
⎡---212442211221x x x x x
4
1
2052
210==
=
g g β 从而求得第二个共轭方向
d 1=-g 1+0βd 0=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡2322441
21
再沿d 1进行一维搜索，得
x 2=x 1+1αd 1=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡111232122232212ααα
其中的1α为最佳步长，通过f （x 2）=0)(),(min 12
2='αϕαϕα
求得
1α=1
则 x 2
= ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡111232122232212ααα=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡24
计算 x 2点处的梯度
g 2=∇f （x 2）=0002442221221=⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡---x x x x x 说明x 2点满足极值必要条件，再根据x 2点的海赛矩阵
G (x 2)=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣⎡--4222 是正定的，可知x 2满足极值充分必要条件。

故x 2为极小点，即
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡==242*x x
而函数极小值为8)(*
-=x f 。

7、求约束优化问题
Minf(x)=(x 1-2)2+(x 2-1)2 s.t. h(x)=x 1+2x 2-2=0 的最优解？
解： 该问题的约束最优解为[]8.0)(,2.06
.1**
==x f x T。

由图4-1a 可知，约束最优点*x 为目标函数等值线与等式约束函数（直线）的切点。

用间接解法求解时，可取2μ=0.8，转换后的新目标函数为
)22(8.0)1()2(),(2122212-++-+-=x x x x x μφ
可以用解析法求min ),(2μφx ，即令0=∇φ，得到方程组
08.0)2(211
=+-=∂∂x x φ
06.1)1(222
=+-=∂∂x x φ
解此方程组，求得的无约束最优解为：[]8.0),(,2.06
.12**
==μφx x T
其结果和原约束最
优解相同。

图4-1b表示出最优点*x为新目标函数等值线族的中心。

图4-1
a）目标函数等值线和约束函数关系b）新目标函数等值线。