关于函数与导数综合几种常见题型分析论文

关于函数与导数综合的几种常见题型分析

通过对导数综合题的复习，使学生了解高考中函数大题的一些常规题型,使学生掌握关于导数、函数综合题的相关题型的解法,使学生明确导数在解决函数综合题解答中的重要作用，让学生引起重视。通过各类题型的集中讲解、训练、反复巩固，让学生增强自信心。注重各类涉及导数题型的特点介绍,把握各种题型的常规解法,强调导数方法的应用。在教学中,可以先做后讲，做做议议，讲练结合，先展示每一类题型的例子部分，让学生思考，做一做，然后教师提问，重点从方法上提问。然后，师生共同归纳出解法，展示解答过程，反思小结出方法，让学生体会，然后出示对应的练习让学生做，学生做后相互交流，最后教师提问和公布答案。这里主要从导数在高考大题中涉及的题型分析，从而对综合题的解答方法得到较为熟练的掌握，以致在高考中取得较为满意的效果。以下我们来集中介绍几类常见的题型，以供大家分享。

题型一：利用导数求函数的单调区间和极值

例：已知函数f(x)=x2(x-a)，若f(x)在（2，3）上单调，求实数a的取值范围。

解：由f′(x)=x2－ax2得

f′(x)=3x2－2ax=3x（x- a）

由f′(x)=0得x=0或x= a

1、当a=0时，f(x)在（2，3）上为增函数。

2、当 a≥3时，即a≥时，f(x)在（2，3）上为减函数。

3、当 a≤2时，即a≤3时，f(x)在（2，3）上为增函数。

综上f(x)在（2，3）上单调时，实数a的取值范围是（-∞，3〕∪[ ，＋∞）

练习：

已知函数y=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，且其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行，求函数的单调区间和极值。

[答案：单调递增区间为（-∞，0），（2，+∞）；单调递减区间为（0，2），函数在x=0时取得极大值c，在x=2时取得极小值c-4]。题型二：利用导数解决交点问题和求系数范围。

例：已知x=3是函数f(x)=alnx+x2-10x的一个极值点。

（1）求a的值。

（2）若直线y=b与函数f(x)的图象有3个交点，求b的取值范围。

解：（1）∵f′(x)= +2x-10（x＞0）

由f′(3)=0得a=12

（2）由（1）得：f′(x)＞0得x＞3或x＜2

即f(x)在（0，2）、（3，+∞）上都为增函数，在（2，3）上为减函数。

∴f(x)的极大值是f(2)=12ln2-16，f(x)的极小值为

f(3)=12ln3-21

∴当b∈（12ln3-21，12ln2-16）时，有3个交点。

练习：

若函数f(x)= x3- ax2+（a-1）x+1在区间（1，4）上为减函数，在区间（6 ，+∞）上为增函数，试求实数a的数值范围。

（答案[5，7]）

题型三：利用导数证明不等式

例：设函数f(x)=x+ax2+blnx，曲线y=f(x)过p（1，0），且在p 点处的切线斜率为2。

证明：f(x)≤2x-2

证明：由f′(x)=1+2ax+

由已知得f(1)=0且f′(1)=2

∴a=-1，b=3

∴f(x)=x-x3+3lnx(x＞0)

设g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x2+3lnx

∴g′(x)=-

∴当0＜x＜1时，g′(x)＞0，当x＞1时，g′(x)＜0。

∴g(x)在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减。

而g(1)=0，故当x＞0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x-2

∴原结论成立。

练习：

设a为实数，函数f(x)=ex-2x+2a，x∈r

（1）求f(x)的单调区间和极小值

（2）求证：当a＞ln2-1且x＞0时，ex＞x2-2a+1

[答案：（1）f(x)的单调递减区间为（-∞，ln2），单调递增区间

为（ln2,+∞），f(x)在x=ln2处取得极小值，f（ln2）=2（1-ln2+a）] 这里介绍了三类题型，其中利用函数的导数来判定函数的单调性是关键。把握各类题型的方法，同时要注意题型一中的讨论，题型二中的定义域和数形结合思想，题型三中的不等式与函数的转化方法等。对于以上题型，要认真体会研究，举一反三，复习中反复训练，以达到灵活运用的目的，从而在高考中尽量在函数综合大题中增分。