三角函数图像的变换PPT优秀课件
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2024年度高中数学必修四三角函数PPT课件
建筑设计
在建筑设计中，利用三角函数计算建筑物的角度、高度和距离等 参数，确保设计的准确性和美观性。
机械设计
在机械设计中，三角函数用于计算齿轮、轴承等机械元件的尺寸和 角度，保证机械传动的精确性和稳定性。
航空航天工程
在航空航天工程中，利用三角函数分析飞行器的姿态、航向和速度 等参数，确保飞行安全。
21
2024/3/24
32
THANKS
感谢观看
2024/3/24
33
周期性、奇偶性、单调性等
解三角形
正弦定理、余弦定理及应用
29
常见题型解析及技巧点拨
01
三角函数求值问题：利 用同角关系式、诱导公 式等求解
2024/3/24
02
三角函数的图像与性质 应用：判断单调性、周 期性等
03
04
三角恒等变换的应用： 证明等式、化简表达式 等
30
解三角形问题：利用正 弦定理、余弦定理求解 边或角
易错知识点剖析及防范措施
混淆三角函数定义域和值域
注意定义域和值域的区别，避免混淆
忽视三角函数的周期性
在解题时要考虑周期性，避免漏解或 多解
2024/3/24
错误使用三角恒等变换公式
注意公式的适用条件和变形方式，避 免误用
忽视解三角形的限制条件
在解三角形时要注意边和角的限制条 件，避免得出不符合题意的解
第三象限
正弦、余弦均为负、正切为正 。
第四象限
正弦为负、余弦为正、正切为 负。
2024/3/24
7
02 三角函数诱导公 式与变换
2024/3/24
8
诱导公式及其应用
2024/3/24
诱导公式的基本形式
5.5 三角恒等变换 课件(21张PPT)(2024年)
2
α是 的二倍角,
2是的二倍角，在倍角公式cos 2α=1－2sin2α中，利用换
元法，
用代替2，用
2
代替，得
cos α=1－2sin2
2
1－
2
=
2
2
新知探究
同理，在倍角公式cos
2
2α=2cos α－1中，用代替2，用
cos
2
α=2
2
−1
2
1+
(1)sin αcos β＝
2
(2)sin θ＋sin φ=2sin θ＋φcos θ－φ
2
2
思考1:(2)式与(1)式有什么相同点和不同点？
θ＋φ
θ－φ
(换元法)如果我们令α＝
，β＝
,
2
2
θ＋φ θ－φ
θ＋φ θ－φ
即α＋β＝
+
= ，α－β＝
=φ，代入(1)中得
2
2
2
2
θ＋φ
θ－φ
2sin
cos
＝sin θ＋sin φ
(＋)＋(－)
同理，我们还可以得到公式
cos αsin
cos αcos
1
β＝
2
1
β＝
2
(＋)－(－)
(＋)＋(－)
1
2
sin αsin β＝ (－)－(＋)
我们把以上四个公式叫做“积化和差公式”
例2、求证：
1
[sin(α＋β)＋sin(α－β)]
2
2
2
， 2 ，2 .
新知探究
例1、试以cos α表示2
三角函数图像变换ppt
分析 : ( 1 )由图意知,最大温度差为 30 10 20
( 2 )此图为y A sin( x ) b的图像,求出各个参数即可 .
图中从6时到 时是半个周期的图像 14
2 T 16 , 16 8
又由图意知A 30 10 30 10 10 ,b 20 2 2
与x轴两相邻交点之间的距离为:___________________; 2
π ⑥两相邻最大值之间的距离是:___________________;
最小值与相邻x轴交点之间的距离为:___________________。 4
例1、 已知函数y 2 sin x cosx 2 3 cos2 x 3 ,填空：
①振幅是: 频率是: 初相是: ② 定义域是:
2
1
周期是: 相位是:
π
2x 3
3
x k ( k Z ) 2 ③当x __________ 时 ； 12 _____ ,y max _______
［k
R
值域是: [-2，2]
7 ,k ］( k Z ) 12 12 ④ 递减区间是:_________________ k x (kZ) 12 2 ⑤图像的对称轴方程为:__________________; k （ ,0）（k Z） 图像的对称中心为:__________________; 6 2
（ 1） 当函数y取最大值时， 求自变量x的集合； （ 2） 该函数的图像可由 y sin x( x R )的图像经过怎样平移和 伸缩变换得到？ 1 3 2 解 : ( 1 )y cos x sin x cos x 1 2 2
1 cos 2x 1 3 sin 2x 1 2 2 4
( 2 )此图为y A sin( x ) b的图像,求出各个参数即可 .
图中从6时到 时是半个周期的图像 14
2 T 16 , 16 8
又由图意知A 30 10 30 10 10 ,b 20 2 2
与x轴两相邻交点之间的距离为:___________________; 2
π ⑥两相邻最大值之间的距离是:___________________;
最小值与相邻x轴交点之间的距离为:___________________。 4
例1、 已知函数y 2 sin x cosx 2 3 cos2 x 3 ,填空：
①振幅是: 频率是: 初相是: ② 定义域是:
2
1
周期是: 相位是:
π
2x 3
3
x k ( k Z ) 2 ③当x __________ 时 ； 12 _____ ,y max _______
［k
R
值域是: [-2，2]
7 ,k ］( k Z ) 12 12 ④ 递减区间是:_________________ k x (kZ) 12 2 ⑤图像的对称轴方程为:__________________; k （ ,0）（k Z） 图像的对称中心为:__________________; 6 2
（ 1） 当函数y取最大值时， 求自变量x的集合； （ 2） 该函数的图像可由 y sin x( x R )的图像经过怎样平移和 伸缩变换得到？ 1 3 2 解 : ( 1 )y cos x sin x cos x 1 2 2
1 cos 2x 1 3 sin 2x 1 2 2 4
高中数学三角函数图象的变换优秀课件
12
3
4
D
A y sin( x ) f x 3cos x 53
反思小结
逆向变换， “严格倒推〞
正向变换
先伸缩后平移
先平移后伸缩
横向的变换都 异名变换，异化同
是针对“x”而言
sin(x ) cosx 2
cos(x ) sin x
2
课堂提升
心中能有“图〞
下笔能作“图〞
以“不变〞应 “万变〞
三角函数图象与性质
专题复习
xx石室蜀都 教师：林欢
目录
课堂提升
课前检测
知识回忆
定义域
两域 值域
函数 四性
单调性 奇偶性 周期性
变换
三角函数
一图
对称性
y sin x, y cosx
整体思想
y Asin(x )
类比思想
课堂检测 反思小结
知目标函数 求初始函数
思 考 练 习
左 11
12
或 右
12
课堂小结
1 要有扎实的“图象变换〞根本知
识
2
“整体思想〞要扎根
3 面对“特殊变换〞有应对策略
作业
学案上的 课后作业
谢谢聆听
敬请批评指正
三角函数图像变换ppt
4 (C)向左平移 个长度单位 2
2.将函数 y sin 2 x 的图象向左平移 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析 式是
y sin x （ x R ）的图象上所有点向左平行移动 3 个单位长度，再把所得图象上所有点的 3、把函数
1 横坐标缩短到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得到的图象所表示的函数是
6
2
2
6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
四、诱导公式 我们可以根据图像的平移来确定诱导公式
•
sin（2kπ ＋α ）＝sinα （k∈Z） cos（2kπ ＋α ）＝cosα （k∈Z） sin（π ＋α ）＝－sinα cos（π ＋α ）＝－cosα sin（－α ）＝－sinα cos（－α ）＝cosα sin（π －α ）＝sinα cos（π －α ）＝－cosα
3
2 3
0, ，所以，当 k=1 时，φ 2
⑸ 综上，解析式为： y
3 sin(2 x
3
)
例5 : 图中曲线是函数y A sin( x )的图像的一部分 ， 求这个函数的解析式 。
Y 2
解析： 显然A 2
2 2 T
5 T 2( ) 6 3
4
4 (D)向右平移 个长度单位 2
(B)向右平移 个长度单位
2、如何根据“图像”求解析式
规律总结：
•
① A= 最大值-最小值 =最大值= 最小值
2
（其中，最高点到最低点的距离=最大值-最小值）
② W 和周期有关，周期表示为T= 2
w
（两个对称轴之间的距离= 2
③φ
2.将函数 y sin 2 x 的图象向左平移 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析 式是
y sin x （ x R ）的图象上所有点向左平行移动 3 个单位长度，再把所得图象上所有点的 3、把函数
1 横坐标缩短到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得到的图象所表示的函数是
6
2
2
6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
四、诱导公式 我们可以根据图像的平移来确定诱导公式
•
sin（2kπ ＋α ）＝sinα （k∈Z） cos（2kπ ＋α ）＝cosα （k∈Z） sin（π ＋α ）＝－sinα cos（π ＋α ）＝－cosα sin（－α ）＝－sinα cos（－α ）＝cosα sin（π －α ）＝sinα cos（π －α ）＝－cosα
3
2 3
0, ，所以，当 k=1 时，φ 2
⑸ 综上，解析式为： y
3 sin(2 x
3
)
例5 : 图中曲线是函数y A sin( x )的图像的一部分 ， 求这个函数的解析式 。
Y 2
解析： 显然A 2
2 2 T
5 T 2( ) 6 3
4
4 (D)向右平移 个长度单位 2
(B)向右平移 个长度单位
2、如何根据“图像”求解析式
规律总结：
•
① A= 最大值-最小值 =最大值= 最小值
2
（其中，最高点到最低点的距离=最大值-最小值）
② W 和周期有关，周期表示为T= 2
w
（两个对称轴之间的距离= 2
③φ
三角函数的图像变换省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
看作是把y sin(x )上所有点的纵坐标
伸长(当A 1时)或缩短(当0 A 1时) 到原来的A倍(横坐标不变)而得到.
A引起图象旳纵向伸缩，决定函 数旳最大（最小）值,我们把A 叫做振幅。
思索3: 怎么样由y sin x的图象得到y 2sin(2x )的图象？
3
1、 画出函数y sin x的图象;
1.5 y=Asin(ωx+φ)旳图像
新课引入
在物理中,简谐运动中单摆对平衡位置旳位移y与时间x旳关系：
新课引入
某次试验测得旳交流电旳电流y随时间x变化旳图象：
y
y
6
6
4 4
2
2
o2 4 6 8
-2
x
o 0.01 0.02 0.03 0.04
x
-2
-4
-4
-6
-6
将测得旳图像放大，能够看出它和正弦曲线很相同
5
把C上所有的点 C
( A)横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变 3
(B)横坐标缩短到原来的 3 倍,纵坐标不变 4
(C)纵坐标伸长到原来的 4 倍,横坐标不变 3
(D)纵坐标缩短到原来的 3 倍,横坐标不变 4
2.把y sin(2x )的图象向右平移 个单位,
3
6
这时图象所表示的函数为 D
以上两个函数都是形如y=Asin(ωx+φ) 旳函数（其中A, ω, φ都是常数）.
交流电电流随时间变化旳图象与正弦曲线有 何关系?
答 : 交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线很相似,
从解析式来看,函数y sin x就是函数y Asin(x )在 A 1, 1, 0时的情况.
你认为怎样讨论参数,, A对y Asin(x )的
伸长(当A 1时)或缩短(当0 A 1时) 到原来的A倍(横坐标不变)而得到.
A引起图象旳纵向伸缩，决定函 数旳最大（最小）值,我们把A 叫做振幅。
思索3: 怎么样由y sin x的图象得到y 2sin(2x )的图象？
3
1、 画出函数y sin x的图象;
1.5 y=Asin(ωx+φ)旳图像
新课引入
在物理中,简谐运动中单摆对平衡位置旳位移y与时间x旳关系：
新课引入
某次试验测得旳交流电旳电流y随时间x变化旳图象：
y
y
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o2 4 6 8
-2
x
o 0.01 0.02 0.03 0.04
x
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-6
将测得旳图像放大，能够看出它和正弦曲线很相同
5
把C上所有的点 C
( A)横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变 3
(B)横坐标缩短到原来的 3 倍,纵坐标不变 4
(C)纵坐标伸长到原来的 4 倍,横坐标不变 3
(D)纵坐标缩短到原来的 3 倍,横坐标不变 4
2.把y sin(2x )的图象向右平移 个单位,
3
6
这时图象所表示的函数为 D
以上两个函数都是形如y=Asin(ωx+φ) 旳函数（其中A, ω, φ都是常数）.
交流电电流随时间变化旳图象与正弦曲线有 何关系?
答 : 交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线很相似,
从解析式来看,函数y sin x就是函数y Asin(x )在 A 1, 1, 0时的情况.
你认为怎样讨论参数,, A对y Asin(x )的
高中数学：131《三角函数图像的变换》课件必修
这些操作包括平移、伸缩、翻折和旋转等，可以单独或组合使用。
变换的目的是为了更好地理解三角函数的性质，解决实际问题，以及进行图像处理 等。
变换的种类和特点
01
02
03
04
平移变换
将图像沿x轴或y轴方向移动 ，保持图像形状不变。
伸缩变换
通过改变x轴和y轴的比例来 改变图像的大小，可以横向或
纵向伸缩。
翻折变换
利用伸缩变换的性质求解函数的极值
例如，利用正弦函数的伸缩性质，可以求解y=sin(3x)在x=π/9处的极小值为1。
利用对称变换的性质求解函数的对称轴或对称中心
例如，利用正弦函数的对称性质，可以求解y=sin(x)的对称轴为x=kπ+π/2，k∈Z。
变换在实际问题中的应用
物理学中的应用
三角函数图像的综合变换在物理学中有广泛的应用，如振 动和波动现象、交流电等。通过变换可以更好地理解物理 现象和解决实际问题。
x轴缩短为原来的1/2，则图像的 周期变为原来的2倍。
01
03
02 04
总结词：影响相位
详细描述：沿x轴伸缩不仅改变 了图像的周期，还会影响函数的 相位。例如，将x轴缩短为原来 的1/2，相当于将相位滞后了π。
沿y轴伸缩
总结词：改变振幅
详细描述：沿y轴伸缩是 指保持x轴不变，通过改 变y轴的长度来改变整个 图像的振幅。例如，将y 轴放大为原来的2倍，则 图像的振幅变为原来的2 倍。
翻折变换
旋转变换
$y = -f(-x)$ 或 $y = f(x)$，前者表示沿x 轴翻折，后者表示沿y轴翻折。
$x = xcostheta - ysintheta$ 和 $y = xsintheta + ycostheta$，其中$theta$为 旋转角度。
变换的目的是为了更好地理解三角函数的性质，解决实际问题，以及进行图像处理 等。
变换的种类和特点
01
02
03
04
平移变换
将图像沿x轴或y轴方向移动 ，保持图像形状不变。
伸缩变换
通过改变x轴和y轴的比例来 改变图像的大小，可以横向或
纵向伸缩。
翻折变换
利用伸缩变换的性质求解函数的极值
例如，利用正弦函数的伸缩性质，可以求解y=sin(3x)在x=π/9处的极小值为1。
利用对称变换的性质求解函数的对称轴或对称中心
例如，利用正弦函数的对称性质，可以求解y=sin(x)的对称轴为x=kπ+π/2，k∈Z。
变换在实际问题中的应用
物理学中的应用
三角函数图像的综合变换在物理学中有广泛的应用，如振 动和波动现象、交流电等。通过变换可以更好地理解物理 现象和解决实际问题。
x轴缩短为原来的1/2，则图像的 周期变为原来的2倍。
01
03
02 04
总结词：影响相位
详细描述：沿x轴伸缩不仅改变 了图像的周期，还会影响函数的 相位。例如，将x轴缩短为原来 的1/2，相当于将相位滞后了π。
沿y轴伸缩
总结词：改变振幅
详细描述：沿y轴伸缩是 指保持x轴不变，通过改 变y轴的长度来改变整个 图像的振幅。例如，将y 轴放大为原来的2倍，则 图像的振幅变为原来的2 倍。
翻折变换
旋转变换
$y = -f(-x)$ 或 $y = f(x)$，前者表示沿x 轴翻折，后者表示沿y轴翻折。
$x = xcostheta - ysintheta$ 和 $y = xsintheta + ycostheta$，其中$theta$为 旋转角度。
三角y=asinwx图象课件
04
三角函数y=asinwx的应用
Chapter
三角函数y=asinwx在描述振动和波动现象时非常有用，例如简谐振动和波动传播。
振动和波动
交流电
信号处理
交流电的电压和电流通常用三角函数表示，特别是正弦函数，这与y=asinwx有密切关系。
在信号处理领域，如音频和图像处理中，三角函数用于进行傅立叶变换等操作。
03
02
01
在土木工程和机械工程中，结构振动分析经常用到三角函数。
结构振动
在自动控制和航空航天领域，控制系统设计和分析中经常使用三角函数。
控制系统
在雷达和声呐信号处理中，三角函数用于信号的发射、传播和接收。
雷达和声呐
05
三角函数y=asinwx的习题与解析
Chapter
题目：已知函数$f(x) = \sin wx$的图像关于点$(\frac{\pi}{6},0)$对称，且$f(x)$的最小正周期为$\pi$，则$f(x)$在区间$\lbrack - \frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\rbrack$上的最大值为____.
答案：$1$
感谢观看
THANKS
ห้องสมุดไป่ตู้定义
具有周期性、对称性、极值点等性质。
性质
三角函数是数学中的基本函数之一，y=asinwx作为其特殊形式，在数学分析、微积分、物理等领域有广泛应用。
01
02
在解决实际问题时，如振动、波动等现象，常常需要用到y=asinwx形式的函数。
y=asinwx具有周期性，其周期为π/|w|。
极值点出现在x=kπ/|w| (k∈Z)处。
坐标纸
01
可以在坐标纸上手动绘制y=asinwx的图像。首先确定x的范围和间隔，然后计算对应的y值，最后将点连接起来形成图像。
三角函数y=asinwx的应用
Chapter
三角函数y=asinwx在描述振动和波动现象时非常有用，例如简谐振动和波动传播。
振动和波动
交流电
信号处理
交流电的电压和电流通常用三角函数表示，特别是正弦函数，这与y=asinwx有密切关系。
在信号处理领域，如音频和图像处理中，三角函数用于进行傅立叶变换等操作。
03
02
01
在土木工程和机械工程中，结构振动分析经常用到三角函数。
结构振动
在自动控制和航空航天领域，控制系统设计和分析中经常使用三角函数。
控制系统
在雷达和声呐信号处理中，三角函数用于信号的发射、传播和接收。
雷达和声呐
05
三角函数y=asinwx的习题与解析
Chapter
题目：已知函数$f(x) = \sin wx$的图像关于点$(\frac{\pi}{6},0)$对称，且$f(x)$的最小正周期为$\pi$，则$f(x)$在区间$\lbrack - \frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\rbrack$上的最大值为____.
答案：$1$
感谢观看
THANKS
ห้องสมุดไป่ตู้定义
具有周期性、对称性、极值点等性质。
性质
三角函数是数学中的基本函数之一，y=asinwx作为其特殊形式，在数学分析、微积分、物理等领域有广泛应用。
01
02
在解决实际问题时，如振动、波动等现象，常常需要用到y=asinwx形式的函数。
y=asinwx具有周期性，其周期为π/|w|。
极值点出现在x=kπ/|w| (k∈Z)处。
坐标纸
01
可以在坐标纸上手动绘制y=asinwx的图像。首先确定x的范围和间隔，然后计算对应的y值，最后将点连接起来形成图像。
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3
y sin x向左平3 个 移单 y位 sinx(3) ysi2nx向左6平 个 移 y单 sin2（x位 6)
平移变换的本质：
平移多少（ ），只须把原式中的 x 换成x
练习：1） （y si（ n 1x）的图像是
23 由y sin1x的图像怎样平移得到？
2
（2）把y sin3x的图像
物体单位时间内震次动数的。
相位 x：
初相 ：x0时，物体所处的 置初 。
如y ： 3s（ in x）
43
应用举例：
例1：ysinx的图像如何变换
可得到 ysi（ n2x）的图?像
3
1、先相位(平移）后周期（伸缩） 图像的变换：
2、先周期（伸缩）后相位（平移）
解： 1、先相位(平移）后周期（伸缩）
y
sin
x
向左平3个 移单y位sinx()
3
ysinx()
3
的横 1坐 ，标 纵变 坐为 标 原 来 不变y。sin2(x3)
2
2、先周期（伸缩）后相位（平移）
y sin x 的横 1坐 ，标 纵变 坐为 标 原 来 不变。ysi2nx
2 ysi2nx向左6平 个 移 单 ys位 in2(x)
伸长（当A>1时）或缩短（当0<A<1） 到原来的A倍（横坐标不变）而得到。
函数y＝Asinx，x∈R的值域是 [－A,A],最大值是A，最小值是－A。
例(： 1)y3sinx (xR) (2)y1sinx 3
例2.画出下列函数的简图。
y sin2x, x R, y sin1 x, x R
2
列表：
X0
4
2
3 4
2x 0 sin2x 0
2
3
2
2
1 0 －1 0
描点画图：
一般地，函数y＝sinωx，x∈R （其中ω >0且ω ≠1）的图象，可以看 作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短
（当ω >1时）或伸长（当0<ω <1）到 原来的 1倍（纵坐标不变）而得到。
例：1） （ ysin3x（xR） （2）ysin1x （xR） 3
向右平移图像对应的解析式是
y si3 (4n x ) si3 x n 3 ( )
4
4
例2（1）把y sinx图像上所有的点
纵坐标扩大到原3来 倍的 ；
所得图像的解析y式 3为 si： xn
例2（2）把y2sinx图像上所有的 纵坐标扩大到原 3倍来；的
所得图像的解析y 式6为 3： sixn
（4）沿y轴的伸缩变换：
纵 坐 标 变 为 原 来
ysin x ()的A倍，横坐标不y 变 。A six n ()
函数y Asin（x ）
表达式中的相关量。
A:振幅 物体离开平衡 大位 距置 离
T 2 :周期物体往复震动一次
所需的时间。
频率f 1: T
小结y ： sx i n y s（ ix n ）
ysinxyAsi（ nx）
图像变换:方法
(1)做y出 sixnx [0 ， 2]的图
（2）平移变换：
y sin x向(右 左）|平 |个 y移 单 six 位 n ()
（3）沿x轴的伸缩变换：
ysixn()的横 1坐 ，标 纵变 坐 为 原 标来 不变y。 sin x()
缩小到原来的 1（解析式 __y_____s___i3nx__ ）
3 再把所得图像沿 y轴向上平移 2
（解析式 y__ __s ____i3 __x n _2 ）；然后再把
所得图像沿 x轴向右平移 得图像
（解析式 y _s__i_3n_(_x___4_)2）最4后在把所得图像
φ<0时）平行移动|φ|个单位长度，
得到 ：y=sin（x+ φ）图像。
（2）再把所得各点的横坐标缩短（当
ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来
的
1
倍（纵坐标不变），
得到 y： s（ inx）的图
（3）再把所得各点的纵坐标伸长 （当A>1）或缩短（当0<A<1）到原来的 A倍（横坐标不变）
（3）沿y轴的2 伸缩变换：
ysin2(x6的 ) 纵 3倍坐 ， 标 横 变 为 坐原 标来 不y变。3sin2x(6)
练习：y由 cosx图像如何得
y2co（ s1x）图像 ?
思考：2如 y何 42c由 o（ s1x）
24 的图像， y得 sin到 x的图?像
作业：习 4。 9题 （ 1 做在书2（ 上4） ）3（ ， 2， ）。
例3（1）把ysinx( )图像上所有的
3 横坐标扩大到原2倍 来； 的
所得图像的解析y式s为in1：(x)
23
例3（2）把ysin2( x)图像上所有的
33 横坐标扩大到原2倍 来； 的
所得图像的解析 y式 si为 n1(x：)
33
练习：（ 1）先把 y sin x 图像上的横坐标
思考题：函y数 2sin2x的图像 由y sinx进行怎样的变换而。 得
例3 画出函数的简图
y sin( x ), x R 3
y sin( x ), x R
4
例4 画出函数的简图
y3sin2x( ),xR 3
一般地，函数y=Asin(ωx+φ),x∈R （其中A>0,ω>0）的图象，可以看作用 下面的方法到： (1)先把正弦曲线上所有的点向左（当
三角函数图像的变换
例1.画出函数
y 2sinx,x R ， y 1 sinx,x R 的简图。
2
列表：
x
0π
2
3 2 2
sinx 0 1 0 －1 0
2sinx 0 2 0 －2 0
1 sinx 0
1
2
2
0 1
0
2
描点画图
一般地，函数y＝Asinx，x∈R （其中A>0且A≠1）的图象，可以看作 把正弦曲线上所有的纵坐标：
得到 y： As（ inx）的图
例：由 y sinx图像如何得到
y 3si（ n2x）图像。
6
（1）平移变换：
y sin x
向左平移
6
ysinx()
6
（2）沿x轴的伸缩变换：
ysinx(6)的横 1坐 ，标 纵变 坐为 标 原 来 不变y。sin2(x6)
y sin x向左平3 个 移单 y位 sinx(3) ysi2nx向左6平 个 移 y单 sin2（x位 6)
平移变换的本质：
平移多少（ ），只须把原式中的 x 换成x
练习：1） （y si（ n 1x）的图像是
23 由y sin1x的图像怎样平移得到？
2
（2）把y sin3x的图像
物体单位时间内震次动数的。
相位 x：
初相 ：x0时，物体所处的 置初 。
如y ： 3s（ in x）
43
应用举例：
例1：ysinx的图像如何变换
可得到 ysi（ n2x）的图?像
3
1、先相位(平移）后周期（伸缩） 图像的变换：
2、先周期（伸缩）后相位（平移）
解： 1、先相位(平移）后周期（伸缩）
y
sin
x
向左平3个 移单y位sinx()
3
ysinx()
3
的横 1坐 ，标 纵变 坐为 标 原 来 不变y。sin2(x3)
2
2、先周期（伸缩）后相位（平移）
y sin x 的横 1坐 ，标 纵变 坐为 标 原 来 不变。ysi2nx
2 ysi2nx向左6平 个 移 单 ys位 in2(x)
伸长（当A>1时）或缩短（当0<A<1） 到原来的A倍（横坐标不变）而得到。
函数y＝Asinx，x∈R的值域是 [－A,A],最大值是A，最小值是－A。
例(： 1)y3sinx (xR) (2)y1sinx 3
例2.画出下列函数的简图。
y sin2x, x R, y sin1 x, x R
2
列表：
X0
4
2
3 4
2x 0 sin2x 0
2
3
2
2
1 0 －1 0
描点画图：
一般地，函数y＝sinωx，x∈R （其中ω >0且ω ≠1）的图象，可以看 作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短
（当ω >1时）或伸长（当0<ω <1）到 原来的 1倍（纵坐标不变）而得到。
例：1） （ ysin3x（xR） （2）ysin1x （xR） 3
向右平移图像对应的解析式是
y si3 (4n x ) si3 x n 3 ( )
4
4
例2（1）把y sinx图像上所有的点
纵坐标扩大到原3来 倍的 ；
所得图像的解析y式 3为 si： xn
例2（2）把y2sinx图像上所有的 纵坐标扩大到原 3倍来；的
所得图像的解析y 式6为 3： sixn
（4）沿y轴的伸缩变换：
纵 坐 标 变 为 原 来
ysin x ()的A倍，横坐标不y 变 。A six n ()
函数y Asin（x ）
表达式中的相关量。
A:振幅 物体离开平衡 大位 距置 离
T 2 :周期物体往复震动一次
所需的时间。
频率f 1: T
小结y ： sx i n y s（ ix n ）
ysinxyAsi（ nx）
图像变换:方法
(1)做y出 sixnx [0 ， 2]的图
（2）平移变换：
y sin x向(右 左）|平 |个 y移 单 six 位 n ()
（3）沿x轴的伸缩变换：
ysixn()的横 1坐 ，标 纵变 坐 为 原 标来 不变y。 sin x()
缩小到原来的 1（解析式 __y_____s___i3nx__ ）
3 再把所得图像沿 y轴向上平移 2
（解析式 y__ __s ____i3 __x n _2 ）；然后再把
所得图像沿 x轴向右平移 得图像
（解析式 y _s__i_3n_(_x___4_)2）最4后在把所得图像
φ<0时）平行移动|φ|个单位长度，
得到 ：y=sin（x+ φ）图像。
（2）再把所得各点的横坐标缩短（当
ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来
的
1
倍（纵坐标不变），
得到 y： s（ inx）的图
（3）再把所得各点的纵坐标伸长 （当A>1）或缩短（当0<A<1）到原来的 A倍（横坐标不变）
（3）沿y轴的2 伸缩变换：
ysin2(x6的 ) 纵 3倍坐 ， 标 横 变 为 坐原 标来 不y变。3sin2x(6)
练习：y由 cosx图像如何得
y2co（ s1x）图像 ?
思考：2如 y何 42c由 o（ s1x）
24 的图像， y得 sin到 x的图?像
作业：习 4。 9题 （ 1 做在书2（ 上4） ）3（ ， 2， ）。
例3（1）把ysinx( )图像上所有的
3 横坐标扩大到原2倍 来； 的
所得图像的解析y式s为in1：(x)
23
例3（2）把ysin2( x)图像上所有的
33 横坐标扩大到原2倍 来； 的
所得图像的解析 y式 si为 n1(x：)
33
练习：（ 1）先把 y sin x 图像上的横坐标
思考题：函y数 2sin2x的图像 由y sinx进行怎样的变换而。 得
例3 画出函数的简图
y sin( x ), x R 3
y sin( x ), x R
4
例4 画出函数的简图
y3sin2x( ),xR 3
一般地，函数y=Asin(ωx+φ),x∈R （其中A>0,ω>0）的图象，可以看作用 下面的方法到： (1)先把正弦曲线上所有的点向左（当
三角函数图像的变换
例1.画出函数
y 2sinx,x R ， y 1 sinx,x R 的简图。
2
列表：
x
0π
2
3 2 2
sinx 0 1 0 －1 0
2sinx 0 2 0 －2 0
1 sinx 0
1
2
2
0 1
0
2
描点画图
一般地，函数y＝Asinx，x∈R （其中A>0且A≠1）的图象，可以看作 把正弦曲线上所有的纵坐标：
得到 y： As（ inx）的图
例：由 y sinx图像如何得到
y 3si（ n2x）图像。
6
（1）平移变换：
y sin x
向左平移
6
ysinx()
6
（2）沿x轴的伸缩变换：
ysinx(6)的横 1坐 ，标 纵变 坐为 标 原 来 不变y。sin2(x6)