2机械控制工程基础第二章答案

习 题2.1 什么是线性系统?其最重要的特性是什么?下列用微分方程表示的系统中,x o 表示系统输出,x i 表示系统输入,哪些是线性系统?(1) x x x x x ioooo222=++ (2) x tx x xiooo222=++ (3)x x x x io222oo=++ (4) x tx x x xiooo222o=++ 解: 凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。

线性系统的一个最重要特性就是它满足叠加原理。

该题中（2）和（3）是线性系统。

2.2 图（题2.2）中三同分别表示了三个机械系统。

求出它们各自的微分方程，图中x i 表示输入位移，x o 表示输出位移，假设输出端无负载效应。

图(题2.2)解: (1)对图(a)所示系统，由牛顿定律有xm x c x x c ioo2o1)(=-- 即 xc x c c xm i121o o )(=++ (2)对图(b)所示系统，引入一中间变量x,并由牛顿定律有)1()()(1x xc k x x oi-=- )2()(2x k x xc oo=-消除中间变量有x ck x k k xk k c io121o21)(=-- (3)对图(c)所示系统，由牛顿定律有x k x x k x xc ooioi21)()(=-+-即 x k x c x k k xciioo121)(+=++ 2.3求出图(题2.3)所示电系统的微分方程。

图（题2.3）解:(1)对图(a)所示系统,设i 1为流过R 1的电流,i 为总电流,则有⎰+=idtCi R u o122i R u u oi11=-dt i i Cu u oi)(111⎰-=-消除中间变量,并化简有u R C u CC R R u R C uR C u C C R R u R C iiiooo12211221222121211)()1(1+++=-+++(2)对图(b)所示系统，设i 为电流，则有⎰++=idtC i R u u oi111⎰+=i R idt Cu o221 消除中间变量,并化简有u Cu R u C C u R R iioo2221211)11()(+=+++ 2.4 求图(题2.4)所示机械系统的微分方程。

图中M 为输入转矩,C m 为圆周阻尼，J 为转动惯量。

解：设系统输入为M （即），输出θ(即)，分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：)(x R Rk C J M m-++=θθθxc x m x R k +=-)(θ 消除中间变量x,即可得到系统动力学方程KM M c Mm C R c k KJ c C km R cJ mC mJ mmm++=++-++++ θθθθ）（22)()()4(2.5 输出y(t)与输入x(t)的关系为y(t)= 2x(t)+0.5x 3(t)。

（1）求当工作点为x o =0,x o =1,x o =2时相应的稳态时输出值； （2）在这些工作点处作小偏差线性化模型，并以对工作的偏差来定义x 和y ，写出新的线性化模型。

解: (1) 将 x o =0,x o =1,x o =2分别代入y(t)= 2x(t)+0.5x 3(t)中,即当工作点为xo=0,xo=1,xo=2时相应的稳态输出值分别为0=y o,5.20=y ,8=y o。

(2) 根据非线性系统线性化的方法有，在工作点)(,y x oo附近,将非线性函数展开成泰勒级数,并略去高阶项得xx x x y y x x oooo∇•=+++=∇+|)5.12(5.0223∴xx y xx o∇•=+=∇|)5.12(2若令x x∇=,yy∇=有x x y )5.12(20+=当工作点为0=x o 时,xx x y 2)5.12(20=+=当工作点为1=x o 时, xx x y 5.3)5.12(20=+=当工作点为2=x o 时,x x x y 8)5.12(20=+=2.6已知滑阀节流口流量方程式为ρpcwx Qv2=，式中．Q 为通过节流阀流口的流量；p 为节流阀流口的前后油压差；x v 为节流阀的位移量；c 为疏量系数；w 为节流口面积梯度；ρ为油密度。

试以Q 与p 为变量（即将Q 作为P 的函数）将节流阀流量方程线性化。

解：利用小偏差线性化的概念，将函数Q=F(x v ，p)在预定工作点F(x o ，p o )处按泰勒级数展开为+∇•÷∇•∂∂+=∂∂p p x x p x x F p x F Q o vo PFv o vo vo vo ),()(),()(),(消除高阶项，有pp x x p x x F p x F Q o vo PFv o vo vo vo ∇•+∇•∂∂+=∂∂),()(),()(),(∴),(),(p x F p x F Q o vo v -=∇),(),()(),()(),(p x F p p x x p x x F p x F o vo o vo PFv o vo vo vo -∇•+∇•∂∂+=∂∂pp x x p x x F o vo PFv o vo v∇•+∇•∂∂=∂∂),()(),()(若令）（p x x F K ovo v,|)(1∂∂=，）（p x F K o vo ,|)p (2∂∂=， pKx K Qv∇•∇•∇+=21将上式改写为增量方程的形式pK x K Q v••+=212.7 已知系统的动力学方程如下,试写出它们的传递函数Y(s)/R(s)。

（1）)(2)()(500)(50)(15)(t r t r t y t y t y t y+=+++ （2）)(5.0)(25)(5t r t yt y =+ （3）)(5.0)(25)(t r t yt y =+ （4）)(4)(4)(6)(3)(t r dt t y t y t yt y=+++⎰ 解：根据传递函数的定义，求系统的传递函数，只需将其动力学方程两边分别在零初始条件下进行拉式变换，然后求Y(s)/R(s)。

(1))(2)()(500)(50)(15)(223s sR s R s s Y s sY s Y s s Y s +=+++ ∴ 50050152)(/)(222++++=s s s ss s R s Y(2))(5.0)(25)(52s sR s sY s Y s =+∴ss ss R s Y 2555.0)(/)(2+=(3) )(5.0)(25)(2sRsSYSYs=+∴sssRSY255.0)(/)(2+=(4) )(4)(14)(6)(3)(2sYsYssYSsYsYs=+++∴4634)(/)(23+++=sssssRsY2.8 如图（题2.8）为汽车或摩托车悬浮系统简化的物理模型，试以位移x为输入量，位移y为输出量，求系统的传递函数Y(s)/X(s)。

2.9 试分析当反馈环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)分别为惯性环节、微分环节、积分环节时，输入、输出的闭环传递函数。

解：由于惯性环节、微分环节、积分环节的传递函数分别为1)(+=Ts K s G ,Ts s G =)(,s K s G =)(,而闭环传递函数为)()(1)()(s H s G s G s G B •±=,则(1)当反馈环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)为惯性环节时，K Ts K Ts K Ts Ks H s G s G s G B±+=+±+=•±=1111)()(1)()((2)当反馈环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)为微分环节时，TsTs s H s G s G s G B ±=•±=1)()(1)()((3)当反馈环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)为积分环节时，K s K sK s Ks H s G s G s G B ±=±=•±=1)()(1)()(2.10 证明图（题2.10）与图（题2.3（a ）所示系统是相似系统（即证明两系统的传递函数具有相同形式）。

解：对题2.4(a)系统，可列出相应的方程。

)1(122⎰+=idtCR u o)2(11iR u u oi=-)3()(111dti i Cu u oi⎰-=-对以上三式分别作Laplce 别换，并注意到初始条件为零,即0)0()0(0)0()0(21====II I I则）（4)()1()()()(2222s I sC R sC s I s I R s U O+=+= ）（5)()()(1s I R S U s U iOi=- ）（6)()()()(11sC s I s C s I S U s U Oi-=-sC 11)5(⨯,得)7()()()(111110s I sC R s U s U sC i =-⎥⎦⎤⎢⎣⎡R⨯)6(1,得)8()()()()(111111s I sC R s C s I R s U s U R i-=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡)8()7(+, 得 )()()()1(11110s I sC R s U s U R s C i=-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 即)(1)(1)()(11111111s I C R R s I sC R s C s C R s Us U Oi+=+⨯=- 则 )9()(1)()(1110s I C R R s U s U i ++=将(4)式中的)(0s U 代入(9)式 )(1)()1()(11122s I C R R s I sC R s U i +++=)()11(11122s I sC R R s C R +++=再用(4)式与上式相比以消去)(s I ,即得电系统的传递函数为)())1(1()()1()()()(111222210s I s C R R s C R s I s C R s U s U s G ++++==)1(111112222s C R R s C R sC R ++++=而本题中，引入中间变量x,依动力学知识有 cx x c x x k x x o i i)-()()-(12o2=-+x k c x xi =-11o)(对上二式分别进行拉式变换有[]scs X s X s s X sc s X X k O ii12)()()(X -)()(02-=+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡sc k s X s c s X +=1101)()(消除)(s X 有sk c c s k c s k c s c k s c k s c k s c k s X s X s G i 11122221111222201)()()(++++=++++==比较两系统的传递函数有Ck 221⇔Ck 111⇔R c22⇔ R c 11⇔故这两个系统为相似系统。