离散数学(第一讲)
离散数学第一章第一节
PQ PQ PQ PQ
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111源自(1.B,2.AD,3.AD)
6、本讲小结
1、命题是客观上能判明真假的陈述句。当命题为真 时，称命题的真值为“真”；否则，说命题的真值为 “假”。命题一般用大写英文字母表示。表示命题的符 号叫命题标识符。当命题标识符表示不确定命题时称为 命题变元。
7、 练习
1、设P：天热。Q：我去游泳。R：我在家读书。则 命题“如天热，我去游泳，否则在家读书。”的符号化 结果是（ ）。
A.(PQ)(PR) C.(PQ)(PR) B.(PQ)(PR) D.(PQ)(PR)
2、设X：我上街。Y：我有空闲时间。则命题“我上 街，仅当我有空闲时间。”的符号化结果是( )。
A.XY B.YX C.XY D.YX
3、设X:我上街。Y:我有空闲时间。则命题“除非我 有空闲时间,否则我不上街。”的符号化结果是（ ）。
A.XY B.YX C.XY D.YX
练习答案
第一讲 作业
P8 3，4c，5bf，6bdgh
定义5 双条件联结词
设Ｐ,Ｑ为二命题，复合命题“Ｐ当且仅 当Ｑ”称为Ｐ与Ｑ的双条件命题，记作 ＰＱ。叫双条件联结词，也记作iff 。 ＰＱ为真当且仅当Ｐ,Ｑ真值相同。
例如，2+2＝5当且仅当雪是黑的。 设Ｐ： 2+2＝5 。Ｑ：雪是黑的。
则原命题表示为：ＰＱ。
例5 分析下列各命题的真值： (1) 如果2+2＝4，当且仅当3是奇数。 (2) 如果2+2＝4，当且仅当3不是奇数。 (3) 如果2+2≠4，当且仅当3是奇数。 (4) 如果2+2≠4，当且仅当3不是奇数。
离散数学_第一讲
离散数学—常见题型解析及模拟题 傅彦 （2004 ）
2013年8月6日
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Chapter 1
命题逻辑(1)
数理逻辑
数理逻辑（Mathematical Logic）:研究演绎推理的一门学科；
即为命题间的推理 主要研究内容是推理，特别着重于推理过程是否正确；它不 是研究某个特定的语句是否正确，而是着重于语句之间的 关系。 主要研究方法:采用数学的方法来研究推理； 数学方法就是引进一套符号体系的方法，所以数理逻辑又叫 符号逻辑（Symbolic Logic）。
离散数学学习指导与习题解析 耿素云 （2005.3）
离散数学及其应用（Discrete Mathematical and Its Applications) （原书第5版） Kenneth Rosen著 袁崇义 屈婉玲 等译 机 械工业出版社（2007.6） 应用离散数学 方景龙 （2005.8） 王毅刚 编著 人民邮电出版社
2013年8月6日
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Chapter 1
命题逻辑(1)
学习方法
对所学的课程内容先预习； 对所学的课程内容中的重点和难点认真进行复习； 认真做好习题； 多看一些课外参考书。
2013年8月6日
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Chapter 1
命题逻辑(1)
参考资料
屈婉玲 高等教育出版社（2004.4）
屈婉玲 高等教育出版社
离散数学（修订版） 耿素云
2013年8月6日
3
Chapter 1
命题逻辑(1)
离散数学的特点
2)能行性: 计算机算题是老老实实的，一个问题能在计算机上解决， 即能将此问题解决的每个步骤，一步一步地清楚的表达出 来，而且要在有限步内完成这个问题。反映在离散数学上, 即离散数学所研究的问题均是能行的。（一个问题要是有 解,就要给出此解的具体解法） 离散数学的这个特征，使它与一般的数学区别开来。如 传统的数学分析以及以数学分析为基础的各数学分支，如 微分方程，实变函数，复变函数等均是研究连续变量的问 题。又如，一般数学重非常重视解的存在性问题以及解的 表示方式，对解的算法根本不予考虑或考虑很少。
离散数学讲义(第1章)
1-2 联结词（续）
例：P：上海是一个大城市。 P：上海并不是一个大城市。 或 P：上海是一个不大的城市。
这两个命题具有相同的含义，因此用 同一个符号表示。
17
1-2 联结词（续）
P与 P的真值关系：
P
T F
PHale Waihona Puke F T否定是一个一元运算。
18
1-2 联结词（续）
（2）合取 设P，Q是两个命题，新命题“P并且Q”是 一个复合命题，称为命题P，Q的合取。记作： P∧Q 如：P：北京是中国的首都。 Q：北京是一个故都。 P∧Q：北京是中国的首都并且是一个 故都。
5
趣味逻辑数学题－巧猜围棋子
用数理逻辑学方法解题
P表示：“棋子为白色” Q表示：“甲说的是真话” 数理逻辑运算符： （非），（与），（或）
问题答案：S=(PQ)(PQ)
6
第一篇
数理逻辑
7
数理逻辑
数理逻辑是用数学方法来研究推理 过程的科学。主要是指引进一套符 号体系的方法，因此数理逻辑一般 又叫符号逻辑。 基本内容是：命题逻辑（演算）和 谓词逻辑（演算）。
22
1-2 联结词（续）
P∨Q的真值关系：
P T T F F Q T F T F P∨Q T T T F
析取是一个二元运算。
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1-2 联结词（续）
注意：析取联结词∨与汉语中的“或”的意义不 完全相同。汉语中的“或”既可以表示“排斥 或”，也可以表示“可兼或”。
例如： P：今天晚上我在家看电视或去剧场看戏。 Q：他可能是100米或400米赛跑的冠军。
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1-2 联结词（续）
在命题演算中，五个联结词的含义由真值表唯一确定。
离散数学课件第一章(第1讲)
3)区分“可兼或”与“不可兼或（异或，排斥或）” 析取联结词为可兼或 例如： 灯泡有故障或开关有故障。 今天下雨或打雷。 以上例句均为可兼或。
“不可兼或”表示为：▽ (异或),当P和Q均为“T”时， 则P异或Q为“F”。
P
Q
P▽Q
F
F
F
F
T
T
T
F
T
T
T
F
例： 他通过电视看杂技或到剧场看杂技。 他乘火车去北京或乘飞机去北京。
§1 命题与命题联结词
1 命题
《定义》： 具有唯一值的陈述句叫命题。 讨论定义：
(1)命题的值： 命题值可以是真的，也可以是假的，但不能同时 既为真又为假。
(2)命题的真假值表示： 命题中所有的“真”用“Ｔ ” 或“ 1”表示 命题中所有的“假”用“Ｆ ”或 “0 ”表示。
(3)命题分类： ⅰ)原子命题：一个命题，不能分解成为更简单的命题。
(2) 合取词（“合取”、 “与”运算） 1) 符号 “Λ” 设Ｐ，Ｑ为两个命题，则ＰΛＱ称Ｐ与Ｑ的合取， 读作： “Ｐ与Ｑ” “Ｐ与Ｑ的合取” “Ｐ并且Ｑ”
2) 合取运算真值表
P Q PΛ Q
FF
F
FT
F
TF
F
TT
T
QΛP F F F T
注： ①当且仅当Ｐ和Ｑ的真值均为 Ｔ ，则ＰΛＱ 的真值 为 Ｔ 。否则，其真值为 Ｆ 。
第一篇 数理逻辑
逻辑：通常指人们思考问题，从某些已知条件出发推出合 理的结论的规律。 数理逻辑：用数学方法来研究推理的规律。包括命题逻辑 和谓词逻辑。 数理逻辑研究方法：采用一套数学的符号系统来描述和处 理思维的形式和规律。
第一章 命题逻辑
§1.命题与命题联结词 §2.命题公式与真值表 §3.命题公式的翻译 §4. 等价式与蕴含式 §5.对偶与范 式 §6.命题逻辑的推理理论 §7.其他联结词
离散数学课件第一章.ppt
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且 n=max(i,j)； (c) A=BC, 其中 B,C 的层次及 n 同(b)； (d) A=BC, 其中B,C 的层次及 n 同(b)； (e) A=BC, 其中B,C 的层次及 n 同(b). (3) 若公式A的层次为k, 则称A为k层公式.
例如 公式 A=p, B=p, C=pq, D=(pq)r,
E=((pq) r) (rs)
分别为0层，1层，2层，3层，4层公式.
16
公式赋值
定义1.8 设p1, p2, … , pn是出现在公式A中的全部命题变项, 给p1, p2, … , pn各指定一个真值, 称为对A的一个赋值或解释. 若使A为1, 则称这组值为A的成真赋值; 若使A为0, 则称这组
基本要求 深刻理解各联结词的逻辑关系, 熟练地将命题符号化 会求复合命题的真值 深刻理解合式公式及重言式、矛盾式、可满足式等概念 熟练地求公式的真值表，并用它求公式的成真赋值与成假
赋值及判断公式类型 24
练习1
1. 将下列命题符号化 (1) 豆沙包是由面粉和红小豆做成的. (2) 苹果树和梨树都是落叶乔木. (3) 王小红或李大明是物理组成员. (4) 王小红或李大明中的一人是物理组成员. (5) 由于交通阻塞，他迟到了. (6) 如果交通不阻塞，他就不会迟到. (7) 他没迟到，所以交通没阻塞. (8) 除非交通阻塞，否则他不会迟到. (9) 他迟到当且仅当交通阻塞.
2
命题概念
例1 下列句子中那些是命题？ (1) 2是有理数. (2) 2 + 5 = 7.
(3) x + 5 > 3. (4) 你去教室吗？ (5) 这个苹果真大呀！ (6) 请不要讲话！ (7) 2050年元旦下大雪.
离散数学第四章(第1讲)
第四章 二元关系
§1 序偶与笛卡尔积 §2 关系及其表示 §3 关系的性质 §4 关系的运算 §5 等价关系与划分 §6 相容关系与覆盖 §7 偏序关系
§1 序偶与笛卡尔乘积
1 序偶 《定义》由二个具有给定次序的客体所组成的序列
称为序偶。记作〈x，y〉 例：X—Y二维平面上的一个点的坐标〈x，y〉就
是一个序偶。
说明： (1)在序偶中二个元素要有确定的排列次序。 若ab时，则〈a，b〉〈b，a〉 若〈x，y〉=〈a，b〉（x=a y=b） (2) 多重序元： 三元组：〈〈x，y〉，z〉 =〈x，y，z〉 n元组： 〈〈〈〈x1，x2〉，x3〉…〉，xn〉= 〈x1,…,xn〉
ran R={a,b,c,d}
FLD R={1,2,3,4,a,b,c,d}
４．关系和笛卡尔乘积 笛卡尔乘积的任何子集都可以定义一种二元关系。 例：X={1,2,3,4}，Y={1,2}
X Y {1,1 ,1,2 , 2,1 , 2,2 , 3,1 , 3,2 , 4,1 , 4,2 }
S1={<x,y>|x X yYx ≤ y}={<1,1><1,2><2,2>}
2 笛卡尔乘积 《定义》设A，B为二个任意集合，若序偶的第 一个成员（左元素）是A的一个元素，序偶的 第二个成员（右元素）是B的一个元素，则所 有这样的序偶构成的集合称为A和B的笛卡尔乘 积。
记作：A B={〈x，y〉|（xA）（yB）}
离散数学第1讲
30
第一章 命题逻辑基本概念——第1讲
以上5种最基本、最常用、最重要的联结词可以组 成一个集合{,∨,∧ ,ר,}，成为一个联 结词集，其运算的优先级为：,∨,∧,ר,, 对于同一级者，先出现者先运算。参见课本 第9页，基本复合命题的真值表。 例1.7：令p：北京比天津人口多。 q：2＋2＝4。 r：乌鸦是白色的。 求下列符合命题的真值： (1)((רp∧q)∨(p∧q))r (2)(q∨r)(pרr)
1) 这朵花多好看呀！ 不是命题，感叹句 2) 请你关上门！ 3) 全体立正！
不是命题，祈使句 不是命，祈使句
4) 明天是否开大会？ 不是命题，疑问句
5) 你听懂了吗？
不是命题，疑问句
11
第一章 命题逻辑基本概念——第1讲
例：凡是悖论都不是命题。
1) 我正在说谎。
不是命题，悖论
由真推出假，又由假推出真的陈述句称为悖论， 都不是命题。
命题的分类
简单/原子命题：由不能再分解为更简单的 陈述句的陈述句构成。 如上例中的命题。 复合命题：由简单命题通过联结词联结而 成的陈述句。 如下例。
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第一章 命题逻辑基本概念——第1讲
例：将下面这段陈述句中所出现的原子命题符号化，并指出 它们的真值，然后再写出这段陈述。 2 是有理数是不对的；2是偶素数；2或4是素数；如果2 是素数，则3也是素数；2是素数当且仅当3也是素数。 解：这段陈述句中出现5个原子命题，将它们分别符号化为： p: 是有理数； q：2是素数； r：2是偶数； 2 s：3是素数； t：4是素数。 将原子命题的符号代入上面陈述中： 非p； q并且r； 如果q，则s； q当且仅当s。（半形式 化的语言）。 形式语言：完全由符号所构成的语言。
离散数学课件ppt课件
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内 在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达 的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中， 作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。 也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
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1
1
0
0
0
1
1
例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如 两 圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑
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一、离散数学介绍
离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。
它在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。
通过离散数学的学习，不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法，为后续课程的学习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。
离散数学常常被分成三门课程进行教学，即集合论与图论、代数结构与组合数学、数理逻辑。
其中各部分内容在本书中又有如下涉及：
1．集合论部分：集合及其运算(3.1)、二元关系(3.2)与函数(3.5)、自然数及自然数集、集合的基数注：集合这个概念比较了解，在数学上，基数(cardinal number)也叫势(cardinality)，指集合论中刻画任意集合所含元素数量多少的一个概念。
这是康托尔在1874年～1884年引入最原始的集合论（现称朴素集合论）时, 给出的基数概念。
他最先考虑的是集合{1,2,3} 和 {2,3,4}，它们并非相同，但有相同的基数。
那何谓两个集合有相同数目的元素？
康托尔的答案，是所谓一一对应，即把两个集合的元素一对一的排起来，若能做到，两个集合的基数自然相同。
这个答案虽然简单，却起到了革命性的作用，因为用相同的方法即可比较任意集合，包括无穷集合的大小。
2．图论部分(第5章)：图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图着色、支配
集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用3．代数结构部分（第6、7章）：代数系统的基本概念、半群与独异点、群、环与域、格与布尔代数4．组合数学部分：组合存在性定理、基本的计数公式、组合计数方法、组合计数定理
组合数学在本书中没有介绍，而关于组合数学的问题却是十分有趣的，可以供大家思考一下。
组合数学中的著名问题
∙计算一些物品在特定条件下分组的方法数目。
这些是关于排列、组合和整数分拆的。
∙地图着色问题：对世界地图着色，每一个国家使用一种颜色。
如果要求相邻国家的颜色相异，是
否总共只需四种颜色？这是图论的问题。
∙船夫过河问题：船夫要把一匹狼、一只羊和一棵白菜运过河。
只要船夫不在场，羊就会吃白菜、
狼就会吃羊。
船夫的船每次只能运送一种东西。
怎样把所有东西都运过河？这是线性规划的问
题。
∙中国邮差问题：由中国组合数学家
∙管梅谷教授①
∙提出。
邮递员要穿过城市的每一条路至少一次，怎样行走走过的路程最短？这不是一个NP完全
问题，存在多项式复杂度算法：先求出度为奇数
的点，用匹配算法算出这些点间的连接方式，然
后再用欧拉路径算法求解。
这也是图论的问题。
∙任务分配问题（也称婚配问题）：有一些员工要完成一些任务。
各个员工完成不同任务所花费的时
间都不同。
每个员工只分配一项任务。
每项任务
只被分配给一个员工。
怎样分配员工与任务以使
所花费的时间最少？这是线性规划的问题。
∙如何构作幻方。
幻方，有时又称魔方（该称呼现一般指立方体的魔術方塊）或纵横图，由一组排放在正方形中的整数组成，其每行、每列以及两条对角线上的数之和均相等。
在中国古典文献中记载了洛书
的传说：公元前23世纪大禹治水之
时，一只巨大的神龟出现于黄河支流
洛水中，龟甲上有9种花点的图案，
分别代表这9个数，而3行、3列以
及两对角线上各自的数之和均为
15，世人称之为洛书。
中国汉朝的数术记遗中，称之为九宫算，又叫九宫图
南宋数学家杨辉著《续古摘奇算法》把类似于九宫图的图形命名为纵横图，书中列举3、4、5、6、7、8、9、10阶幻方。
其中所述三阶幻方构造法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”，比法国数学家Claude Gaspar Bachet 提出的方法早三百余年。
5．数理逻辑部分（第2章）：命题逻辑、一阶谓词演算、消解原理。
二、虽说离散数学是一门新兴的学科，伴随着计算机而进一步发展，但她的各个分支却都历史悠久。
数学推理与逻辑之间，有着密切的联系，早在两千多年前的古希腊，就有了逻辑学的萌芽。
不过那时的逻辑称为古典逻辑,属于哲学的范畴。
数理逻辑诞生于十九世纪中叶，源于古典逻辑。
群论诞生于十九世纪二十年代，由法国天才数学家伽罗华创立。
有趣的是，他创立群论的目的是为了解决高次方程求根问题，如果他知道群论与现代的计算机学科联系如此紧密，一定会惊叹不已。
图论最早起源于一些数学游戏，相信对数学感兴趣的同
学一定都听说过哥尼斯堡的七桥问题。
(P115)图论与几何不同，几何讨论图的长短大小，而图论是讨论图的边和顶点之间的位置关系，正因为如此，莱布尼兹②
把她称为“位置几何学”。
图论的问题非常有趣，往往答案很简单，但却非常非常难以想到。
集合论起源于十六世纪末期，开始是为了追寻微积分的坚实基础，后来，德国的数学家康托教授发表了一系列有关集合论的文章，奠定了集合论的基础，集合论也从此发展起来。
现在，集合论已经渗透到泛函、概率、函数论等各门学科。
组合数学就是大家从高中开始学的排列组合，它与古典概率论的联系也非常紧密。
三、如何学好离散数学
离散数学的定义和定理多，要求学生对于知识点的记忆要“准确、全面、完整”。
另外，离散数学的方法性比较强，要求学生强加练习，熟悉不同的解题方法。
四、小结
离散数学的简介
①上海市人。
1957年毕业于华东师范大学数学系。
历任山东师范大学讲师、副教授、教授、校长，从事运筹学及其应用的研究，对最短投递路线问题的研究取得成果。
②戈特弗里德·威廉·凡·莱布尼茨（Gottfriend Wilhelm von Leibniz，1646.7.1.—1716.11.14.）德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才，和牛顿（1643
年1月4日—1727年3月31日）同为微积分的创建人。
他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。