任意初等行列混合变换求解线性方程组
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线性代数：4.2 用初等行变换解方程组
0
0
1 21
2
0 0 0 0 0
由此可知，r r 2 n 4，因此方程组有无穷多解。
继续对A作初等行变换，将其化为行最简形：
1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 2
A
0
0
1
21
2
0
0
121 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
对应的最简方程组是：
x1 x2 x3
补齐 写出通解
结束
x1 x2 x3 x4 0
例：
求解方程组
x1
x2
x3
3 x4
1
x1 x2 2x3 3x4 1 2
用其增广矩阵作初等行变换：
1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
A
1
1
1 3
1
0
0
2 4 1
1 1 2 3 1 2 0 0 1 2 1 2
1 1 1 1 0
42用初等行变换解方程组ax化为行最简形化为行阶梯形无解写出唯一解结束移项补齐写出通解化为最简方程化为阶梯方程求解方程组用其增广矩阵作初等行变换
§4.2 用初等行变换解方程组
方程组AX
化为阶梯方程
化为最简方程
增广矩阵A (A )
化为行阶梯形
是
否
r r?
化为行最简形
Байду номын сангаас
无解
否
是
r n?
移项
写出唯一解
t1 1 2 2t2
,
x4 t2
（“补齐”）
写成向量形式便是通解
x1 1 2 1 1
x2 x3
0 12
t1
1 0
初等变换法在求解矩阵方程与线性方程组中的应用
2+ 1( - 2)
- 6 ( 1, 2 ) 1 → 1 2 0 - 1 0 X =
→ 2 0
1 0 8
2 - 1 0
3
1 - 8
→ 由命题 1 得
1 0
2 - 23 - 8 2 0
→
- 23
- 23 8
对系数矩阵可逆的线性方程组, 也可使用这种方法求解, 并可直接“ 读” 出其解。 从上面的例题可看到, 用初等变换法解矩阵方程时 , 系数阵是否可逆不用单独去检验, 因为在求解过程 中 , 需把 A 化成单位阵 , A 若能化成单位矩阵, 那么 A 必然是可逆的。
2+ 1( - 1) 3+ 1( 3) 4+ 1( 1) 5+ 1( - 1)
0 - 1 1 1 4 0 0 0 0 0 0 - 1/ 4 0 0 - 1 1 4
0 6
0 7
0 1 - 1 - 1 0 0 0 1
1 3 1 → 1 0 0 0 0 0 0 0
0 - 4 4 - 1 1 0 0 0
0 6 3 0 1 0 0 1 3 1
5( - 1)
0 7 1 0 0 1 0 0 - 1 1 1/ 4 0 0 0
0 1 - 1 - 1 0 0 0 1 0 0 0 3/ 2 1 0 0 0 0 0
1+ 2( 3) - 1
CC 而 A X C = B , 方程两边分别左乘 A 得到 于是 综上有
- 1
- 1
, 右乘 C A
- 1
A X C C- 1 = A - 1 B C- 1
2 1
5 3
X =
4 2
- 6 1
.
2 5 1 3
, B = 3 2 5 4
- 6 ( 1, 2 ) 1 → 1 2 0 - 1 0 X =
→ 2 0
1 0 8
2 - 1 0
3
1 - 8
→ 由命题 1 得
1 0
2 - 23 - 8 2 0
→
- 23
- 23 8
对系数矩阵可逆的线性方程组, 也可使用这种方法求解, 并可直接“ 读” 出其解。 从上面的例题可看到, 用初等变换法解矩阵方程时 , 系数阵是否可逆不用单独去检验, 因为在求解过程 中 , 需把 A 化成单位阵 , A 若能化成单位矩阵, 那么 A 必然是可逆的。
2+ 1( - 1) 3+ 1( 3) 4+ 1( 1) 5+ 1( - 1)
0 - 1 1 1 4 0 0 0 0 0 0 - 1/ 4 0 0 - 1 1 4
0 6
0 7
0 1 - 1 - 1 0 0 0 1
1 3 1 → 1 0 0 0 0 0 0 0
0 - 4 4 - 1 1 0 0 0
0 6 3 0 1 0 0 1 3 1
5( - 1)
0 7 1 0 0 1 0 0 - 1 1 1/ 4 0 0 0
0 1 - 1 - 1 0 0 0 1 0 0 0 3/ 2 1 0 0 0 0 0
1+ 2( 3) - 1
CC 而 A X C = B , 方程两边分别左乘 A 得到 于是 综上有
- 1
- 1
, 右乘 C A
- 1
A X C C- 1 = A - 1 B C- 1
2 1
5 3
X =
4 2
- 6 1
.
2 5 1 3
, B = 3 2 5 4
矩阵的初等变换与线性方程组的求解【精品推荐ppt】ppt课件
a1=q1a2+r1,0<r1<a2, a2=q2r1+r2,0<r2<r1, ……
rm-2=qmrm-1+rm,0<rm<rm-1, rm-1=qm+1rm（m≥1, rm=d）
x1 x2 3x3 x4 x5 3
例1 求线性方程组
或“－1”，若主对角线上某一元素为“－1”，则该
32xx11
2x2 4x3 5x4 x5 4x3 2x4 3x5
4 4
位填充矩阵C是匹配的。
由
得
的一般解。 B是匹配的，故C只能是n×n矩阵， 从而C′
rm-2=qmrm-1+rm,0<rm<rm-1,
而B的填充矩阵为：
1 0
0
1
0 b1,r1 0 b2,r1
b1,r2 b2,r2
b1n
b2n
C
0
0
1 b b r,r1
r ,r 2
brn
(5)
0 0
0 1 0
0
0 0
00 0
1nn
其所有J－列向量为： r+1=(b1,r+1, …,br,r+1, －1,0, …,0) r+2=(b1,r+1, …,br,r+1,0, －1, …,0)
有解，其增广矩阵A经一系列初等行变换化 为行最简形矩阵B，则B的n×(n+1)单位填充
矩阵பைடு நூலகம்所有“J－列向量”构成方程组(7)的导
出组的一个基础解系，而C的最后一列为方 程组(7)的一个特解。
证明 由定理1，前一结论显然。下证Ｃ的最 后一列为方程组的一个特解。
作齐次线性方程组
rm-2=qmrm-1+rm,0<rm<rm-1, rm-1=qm+1rm（m≥1, rm=d）
x1 x2 3x3 x4 x5 3
例1 求线性方程组
或“－1”，若主对角线上某一元素为“－1”，则该
32xx11
2x2 4x3 5x4 x5 4x3 2x4 3x5
4 4
位填充矩阵C是匹配的。
由
得
的一般解。 B是匹配的，故C只能是n×n矩阵， 从而C′
rm-2=qmrm-1+rm,0<rm<rm-1,
而B的填充矩阵为：
1 0
0
1
0 b1,r1 0 b2,r1
b1,r2 b2,r2
b1n
b2n
C
0
0
1 b b r,r1
r ,r 2
brn
(5)
0 0
0 1 0
0
0 0
00 0
1nn
其所有J－列向量为： r+1=(b1,r+1, …,br,r+1, －1,0, …,0) r+2=(b1,r+1, …,br,r+1,0, －1, …,0)
有解，其增广矩阵A经一系列初等行变换化 为行最简形矩阵B，则B的n×(n+1)单位填充
矩阵பைடு நூலகம்所有“J－列向量”构成方程组(7)的导
出组的一个基础解系，而C的最后一列为方 程组(7)的一个特解。
证明 由定理1，前一结论显然。下证Ｃ的最 后一列为方程组的一个特解。
作齐次线性方程组
矩阵初等变换解方程组
矩阵初等变换解方程组
矩阵初等变换是一种解线性方程组的有效方法。
下面是一个简单的例子，说明如何使用矩阵初等变换来解线性方程组。
假设我们有以下线性方程组：
y + 2z = 2
-x + 2y - z = 3
首先，我们将这个方程组写成增广矩阵的形式：
1 ]
[ 1 -1 2 | 2 ]
[-1 2 -1 | 3 ]。
初等变换包括：
1.交换两行
2.将一行乘以一个非零常数
3.将一行的若干倍加到另一行上
我们的目标是通过初等变换将增广矩阵转换为行最简形式，这样我们就可以直接读取方程的解。
现在，我们开始进行初等变换：
第一步，我们可以交换第一行和第二行，得到：
2 ]
[ 2 1 -1 | 1 ]
[-1 2 -1 | 3 ]
第三行的第一个元素：
1 -1 | 1 ]
[ 0 0 3 | 5 ]
第三步，我们可以将第二行减去第一行的两倍，以消去第二行的第一个元素：
[ 1 -1 2 | 2 ]
[ 0 3 -5 | -3 ]
[ 0 0 3 | 5 ]
除以3，以将第三个主元素变为1：
2 ]
[ 0 3 -5 | -3 ]
[ 0 0 1 | 5/3 ]
，以消去第二行的第三个元素：
]
[ 0 3 0 | 7 ]
[ 0 0 1 | 5/3 ]
元素变为1：
1 0 | 7/3 ]
[ 0 0 1 | 5/3 ]
：
1 0 | 7/3 ]
[ 0 0 1 | 5/3 ]
我们可以直接读取方程组的解：
3
z = 5/3
应用中，可能需要根据具体情况进行更多的初等变换步骤。
用矩阵初等行变换解线性方程组
16
x 1 2 x 2 3 x 3 7 ( r2 ) ( r3 ) x 2 3 x 3 14 2 ) ( r3 ) 0 1 3 14 0 5 4 6
0 0 0 7 7 ( r1 ) ( r3 ) 2 3 1 1 3 4 1 1 1 7 2 1 1 1 5
21
1 ( r1 ) 1 0 0 0 1 7 ( r4 ) 2 3 1 1 3 4 1 1 1 7 2 1 1 1 5
14
三、用矩阵法求线性方程组的解
消元法是解二元、三元一次线性方程组常用的办
法，将其运用到解n元线性方程组中也是有效的．它
的基本思想是将方程组中的一部分方程变成未知量 较 少的方程，从而求出方程组的解．下面通过例子说 明 例4 用消元法解线性方程组 如何解系数行列式不等于零的线性方程组． x1 2 x2 3 x 3 7 2 x1 x2 2 x 3 8 x 3x 7 2 1
用矩阵初等行变换解线性方程组
一.矩阵的行初等变换 二.用行初等变换求逆矩阵 三.用矩阵法求线性方程组.
1
一、矩阵的初等行变换
定义: 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行以下三 种变换： ⑴变换矩阵的某两行位置； ⑵用一个非零数乘矩阵某行的所有元素； ⑶把矩阵某一行的K倍加到矩阵的另一行上去． 矩阵A经过初等行变换得到矩阵B，通常记作 A→B，一般A≠B．符号(ri )↔(rj), (ri )K,(ri)K+(rj)分别 表示交换A的第i 行与 j 行，第i 行乘K及第j行的K倍 加到第i行上． 将定义中所有的“行”字改为“列”字，就得 到矩阵的初等列变换的定义，矩阵的初等行变换 和矩阵的初等列变换统称为矩阵的初等变换．
7-3 用初等变换解线性方程组.
就不是阶梯形矩阵
温州职业技术学院
§7-3 用初等变换解线性方程组
一、矩阵的秩
定义 2 满足以下两个条件的行阶梯形矩阵称为行 最简阶梯形矩阵： 1. 各个非零行的首非零元素都是 1； 2. 每个首非零元素所在的列其余元素都是零． 比如：
2 0 1 4 0 4 5 7 A= 0 0 0 1 0 0 0 0
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§7-3 用初等变换解线性方程组 三、线性方程组的解
1、非齐次线性方程组 设有 n 个未知量， m 个方程的线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm
定理 1（解的存在定理） 线性方程组有解的充分必要条件是 它的系数矩阵 A 的秩等于增广矩阵 A 的 秩，即 R( A) R( A) ．
温州职业技术学院
§7-3 用初等变换解线性方程组 二、线性方程组解的存在定理
例 5 判断线性方程组 x1 2 x 2 3 x 3 x 4 1 3 x1 x 2 5 x 3 3 x 4 6 2x x 2 x 2 x 8 2 3 4 1 是否有解．
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§7-3 用初等变换解线性方程组
三、线性方程组的解
定理 在齐次线性方程组（3-2）中
（1）当 R( A) n 时，方程组（3-2）只有零解； （2）当 R( A) n 时，方程组（3-2）有无穷多组解．
温州职业技术学院
§7-3 用初等变换解线性方程组
三、线性方程组的解
例 6 解齐次线性方程组 x1 x2 x3 x4 0 x1 3 x2 x3 3 x4 0 x 2 x 3x 0 3 4 1
并介绍用初等变换解线性方程组的方法
分析：用消元法解下列方程组的过程．
引例 求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, 1
4
x1 x2 2 x3 x1 6 x2 2 x3
x4 2 x4
4, 4,
2
3 2
(1)
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
解
(1)
1 2 3 2
23 3 21
4 31
（3）传递性 若 A B,B C,则 A C. 具有上述三条性质的关系称为等价． 例如，两个线性方程组同解，
就称这两个线性方程组等价
用矩阵的初等行变换 解方程组（1）：
2 1 1 1 2
B
1 4
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
1 1 2 1 4
r1 r2 r3 2
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上 记作ri krj）.
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
小结：
1．上述解方程组的方法称为消元 法 2．．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换 （1）交换方程次序；
（ i 与 j 相互替换）
（2）以不等于０的数乘某个方程； （以 i k 替换 i ）
（3）一个方程加上另一个方程的k倍． （以 i k j 替换 i ）
3．上述三种变换都是可逆的．
2 3
0 0,
4
用“回代”的方法求出解：
(B3 ) (B4 )
用初等列变换解线性方程组
⎜ ⎜
2
3
−1
−1
6
⎟ ⎟
c3 − 2c1 c4 −3c1
⎯c⎯4 +c1⎯→
⎜ ⎜
2
1
−5 −7
8
⎟ ⎟
⎜1
⎟
⎜ 1 −1 −2 −3 1 ⎟
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
⎜
1
⎟
⎜
1
⎟
⎜ ⎝
1
⎟ ⎠
⎜ ⎝
1
⎟ ⎠
陈必红博士学术报告会：用初等列变换解线性方程组
⎛1 0 0 0 0 ⎞
⎛1 0 0 0 0 ⎞
A
⎯初⎯等行⎯变⎯换→
⎛ ⎜⎝
B O
⎞ ⎟⎠
陈必红博士学术报告会：用初等列变换解线性方程组
而行初等变换的办法也可以用在列初等变换 上, 对任一m行n列的矩阵A, 假设r(A)=r, 也可 以经一系列的列初等变换, 变成(B, O)这样的 分块矩阵的形式. 其中B是列满秩矩阵, 共有r 列, 而O则有n-r列.
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
1
0
−λ
1
2
λ −1 0 1−λ λ
−1
⎟ ⎟
λa −1⎟
⎟
⎟
⎜1
⎟
⎜
1
⎟
⎜ ⎝
1
⎟ ⎠
⎜ ⎝
−λ
−1 1
a
⎟ ⎠
λ=1方程将无解, 为方程有无穷多解, λ=-1
陈必红博士学术报告会：用初等列变换解线性方程组
将λ=-1代入已经变了一半的矩阵中:
⎛ 0 0 1 0 ⎞ ⎛0 0 1 0 ⎞
陈必红博士学术报告会：用初等列变换解线性方程组
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Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｔ ｉ ｐ ｅ ｉｅ ｅ ｔ ｏ ｏ ｓ ｌｅ ｔｅ ｓ ｓｅ ｏ ｉｅ ｒ ｅ ｕ ｔ ｎ ｉ ｌ ｍｅ ｔｒ Ｏ ｎ ｏｕ ａ ｌ ｓｒ ｃ ： ｈ ｓ 印 ｒｇｖ ｓ ａ ｎ ｗ ｍｅ ｄ ｔ ｏｖ ｙ ｔｍ ｆｌ ａ ｑ ａｉ ｓ ｗ ｔ ｅｅ ｎ ａ ｙ Ｉ Ｗ ａ ｄ ｃ ｌ ｍｎ ｔ ｉ ｈ ｈ ｎ ｏ ｈ ｒ ｓ ｆｒ ｔ ｎ ｎ ｉ ｕ ｓ ｔ ｏ ｃ ｓ ． ｏ ｆ ｃｅ ｔｍａｒ ｅ ｒ ｎ ｅ ｔ ｌ ；２． ｏ ｉｉｎ ｔｉｅ ｒ ｅ ｅ ａ ｘ ｎ ｍａｒ． ｏ ｍａ ｏ ，ａ ｄ ｄ ｓ ｓ ｗ ｕｅ ：１ Ｃ ｅｔ ｉｎ ｔｉ ｓａ ｃ ｉ ｖ ｒ ｂ ｅ ｉ ｃ ｉ ｘ ｉ Ｃ ｆ ｃｅ ｔｍａｒ ｓ ａｃ ｇ ｎ ｒｌｍ ｔ ｘ ｉ ｘ ｓ ｈ ｓ ｍｅ ｏ ｓｅ ｓ ｐ ｒ ｔ ｎ ｅ ｃ ｎ ｌ ｓ ｎ ｉ ｉ ｎ ａ ｔ ｅ ．Ｔ ｉ ｔ ｄ ｉ ａ ｙ ｔ ｏ ｅ ａｅ ａ ｄ ｔ ｏ ｃｕ ｉ ｓｇ ￣ｅ ｎ ． ｈ ｏ ｈ ｏ ｓ Ｋｅ ｒ ｓ ｅ ｅ ｎａ ｙ ｍａｒ ｙ ｗｏ ｄ ： ｌｍｅ ｔｒ ｔ ｘ；ｅ ｅ ｎａ ｙ ｔａ ｓｏｍａｉｎ；ｉ ｖ ｒ ｂ ｅ ｍａ ｒ ；ｒ ｎ ｙ ｔ ｍ ｆ ｉ ｅ ｑ ａｉｎ ｉ ｌ ｍｅ ｔｒ ｎ ｆｒ ｔ ｒ ｏ ｎ ｅｔ ｌ ｔｉ ａ ｋ ｓ ｓｅ ｏ ｎ ａ ｅ ｕ ｔ ｓ ｉ ｘ ｌ ｒ ｏ
第 ６卷
第 ３期
贵 阳学 院学 报 （ 自然 科学版 ） （ 刊 ） 季
Ｊ ＯＵＲ ＮＡＬ ＯＦ ＧＵＩ ＹＡＮＧ ＣＯ 工 Ｅ Ｉ ＥＧ
Ｖｏ Ｎｏ ３ Ｌ６ ．
２ １ 年 ９月 ０１
Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎｅ Ｑ ａｔｒ ） ａ ａ Ｓｉ ｃｓ（ ｕｒ ｌ ｕ ｅ ｅｙ
由Ｐ Ｑ ＝Ｅ得 Ａ ＝Ｐ ～， Ａ Ｑ 于是 Ａ ＝Ｑ ～ Ｐ。
定理 ２ Ａ是 一个 儿阶可逆 矩 阵 ， Ａ ＝Ｅ ， ＰＱ
则线性方程组 Ａ ＝ｂ 有唯一解 Ｘ ＝Ｑ Ｐ ） （ｂ 。
收稿 日 ： １ — ５— ９ 期 ２ １ ０ １ ０ 作者简介 ： 冯林安（９６一 ， ， １６ ）男 贵州正安人 ， 贵阳学院数学 系副教学 ， 研究方向 ： 代数及应用 。
— —
４ — —
因为 Ｘ ＝ Ａ ～ｂ， Ａ ＝ Ｑ ， 以 又 ～ Ｐ 所
＝ Leabharlann Ｑ Ｐ ） （ ｂ。 定 理 ３ Ａ是 一个 １ ×ｎ矩阵 ， ７ １ ， Ａ的秩为 ｒ， 线
性方程组为 Ａ ＝ｂ 。假若 ｒ阶可逆矩阵 Ｐ及 ｎ ｉ ｇ 阶
可矩 Ｑ 得 Ｑ （ ｏ） 则 逆 阵 ， ＝ｏ０ ， 使 ｒ
１ Ｐ 中后 ｍ —ｒ ） ６ 个元不全为零时 ， 线性方程
组 Ａ ＝ｂ无解 。 Ｘ
其中 是由任意常数组成的列矩阵 ， 即解 ｌ ， 中含有 儿一 个相互独立的任意常数。 ｒ 从而线性方程组 Ａ ＝ｂ 有无穷多个解 ： ＝ Ｘ Ｑ 此时解 中含 有的 ｎ—ｒ Ｙ， 个相互 独立 的任意常 数， 从而可确定线性方程组 Ａ ＝ｂ 中的 ，— 个 自 ｔｒ 由未 知量 。
Ｐ ＝。。 Ａ （０ ＱＥ ） ｒ
１ 预备知识
引理 １ 对矩阵 Ａ施行一次初等行变换就相 当于在 Ａ的左边乘以一个相应的初等矩阵 ， Ａ施 对 行一次初等列变换就相 当于在 Ａ的右边乘 以一个 相应的初等矩阵。
定理 １ Ａ是一个 ｎ阶可逆矩阵 ， 假若 １ ７ ， 阶可
逆矩阵 Ｐ、 使得 Ｐ Ｑ ＝Ｅ， Ａ ＝Ｑ Ｑ， Ａ 则 ～ Ｐ。
Ｓ ｐ ０１ ｅ ．２ １
任意初等行列混合变换 求解线性方程组
冯林安 吴茂念 ・
（． １贵州大学理学院， 贵州 贵阳 ５０２ ；． ５０ ５２ 贵阳学院数学系， 贵州 贵阳 ５００ ） ５ ０５
摘
要 ：提 出一种任意施行初等行列混合 变换求解线性方程组的新方法 ，分 两种情形 ：１ 系数 矩阵为可逆矩 ．
Ｓ ｌｅ ｔ ｅ Ｓ ｓｅ ｏ ｎ ａ ｕ ｔ ｎ ｔ ｅ ｎ ａ ｙ Ｒｏ ｏｖ ｈ ｙ ｔｍ ｆＬｉ ｅ ｒ Ｅｑ ａ ｉ ｓ、 ｈ Ｅｌｍｅ ｔ ｒ ｗ ｏ ａ ｄ Ｃｏ ｕ ｎ Ｔｒ ｎ ｆ ｒ ｔ ｎ ｎ ｌ ｍ ａ ｏ ｍａ ｉ ｓ ｏ
Ｆ ＮＧ ｉ Ｅ Ｌ ｎ—ａ ， Ｕ Ｍａ ｎ Ｗ ０一ｎ ａ ｉｎ
（ ．Ｓｈｏ ｏ ｉ ｃ ， ｕｚｏ ｎｖｒｉ ， ｕｙｎ５ ０２ ， ｈｎ ； １ ｃｏｌ ｆ ｅ ｅ Ｇ ｉ ｕＵ ｉｅ ｔ Ｇ ｉ ｇ５０ ５ Ｃ ｉ Ｓ ｎ ｃ ｈ ｓｙ ａ ａ
２ ｅａｔ ｅｔ ｆ ｔｅ ｔｓ Ｇ ｉ ｎ ｎｖｒｉ ， ｎ ａｇ５０ ０ ，Ｃ ｉａ ．Ｄ ｐｒ ｎ ｏ ｈｍａ ｃ， ｕｙ ｇＵ ｉ ｓｙ Ｇ ｙｎ ５ ０ ５ ｈｎ ） ｍ Ｍａ ｉ ａ ｅ ｔ ｉ
０ 引言
引理 ２可逆矩阵一定可以表示成初等矩 阵的 乘积。
线性方程组的理论是代数学 中的基本理论 ， 它 引理 ３ Ａ是一个 ｍ Ｘｌ ， 矩阵， Ａ的秩为 ｒ 则存 ， 在数学以及其他 自然科 学领域有着广泛 的应用 。 在 ｍ阶可逆矩阵 Ｐ及 ｎ 阶可逆矩阵 Ｑ， 使得 关于它的求解方 法——初等行变换 法 ， 几乎所 有 《 线性代数》 教材都有完善的介绍。本文提出一种 任意施行初等行列混合变换 ， 并且对初等列变换不 其中 Ｅ 是 ｒ ， 阶单位矩阵。 作任何标注来求解线性方程组的新方法 ， 取得较为 完善的结果 ， 且该方法突破了传统的思维定式 ， 因 ２ 主要结果 此有一定的理论及应用价值。
阵 ；２ 系数 矩阵为一般 ｍ ×／矩阵 ，两种方法都 简便 易行 。 ． １ － 关键 词：初等矩 阵；初等变换 ；可逆 矩阵 ；秩 ；线性方程组 中图分类号：０ ５ ． １ １２ 文献标识码 ：Ａ 文章编 号 ：１７ ６ ２ （０ １ ３— Ｏ４－ ３ ６ ３－ １５ ２ １ ）０ ００ ０
第 ６卷
第 ３期
贵 阳学 院学 报 （ 自然 科学版 ） （ 刊 ） 季
Ｊ ＯＵＲ ＮＡＬ ＯＦ ＧＵＩ ＹＡＮＧ ＣＯ 工 Ｅ Ｉ ＥＧ
Ｖｏ Ｎｏ ３ Ｌ６ ．
２ １ 年 ９月 ０１
Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎｅ Ｑ ａｔｒ ） ａ ａ Ｓｉ ｃｓ（ ｕｒ ｌ ｕ ｅ ｅｙ
由Ｐ Ｑ ＝Ｅ得 Ａ ＝Ｐ ～， Ａ Ｑ 于是 Ａ ＝Ｑ ～ Ｐ。
定理 ２ Ａ是 一个 儿阶可逆 矩 阵 ， Ａ ＝Ｅ ， ＰＱ
则线性方程组 Ａ ＝ｂ 有唯一解 Ｘ ＝Ｑ Ｐ ） （ｂ 。
收稿 日 ： １ — ５— ９ 期 ２ １ ０ １ ０ 作者简介 ： 冯林安（９６一 ， ， １６ ）男 贵州正安人 ， 贵阳学院数学 系副教学 ， 研究方向 ： 代数及应用 。
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因为 Ｘ ＝ Ａ ～ｂ， Ａ ＝ Ｑ ， 以 又 ～ Ｐ 所
＝ Leabharlann Ｑ Ｐ ） （ ｂ。 定 理 ３ Ａ是 一个 １ ×ｎ矩阵 ， ７ １ ， Ａ的秩为 ｒ， 线
性方程组为 Ａ ＝ｂ 。假若 ｒ阶可逆矩阵 Ｐ及 ｎ ｉ ｇ 阶
可矩 Ｑ 得 Ｑ （ ｏ） 则 逆 阵 ， ＝ｏ０ ， 使 ｒ
１ Ｐ 中后 ｍ —ｒ ） ６ 个元不全为零时 ， 线性方程
组 Ａ ＝ｂ无解 。 Ｘ
其中 是由任意常数组成的列矩阵 ， 即解 ｌ ， 中含有 儿一 个相互独立的任意常数。 ｒ 从而线性方程组 Ａ ＝ｂ 有无穷多个解 ： ＝ Ｘ Ｑ 此时解 中含 有的 ｎ—ｒ Ｙ， 个相互 独立 的任意常 数， 从而可确定线性方程组 Ａ ＝ｂ 中的 ，— 个 自 ｔｒ 由未 知量 。
Ｐ ＝。。 Ａ （０ ＱＥ ） ｒ
１ 预备知识
引理 １ 对矩阵 Ａ施行一次初等行变换就相 当于在 Ａ的左边乘以一个相应的初等矩阵 ， Ａ施 对 行一次初等列变换就相 当于在 Ａ的右边乘 以一个 相应的初等矩阵。
定理 １ Ａ是一个 ｎ阶可逆矩阵 ， 假若 １ ７ ， 阶可
逆矩阵 Ｐ、 使得 Ｐ Ｑ ＝Ｅ， Ａ ＝Ｑ Ｑ， Ａ 则 ～ Ｐ。
Ｓ ｐ ０１ ｅ ．２ １
任意初等行列混合变换 求解线性方程组
冯林安 吴茂念 ・
（． １贵州大学理学院， 贵州 贵阳 ５０２ ；． ５０ ５２ 贵阳学院数学系， 贵州 贵阳 ５００ ） ５ ０５
摘
要 ：提 出一种任意施行初等行列混合 变换求解线性方程组的新方法 ，分 两种情形 ：１ 系数 矩阵为可逆矩 ．
Ｓ ｌｅ ｔ ｅ Ｓ ｓｅ ｏ ｎ ａ ｕ ｔ ｎ ｔ ｅ ｎ ａ ｙ Ｒｏ ｏｖ ｈ ｙ ｔｍ ｆＬｉ ｅ ｒ Ｅｑ ａ ｉ ｓ、 ｈ Ｅｌｍｅ ｔ ｒ ｗ ｏ ａ ｄ Ｃｏ ｕ ｎ Ｔｒ ｎ ｆ ｒ ｔ ｎ ｎ ｌ ｍ ａ ｏ ｍａ ｉ ｓ ｏ
Ｆ ＮＧ ｉ Ｅ Ｌ ｎ—ａ ， Ｕ Ｍａ ｎ Ｗ ０一ｎ ａ ｉｎ
（ ．Ｓｈｏ ｏ ｉ ｃ ， ｕｚｏ ｎｖｒｉ ， ｕｙｎ５ ０２ ， ｈｎ ； １ ｃｏｌ ｆ ｅ ｅ Ｇ ｉ ｕＵ ｉｅ ｔ Ｇ ｉ ｇ５０ ５ Ｃ ｉ Ｓ ｎ ｃ ｈ ｓｙ ａ ａ
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０ 引言
引理 ２可逆矩阵一定可以表示成初等矩 阵的 乘积。
线性方程组的理论是代数学 中的基本理论 ， 它 引理 ３ Ａ是一个 ｍ Ｘｌ ， 矩阵， Ａ的秩为 ｒ 则存 ， 在数学以及其他 自然科 学领域有着广泛 的应用 。 在 ｍ阶可逆矩阵 Ｐ及 ｎ 阶可逆矩阵 Ｑ， 使得 关于它的求解方 法——初等行变换 法 ， 几乎所 有 《 线性代数》 教材都有完善的介绍。本文提出一种 任意施行初等行列混合变换 ， 并且对初等列变换不 其中 Ｅ 是 ｒ ， 阶单位矩阵。 作任何标注来求解线性方程组的新方法 ， 取得较为 完善的结果 ， 且该方法突破了传统的思维定式 ， 因 ２ 主要结果 此有一定的理论及应用价值。
阵 ；２ 系数 矩阵为一般 ｍ ×／矩阵 ，两种方法都 简便 易行 。 ． １ － 关键 词：初等矩 阵；初等变换 ；可逆 矩阵 ；秩 ；线性方程组 中图分类号：０ ５ ． １ １２ 文献标识码 ：Ａ 文章编 号 ：１７ ６ ２ （０ １ ３— Ｏ４－ ３ ６ ３－ １５ ２ １ ）０ ００ ０