数图形的个数常用方法和规律
数正方形个数的方法
数正方形个数的方法数正方形的个数方法正方形是一种具有四条边相等且四个内角均为直角的特殊多边形。
在数学中，我们经常遇到需要计算正方形的个数的问题。
本文将介绍一些常用的方法，帮助读者更好地理解和解决这类问题。
方法一：直观计数法直观计数法是最简单的一种方法。
我们可以通过观察图形，逐个数出正方形的个数。
以一个小正方形为起点，从左上角开始，向右下方依次延伸直线，如果能画出一个完整的正方形，则计数加一。
通过这种方法，我们可以逐个统计出每个大小的正方形的个数，再将它们相加得到总数。
方法二：递推法递推法是一种更快速的计算方法。
我们可以通过观察规律，得出正方形个数的递推公式。
首先，我们可以将正方形按照边长来分类，即按照边长为1、边长为2、边长为3，以此类推。
对于边长为n的正方形，它的个数可以表示为n*n。
因此，我们可以通过递归的方式，先计算边长为1的正方形的个数，然后依次计算边长为2、3、4的正方形的个数，直到所需的边长为n的正方形。
方法三：数学公式法数学公式法是一种更抽象的计算方法。
我们可以通过数学公式来计算正方形的个数。
根据数学定理，n个点可以构成n(n-1)(2n-1)/6个不同的正方形。
其中，n表示边长。
因此，我们可以通过将图形划分为n个小正方形，然后计算出这些小正方形的个数，再根据公式来计算出正方形的总个数。
方法四：分解法分解法是一种将复杂问题分解为简单问题的方法。
我们可以将大正方形分解为若干个小正方形，然后计算出每个小正方形的个数，再将它们相加得到总数。
例如，我们可以将大正方形分解为1*1、2*2、3*3，以此类推的小正方形。
然后，我们可以计算出每个小正方形的个数，再将它们相加得到总数。
方法五：套用公式法套用公式法是一种根据已有的公式来快速计算的方法。
例如，我们可以根据已知的正方形的个数公式，套用到我们需要求解的问题中。
如果我们已知一个边长为n的正方形的个数，我们可以将n+1代入公式，计算出边长为n+1的正方形的个数。
数数图形
数 数 图 形例1：数出下面图中有多少条线段。
点出发有2条线段，从C 点除非有1条线段。
共3+2+1=6（条）。
进一步观察发现，线段总数等于规律也适用于其它一些图形。
练习1：数出右图中有多少个锐角。
2：数一数右图中共有多少个三角形。
图中如果没有A'D'，三角形的个数是1+2+3=6（个）是之前的两倍，即12个。
例3：数一数右图中共有多少个长方形。
分析：图中AB 边上有线段1+2+3=6（条），AD 边上有1+2=3条线段，（1+2+3）×（1+2）=18（个）。
数长方形可以用下面的公式：长边上的线段×宽边上的线段=长方形的个数。
练习：右面图中有几个长方形？例4：数一数，右图中有多少个正方形？分析：图中边长为1的正方形有3×3= 9（个）。
边长为22×2= 4（个），边长为3的正方形有1×1= 1（个），所以总数为1×1+2×2+3×3=14（个）。
进一步分析可以发现，由相同的n×n个小方格组成的n行n列的正方形中所含的正方形总数为：1×1+2×2+……＋n×n。
练习：右面图中有几个正方形？例5：数一数，下图中有多少个正方形？分析：边长是1的正方形有3×2=6个，边长是2的正方形有2×1=2个，所以总数为3×2+2×1=8个。
进一步分析可以发现，一般情况下，如果一个长方形的长被分成m 等份，宽被分成n等份，那么正方形的总数为（n＜m）：mn+（m－1）（n－1）+（m－2）（n－2）+……+（m－n＋1）×1。
练习：右图中有几个正方形？例6：人民路小学操场长90米，宽45米，改造后，长增加10米，宽增加5米。
现在操场面积比原来增加了多少平方米？[分析]用操场现在的面积减去操场原来的面积，就得到增加的面积，操场现在的面积是（90+10）×（45+5）=5000（平方米），操场原来的面积是：90×45=4050（平方米）。
巧数图形
奥数
年级
三年级课时ຫໍສະໝຸດ 3授课教师夏老师
课题名称
教学目标
初步掌握数图形的基本方法，学会正确数出图形的个数，通过观察寻找规律，探究计算方法。
教学重点
数图形的基本方法；正确数出图形的个数。
教学难点
寻找数图形规律并探究计算方法。
教学流程
一、导入
晚饭过后，妈妈给小明出了一道“试眼力”的题目：数数窗户上一共有几个正方形。小明看，立刻回答：“窗户上有6个正方形。”妈妈笑了，爷爷在一旁也笑了，小明给弄了个“丈二和尚摸不着头脑”。小朋友，你知道小明的爷爷妈妈为什么笑吗？小明数的难道不对吗？如果不对，那么窗户上共有几个正方形呢？下面我们就一起来研究数图形的问题。
二、新课（例题）
例1、下图中有多少条线段？
例2、下面图形中有几个角？
例3、下图中共有多少个三角形？
雅思英语学校教案
教学流程
例4、右图中有多少个正方形？
例5、数一数图中共有多少个三角形？
三、巩固练习
1．下图中各有多少条线段？
（1）
（2）
（3）
2．下图中有多少个角？
3．下图中各有多少个三角形？
(1)
(2)
（3） （3）
（4）
4．下图中各有多少个长方形？
(1)
(2)
(3)
5．下图中有多少个正方形？
四、全课小结
通过本次课的学习你有哪些收获？
五、课后作业
教学反思
在教学生对计算常规长方形和正方形的个数时没有很浅显易懂的解释清楚公式的原理，导致学生只能生搬公式解题，所以前期有很多问题出现；部分学生对一些难度简单升级的题型不会仔细观察，灵活处理。
学生家长签字
小学数学解题思路技巧：怎样数图形的个数
小学数学解题思路技巧：怎样数图形的个数小学数学解题思路技巧：如何数图形的个数知识要点】1.如何数一条直线上线段的条数？在一条直线上，如果有n条独立线段，我们将它们编号为1、2、3、…、n，则这条直线上所有线段的条数是：1 +2 +3 + … + n2.用数线段条数的方法，数角、三角形、长方形和立方体的个数。
范例解析】例1：数出图5-1中各条线上线段的总条数。
⑴ └──┴──┴──┘⑵ └─┴─┴─┴─┴─┴─┘⑶ └─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┘图5-1分析⑴图中线上有三条独立线段，我们将这三条独立线段编号为1、2、3，如图5-2所示：123图5-2现在，我们这样来数：单独的线段有：⑴、⑵、⑶这三条；由两条独立线段合并成一条线段的有：(1,2)、(2,3)这两条；由三条独立线段合并成一条线段的有：(1,2,3)这一条。
经过计算，我们得出图中有6条线段。
有趣的是，这个得数6正是我们所编号的1、2、3这三个连续数的和。
这是不是巧合呢？我们再来看⑵和⑶的结果。
⑵我们仿照⑴的作法将⑵图中的独立线段编号为1、2、3、4、5、6，如图5-3所示：图5-3单独的线段有：⑴、⑵、⑶、⑷、⑸、⑹一共6条；两条合并成一条有：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)一共5条；三条并成一条的有：(1,2,3)、(2,3,4)、(3,4,5)、(4,5,6)一共有4条；四条并成一条的有：(1,2,3,4)、(2,3,4,5)、(3,4,5,6)一共有3条；五条并成一条的有：(1,2,3,4,5)、(2,3,4,5,6)一共有2条；六条并成一条的有：(1,2,3,4,5,6)只1条。
总条数也正好是编号的6和连续数的和，即1+2+3+4+5+6=21条。
⑶将图5-4中的单独线段进行编号如下：xxxxxxxx9图5-4单独线段：⑴、⑵、⑶、⑷、⑸、⑹、⑺、⑻、⑼一共9条；两合一线段：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)、(7,8)、(8,9)一共8条；三合一线段：(1,2,3)、(2,3,4)、(3,4,5)、(4,5,6)、(5,6,7)、(6,7,8)、(7,8,9)一共有7条；共有6条四合一线段，5条五合一线段，4条六合一线段，3条七合一线段，2条八合一线段，1条九合一线段，总共45条线段。
(完整)二年级图形的个数
第6讲 图形个数一、知识要点 同学们，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形、长方形……那就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。
要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。
首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。
二、精讲精练【例题1】数出下图中有多少条线段？【思路导航】方法一：我们可以采用以线段左端点分类数的方法。
以A 点为左端点的线段有：AB 、AC 、AD 3条；以B 点为左端点的线段有：BC 、BD 2条；以C 点为左端点的线段有：CD 1条。
所以，图中共有线段3+2+1=6（条）。
方法二：把图中线段 AB 、BC 、CD 看做基本线段来数，那么，由1条基本线段构成的线段有：AB 、BC 、CD 3条；由2条基本线段构成的线段有:AC 、BD 2条；由3条基本线段构成的线段有：AD 1条。
所以，图中一共有3+2+1=6（条）线段。
练习1：（1）数出下图中有多少条线段？（2）数出下图中有几个长方形？E A B C D D A BC【例题2】数出图中有几个角？【思路导航】数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。
方法一：以OA 为一边的角有：∠AOB 、∠AOC 、∠AOD 3个；以OB 为一边的角还有：∠BOC 、∠BOD 2个；以OC 为一边的角还有：∠COD 1个。
所以，图中共有角3+2+1=6（个）。
方法二：把图中∠AOB 、∠BOC 、∠COD 看做基本角来数，那么，由1个基本角构成的角有：∠AOB 、∠BOC 、∠COD 3个；由2个基本角构成的角有: ∠AOC 、∠BOD 2个；由3个基本角构成的角有：∠AOD 1个。
所以，图中一共有3+2+1=6（个）角。
练习2：数出图中有几个角？【例题3】数出右图中共有多少个三角形？ 【思路导航】方法一：我们可以采用按边分类数的方法。
小学数学《数图形》教案
小学数学《数图形》教案教学内容：教学目标：学会数图形的技巧和方法教学难点：把一些图形放在一起，如何既不遗漏，又不重复地数出来，还有一些复杂的图形由若干个基本图形组合而成教学过程一、快速抢答：（课件出示）1、把一只鸡和一只鹅同时放进冰箱里，为什么鸡死了鹅没有死？答案：企鹅嘛。
2、什么人生病从来不看医生？答案：盲人。
3、哪一年哪月有二十八天？答案：每个月都有二十八号。
4、用铁锤锤鸡蛋为什么锤不破？答案：铁锤当然不会破了。
5、冬瓜、黄瓜、西瓜、南瓜都能吃，什么瓜不能吃？答案：傻瓜。
二、复习旧知．三、探索新知：（一）教学例1．1、出示例1：数图形。
正方形( )个长方形（）个三角形（）个圆形（）个平行四边形（）个2、引导学生读题，分析题意：上图中图形摆放的比较凌乱，数这样的凌乱放置的图形，不同的图形用不同的标记做记号，如图：3、学生自主探究。
4、交流汇报，教师点拨。
解：正方形（2）个；长方形（4）个；三角形（3）个；圆形（4）个；平行四边形（1 ）个。
（二）巩固练习：看一看，下图中共有几种图形，并数出每种图形的个数。
正方形（）个；长方形（）个；三角形（）个；圆形（）个。
（三）教学例2．1、出示例题：数一数，图中共有多少条线段？2、引导学生读题，分析题意：一段一条的有4条；两段一条的有3条；三段一条的有2条；四段为一条的有1条。
解：一共有4+3+2+1=10（条）3、学生自主探究。
4、交流汇报，教师点拨。
（四）巩固练习：数一数，下图中有（）个角。
（五）教学例3．1、出示例3：下图中共有（）个。
2、引导学生读题，分析题意：这道题可以按照的大小来分类。
图中有4个小的，还有一个由4个组成的大。
如图：3、学生自主探究。
4、交流汇报，教师点拨。
解：共有（5）个。
（六）巩固练习：数图形。
（）个长方形（）个正方形（七）教学例4．1、出示例4：下图中共有（）三角形。
2、引导学生读题，分析题意：这道题可以按照三角形大小分类来数，图中共有4个大小不同的三角形。
五年级图形的规律
方法：①观察变化的规律。
②抓住每次变化的规律与图形次数的关系。
一．照这样摆下去。
（n表示的是图形的个数）除了第1根小棒，观察到每摆一个三角形就多2根小棒，也就1. ……是摆几个这样的三角形，就要用几个2根小棒。
同时别忘了，开头的第1根没算进去。
可得，摆n个三角形就有（2n＋1）根小棒。
①照这样摆下去，20个三角形要几根小棒？②154根小棒最多可以摆几个这样的三角形？20×2＋1= 41（根）（154－1）÷2=76（个）…… 1（根）答：20个三角形要41根小棒。
答：152根小棒最多可以摆76个这样的三角形。
除了第1根小棒，观察到每摆一个正方形就多3根小棒，也就2. ……是摆几个这样的正方形，就要用几个3根小棒。
同时别忘了，开头的第1根没算进去。
可得，摆n个正方形就有（3n＋1）根小棒。
①照这样摆下去，20个正方形要几根小棒？②154根小棒最多可以摆几个这样的三角形？20×3＋1= 61（根）（154－1）÷3 = 51（个）答：20个三角形要61根小棒。
答：153根小棒最多可以摆51个这样的正方形。
……规律同上3. ……除了第1根小棒，观察到每摆一个正五边形就多4根小棒，也就是摆几个这样的正五形，就要用几个4根小棒。
同时别忘了，开头的第1根没算进去。
可得，摆n个正方形就有（4n＋1）根小棒。
①照这样摆下去，20个正五边形要几根小棒？②154根小棒最多可以摆几个这样的正五边形？20×4＋1= 81（根）（154－1）÷4 = 38（个）…… 1（根）答：20个正五边形要81根小棒。
答：153根小棒最多可以摆20个这样的正五边形。
4. ……除了第1根小棒，观察到每摆一个正六边形就多5根小棒，也就是摆几个这样的正六边形，就要用几个5根小棒。
同时别忘了，开头的第1根没算进去。
可得，摆n个正六边形就有（5n＋1）根小棒。
①照这样摆下去，20个六边形要几根小棒？②154根小棒最多可以摆几个这样的六边形？20×5＋1= 101（根）（154－1）÷5 = 30（个）…… 3（根）答：20个正六边形要101根小棒。
人教版三年级数学思维训练第十一讲巧数图形
第十一章 巧数图形知识导航小朋友们，在日常生活和学习中，我们经常会碰到由线段、三角形、四边形等组成的图形，你想学会数这些图形的方法吗？数图形，初看很容易，只要数一数就能得出结果。
其实，并不那么容易。
由于几何图形千变万化，错综复杂，要想准确数出图形中所包含的某一种几何图形的个数，首先一定要仔细观察，分析比较，掌握有条理、有次序地数图形的方法；其次要做到不重复、不遗漏。
要想不重复、不遗漏地数出线段、角、三角形、长方形等图形的个数，那就必须有次序、有条理地数，数中发现规律，以便得到正确的结果。
数图形时，我们通常采用枚举法，可以是按顺序数，也可以是分类数，把所要计数的对象一一列举出来。
首先，我们可以从数基本图形的个数入手；然后，我们再数出由基本图形组成的新图形的个数；最后求出它们的和即可。
数图形的常用方法和技巧如下：不同的图形特别是规则图形，其数法还是有径可循的。
图解思维训练题例1 数出下图中共有几条线段？图解思路我们先来学习几种数图形的不同方法，这些方法在以后的题目中要经常用到，且要灵活运用。
方法一 我们知道，每条线段都有2个端点。
相邻两个端点之间的线段为1条基本线段。
下面我们先来数出由1条基本线段组成的线段，共有5条，分别是AB、BC、CD、DE、EF如下图所示。
由2条基本线段组成的线段有4条，分别是AC、BD、CE、DF，如下图。
由3条基本线段组成的线段有3条，分别是AD、BE、CF，如下图。
由4条基本线段组成的线段有2条，分别是AE、BF，如下图。
最后由5条基本线段组成的线段，只有1条是AF，如下图。
最后将所有线段相加就是线段总条数。
方法二 按左边的端点变化来数，先数以A为左端点的线段有AB、AC、AD、AE、AF，共有5条。
如下图。
以B为左端点的线段有BC、BD、BE、BF，共有4条。
如下图。
以C为左端点的线段有CD、CE、CF，共有3条。
如下图。
以D为左端点的线段有DE、DF，共有2条。
如下图。
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数出某种图形的个数是一类有趣的图形问题。
由于图形千变万化，错综复杂，所以要想准确地数出其中包含的某种图形的个数，还真需要动点脑筋。
要想有条理、不重复、不遗漏地数出所要图形的个数，最常用的方法就是分类数。
例1数出下图中共有多少条线段。
分析与解：我们可以按照线段的左端点的位置分为A，B，C三类。
如下图所示，以A为左端点的线段有3条，以B为左端点的线段有2条，以C为左端点的线段有1条。
所以共有3＋2＋1＝6(条)。
我们也可以按照一条线段是由几条小线段构成的来分类。
如下图所示，AB，BC，CD是最基本的小线段，由一条线段构成的线段有3条，由两条小线段构成的线段有2条，由三条小线段构成的线段有1条。
所以，共有3＋2＋1＝6(条)。
由例1看出，数图形的分类方法可以不同，关键是分类要科学，所分的类型要包含所有的情况，并且相互不重叠，这样才能做到不重复、不遗漏。
例2 下列各图形中，三角形的个数各是多少？
分析与解：因为底边上的任何一条线段都对应一个三角形(以顶点及这条线段的两个端点为顶点的三角形)，所以各图中最大的三角形的底边所包含的线段的条数就是三角形的总个数。
由前面数线段的方法知，
图(1)中有三角形1＋2＝3(个)。
图(2)中有三角形1＋2＋3=6(个)。
图(3)中有三角形1＋2＋3＋4＝10(个)。
图(4)中有三角形1＋2＋3＋4＋5＝15(个)。
图(5)中有三角形
1＋2＋3＋4＋5＋6=21(个)。
例3下列图形中各有多少个三角形？
分析与解：(1)只需分别求出以AB，ED为底边的三角形中各有多少个三角形。
以AB为底边的三角形ABC中，有三角形
1＋2＋3＝6(个)。
以ED为底边的三角形CDE中，有三角形
1＋2＋3＝6(个)。
所以共有三角形6＋6=12(个)。
这是以底边为标准来分类计算的方法。
它的好处是可以借助“求底边线段数”而得出三角形的个数。
我们也可以以小块个数作为分类的标准来计算：图中共有6个小块。
由1个小块组成的三角形有3个；
由2个小块组成的三角形有5个；
由3个小块组成的三角形有1个；
由4个小块组成的三角形有2个；
由6个小块组成的三角形有1个。
所以，共有三角形
3＋5＋1＋2＋1＝12(个)。
(2)如果以底边来分类计算，各种情况较复杂，因此我们采用以“小块个数”为分类标准来计算：由1个小块组成的三角形有4个；
由2个小块组成的三角形有6个；
由3个小块组成的三角形有2个；
由4个小块组成的三角形有2个；
由6个小块组成的三角形有1个。
所以，共有三角形
4＋6＋2＋2＋1＝15(个)。
例4右图中有多少个三角形？
解：假设每一个最小三角
形的边长为1。
按边的长度来分
类计算三角形的个数。
边长为1的三角形，从上到下一层一层地数，有
1＋3＋5＋7=16(个)；
边长为2的三角形(注意，有一个尖朝下的三角形)有1＋2＋3＋1=7(个)；
边长为3的三角形有1＋2＝3(个)；
边长为4的三角形有1个。
所以，共有三角形
16＋7＋3＋1＝27(个)。
例5数出下页左上图中锐角的个数。
分析与解：在图中加一条虚线，如下页右上图。
容
易发现，所要数的每个角都对应一个三角形(这个角与它所截的虚线段构成的三角形)，这就回到例2，从而回到例1的问题，即所求锐角的个数，就等于从O点引出的6条射线将虚线截得的线段的条数。
虚线上线段的条数有
1+2+3+4+5=15(条)。
所以图中共有15个锐角。
例6在下图中，包含“*”号的长方形和正方形共有多少个？
解：按包含的小块分类计数。
包含1小块的有1个；包含2小块的有4个；包含3小块的有4个；包含4小块的有7个；
包含5小块的有2个；包含6小块的有6个；
包含8小块的有4个；包含9小块的有3个；
包含10小块的有2个；包含12小块的有4个；
包含15小块的有2个。
所以共有
1＋4＋4＋7＋2＋6＋4＋3＋2＋4＋2=39(个)。
练习11
1.下列图形中各有多少条线段？
2.下列图形中各有多少个三角形？
3.下列图形中，各有多少个小于180°的角？
4.下列图形中各有多少个三角形？
5.下列图形中各有多少个长方形？
6.下列图形中，包含“*”号的三角形或长方形各有多少？
7.下列图形中，不含“*”号的三角形或长方形各有几个？。