条件概率与概率的乘法公式
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条件概率与乘法公式
概率论
85 1946 72 3 0
引例：一批产品组成情况如下图所示。
生
产
等
厂
级
正品
甲厂 乙厂 35 50
合计 85
次品 合计
5 10
15
40 60
100
从这100件产品中任意取出一件，用A表示“取出 一件为正品”，B表示“取出一件为甲厂产品”。
概率论
85 1946 72 3 0
则显然有：
p( A) 85 , p(B) 40 , P( AB) 35
设 A, B 是两个事件, 且 P( A) 0, 称 P( B A) P( AB) P( A)
为在事件 A 发生的条件下事件B 发生的条件概率.
同理可得 P(B) 0时, P( A B) P( AB) P(B)
为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率.
概率论
85 1946 72 3 0
条件概率
概率论
85 1946 72 3 0
• 我们在解决有些概率问题时，往往需要在 有某些附加条件(信息)下求事件的概率.
• 条件概率：在事件Ａ发生的条件下求事件 Ｂ发生的概率，叫做Ａ发生的条件下Ｂ发 生的条件概率。将此概率记作P(Ｂ|Ａ).
• 一般 P(Ｂ|Ａ) ≠ P(Ｂ) ，
那么 P(Ｂ|Ａ) ＝？
100
100
100
如果已经确认取出一件为甲厂的产品，
85 1946 72 3 0
考虑事件B已经发生，即所取产品为甲厂的40 件中的一件，所以它是正品的概率为：
35
35 100
p( AB)
40
40 100
p(B)
概率论
85 1946 72 3 0
85 1946 72 3 0
引例：一批产品组成情况如下图所示。
生
产
等
厂
级
正品
甲厂 乙厂 35 50
合计 85
次品 合计
5 10
15
40 60
100
从这100件产品中任意取出一件，用A表示“取出 一件为正品”，B表示“取出一件为甲厂产品”。
概率论
85 1946 72 3 0
则显然有：
p( A) 85 , p(B) 40 , P( AB) 35
设 A, B 是两个事件, 且 P( A) 0, 称 P( B A) P( AB) P( A)
为在事件 A 发生的条件下事件B 发生的条件概率.
同理可得 P(B) 0时, P( A B) P( AB) P(B)
为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率.
概率论
85 1946 72 3 0
条件概率
概率论
85 1946 72 3 0
• 我们在解决有些概率问题时，往往需要在 有某些附加条件(信息)下求事件的概率.
• 条件概率：在事件Ａ发生的条件下求事件 Ｂ发生的概率，叫做Ａ发生的条件下Ｂ发 生的条件概率。将此概率记作P(Ｂ|Ａ).
• 一般 P(Ｂ|Ａ) ≠ P(Ｂ) ，
那么 P(Ｂ|Ａ) ＝？
100
100
100
如果已经确认取出一件为甲厂的产品，
85 1946 72 3 0
考虑事件B已经发生，即所取产品为甲厂的40 件中的一件，所以它是正品的概率为：
35
35 100
p( AB)
40
40 100
p(B)
概率论
85 1946 72 3 0
条件概率和乘法公式
机器学习算法
朴素贝叶斯分类器
01
朴素贝叶斯分类器是一种基于贝叶斯定理的分类算法，它利用
条件概率和乘法公式来计算给定特征下类别的概率。
隐马尔可夫模型
02
隐马尔可夫模型是一种用于序列标注和预测的模型，它利用条
件概率和乘法公式来计算状态转移和观测的概率。
条件随机场
03
条件随机场是一种用于自然语言处理的模型，它利用条件概率
03
在学习和应用概率论的过程中，我们需要注重培养自己的逻辑思维和分析能力 。通过深入思考和探究概率论中的问题，我们可以提高自己的数学素养和解决 问题的能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
THANKS
感谢观看
• 在学习条件概率和乘法公式的过程中，我们需要掌握相关的概念和公式，并能 够灵活运用它们解决实际问题。同时，我们还需要了解条件概率和乘法公式的 局限性和假设条件，以避免在实际应用中出现错误。
• 除了条件概率和乘法公式，概率论中还有许多其他重要的概念和公式，例如全 概率公式、贝叶斯公式、独立性等。这些概念和公式之间有着密切的联系和相 互影响，我们需要系统地学习和理解它们，以建立完整的概率论知识体系。
02
乘法公式及其应用
乘法公式的推导
01
定义
乘法公式描述了两个事件A和B同时发生的概率与事件A发生的概率和事
件B发生的概率之间的关系。
02 03
推导
乘法公式基于概率的独立性假设，即事件A的发生不影响事件B的发生， 反之亦然。因此，事件A和事件B同时发生的概率等于各自发生的概率 的乘积。
公式
$P(A cap B) = P(A) times P(B)$
展望Βιβλιοθήκη 01随着科技的不断发展，概率论在各个领域的应用越来越广泛。未来，条件概率 和乘法公式等概率论知识将更加受到重视和应用。
条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式
n), 则 P ( A) P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B2 ) P ( B2Bn )
称为全概率公式.
B2
A
B1
Bn1 Bn
B3
证 因为
A AS A( B1 B2 Bn )
B2
A
B1
Bn1 Bn
那么, 全概率公式和贝叶斯公式变为
P ( A) P ( A B ) P ( B ) P ( A B ) P ( B ),
P( A B )P(B ) P ( AB ) . P ( B A) P ( A) P ( A B ) P ( B ) P ( A B ) P ( B )
例5
某电子设备制造厂所用的元件是由三家
打破”.以B表示事件“透镜落下三次而未打破 ” .
因为B A1 A2 A3 , 故有 P ( B ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A2 A1 ) P ( A1 ) 7 1 9 1 1 1 2 10 10
P ( B1 ) 0.3,
P ( B2 ) 0.5,
P ( B3 ) 0.2,
P ( A B1 ) 0.02, P ( A B2 ) 0.01, P ( A B3 ) 0.01, 故 P ( A) P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B2 ) P ( B2 ) P ( A B3 ) P ( B3 )
例4 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下 时打破的概率为1/2, 若第一次落下未打破, 第二次 落下打破的概率为7/10, 若前两次落下未打破, 第三 次落下打破的概率为9/10. 试求透镜落下三次而未 打破的概率.（积事件概率） 解 以Ai ( i 1,2,3,4)表示事件“透镜第 i次落下
称为全概率公式.
B2
A
B1
Bn1 Bn
B3
证 因为
A AS A( B1 B2 Bn )
B2
A
B1
Bn1 Bn
那么, 全概率公式和贝叶斯公式变为
P ( A) P ( A B ) P ( B ) P ( A B ) P ( B ),
P( A B )P(B ) P ( AB ) . P ( B A) P ( A) P ( A B ) P ( B ) P ( A B ) P ( B )
例5
某电子设备制造厂所用的元件是由三家
打破”.以B表示事件“透镜落下三次而未打破 ” .
因为B A1 A2 A3 , 故有 P ( B ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A2 A1 ) P ( A1 ) 7 1 9 1 1 1 2 10 10
P ( B1 ) 0.3,
P ( B2 ) 0.5,
P ( B3 ) 0.2,
P ( A B1 ) 0.02, P ( A B2 ) 0.01, P ( A B3 ) 0.01, 故 P ( A) P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B2 ) P ( B2 ) P ( A B3 ) P ( B3 )
例4 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下 时打破的概率为1/2, 若第一次落下未打破, 第二次 落下打破的概率为7/10, 若前两次落下未打破, 第三 次落下打破的概率为9/10. 试求透镜落下三次而未 打破的概率.（积事件概率） 解 以Ai ( i 1,2,3,4)表示事件“透镜第 i次落下
概率：乘法公式及其应用
这好象给了我们一个“情报”，使我们 得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.
2. 条件概率的定义 设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称 P ( AB) (1) P ( A | B) P ( B)
为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.
B
若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既 在 B 中又在A中的样本点 , 即 此点必属于AB. 由于我们已经 知道B已发生, 故B变成了新的 样本空间 , 于是 有(1).
对于看守的上述理由,你是怎么想的?
解：记 A={囚犯甲被处决}, B={囚犯乙被处决}
C={囚犯丙被处决} 依题意，P(A)=1/3, P(A| B)=P(A)／[1-P(B)]=1/2, 甲 P(A|C )=1/2, 看守说得对.
对于看守的上述理由,你是怎么想的?
解：记 A={囚犯甲被处决}, B={囚犯乙被处决}
概率：乘法公式及其应用
一、条件概率
1. 条件概率的概念
在解决许多概率问题时，往往需要在 有某些附加信息(条件)下求事件的概率. 如在事件B发生的条件下求事件A发生的 概率，将此概率记作P(A|B). 一般 P(A|B) ≠ P(A)
例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，
B={掷出偶数点}， P(A )=1/6， P(A|B)=？
1000 个
求的是 P(A|B) .
B发生, 在P(AB)中作为结果; 在P(A|B)中作为条件.
例3 设某种动物由出生算起活到20年以上的 概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现 年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概 率是多少？
解：设A={能活20年以上}，B={能活25年以上} 所求为P(B|A) . 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4
2. 条件概率的定义 设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称 P ( AB) (1) P ( A | B) P ( B)
为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.
B
若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既 在 B 中又在A中的样本点 , 即 此点必属于AB. 由于我们已经 知道B已发生, 故B变成了新的 样本空间 , 于是 有(1).
对于看守的上述理由,你是怎么想的?
解：记 A={囚犯甲被处决}, B={囚犯乙被处决}
C={囚犯丙被处决} 依题意，P(A)=1/3, P(A| B)=P(A)／[1-P(B)]=1/2, 甲 P(A|C )=1/2, 看守说得对.
对于看守的上述理由,你是怎么想的?
解：记 A={囚犯甲被处决}, B={囚犯乙被处决}
概率：乘法公式及其应用
一、条件概率
1. 条件概率的概念
在解决许多概率问题时，往往需要在 有某些附加信息(条件)下求事件的概率. 如在事件B发生的条件下求事件A发生的 概率，将此概率记作P(A|B). 一般 P(A|B) ≠ P(A)
例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，
B={掷出偶数点}， P(A )=1/6， P(A|B)=？
1000 个
求的是 P(A|B) .
B发生, 在P(AB)中作为结果; 在P(A|B)中作为条件.
例3 设某种动物由出生算起活到20年以上的 概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现 年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概 率是多少？
解：设A={能活20年以上}，B={能活25年以上} 所求为P(B|A) . 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4
1.4(条件概率与乘法公式)
. P( A) 2
方法2[在缩减样本空间A中计算]
“第一次取一等品的两只”均为A所含样本点,共有
C C 12 ,其中两只均为一等品的为AB所含样本点,
1 3 1 4
1 1 共有C3 C2 6, 故由古典概率公式得: ■
P( B | A)
6 12
1 2
.
AB
A
S
1.4.1 条件概率
P(A B) P ( AB ) P(B)
(1.3)
不难看出，计算条件概率P(B|A)有两种方法：
在原样本空间 中分别求出P(A),P(AB),再 按定义公式计算； 在缩减样本空间A中按一般概率P(B)计算。
【例1】一盒子装有5只产品，其中3只一等品，2只二
等品。从பைடு நூலகம்取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。
P ( Bi | A )
i1
P ( Bi A )
i1
所以,条件概率P(· A)也满足概率的所有其他性 | 质．
1.4.1 条件概率
例如:
( 4 ) P ( A1 A2 B ) P ( A1 B ) P ( A2 B ) P ( A1 A2 B );
( 5 ) P ( A B ) 1 P ( A B ).
(6 ) 可列可加性 的事件 , 则有 : 设 B1 , B 2 , , B n 是两两不相容
n P Bi A i1
n
P ( B i A ).
i1
1.4.1 条件概率
【例1.11】设某种动物从出生起活20岁以上的概率 为80%，活25岁以上的概率为40%．如果现在有一 个20岁的这种动物，求它能活25岁以上的概率．
全概率公式、贝叶斯公式推导过程
全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...A n-1) > 0 时，有：P(A1A2...A n-1A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(A n|A1A2...A n-1)（3）全概率公式1. 如果事件组B1，B2，.... 满足1.B1，B2....两两互斥，即B i ∩ B j = ∅，i≠j ，i,j=1，2，....，且P(B i)>0,i=1,2,....;2.B1∪B2∪....=Ω ，则称事件组B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分设 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：上式即为全概率公式（formula of total probability)2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(B i),P(A|B i) (i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。
思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...B n,这样事件A就被事件AB1,AB2,...AB n分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+AB n, 每一B i发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|B i)，由加法公式得P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(AB n)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|B n)P(PB n)3.实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。
1.3 条件概率与乘法公式
• （1）抽到的同学来自山东的概率；
• （2）抽到的同学是女生的概率；
• （3）抽到的同学是来自山东的女生的概率；
• （4）若发现抽到的是女生，她来自山东的概率.
• 解 令 A “抽到的同学来自山东”B， “抽到的同学是女生”，
则根据古典概型公式有：
• （1） • （2）
P( A)
#A #
件A发生的概率P( A)是不相同的，与P( AB)也是不同的.我们称之为"在事件
B发生的条件下，事件A发生的条件概率"，记P( A | B),
事件AB与事件A | B可用文氏图表示 （见图1 8、图1 9）.
图1-8
图1-9
• 图1-8中阴影部分表示事件 AB ，图1-9中深色阴影部
分表示事件 A | B ，本来样本空间为 ，当 B 发生以 后，样本空间缩减为 B ，而 P(A | B)是在缩减了的样
解 设事件A、B、C分别表示甲、乙、丙抽到难签， 则
(1)
P(
A)
4 10
0.4
(2) P(AB) P( A)P(B
A)
4 10
3 9
2 15
(3) P(AB) P( A)P(B
A)
6 4 4 10 9 15
(4)
P(ABC) P(A)P(B
A)P(C
AB)
4 10
3 9
注 : (1)P( AB) P( A)P(B)
(2)乘法公式给出了一种计算“积事件”概率的方法 （3）当P(AB)不容易直接求得时，可考虑利用P(A)与
P(B|A)的乘积或P(B)与P(A|B)的乘积间接求得。
条件概率与概率的乘法公式
B {活到25岁}
显然， B A {现龄为 20岁的这种动物活到 25岁} 因为，“活到25岁”一定要“活过20岁”，所以
C ( A B)
AB
PC P( A B) P A PB 0.85
例3Байду номын сангаас
某人有5把钥匙，其中有一把是办公室门的,但他忘 了是哪一把,只好逐把试开(试完不放回),求三次内把 办公室门打开的概率
解: 设： Ai 恰好第 i次打开门
B 三次内把门打开
B A1 A2 A3
则
且
有 ：
A1 , A2 , A3
两两互不相容
1 p( A1 ) 5 4 1 1 p( A2 ) 5 4 5
4 3 1 1 p( A3 ) 5 4 3 5
P(B) P( A1 A2 A3 ) PA1 PA2 PA3 0.6
例6
某地区气象资料表明，邻近的甲乙两城市中的甲市全 年雨天比例为12%，乙市全年雨天比例为9%，两城市 中至少有一市为雨天比例为16.8%,试求下列事件的概率
：
（1）甲市为雨天的条件下，乙市也为雨天 （2）在乙市为无雨的条件下，甲市也无雨
解 设
A {甲市为雨天 }
B {乙市为雨天 }
P( A) 0.12
固A 包含的基本事件数为:P P P 16 P( A) 125
1 1 1 4 4 1
16
由加法公式推论2可知:
16 109 P A 1 P( A) 1 125 125
注意在概率的计算问题中，有的直接运算比较困难 ，可以把直接问题转化成相反问题计算容易的多。
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先计算A的概率
这是一种有放回的摸球,连续摸3次球,基本事件的
总第数二为 次都5×摸5到×黑5=球12，5。第事三件次摸A到白球相。当于第一次和
固A 包含的基本事件数为:P41P41P11 16
P( A) 16 125
由加法公式推论2可知:
PA 1 P(A) 1 16 109
因为，“活到25岁”一定要“活过20岁”，所以
B A
于是，根据事件积的关系
P(B
A)
PAB PA
PB PA
0.4 0.8
0.5
例8 一个口袋盛有8个白球、5个红球，无放回抽取3次，
每次抽取一球。试求下列事件的概率：（1）第三次才 取得红球的概率；（2）3次内取得红球。
解 设Ai 第i次取到红球， i 1,2,3
(2)
P( A
B)
PA B PB
PA B PB
1 0.168 1 0.09
0.9143
例7
某种动物活到20岁的概率为0.8, 活到25岁的概率为0.4, 问现龄为20岁的这种动物活到25岁的概率是多少？
解 设 A {活到20岁} B {活到25岁}
显然，B A {现龄为20岁的这种动物活到25岁}
P( A1 A1 A2 A1 A2 A3 )
PA PA A PA A A
1
1
2
1
2
3
5 8 5 8 7 5 0.8042 13 13 12 13 12 11
对于3次内取得红球概率，另一种解法是：
1 P
A1 A2 A3
例2
在打靶中，若“命中10环”的概率是0.40，“命中8环 或9环”的概率是0.45，求“至少命中8环”的概率
解: 设： A {命中10环}， B {命中8环或9环}
C {至少命中8环}
C (A B)
AB
PC P(A B) PA PB 0.85
例3
1
2
3
1
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
12
23
推论1 如果事件 A, B 互不相容，则
P(A B) PA PB
推论2 对于任意事件A，有 PA P A 1
例1
两人同时向目标射击，甲击中目标的概率0.8，乙击中 目标的概率0.85，两人同时击中目标的概率0.68，求 目标被击中的概率。
解: 设： A {甲击中目标} B {乙击中目标}
( A B) {击中目标}
有： P( A) 0.8 P(B) 0.85
P( A B) 0.68
有定理1概率加法公式：
方法一 P(A B) PA PB PAB 0.97
方法二 P(A B) PAPB PAPB PAB 0.97
1 8 7 6 0.8042 13 12 11
事件A的概率称为条件概率，记为 P( A B)
例5
一批同类产品共14件，共中由甲厂提供的6件中有4件 优质品；由乙厂提供的8件中有5件优质品。试考察 下列事件的概率
(1)从全部产品中任取一件是甲厂的产品
(2)从甲厂提供的产品中任取一件，而且恰是优质品 (3)从全部产品中任取一件是甲厂的优质产品
解 B {取得甲厂提供的产品} A {取得产品为优质品}
第三节 概率运算
一、概率的加法公式 二、条件概率与概率的乘法公式
一、概率的加法公式
定理1 对于任意两个事件 A, B 有
P(AB) PA PB PA B
概率的加法可以推广有限个事件和的情形：
PA A A PA PA PA PA A PA A PA
(1)第3次才取到红球为A1
A 2
A ,故 3
p A1 A2 A3 P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2
8 7 5 0.1632 13 12 11
(2)3次内取到红球，即为A1 A1 A2 A1 A2 A3,故
(1)
P(B)
C1 6
3
C1 14
7
（2）这里考察的是在事件B发生的条件下事件A的概率
P(A B)
所以P( A B)
C1 4
2
C1 6
3
3 AB {从全部事件中任取一件是甲厂的优质产品}
即有P( AB)
C1 4
2
C1 14
7
本例不难发现
P( A B)
PAB PB
P(B) 0
2
n
1
21
3 12
n 12
例6
某地区气象资料表明，邻近的甲乙两城市中的甲市全 年雨天比例为12%，乙市全年雨天比例为9%，两城市 中至少有一市为雨天比例为16.8%,试求下列事件的概率
：
（1）甲市为雨天的条件下，乙市也为雨天 （2）在乙市为无雨的条件下，甲市也无雨
解 设 A {甲市为雨天} B {乙市为雨天}
125 125
注意在概率的计算问题中，有的直接运算比较困难 ，可以把直接问题转化成相反问题计算容易的多。
二、条件概率与概率的乘法公式
1、条件概率 在实际问题中，有时需要求在事件B已发生的条 件下，事件A的概率。由于增加了条件“事件B已 发生”，所以称之为条件概率。
定义1 若 P(B) 0 则把事件B已发生的条件下，
某人有5把钥匙，其中有一把是办公室门的,但他忘 了是哪一把,只好逐把试开(试完不放回),求三次内把 办公室门打开的概率
解: 设：A 恰好第i次打开门 i B 三次内把门打开
则 BA A A
1
2
3
且
A1, A2, A3 两两互不相容
有：
p(
A1 )
1 5
p(
A2
)
4 5
1 4
1 5
p(
A3
)
4 5
3 4
1 3
1 5
P(B) P(A1 A2 A3) PA1 PA2 PA3 0.6
例4
贷中装有4个黑球和一个白球,每次从贷中随机摸出一球, 并换入一个黑球,连续进行.求第3次摸到黑球的概率.
解:设： A 第3次摸到黑球 A {第3次摸到白球}
P(B
A)
PAB PA
P(A) 0
2、概率的乘法公式
定理2 对事件 A, B 若 P(B) 0 P( A) 0
则有： P( AB) PAPB A
或P(AB) PBPAB
n 以上公式从大量的实验总结有，对于
个事
件
A1, A2,, An有
, A ,A ) PA PA A PA A A PA A A
P( A) 0.12 P(B) 0.09
两市至少有一市为雨天 P( A B) 0.168
概率加法公式有
P(AB) PA PB PA B 0.12 0.09 0.168 0.042
(1)
P(B
A)
PAB PA
0.042 0.12
0.35
这是一种有放回的摸球,连续摸3次球,基本事件的
总第数二为 次都5×摸5到×黑5=球12，5。第事三件次摸A到白球相。当于第一次和
固A 包含的基本事件数为:P41P41P11 16
P( A) 16 125
由加法公式推论2可知:
PA 1 P(A) 1 16 109
因为，“活到25岁”一定要“活过20岁”，所以
B A
于是，根据事件积的关系
P(B
A)
PAB PA
PB PA
0.4 0.8
0.5
例8 一个口袋盛有8个白球、5个红球，无放回抽取3次，
每次抽取一球。试求下列事件的概率：（1）第三次才 取得红球的概率；（2）3次内取得红球。
解 设Ai 第i次取到红球， i 1,2,3
(2)
P( A
B)
PA B PB
PA B PB
1 0.168 1 0.09
0.9143
例7
某种动物活到20岁的概率为0.8, 活到25岁的概率为0.4, 问现龄为20岁的这种动物活到25岁的概率是多少？
解 设 A {活到20岁} B {活到25岁}
显然，B A {现龄为20岁的这种动物活到25岁}
P( A1 A1 A2 A1 A2 A3 )
PA PA A PA A A
1
1
2
1
2
3
5 8 5 8 7 5 0.8042 13 13 12 13 12 11
对于3次内取得红球概率，另一种解法是：
1 P
A1 A2 A3
例2
在打靶中，若“命中10环”的概率是0.40，“命中8环 或9环”的概率是0.45，求“至少命中8环”的概率
解: 设： A {命中10环}， B {命中8环或9环}
C {至少命中8环}
C (A B)
AB
PC P(A B) PA PB 0.85
例3
1
2
3
1
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
12
23
推论1 如果事件 A, B 互不相容，则
P(A B) PA PB
推论2 对于任意事件A，有 PA P A 1
例1
两人同时向目标射击，甲击中目标的概率0.8，乙击中 目标的概率0.85，两人同时击中目标的概率0.68，求 目标被击中的概率。
解: 设： A {甲击中目标} B {乙击中目标}
( A B) {击中目标}
有： P( A) 0.8 P(B) 0.85
P( A B) 0.68
有定理1概率加法公式：
方法一 P(A B) PA PB PAB 0.97
方法二 P(A B) PAPB PAPB PAB 0.97
1 8 7 6 0.8042 13 12 11
事件A的概率称为条件概率，记为 P( A B)
例5
一批同类产品共14件，共中由甲厂提供的6件中有4件 优质品；由乙厂提供的8件中有5件优质品。试考察 下列事件的概率
(1)从全部产品中任取一件是甲厂的产品
(2)从甲厂提供的产品中任取一件，而且恰是优质品 (3)从全部产品中任取一件是甲厂的优质产品
解 B {取得甲厂提供的产品} A {取得产品为优质品}
第三节 概率运算
一、概率的加法公式 二、条件概率与概率的乘法公式
一、概率的加法公式
定理1 对于任意两个事件 A, B 有
P(AB) PA PB PA B
概率的加法可以推广有限个事件和的情形：
PA A A PA PA PA PA A PA A PA
(1)第3次才取到红球为A1
A 2
A ,故 3
p A1 A2 A3 P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2
8 7 5 0.1632 13 12 11
(2)3次内取到红球，即为A1 A1 A2 A1 A2 A3,故
(1)
P(B)
C1 6
3
C1 14
7
（2）这里考察的是在事件B发生的条件下事件A的概率
P(A B)
所以P( A B)
C1 4
2
C1 6
3
3 AB {从全部事件中任取一件是甲厂的优质产品}
即有P( AB)
C1 4
2
C1 14
7
本例不难发现
P( A B)
PAB PB
P(B) 0
2
n
1
21
3 12
n 12
例6
某地区气象资料表明，邻近的甲乙两城市中的甲市全 年雨天比例为12%，乙市全年雨天比例为9%，两城市 中至少有一市为雨天比例为16.8%,试求下列事件的概率
：
（1）甲市为雨天的条件下，乙市也为雨天 （2）在乙市为无雨的条件下，甲市也无雨
解 设 A {甲市为雨天} B {乙市为雨天}
125 125
注意在概率的计算问题中，有的直接运算比较困难 ，可以把直接问题转化成相反问题计算容易的多。
二、条件概率与概率的乘法公式
1、条件概率 在实际问题中，有时需要求在事件B已发生的条 件下，事件A的概率。由于增加了条件“事件B已 发生”，所以称之为条件概率。
定义1 若 P(B) 0 则把事件B已发生的条件下，
某人有5把钥匙，其中有一把是办公室门的,但他忘 了是哪一把,只好逐把试开(试完不放回),求三次内把 办公室门打开的概率
解: 设：A 恰好第i次打开门 i B 三次内把门打开
则 BA A A
1
2
3
且
A1, A2, A3 两两互不相容
有：
p(
A1 )
1 5
p(
A2
)
4 5
1 4
1 5
p(
A3
)
4 5
3 4
1 3
1 5
P(B) P(A1 A2 A3) PA1 PA2 PA3 0.6
例4
贷中装有4个黑球和一个白球,每次从贷中随机摸出一球, 并换入一个黑球,连续进行.求第3次摸到黑球的概率.
解:设： A 第3次摸到黑球 A {第3次摸到白球}
P(B
A)
PAB PA
P(A) 0
2、概率的乘法公式
定理2 对事件 A, B 若 P(B) 0 P( A) 0
则有： P( AB) PAPB A
或P(AB) PBPAB
n 以上公式从大量的实验总结有，对于
个事
件
A1, A2,, An有
, A ,A ) PA PA A PA A A PA A A
P( A) 0.12 P(B) 0.09
两市至少有一市为雨天 P( A B) 0.168
概率加法公式有
P(AB) PA PB PA B 0.12 0.09 0.168 0.042
(1)
P(B
A)
PAB PA
0.042 0.12
0.35