八年级下册数学同步辅导分类讨论思想的应用
分类讨论思想在初中数学中的应用
教 育 战 线92INTELLIGENCE························分类讨论思想在初中数学中的应用浙江余姚高风中学 龚世栋职学生带来诸多不便。
而利用在线测试考试系统，学生可以随时随地进行网络测试，对于客观题系统还可以提供自动批卷功能从而减少了教师的工作量。
5、学生网上活动追踪统计。
函授网络教学平台上提供了学生网上活动追踪功能，可以统计教师新发布的内容有多少学生查看过，可以根据统计学生上网查看内容时间等方面了解学生学习的情况，成为判断学生是否达到教学要求、是否具备考试资格的凭证和依据，为教师和教学管理者提供有用的反馈信息。
教师可以根据反馈信息灵活调整教学策略，学生也可以根据老师的指导来调整学习策略。
三、如何充分发挥教师在函授网络教学平台建设中的作用1、转变观念，适应函授网络教学新模式的要求。
教师转变观念是实施函授网络教学改革的前提。
在网络教学环境下，教师在教学中的地位和作用及扮演的角色与传统的班级课堂教学有很大不同。
在网络条件下，教学以学生为主体，以学生的“学”为中心，培养学生自主学习能力，学习过程更多由学生自己控制。
教师从传统意义上的教书匠、讲解员转变为学生学习的指导者、服务者和推动者，更多地是为学生提供指导和帮助，课堂讲演则减少了。
在函授网络教学中，教师的作用应该更好地体现在以下几个方面：激发学生求知的欲望，指导学生寻求满意的答案，引导学生适时提出问题，引发争论和讨论。
在教学中既要重视知识的学习，更要注重学生自我学习能力的培养，让学生真正做学习的主人。
2、加大对教师在网络技术和技能方面的培训。
提高教师自身素质和操作能力是实施函授网络教学改革的基础。
北师大版初中数学8年级下册分类讨论思想在勾股定理中的运用-优课件
初中数学知识点精讲课程
勾股定理与分类讨论思想
解题步骤归纳
等腰三角形腰不明
三种情况讨论
三角形形状不明
锐角、钝角讨论
勾股定理求出边长 勾股定理求出边长
典例精讲 类型三：腰不明与勾股定理结合求边
某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得 两直角边长为6m、8m．现要将其扩建成等腰三角形， 且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．求扩建后 的等腰三角形花圃的周长．
而且标志着科学的真正进步。2022年2月11日星期五4时4分36秒16:04:3611 February 2022 • 4、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。下午4时4分36秒下午4时4分16:04:3622.2.11
谢谢观赏
You made my day!
故△ABC的周长是42cm或32cm。
A DB
A
BD
课堂小结
腰不明与勾 三角形形状
股定理结合 不明时含高
求边
利用勾股定
理求长度
• 1、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2022年2月11日星期五下午4时4分36秒16:04:3622.2.11 • 2、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2022年2月下午4时4分22.2.1116:04February 11, 2022 • 3、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，
典例精讲
解：在Rt△ABC中，∵AC=8m，BC=6m， ∠ACB＝90°.由勾股定理∴AB=10m. 根据题意需分以下几种情况： （1）如图1，当AB=AD时，CD=6m， △ABD的周长为10m+10m+6m+6m=32m； 故扩建后的等腰三角形花圃的周长为32m。源自B 68 C 6D
人教版八年级数学下册17.1.2《勾股定理中的简单应用-分类讨论》教案
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理的基本概念。勾股定理是直角三角形边长关系的数学表达，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。它是解决直角三角形边长计算问题的关键。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何运用勾股定理解决实际问题，以及分类讨论在解题过程中的作用。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我深刻地感受到了勾股定理在学生心中的重要地位。通过引入日常生活中的实际问题，我发现学生们对勾股定理的应用产生了浓厚的兴趣。他们积极思考，主动参与到课堂讨论和实践中，这让我感到非常欣慰。
在讲授新课的过程中，我注意到学生们对勾股定理的基本概念掌握得比较扎实，但在具体应用时，部分学生仍然存在一些困难。尤其是在进行分类讨论时，有些学生不能准确地判断何时需要进行分类讨论，以及如何进行讨论。针对这个问题，我通过列举典型例题，引导学生识别分类讨论的标志，并教授他们具体的讨论方法。从学生的反馈来看，这种方法收到了一定的效果。
人教版八年级数学下册17.1.2《勾股定理中的简单应用-分类讨论》教案
一、教学内容
人教版八年级数学下册17.1.2《勾股定理中的简单应用-分类讨论》教案：
1.理解并掌握勾股定理的应用；
2.学会运用分类讨论的方法解决实际问题；
3.能运用勾股定理解决以下问题：
a.已知直角三角形的两边，求第三边；
b.已知直角三角形的面积，求斜边；
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的公式和分类讨论的方法这两个重点。对于难点部分，我会通过例题和图形来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与勾股定理相关的实际问题。
新人教 八年级下数学 《数学思想的归纳和应用》
y
M型 N型 A布料： 0.6
需要原料
A布料： 1.1米 B布料： 0.4米 50元
米 B布料： 0.9 米
45元
每套获利
x
龙南中学 廖莉林
练一练
1、已知一次函数y=3x – 5与y=2x +7 的交点P的坐标为（12、31），
函 数 思 想
则方程组
｛
y=3x – 5 y=2x +7
（1）请分别求出y 与x之的函 洗衣机 数解析式.
冰箱
2000
2400
1500
1800
（2）若商场决定购进每种家电不少于30台，则有几种进货方案？怎 样安排进货才能获得最大利润？此时政府需要支付补贴多少钱？ 解：（1） y = 400 x+1800×10﹪x+2400 ×10﹪（100 -2 x）
即
的解是
2、求函数y=3x – 2 和y=2x +3图像与y轴所围成的面积。
y
数 形 结 合
D B3 -2 A
C（5，13）
x
分 析
例1 、已知某一次函数自变量X的值范围0≤X≤10,函
数y的取值范围10≤y≤30,求此函数解析式
当X=0时 ，y= ? 而 当X=10时，y= ?
解： 设一次函数解析式为 y=kx+b 10 ）、 ① ∵ 当K＞0时，y随x的增大而增大 , 即（0 ，
y = 100 x + 24 000
W = 400 x+300x + 400 (100 - 2x)
即
W = - 100 x + 40 000
补贴额度 新家电销售价格的10﹪ 若购进的电视和洗衣 机数量 相同，均为x 台，说明：①电视补贴的金额最多不超过400元／台； ②冰箱补贴 的金额最多不超过300元／台 这100台家电政府补贴 ③洗衣机补贴的金额最多不超过250元／ 为y元 ,商场所获利润为 进价（元／台） 售价（元／台） W元（利润=售价—进 3900 4300 电视 价）
新北师大版八年级数学下册《分类讨论思想在等腰三角形中的应用》教案_15
分类讨论思想在等腰三角形中的应用——教学设计作交流、解决和掌握等腰三角形的分类讨论问题。
教学环境资源准备教学环境：交互式电子白板资源准备：电子白板课件、实物投影教学过程回顾旧知——导入新课——腰上中线、高线、中垂线的分类讨论——确定等腰三角形的数目的分类讨论——等腰三角形中的动点问题的分类讨论——谈收获教学环节媒体整合教师活动学生活动设计意图回顾旧知引发学生的思考1.若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数是__________.2.已知等腰三角形一边长等于3，另一边长等于6，则它的周长是__________.学生分析问题，计算解决，分析得到双解的原因，和分类讨论的理论依据是三角形的内角和三角形的三边关系。
使学生明确等腰三角形的角有顶角和底角之分，边有底和腰之分，在满足三角形内角和和三边关系的基础上要合理适当的进行分类讨论。
引入新课本节课学习更深入的分类引发学生的思考明确本节课的教学目的新课讲授关于腰上中线的分类已知等腰△ABC中，一腰AC上的中线BD将三角形的周长分成15 cm和12 cm两部分，则这个三角形的底边长为__________即：中线把三角形分为：底+腰一半和腰+腰一半两部分1.底+腰一半=15腰+腰一半两部分=122. 底+腰一半=12腰+腰一半两部分=15在学生操作过程中，学生小组合作完成，根据数形结合解决问题。
由一名学生到实物展台上展示自己的答案，讲解自己的想法和作法。
此环节利用电子白板的拖拽演示功能可以让学生形象生动的感受到图形的不唯一和要进行分类讨论的必要性归纳：设“腰一半”为x，用方程解决教师巡视，并发现作图较好的学生到实物投影上展示并讲解关于腰上高的分类已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则其顶角为__________。
即：由于高线的位置不确定导致图形的不唯一在学生操作过程中，教师巡视，让学生到黑板上画，其他同学做补充。
八年级下册数学思想专题
数学八下数学思想目录一、转化思想 (1)1.“新知识”向“旧知识”转化 (1)a.将分式方程转化为整式方程. (1)b.将新定义转化为所学知识解题. (1)c.将求两直线交点坐标问题转化为解二元一次方程组. (1)2.“未知”向“已知”转化 (2)a.将四边形转化为三角形解题. (2)b.添加辅助线将多边形转化为三角形解题. (2)3.“复杂”向“简单”转化 (4)a.将立体图形上最短路径问题转化为平面图形上两点之间最短距离问题. (4)b.将不规则图形面积转化为规则图形的面积. (4)c.将解方程（组）的问题转化为解不等式（组）的问题. (4)二、分类讨论思想 (6)1.对字母、未知数的取值范围分不同情况讨论 (6)2.对图形的位置、类型的分类讨论 (7)3.对问题的题设条件需分类讨论 (8)4.从图象中获取信息进行分类讨论 (8)5.对求解过程中不便统一表述的问题进行分类讨论 (9)三、数形结合思想 (11)1.数转化为形. (11)2.形转化为数 (11)3.数形结合 (13)四、方程思想 (13)1.利用方程思想解决实际问题 (14)a.结合所给数据列方程求解. (14)b.列分式方程解决实际问题. (14)2.利用方程思想解决数学问题 (15)a.利用待定系数法列方程（组）求一次函数解析式. (15)b.利用勾股定理列方程求解. (15)五、整体思想 (16)1.把一组数或一个代数式看作一个整体 (16)2.把某个图形看作一个整体 (17)六、数学建模思想 (17)1.方程模型 (18)2.函数模型 (18)3.几何模型 (20)4.三角模型 (20)一、转化思想转化思想就是将所要解决的问题，转化为一个较易解决的问题或已经解决问题的思想.具体来说，就是使“新知识”向“旧知识”转化，“未知”向“已知”转化，“复杂”向“简单”转化.1.“新知识”向“旧知识”转化a.将分式方程转化为整式方程.b.将新定义转化为所学知识解题.c.将求两直线交点坐标问题转化为解二元一次方程组.【示例a 】 14112=---+x x x 【破题思维】 将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【参考答案】 去分母得x 2+2x+1-4=x 2-x ，解得x=1，经检验x=1是增根，所以原分式方程无解．数，则（3☆5）（3※5）= ．【破题思维】 根据题中的新定义，将新定义的运算转化为熟悉的二次（1）求两条直线l 1和l 2的交点坐标；（2）求两条直线l 1和l 2与x 轴围成的三角形的面积．【破题思维】 将两直线的表达式联立起来解方程组，方程组的解就是交点坐标，本题将求两直线交点坐标的问题转化为解二元一次方程组，体现了转化思想的应用.【参考答案】设两条直线l 1和l 2的交点坐标为P （x ，y ），依题意得⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=,421,54x y x y 解得⎩⎨⎧-==，3,2y x 即P （2，-3）.（2）如图，设两条直线l 1和l 2与x 轴的交点为A ，B ，则A （8，0），B （45，0）， ∴S △PA B =21×（8-45）×3=881．2.“未知”向“已知”转化a.将四边形转化为三角形解题.b.添加辅助线将多边形转化为三角形解题.【示例a 】 如图，在▱ABCD 中，点E 、F 分别在边CB ，AD 的延长线上，且BE=DF ，EF 分别与AB ，CD 交于点G ，H ，则BG 与DH 有怎样数量关系？证明你的结论．【破题思维】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是四边形转化为三角形，通过全等三角形找出线段间的关系．【参考答案】BG=DH，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∠A=∠C，AB=DC，∴∠E=∠F.又∵BE=DF，AF=AD+DF，CE=CB+BE，∴AF=CE，在△CEH和△AFG中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,,EFCEAFCA∴△AFG≌△CEH（ASA），∴AG=CH，∴BG=DH．【示例b】已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB中点．求证：S四边形ABC D=2S△CD E．【破题思维】通过添加辅助线，将不规则的多边形转化为熟悉的三角形，利用全等三角形的判定与性质进行求解与证明.【参考答案】如图，延长DE交CB的延长线于点F，∵AD∥CF，∴∠A=∠EBF，∠ADE=∠F.∵点E为BA的中点，∴AE=BE.在△DAE≌△BEF中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠,,,BEAEEBFAFADE∴△DAE≌△BEF，∴DE=EF，DA=BF.设四边形ABCD的高为h，∴S△DC F=21（BC+BF）h=21（BC+AD）h=S四边形ABC D，∴S△DE C=21S△D CF=21S四边形AB CD．3.“复杂”向“简单”转化a.将立体图形上最短路径问题转化为平面图形上两点之间最短距离问题.b.将不规则图形面积转化为规则图形的面积.c.将解方程（组）的问题转化为解不等式（组）的问题.【示例a】如图，圆柱形容器的高为0.9m，底面周长为1.2m，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.2m与蚊子相对的点A处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离.【破题思维】将容器侧面展开，即将立体图形转化为平面图形，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【参考答案】 如图，∵高为0.9m ，底面周长为1.2m ，在容器内壁离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.2m 与蚊子相对的点A 处， ∴A ′D=0.6m ，BD=0.8m.将容器侧面展开，作A 关于EF 的对称点A ′，连接A ′B ，则A ′B 即为最短距离， A ′B=22'BD D A +=228.06.0+=1（m ）．【示例b 】 如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，过O 作直线交AD 于点E ，交BC 于点F ．若▱ABCD 的面积为30，求阴影部分的面积.【破题思维】 运用全等三角形的性质将三角形AEO 的面积转化为三角形CFO 的面积，从而使三块阴影部分构成一个整体，进而求解.【参考答案】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，AB ∥CD ，△BCD 的面积=21平行四边形ABCD 的面积=21×30=15， ∴∠AEO=∠CFO.在△AOE 和△COF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠,,,OC OA COF AOE CFO AEO∴△AOE ≌△COF （AAS ），∴△AOE 的面积=△COF 的面积，∴阴影部分的面积=△BCD 的面积=15．【示例c 】 如果关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+p y x y x ,3135的解是正整数，求整数p 的值．【破题思维】 先把p 看成常数，求出方程组的解，然后根据题意转化为求解关于p 的不等式组.【参考答案】 解二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+，p y x y x ,3135∵方程组的解是正整数，二、分类讨论思想分类讨论思想,其实质是把问题“分而治之，各个击破”.把要解决的数学问题,分解成可能的各个部分,从而使复杂问题简单化,使“大”问题转化为“小”问题,便于求解.1.对字母、未知数的取值范围分不同情况讨论【示例】 已知一次函数()0≠+=k b kx y 的图象经过点A （0，3），且与两坐标轴所围成的三角形的面积为3，求此一次函数的表达式.【破题思维】 根据点（0，3）确定常数b 的值，利用图象与x 轴的交点坐标特征确定其坐标，再根据图象与两坐标轴围成的三角形的面积确定待定系数k,即可求出一次函数表达式.【参考答案】 把A （0，3）代入一次函数y=kx+b 得b=3，当y=0时，kx+3=0，解得x=-k 3， 则直线与x 轴的交点坐标为（-k 3，0），∵一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为3，∴21×|-k 3|×3=3，当k>0时，解得k=1.5，当k<0时，解得k=-1.5，∴一次函数的表达式为y=1.5x+3或y=-1.5x+3．2.对图形的位置、类型的分类讨论【示例】 △ABC 中，AB=15，AC=13，BC 边上的高AD=12，则BC 的长 为____________.【破题思维】 ①当高AD 在△ABC 的外部时，②当高AD 在△ABC 的内部时.分别根据勾股定理计算BC 的长即可.【参考答案】 ①如图（1），当高AD 在△ABC 的外部时，AB=15，AC=13，BC 边上的高AD=12，在Rt △ABD 中，由勾股定理，得BD 2=AB 2-AD 2=152-122=81，∴BD=9.同理可得CD=5，∴BC=BD - DC=9-5=4.②如图（2），当高AD 在△ABC 的内部时，AB=15，AC=13，BC 边上高AD=12，在Rt △ABD 中，由勾股定理，得BD 2=AB 2-AD 2=152-122=81，∴BD=9，同理可得CD=5，∴BC=DC+BD=5+9=14．故BC 的长为4或14.3.对问题的题设条件需分类讨论 【示例】 已知|a|=5,32=b ,且ab>0,则a-b 的值为______________.【破题思维】 本题中a,b 可能是正数，也可能是负数，因此分情况讨论即可求解.【参考答案】 ∵|a|=5,32=b ,且ab>0, ∴a=5,b=3或a=-5,b=-3.当a=5,b=3时，a-b=2;当a=-5,b=-3时，a-b=-2.综上a-b 的值为-2或2.4.从图象中获取信息进行分类讨论【示例】 如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，求BE 的长．【破题思维】 由题和题图可分∠B′EC=90°，∠EB′C=90°，∠B′EC=90°三种情况讨论即可.【参考答案】 当∠B′EC=90°时，如图（1），∴∠BEA=∠B′EA=45°，∴BE=AB=3；(2)当∠EB′C=90°时，如图（2）.在Rt△ABC 中，∵AB=3，BC=4， ∴AC=22BC AB =5，∵矩形ABCD 沿AE 折叠，使点B 落在点B′处， ∴∠B=∠AB′E=90°，EB=EB′，AB′=AB=3，∴点A 、B′、C 共线，即点B′在AC 上，CB′=AC -AB′=5-3=2，设BE=x ，则EB′=x，CE=4-x ，在Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE 2，∴x 2+22=（4-x ）2，解得x=23，即BE=23，(3)当∠B′EC=90°，不符合题意.综上所述，BE 的长为3或23．(1) (2)5.对求解过程中不便统一表述的问题进行分类讨论 【示例】 已知△ABC 是等腰三角形，BC 边上的高恰好等于BC 边长的一半，求∠BAC 的度数．【破题思维】 在解题过程中分情况BC 边为底边或BC 边为腰讨论，可使问题化难为易得到解决.【参考答案】 （1）如图（1），当BC 边为底边时，AD=21BC=BD=CD ，所以△ABD 和△ADC 为等腰直角三角形，所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=90°．（2）如图（2），当BC 边为腰，垂足在三角形内部时，AD=21BC=21AC ，所以∠C=30°，又因为AC=BC ，所以∠BAC=∠ABC=21（180°-∠C）=75°．（3）如图（3），当BC 边为腰，垂足落在三角形外时，AD=21AB ，所以∠ABD=30°，所以∠BAC=∠C=21∠ABD=15°．故∠BAC 的度数为90°或75°或15°．（1） （2） （3）三、数形结合思想数形结合思想是指将数（量）与（图）形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。
八年级(下)数学思想运用与探究
八年级（下）数学思想运用与探究纵观近几年的中考试卷，对数学思想的考查已成为必考的重点.为了同学们深入理解数学思想，体会数学思想在数学思维和解题的作用，现以2008年中考题举例说明，供大家复习时参考.一、数形结合思想数形结合思想就是根据数学问题的内在联系，把数量与图形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思想方法.数形结合的思想在数学中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题与几何图形相互转化，使抽象问题和形象思维有机结合，寻找解题思路，使问题得到解决.例1 （湖北省咸宁市）直线y=k1x+b与直线y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图1所示，则关于x的不等式k 2x>k1x+b的解集为．分析：本题考查了一元一次不等式与一次函数的关系，是根据一次函数图象求不等式的解集，解题的关键是确定两直线交点的横坐标，再根据数形结合的思想解答.解：由图象可知，两函数图象的交点的横坐标坐标为-1. 当x<-1时，对于同一个x，直线y=k2x的点在直线y=k1x+b上相应的的上方，这时k2x>k1x+b，所以关于的不等式k 2x>k1x+b的解集为x<-1.评注：以形助数，以数相形，进行图形信息与数字信息的灵活转化，是解决问题常用策略.二、整体思想整体思想就是当我们遇到问题时，不着眼于问题的各个部分，而是有意识地放大考虑问题的视角，将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体与局部的内在联系来解决问题的思想.用整体思想解题往往能起到化难为易，化繁为简的作用，甚至有时会绝路逢生，柳暗花明.例2 （山东省枣庄市）如图2，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1＋∠2等于( )A．315° B．270° C．180° D．135°分析：根据已知条件，显然无法直接求得∠1，∠2的值，若把∠1+∠2看作一个整体，利用三角形的外角性质和内角和定理问题就容易解决了.解：由三角形外角的性质可得，∠1=∠C+∠4，∠2=∠3+∠C，所以∠1+∠2=∠C+∠4+∠3+∠C.因为∠C+∠3+∠4=180°，∠C=90°，所以∠1+∠2=180°+90°=270°，故应选B.评注：把∠1+∠2看作一个整体求值，把不易求解的问题简单化，充分体现了整体思想在解题中的作用.此题还可以根据四边形的内角和以及直角三角形两锐角互余求解.三、分类讨论思想分类讨论，又称为分情况讨论，当一个数学问题在一定的题设下，其结论并不唯一时，我们就需要对这一问题进行必要的分类.将一个数学问题根据题设分为有限的若干种情况，在每一种情况中分别求解，最后再将各种情况下得到的答案进行归纳综合，这种研究问题的思想方法就是分类讨论的思想方法.分类时要不重不漏、条理清晰，从而使问题得到清晰、完整、严密的解答.例3 (浙江省丽水市)为了促进长三角区域的便捷沟通，实现节时、节能，杭州湾跨海大桥于今年5月1日通车，下表是宁波到上海两条线路的有关数据：（2）若小车每公里的油耗为x 升，汽油价格为5.00元/升，问x 为何值时，走哪条线路的总费用较少（总费用=过路费＋油耗费）；（3）据杭州湾跨海大桥管理部门统计：从宁波经跨海大桥到上海的小车中，其中五类不同油耗的小车平均每小时通过的车辆数，得到如图3所示的频数分布直方图，请你估算1天内这五类小车走直路比走弯路共节省多少升汽油.分析：第（1）问由图表获取数字信息，直接计算即可；第（2）问用x 分别表示出小车走直路和走弯路的总费用，分类讨论解决；（3）由频数分布直方图获取数字信息，容易求解.解：（1）因为238012080196316==-(小时) ，所以小车走直路比走弯路节省23小时． （2）设小车走直路和走弯路的总费用分别为1y 元、2y 元，则1y =5×196x+180=980x+180, 2y =5×316x+140=1580x+140．①若1y =2y 时，即980x+180=1580x+140，解得x=151. 所以当x=151时，小车走直路的总费用与走弯路的总费用相等； ②若1y >2y 时，即980x+180>1580x+140，解得x<151. 所以当x ＜151时，小车走弯路的总费用较小； ③若1y <2y ，即980x+180<1580x+140，解得x>151. 所以当x>151时，小车走直路的总费用较小．（3）24×120×(100×0.06+200×0.08+500×0.1+500×0.12+100×0.18)=432000（升）．所以1天内这五类小车走直路比走弯路共节省432000升汽油．评注：本题通过一个与现实生活联系密切的问题情景来考查不等式、一次函数以及统计图表等知识，同时也考查学生对有关知识的理解和运用所学知识解决实际问题的能力.特别注意第（2）问是一道决策性问题，通过分类建立不等式来求解是解题的关键，并据此作出科学的决策.四、转化思想转化思想是解决数学问题的一种重要的方法.它是通过观察、分析、类比、联想等思维过程，借助某些性质、公式、或已知条件将问题通过变换加以转化，从而达到把一些未知的、复杂的、抽象的问题转化为已知的、简单的、具体的问题，转化为我们掌握的知识范围或容易解决问题的思想方法.例4 （辽宁省沈阳市）解分式方程：1233x x x=+--. 分析：确定最简公分母（3-x ），按照解分式方程的一般步骤来解.解：方程两边都乘以x-3，得1=2(x-3)-x.解这个方程，得x=7.检验：将x ＝7代入原方程，得左边＝41＝右边. 所以，x ＝7是原方程的根．评注：解分式方程的基本思想是去分母把分式方程转化为整式方程，也就是我们熟悉的一元一次方程，然后解一元一次方程.但千万不要忘记检验哦！。
人教版八年级数学下册17.1.2《勾股定理中的简单应用----分类讨论》教学设计
这节课是一节校内公开课。在后来的评课中，老师们指出，将数学生活化是很好的教学方式。不足之处给学生的时间还是少了点，如果更大胆的放手给学生去总结提升，那效果将会更好。
（2）当以3、5均为直角边时，则有：32＋52＝x2，x＝
因此，x为4或
练习：1、一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则第三边长是（）
A、5 B、25 C、 D、5或
2、一个直角三角形的两条边长分别为3和4，则第三边长是（）
A、5 B、25 C、 D、5或
思考并讨论问题，学生回答问题。
按不同的类别进行分类
（2）当△ABC的高在三角形外时，如图4．由题意可知，BD2＝AB2－AD2＝152－122=81，BD＝9，CD2＝AC2－AD2＝132－122=25，CD＝5，所以BC＝9－5＝4，因此△ABC的周长为4＋15＋13＝32．
所以：△ABC的周长为32或42
练习4、等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为（）
（五）布置作业：完成课后练习题。
学生课后进行小组合作探究
通过总结提升知识，研究性学习可以拓展学生的思维
七、教学评价设计
评价内容
学生姓名
评价日期
评价项目
学生自评
生生互评
教师评价
优
良
中
差
优
良中差优源自良中差课堂表现
回答问题
作业态度
知识掌握
综合评价
寄语
八、教学反思
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分类讨论思想的应用
◎ 张昌林
例1 一组数据：2，3，4，x 中，若中位数与平均数相等，则数x 不．
可能是（ ） A.1 B.2 C.3 D.5
解析：因为x 的值不确定，所以中位数也不确定，必须分类求解.结合中位数的确 定方法，可知x 的取值分为三种情况：
（1）当x ≤2时，中位数为5.2232=+，平均数为4
432+++x ，所以5.24
432=+++x ，解得x ＝1； （2）当2＜x ＜4时，中位数为23+x ，平均数为4
432+++x ，所以234342
x x ++++=，解得x ＝3； （3）当x ≥4时，中位数为5.3234=+，平均数为4
432+++x ，所以234 3.54
x +++=，解得x ＝5. 故选B . 例 2 为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加数学竞赛，在同等的条件下，老师查看了平时两名同学10次测验的成绩记录，下面是甲、乙两人的测验情况统计记录(其中乙得分为98分、99分的得分次数被墨水污染看不清楚，但是老师仍有印象乙得98分、99分的次数均不为0)：
（1）求甲同学在前10次测验中的平均成绩.
（2）根据前10次测验的情况，如果你是该班的数学老师，你认为选谁参加比赛比较合适，并说明理由.(结果保留到小数点后第1位)
解：（1）甲同学在前10次测验中的平均成绩是
94195296197398299110
⨯⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋＋=96.6（分）. （2）①若乙同学得98分的次数为1，得99分的次数为2，则乙同学前10次测验中的平均成绩是94095496097398199210
⨯⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋＋=96.7（分）. 在前10次测验中的平均成绩乙比甲好，这时应该选择乙参加数学竞赛.
②若乙同学得98分的次数为2，得99分的次数为1，则乙同学前10次测验中的平均成绩是94095496097398299110
⨯⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋＋=96.6（分）. 甲同学在前10次测验中的方差2s 甲=
10
1×［(94－96.6)2＋2×(95－96.6)2＋(96－96.6)2＋3×(97－96.6)2＋2×(98－96.6)2＋ (99－96.6)2］=2.24，
乙同学在前10次测验中的方差2s 乙=101×［4×(95－96.6)2＋3×(97－96.6)2＋2×(98
－96.6)2＋ (99－96.6)2］=2.04.
因为2s
＞2s乙，在前10次测验中乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定，这时应选择乙甲
参加数学竞赛.
综上所述，应该选择乙参加数学竞赛.。