2018年考研管综逻辑之集合和非集合概念整理
集合与常用逻辑用语
集合与常用逻辑用语1．集合的有关概念 (1)集合元素的三个特性： 确定性、无序性、互异性．元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中． (2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉. (4)五个特定的集合及其关系图：N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊆B (或B ⊇A )．(2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作AB 或B A .AB ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ≠B .既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中至少存在一个元素不属于A .(3)集合相等：如果A ⊆B ，并且B ⊆A ，则A ＝B .两集合相等：A ＝B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ⊇B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性．(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作∅.0，{0}，∅，{∅}之间的关系：∅≠{∅}，∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}． 3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁U A.[常用结论](1)子集的性质：A⊆A，∅⊆A，A∩B⊆A，A∩B⊆B.(2)交集的性质：A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A.(4)补集的性质：A∪(∁U A)＝U，A∩(∁U A)＝∅，∁U(∁U A)＝A，∁A A＝∅，∁A∅＝A.(5)含有n个元素的集合共有2n个子集，其中有2n－1个真子集，2n－1个非空子集．(6)等价关系：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B.[基础自测]一、走进教材1．(必修1P12A组T5改编)若集合P＝{x∈N|x≤ 2 020}，a＝22，则()A．a∈P B．{a}∈PC．{a}⊆P D．a∉P2．(必修1P12B组T1改编)已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，则集合M∪N的子集的个数为________．二、走出误区常见误区：①忽视集合的互异性致误；②分类讨论不全面导致漏解；③忽视区间端点值．3．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝________.4．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．5．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．考点一集合的基本概念[基础自学过关][题组练透]1．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．42．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．－23．已知集合A ＝{x ∈N |1<x <log 2k }，若集合A 中至少有3个元素，则k 的取值范围为( )A ．(8，＋∞)B ．[8，＋∞)C ．(16，＋∞)D ．[16，＋∞)4．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．[解题技法]与集合中的元素有关问题的求解策略(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合．(2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．考点二 集合的基本关系 [师生共研过关][例1] (1)(2018·河北唐山第一次模拟)设集合M ＝{x |x 2－x ＞0}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1x＜1，则( )A ．MNB ．NMC ．M ＝ND ．M ∪N ＝R(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．[对点变式]1.(变条件)在本例(2)中，若“B ⊆A ”变为“BA ”，其他条件不变，如何求解？2.(变条件)在本例(2)中，若“B ⊆A ”变为“A ⊆B ”，其他条件不变，如何求解？[解题技法]1．集合间基本关系的2种判定方法和1个关键2．根据两集合的关系求参数的方法已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．[跟踪训练]1．设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则()A．P⊆Q B．Q⊆PC．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P2．(2019·江西上饶重点中学六校第二次联考)已知A＝[1，＋∞)，B＝[0,3a－1]，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是()3．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．考点三集合的基本运算[师生共研过关][例2](1)(2019·全国卷Ⅰ)已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则M∩N ＝()A．{x|－4<x<3} B．{x|－4<x<－2}C．{x|－2<x<2} D．{x|2<x<3}(2)(2019·浙江高考)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝{－1，0,1}，则(∁A)∩B＝()UA．{－1} B．{0,1}C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,3}(3)已知集合A＝{x|x2－x－12>0}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x>4}，则实数m的取值范围是()A．(－4,3) B．[－3,4]C．(－3,4) D．(－∞，4][解题技法]集合基本运算的方法技巧(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．[跟踪训练]1．(2019·河南许昌、洛阳三模)已知集合A＝{x|y＝－x2＋1}，B＝(0,1)，则A∩B＝() A．(0,1)B．(0,1]C．(－1,1) D．[－1,1]2．(2019·江西南昌外国语学校适应性测试)已知集合M＝{x|0＜x＜5}，N＝{x|m＜x＜6}，若M∩N＝{x|3＜x＜n}，则m＋n等于()A．9 B．8C．7 D．63．(多选)已知全集U＝R，函数y＝ln(1－x)的定义域为M，集合N＝{x|x2－x＜0}，则下列结论正确的是()A．M∩N＝N B．M∩(∁U N)≠∅C．M∩N＝U D．M⊆(∁U N)4．若集合A＝{x|2x2－9x＞0}，B＝{y|y≥2}，则A∩B＝________，(∁R A)∪B＝________.考点四集合的新定义问题[师生共研过关][例3](1)(2019·河南南阳第一中学第十四次考试)定义集合运算：A⊙B＝{Z|Z＝xy，x ∈A，y∈B}，设集合A＝{－1，0,1}，B＝{sin α，cos α}，则集合A⊙B的所有元素之和为() A．1 B．0C．－1 D．sin α＋cos α(2)(2020·河北保定一模)设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|1＜2x＜4}，Q＝{y|y＝2＋sin x，x∈R}，那么P－Q＝()A．{x|0＜x≤1} B．{x|0≤x＜2}C．{x|1≤x＜2} D．{x|0＜x＜1}[解题技法]解决集合新定义问题的2个策略[跟踪训练]1．定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B ，已知集合A ＝{2,4,6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合BA ∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．92．给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合A ＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合； ②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }为闭集合；③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合． 其中正确结论的序号是________．。
2018考研数学重点概念解读：集合
2018考研数学重点概念解读:集合来源:智阅网集合是考研数学的重要考点,今天我们来详细的讲解集合这一概念及其各种应用。
一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。
集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：aA。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“{｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A 为集合B的子集，记作A B(或B A)。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A=B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
即A A②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A 是C的子集。
③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。
集合的基本运算⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。
2018年管理类联考逻辑讲义Super
“有的”互换 “有的 A 是 B”=“有的 B 是 A” “有的 A 不是 B” ≠“有的 B 不是 A” “有的 A 不是 B”=“有的 A 是¬B”=“有的¬B 是 A” 例 1：有的明星不是男神=有的明星是非男神=有的非男神是明星 例 2：有的明星不帅=有的明星是不帅=有的不帅的是明星 有的 A→B = 有的 B→A 例：有的党员是教授 = 有的教授是党员 “有的 A 是 B”不适用逆否原则。 串联原则 “A→B” “B→C”⇒“A→B→C”
2018 年管理类联考逻辑讲义 Super
一、假言命题 假言命题：充分条件、必要条件。 1.充分条件 A→B 如果事件 A 发生，事件 B 就一定发生。 语言形式： 【核心】如果……就……、只要……就……、一……就……、……是……、…… 必须……、所有……都…… 2.必要条件 A←B 如果事件 B 发生，事件 A 一定发生。 语言形式： 【核心】只有……才……、除非……否则不能……、……是……的前提（基础） （环节） 、……对于……不可或缺（必要条件） 、不……（就）不…… 逆否命题与原命题转换 A→B⇒¬B→¬A 前提：所有的 A 和所有的 B；有的 A→B 或者 A→有的 B 时，不能使用逆否命题转换。 除非……否则……的转换 句型 1：除非 A，否则 B。 方法：去“除”去“否” 除非 A，否则 B⇒ ¬A→B 句型 2（较上句省略了除非） ：A，否则 B。 方法：补“非”去“否” A，否则 B⇒ ¬A→B 句型 3（顺序颠倒同时省略否则） ：B，除非 A。 方法：去“除” ，方向反画。 B，除非 A⇒除非 A，否则 B⇒ ¬A→B “不是 A”=“是非 A” ←→↔……⇒∧∨∀=≠¬
二次推理：
a → b a → c
⇒ 因为a ∨ a一定真 ⇒ b ∨ c为真
判断集合和非集合的方法
判断集合和非集合的方法
根据概念所反映的对象是否为一个不可分割的集合体，划分为集合概念和非集合概念。
比如，森林（集合）与树木（非集合）。
集合概念用来指称集合体，是由许多对象有机聚合构成的集合体，集合体所具有的属性，其构成部分未必具有。
集合体与其构成部分之间是整体与部分的关系。
非集合概念用来指称一类对象，其所指称的对象不是一个集合体，而是许多对象组成的一类。
类和集合体不同，类是由许多对象组成的，类与其对象之间是类与分子的关系。
类与分子之间存在着共同的属性，构成类的分子自身也具有类所具有的属性。
注意，同一个概念在不同的语境中可以是集合概念，也可以是非集合概念。
区分是集合还是非集合，其标准在于是否指向一个不可分割的整体。
(1) 确定性：对于任意一个元素,要么它属于某个指定集合,要么它不属于该集合,二者必居其一
(2) 互异性：同一个集合中的元素是互不相同的
(3) 无序性：任意改变集合中元素的排列次序，它们仍然表示同一个集合。
非集合知识点总结归纳
非集合知识点总结归纳在人们的学习生活中，知识点的掌握是非常重要的。
知识点的掌握可以帮助我们更好地理解问题，解决问题，提高学习能力。
本文将从非集合知识点出发，对一些重要的知识点进行总结归纳，以帮助读者更好地理解这些知识点。
一、数学知识点总结数学是一门重要的学科，它是人们认识世界的重要工具。
数学知识点总结主要包括以下几个方面：1. 数学基本概念数学基本概念是数学的基础，包括数的概念、集合的概念、函数的概念等。
数的概念是指数学中的最基本的概念，包括自然数、整数、有理数和实数等。
集合的概念是指具有某种共同特征的个体的总体，集合中的个体称为元素，集合的概念是数学中的一个基础概念。
函数是一种数学对象间的对应规则，它是数学研究中的一个重要概念。
2. 数学运算数学运算是数学中的一个重要概念，包括加法、减法、乘法、除法等运算。
数学运算是数学中最基本的操纵，也是数学研究中最基础的概念。
3. 数学定理数学定理是数学中的一个重要概念，指的是数学中一些重要的结论、原理和定理。
数学定理是数学研究中最重要的部分，它们是数学领域中的一些理论和规律的概括和总结。
4. 数学问题解决方法数学问题解决方法是数学中的一个重要知识点，包括数学问题的分析、解决、验证等方法。
数学问题解决方法是数学中最关键的部分，它可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。
以上是数学知识点总结的一些基础知识点，读者可以结合自己的学习情况，进行进一步的学习和总结。
二、物理知识点总结物理是自然科学的一个重要分支，它研究宇宙中一切物质的运动和相互作用。
物理知识点总结主要包括以下几个方面：1. 物理基本概念物理基本概念是物理的基础，包括质量、力、能量、动量等。
质量是物质的基本属性，是物质的一种量度。
力是物体之间相互作用的结果，是物体之间相互作用的量度。
能量是物体的运动和变化所具有的属性，是物体在进行各种运动和变化过程中所具有的能力。
动量是物体运动的一种特征量，是物体在运动中所具有的变化量。
第01讲 集合的概念及基本关系(3大考点10种解题方法)(解析版)
第01讲集合的概念及基本关系（3大考点10种解题方法）考点考向1．集合的概念把某些能够确切指定的对象全体看作一个整体，这个整体就称为一个集合，集合中的每个对象称为该集合的元素。
任何一个对象α对于某一个集合A 来说，或是属于该集合)(A ∈α即，或是不属于该集合)A (∉α即。
2.集合中元素的三个特征：①．确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．②．互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.③．无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
3.元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“∈”表示）和不属于（用符号“∉”表示）．4.集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn 图、描述法．5.常见的数集及其表示符号名称自然数集(非负整数集)正整数集整数集有理数集实数集表示符号N*N 或+N ZQR6.集合的分类：有限集，无限集，空集；7.子集与真子集子集：若集合A 中任何一个元素都属于集合B ，则集合A 叫做集合B 的子集，记作B A ⊆或A B ⊇；真子集：对于集合A 和B ，若B A ⊆,且B 中至少有一个元素不属于A ，则集合A 叫做集合B 的真子集，记作A B8.相等的集合：对于两个集合A 和B ，若B A ⊆，且A B ⊇，则叫做集合A 与集合B 相等，记作B A =；【要点注意】（1）空集是任何集合的子集，即A ⊆∅，空集是任何非空集合的真子集；（2）任何集合A 是其自身的子集，即A A ⊆；（3）子集的传递性：若C B B A ⊆⊆,，则C A ⊆；（4）若B A ⊆，则AB 或B A =；（5）相等的集合中的所含元素完全相同；（6）连接元素与集合的符号有：∈和∉；（7）连接集合与集合的符号有：⊆，，≠=,等；（8）含有n 个元素的集合的子集共有n2个,真子集有12-n个。
（9）子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.方法技巧1.与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．2.(1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．3.集合A 中含有n 个元素，则有(1)A 的子集的个数有2n 个．(2)A 的非空子集的个数有2n －1个．(3)A 的真子集的个数有2n －1个．(4)A 的非空真子集的个数有2n －2个．4.空集是任何集合的子集，因此在解A ⊆B (B ≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A ＝∅和A ≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．考点精讲考点一：集合的概念及其表示题型一：集合的确定性1.下面给出的四类对象中，能组成集合的是()A．高一某班个子较高的同学B．比较著名的科学家C．无限接近于4的实数D．到一个定点的距离等于定长的点的全体【答案】D【解析】选项A ，B ，C 所描述的对象没有一个明确的标准，故不能构成一个集合，选项D 的标准唯一，故能组成集合．故选：D ．2.（多选题）考察下列每组对象，能构成集合的是()A.中国各地最美的乡村； B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点；C.不小于3的自然数； D.2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．【答案】BCD【解析】A 中“最美”标准不明确，不符合确定性，BCD 中的元素标准明确，均可构成集合，故选BCD题型二：集合的互异性3.在集合{1A =，21a a --，222}a a -+中，a 的值可以是()A．0B．1C．2D．1或2【答案】A【解析】当a ＝0时，a 2﹣a ﹣1＝﹣1，a 2﹣2a +2＝2，当a ＝1时，a 2﹣a ﹣1＝﹣1，a 2﹣2a +2＝1，当a ＝2时，a 2﹣a ﹣1＝1，a 2﹣2a +2＝2，由集合中元素的互异性知：选A ．4.若1{2-∈，21a a --，21}a +，则(a =)A．1-B．0C．1D．0或1【答案】B【答案】解：①若a 2﹣a ﹣1＝﹣1，则a 2﹣a ＝0，解得a ＝0或a ＝1，a ＝1时，{2，a 2﹣a ﹣1，a 2+1}＝{2，﹣1，2}，舍去，∴a ＝0；②若a 2+1＝﹣1，则a 2＝﹣2，a 无实数解；由①②知：a ＝0．故选：B ．题型三：集合常见表示方法5.（2021·全国高一课时练习）下列研究对象能否构成一个集合？如果能，采用适当的方式表示它．（1）小于5的自然数；（2）某班所有个子高的同学；（3）不等式217x +>的整数解．【答案】（1）能，集合为{}0,1,2,3,4；（2）不能，理由见解析；（3）能，集合为{}3,x x x Z >∈.【分析】（1）根据集合元素的确定性、互异性进行判断即可，并表示出相应的集合；（2）根据集合元素的确定性进行判断即可；（3）根据集合元素的确定性、互异性进行判断即可，并表示出相应的集合.【详解】（1）小于5的自然数为0、1、2、3、4，元素确定，所以能构成集合，且集合为{}0,1,2,3,4；（2）个子高的标准不确定，所以集合元素无法确定，所以不能构成集合；（3）由217x +>得3x >，因为x 为整数，集合元素确定，但集合元素个数为无限个，所以用描述法表示为{}3,x x x Z >∈.题型四：数集及其表示符号6．（2021·全国高一专题练习）填空：集合N 表示________集合；集合*Z 表示________集合；集合*R 表示________集合.【答案】自然数正整数正实数【分析】利用数集的表示直接求解【详解】集合N 表示自然数集合；集合*Z 表示正整数集合；集合*R 表示正实数集合，故答案为：自然数，正整数，正实数考点二：元素与集合的关系题型五：元素与集合之间的关系1.（多选题）下列关系中，正确的有（）A．∅∪ th B．13Q∈C．Q Z⊆D．{}0∅∈【答案】AB【解析】选项A:由空集是任何非空集合的真子集可知，本选项是正确的；选项B:13是有理数，故13Q ∈是正确的；选项C:所有的整数都是有理数，故有Z Q ⊆，所以本选项是不正确的；选项D;由空集是任何集合的子集可知，本选项是不正确的，故本题选AB.2.下列关系中，正确的个数为()R ；②13Q ∈；③0{0}=；④0N ∉；⑤Q π∈；⑥3Z -∈．A．6B．5C．4D．3【思路分析】利用元素与集合的关系及实数集、有理数集、自然数集的性质直接求解．【答案】解：由元素与集合的关系，得：在①中， ∈R ，故①正确；在②中，，故②正确；在③中，0∈{0}，故③错误；在④中，0∈N ，故④错误；在⑤中，π∉Q ，故⑤错误；在⑥中，﹣3∈Z ，故⑥正确．故选：D ．题型六：元素个数问题3.集合12{|3A x Z y x =∈=+，}y Z ∈的元素个数为()A．4B．5C．10D．12【思路分析】根据题意，集合中的元素满足x 是整数，且噸 是整数．由此列出x 与y 对应值，即可得到题中集合元素的个数．【解析】由题意，集合{x ∈Z |y噸 ∈Z }中的元素满足x 是整数，且y 是整数，由此可得x ＝﹣15，﹣9，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，1，3，9；此时y 的值分别为：﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，﹣6，﹣12，12，6，4，3，3，1，符合条件的x 共有12个，故选：D ．4.已知集合{1A =，2，3，4，5}，{(,)|B x y x A =∈，y A ∈，x y <，}x y A +∈，则集合B 中的元素个数为()A．2B．3C．4D．5【思路分析】通过集合B ，利用x ∈A ，y ∈A ，x ＜y ，x +y ∈A ，求出x 的不同值，对应y 的值的个数，求出集合B 中元素的个数．【解析】因为集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x ＜y ，x +y ∈A }，当x ＝1时，y ＝2或y ＝3或y ＝4；当x ＝2时y ＝3；所以集合B 中的元素个数为4．故选：C ．【点睛】本题考查集合的元素与集合的关系，考查基本知识的应用．题型七：单元素集合5.若集合A ＝{x |x 2+ax +b ＝x }中，仅有一个元素a ，求a 、b 的值．【答案】解：∵集合A ＝{x |x 2+ax +b ＝x }中，仅有一个元素a ，∴a 2+a 2+b ＝a 且△＝（a ﹣1）2﹣4b ＝0解得a ＝31，b ＝91．故a 、b 的值分别为31，91.题型八：二次函数与集合6.设集合A ＝{x |ax 2+2x +1＝0，a ∈R }（1）当A 中元素个数为1时，求：a 和A ；（2）当A 中元素个数至少为1时，求：a 的取值范围；（3）求：A 中各元素之和．【思路分析】（1）推导出a ＝0或⎩⎨⎧=-=∆≠0440a a ，由此能求出a 和A ．（2）当A 中元素个数至少为1时，a ＝0或⎩⎨⎧≥-=∆≠0440a a ，由此能求出a 的取值范围．（3）当a ＝0时，A 中元素之和为21-；当a ＜1且a ≠0时，A 中元素之和为a 2-；当a ＝1时，A 中元素之和为﹣1；当a ＞1时，A 中无元素．【答案】解：（1）∵集合A ＝{x |ax 2+2x +1＝0，a ∈R }，A 中元素个数为1，∴a ＝0或⎩⎨⎧=-=∆≠0440a a ，解得a ＝0，A ＝{21-}或a ＝1，A ＝{﹣1}．（2）当A 中元素个数至少为1时，a ＝0或⎩⎨⎧≥-=∆≠0440a a ，解得a ≤1，∴a 的取值范围是（﹣∞，1]．（3）当a ＝0时，A 中元素之和为21-；当a ＜1且a ≠0时，A 中元素之和为a 2-；当a ＝1时，A 中元素之和为﹣1；当a ＞1时，A 中无元素．考点三：集合间的基本关系题型九：空集1.如果2{|10}A x ax ax =-+<=∅，则实数a 的取值范围为()A．04a <<B．40<≤a C．40≤<a D．40≤≤a 【思路分析】由A ＝∅得不等式ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集，然后利用不等式进行求解．【答案】解：因为A ＝{x |ax 2﹣ax +1＜0}＝∅，所以不等式ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集，当a ＝0，不等式等价为1＜0，无解，所以a ＝0成立．当a ≠0时，要使ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集，则 ＞t△ − t，解得0＜a ≤4．综上实数a 的取值范围0≤a ≤4．2.已知集合{}25A x x =-≤≤,{}121B x m x m =+≤≤-,若B A ⊆,则实数m 的取值范围是______.【答案】(],3-∞【解析】由B A ⊆可得：当B =∅,则121m m +>-，∴2m <，当B ≠∅,则m 应满足:12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,解得23m ≤≤，综上得3m ≤;∴实数m 的取值范围是(],3-∞.故答案为:(],3-∞.题型十：子集与真子集1.已知集合1{|42k M x x ==+，}k Z ∈，1{|24k N x x ==+，}k Z ∈，则()A．M N=B．M ⊊N C．N ⊊M D．M∩N=∅【思路分析】将集合M ，N 中的表达式形式改为一致，由N 的元素都是M 的元素，即可得出结论．【答案】M ＝{x |x噸，k ∈Z }＝{x |噸，k ∈Z }，N ＝{x |x 噸 ，k ∈Z }＝{x |噸，k ∈Z }，∵k +2（k ∈Z ）为整数，而2k +1（k ∈Z ）为奇数，∴集合M 、N 的关系为N ⊊M ．故选：C ．2.若集合2{|20}A x x x m =-+==∅，则实数m 的取值范围是()A．(,1)-∞-B．(,1)-∞C．(1,)+∞D．[1，)+∞【解析】∵A ＝{x |x 2﹣2x +m ＝0}＝∅，∴方程x 2﹣2x +m ＝0无解，即△＝4﹣4m ＜0，解得：m ＞1，则实数m 的范围为（1，+∞），故选：C ．【点睛】此题考查了空集的定义，性质及运算，熟练掌握空集的意义是解本题的关键．3.已知集合21,,{1}A a a =-，若0A ∈，则a =______；A 的子集有______个.【答案】0或1-8【解析】∵集合21,,{1}A a a =-，0A ∈，∴0a =或2101a a ⎧-=⎨≠⎩，解得0a =或1a =-.A 的子集有328=个.故答案为：0或1-，8.巩固提升一、单选题1．（2022·全国·高一）下列各对象可以组成集合的是（）A ．与1非常接近的全体实数B ．北大附中云南实验学校20202021-学年度第二学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．高一年级很有才华的老师【答案】B【分析】由集合中元素的性质可直接得到结果.【详解】对于ACD ，集合中的元素具有确定性，但ACD 中的元素不确定，故不能构成集合，ACD 错误；B 中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B 正确.故选：B.2．（2022·全国·高一）若以集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（）A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．菱形【答案】C【分析】根据集合中元素的互异性，可得a b c d ,,,四个元素互不相等，结合选项，即可求解.【详解】由题意，集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形，根据集合中元素的互异性，可得a b c d ,,,四个元素互不相等，以四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形，结合选项，只能为梯形.故选：C.3．（2022·贵州·赫章县教育研究室高一期末）已知集合()(){}110A x x x x =-+=，则A =（）A ．{}0,1B ．{}1,0-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1-【答案】D【分析】通过解方程进行求解即可.【详解】因为(1)(1)00x x x x -+=⇒=，或1x =-，或1x =，所以{}1,0,1A =-，故选：D4．（2022·全国·高一）给出下列四个关系：π∈R ，0∉Q ，0.7∈N ，0∈∅，其中正确的关系个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D【分析】根据自然数集、有理数集、空集的含义判断数与集合的关系.【详解】∵R 表示实数集，Q 表示有理数集，N 表示自然数集，∅表示空集，∴π∈R ，0∈Q ，0.7∉N ，0∉∅，∴正确的个数为1.故选:D .5．（2021·山东聊城一中高一期中）若{}21,3,a a ∈，则a 的可能取值有（）A ．0B ．0，1C ．0，3D ．0，1，3【答案】C【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的性质，即可判断a 的可能取值.【详解】0a =，则{}1,3,0a ∈，符合题设；1a =时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；3a =时，则{}1,3,9a ∈，符合题设；∴0a =或3a =均可以.故选：C6．（2022·全国·高一专题练习）下面五个式子中：①{}a a ⊆；②{}a ∅⊆；③{a }∈{a ，b }；④{}{}a a ⊆；⑤a ∈{b ，c ，a }；正确的有（）A ．②④⑤B ．②③④⑤C ．②④D ．①⑤【答案】A【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系逐个分析即可得出答案.【详解】①中，a 是集合{a }中的一个元素，{}a a ∈，所以①错误；空集是任一集合的子集，所以②正确；{}a 是{},a b 的子集，所以③错误；任何集合是其本身的子集，所以④正确；a 是{},,b c a 的元素，所以⑤正确.故选：A.7．（2021·全国·高一课时练习）下列说法中正确的是（）A ．{}1,2,3是不大于3的自然数组成的集合B ．由1，3，1-，13，32，647个元素C ．{}1,2,3,4,5,6和{}6,5,4,3,2,1表示相同的集合D ．{}∅表示空集【答案】C【分析】由自然数集可判断A ；由集合元素的互异性可判断B ；由集合元素的无序性可判断C ；由{}∅表示以空集为元素的集合可判断D.【详解】对于A ，不大于3的自然数组成的集合是{}0,1,2,3，故A 错误；对于B ，由3624=31=结合集合元素的互异性，可知由1，3，1-，13，32，64成的集合有5个元素，故B 错误；对于C ，由集合元素的无序性可知两个集合相等，故C 正确；对于D ，∅表示空集，{}∅表示以空集为元素的集合，故D 错误；故选：C 二、多选题8．（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）下列说法正确的是（）A ．E 由3x <-所有实数组成集合，F 由立德中学某班会运动的所有学生组成的集合.E F 、均不存在.B ．2{|440}E x x x =-+=，F 由5个2组成的集合.则{}2E F ==C ．{|E x Z =∈32x -}Z ∈，{}1,1-⊆F ⊆E ，则F 可能有4个.D ．(){,|2,1,}E x y y x x x Z ==≤∈，用列举法表示集合E 为()(){}1,2,1,2--.【答案】BC【分析】根据集合之间的关系，以及集合的表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：由3x <-所有实数组成的集合E 是空集，由立德中学某班会运动的所有学生组成的集合是F ，,E F 都存在，故A 错误；对B ：{}{}2|4402E x x x =-+==，F 由5个2组成的集合，根据集合中元素的互异性，故{}2F E ==，故B 正确；对C ：{|E x Z =∈32x -{}}1,1,3,5Z ∈=-，因为{}1,1-⊆F ⊆E ，故F 为含有1,1-且是{}1,1,3,5-的子集{}{}{}{}1,1,1,1,3,1,1,5,1,1,3,5----，共有4个，故C 正确；对D ：(){}()()(){},|2,1,1,2,0,0,1,2E x y y x x x Z ==≤∈=--，故D 错误.故选：BC .9．（2021·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高一阶段练习）下列叙述正确的是（）A ．若{(1,2)}P =，则P∅∈B ．{|1}{|1}x x y y >⊆C ．{(,)|1}M x y x y =+=，1{|}N y x y =+=，则M N =D ．{2,4}有3个非空子集【答案】BD【分析】A 选项：集合与集合的关系是包含与否；B 选项：直接判断即可；C 选项：点集和数集之间没有关系；D 选项：一个集合中有n 个元素，则它的非空子集的个数为21n -.【详解】∅是个集合，所以P ∅⊆，A 错误；{|1}x x >是{|1}y y 的一个子集，所以{|1}{|1}x x y y >⊆，B 正确；M 是点集，N 是数集，所以集合M 与集合N 没有关系，C 错误；{2,4}的非空子集有{2}，{4}与{2,4}，共3个，D 正确.故选：BD 三、填空题10．（2020·四川·双流中学高一阶段练习）已知集合2{2,}x 与{4,}x 相等，则实数x =__________．【答案】2【分析】由已知，两集合相等，可借助集合中元素的的互异性列出方程组，解方程即可完成求解.【详解】因为集合2{2,}x 与{4,}x 相等，则242x x ⎧=⎨=⎩，解得2x =．故答案为：2.11．（2021·浙江·玉环中学高一阶段练习）设集合{}**(,)|3,N ,N A x y x y x y =+=∈∈，则用列举法表示集合A 为______．【答案】{(1,2),(2,1)}【分析】根据题意可得030x y x >⎧⎨=->⎩，则03x <<，对1,2x =代入检验，注意集合的元素为坐标．【详解】∵**3,N ,N x y x y +=∈∈，则可得030x y x >⎧⎨=->⎩，则03x <<又∵*N x ∈，则当1,2x y ==成立，当2,1x y ==成立，∴{(1,2),(2,1)}A =故答案为：{(1,2),(2,1)}．12．（2020·甘肃·永昌县第一高级中学高一阶段练习）下列命题中正确的有________(写出全部正确的序号).①{2，4，6}⊆{2，3，4，5，6}；②{菱形}⊆{矩形}；③{x |x 2＝0}⊆{0}；④{(0，1)}⊆{0，1}；⑤{1}∈{0，1，2}；⑥{}|2x x ≥{}|1x x >.【答案】①③⑥【分析】根据集合间的基本关系中的子集、真子集的定义及元素与集合的关系即可求解.【详解】对于①，2，4，6}{2,3,4,5,6∈，则{2，4，6}⊆{2，3，4，5，6}，故①正确；对于②，菱形不属于矩形，则{菱形}{矩形}，故②不正确；对于③，由20x =，解得0x =，则{x |x 2＝0}⊆{0}，故③正确；对于④，()}{0,10,1∉，则{(0，1)}⊆{0，1}，故④不正确；对于⑤，集合与集合不能用属于与不属于关系表示，所以{1}∈{0，1，2}不正确；对于⑥，{}|2x x ≥{}|1x x >，故⑥正确.故答案为：①③⑥.13．（2022·湖南·高一课时练习）用适当的符号填空：（1）{}0______()2,3-；（2）{},,a c b ______{},,a b c ；（3）R______(],3-∞-；（4）{}1,2,4______{}8x x 是的约数．【答案】⊆=⊇⊆【分析】根据集合子集的定义及集合相等的概念求解.【详解】由集合的子集、集合的相等可知（1）⊆，（2）=，（3）⊇，（4）⊆故答案为：⊆，=，⊇，⊆14．（2021·浙江省青田县中学高一期中）设全集{2,3,5,6,9}U =，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大，最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依次类推.若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第23位的子集是___________.【答案】{}3,5,9【分析】写出包含元素个数从小到大的子集个数，发现含有小于等于2个元素的子集的个数为16个，含有小于等于3个元素的子集的个数为26个，故判断出第23位的子集在含有3个元素的子集中，由于第23位离第26位较近，所以从后面往前找，最终求得结果【详解】不含任何元素的子集个数有1个，含有一个元素的子集个数有5个，含有两个元素的子集个数有10个，含有3个元素的子集个数有10个，因为1+5+10+10=26>23，故排在第23位的子集在含有3个元素的子集中，第26位的子集为{}5,6,9，第25位的子集为{}3,6,9，第24位的子集为{}2,6,9，第23位的子集为{}3,5,9故答案为：{}3,5,915．（2021·江苏·高一课时练习）有下列命题：①空集是任何集合的真子集；②设A B ⊆，若m A ∈，则m B ∈；③{0,1,2}{1,2,0}⊆.其中，正确的有_________.（填序号）【答案】②③【分析】根据空集不是本身的真子集即可判断①，根据子集的概念即可判断②③.【详解】解：空集不是空集的真子集，故①错误；由子集的概念可得，设A B ⊆，若m A ∈，则m B ∈，故②正确；由子集的概念可得{0,1,2}{1,2,0}⊆，故③正确.故答案为：②③.四、解答题16．（2022·湖南·高一课时练习）只有一个元素的集合，例如{}孙悟空，它有两个子集：空集∅和{}孙悟空．两个或三个元素组成的集合各有多少个子集？你能找出一般规律吗？【分析】利用子集的定义及集合的表示即得.【详解】对于两个元素组成的集合{},A a b =，它有4个子集：{}{}{},,,,a b a b ∅；对于三个元素组成的集合{},,B a b c =，它有8个子集：{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,a b c a b a c b c a b c ∅；规律：一般地对于有n 个元素的集合{}12,,,n a a a ，共有2n 个子集.17．（2021·安徽·泾县中学高一阶段练习）已知集合{}22,,A xx m n m n ==+∈∈Z Z ∣.(1)判断2,5,25是否属于集合A ；(2)若正整数y 能表示为某个整数的平方，z A ∈，证明：yz A ∈；(3)若集合{}43,B xx k k ==+∈Z ∣，证明：A B =∅.【答案】(1)2,5,25属于集合A ；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【分析】(1)将2，5，25拆成两个整数平方和即可；(2)由题可设()2y a a =∈Z ，()22,z b c b c =+∈∈Z Z ，由此即可证明yz A ∈；(3)根据m 与n 的奇偶分类讨论即可.(1)由222222211,512,2534=+=+=+，可知2,5,25属于集合A ；(2)由题可设()2y a a =∈Z ，又由z A ∈，设()22,z b c b c =+∈∈Z Z ，有()22222()()yz a b c ab ac =+=+，由,,a b c ∈∈∈Z Z Z ，有,ab ac ∈∈Z Z ，故有yz A ∈；(3)①当,m n 都为偶数时，不妨设()()11222,2m k k n k k =∈=∈Z Z ，有()2222221212444x m n k k k k =+=+=+，此时x 为4的倍数，而偶数B ∉，此时A B =∅；②当,m n 都为奇数时，不妨设()()112221,21m k k n k k =+∈=+∈Z Z ，有()()()222222121212212142x m n k k k k k k =+=+++=++++，此时x 为2的倍数，而偶数B ∉，此时A B =∅；③当,m n 一奇一偶时，不妨设()()112221,2m k k n k k =+∈=∈Z Z ，有()()2222221212121441x m n k k k k k =+=++=+++，此时x 被4整除余1，而集合B 中的元素被4整除余3，此时A B =∅.由①②③可知，A B =∅.18．（2021·全国·高一专题练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如{4，6，9}的元素和是4+6+9=19；交替和是9-6+4=7；而{5}的元素和与交替和都是5.（1）写出集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和；（2）已知集合{}1,2,3,4,5,6M =，根据提示解决问题.①求集合M 所有非空子集的元素和的总和；提示：方法1：x M ∀∈，先求出x 在集合M 的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M 所有非空子集的元素和的总和；方法2：如果我们知道了集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集的元素和的总和为k ，可以用k 表示出M 的非空子集的元素和的总和，递推可求出集合M 所有非空子集的元素和的总和.②求集合M 所有非空子集的交替和的总和.【答案】（1）12；（2）①672，②192【分析】（1）写出集合{1，2，3}的非空子集，根据交替和的概念，求得各个交替和，综合即可得答案.（2）①求得集合{1，2，3}所有非空子集中，数字1、2、3各出现的次数，集合{1，2，3，4}所有非空子集中，数字1、2、3、4各出现的次数，根据规律，推测出集合M 中各数字出现的次数，即可得答案.②分别求得集合{1}{12}{1,2,3}{1,2,3,4}、,、、的交替和总和，根据规律，总结出n 个元素的交替和总和公式，代入数据，即可得答案.【详解】（1）集合{1，2，3}的非空子集为{1}，{2}，{3}，{2，1}，{3，1}，{3，2}，{3，2，1}，集合{1}，{2}，{3}的交替和分别为1，2，3，集合{2，1}的交替和为2-1=1，集合{3，1}的交替和为3-1=2，集合{3，2}的交替和为3-2=1，集合{3，2，1}的交替和为3-2+1=2，所以集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和为1+2+3+1+2+1+2=12.（2）①集合{1，2，3}所有非空子集中，数字1、2、3各出现242=次，集合{1，2，3，4}所有非空子集为：{1}，{2}，{3}，{4}，{2，1}，{3，1}，{4，1}，{3，2}，{2，4}，{3，4}，{3，2，1}，{4，2，1}，{4，3，1}，{4，3，2}，{4，3，2，1}，其中数字1、2、3、4各出现382=次，在集合{1，2，3，4，5}所有非空子集中，含1的子集的个数为42=16，故数字1在16个子集中出现即数字1在所有的非空子集中出现了16次，同理数字2、3、4、5各出现42=16次，同理在集合{1，2，3，4，5，6}所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6各出现52=32次，所以集合M 所有非空子集的元素和的总和为32(123456)672⨯+++++=.②设集合{1}{12}{1,2,3}{1,2,3,4}、,、、的交替和分别为1234,,,S S S S ，集合{1}的所有非空子集的交替和为11S =集合{1，2}的所有非空子集的交替和212(21)4S =++-=，集合{1，2，3}的非空子集的交替和3123(21)(31)(32)(321)12S =+++-+-+-+-+=，集合{1，2，3，4}的非空子集的交替和41234(21)(31)(41)S =++++-+-+-(32)(42)(43)(321)(421)(431)(432)(4321)32+-+-+-+-++-++-++-++-+-=所以根据前4项猜测集合{1,2,,}n ⋅⋅⋅的所有非空子集的交替和总和为12n n S n -=⋅，所以集合M 所有非空子集的交替和的总和5662192S =⨯=【点睛】解题的关键是根据题意，列出非空子集，求得元素和、交替和，总结规律，进行猜想，再代数求解，分析理解难度大，属难题.19．（2021·全国·高一专题练习）设N n ∈且3n ≥，有限集合12{,,}n M a a a =⋯，，其中12310n n a a a a a -≤<<<⋯<<，若对任意i j 、（1i j n ≤≤≤），都有()j i a a M -∈，则称集合M 为“含差集合”.（1）分别判断集合{0,2,4}A =和集合{1,2,3}B =是否是“含差集合”，并说明理由；（2）已知集合12345{,,,,}C a a a a a =，集合2{|,,4}D x x ka k N k ==∈≤，若集合C 是“含差集合”，试判断集合C 与集合D 的关系，并加以证明.【答案】（1）A 是，B 不是；（2）C D =，证明见解析.【分析】（1）根据含差集合的定义判断即可；（2）根据“含差集合”的定义，可求出集合C ，再与集合D 比较即可.【详解】（1）由{0,2,4}A =，可知0j i a a -=或2或4，因为0,2,4A ∈，所以集合{0,2,4}A =是“含差集合”，由{1,2,3}B =，可知0j i a a -=或1或2，因为0B ∉，所以{1,2,3}B =不是“含差集合”，（2）因为12345{,,,,}C a a a a a =是含差集合，所以123450a a a a a ≤<<<<，且对任意i j 、（1i j n ≤≤≤），都有()j i a a C -∈，因为1a 最小，所以10a =，因为32323a a C a a a -∈⎧⎨-<⎩，所以322a a a -=或321a a a -=（舍）所以322a a =，又4342a a C a a C -∈⎧⎨-∈⎩且234a a a <<，10a =，可得43a a -=2a ，3a ；42a a -=2a ，3a ；当433a a a -=时，43224a a a ==；当432a a a -=时，423a a =；当422a a a -=时，422a a =；因为322a a =，43a a >，此种情况不成立，当423a a a -=时，423a a =；所以423a a =，又5453a a C a a C -∈⎧⎨-∈⎩且345a a a <<，10a =，322a a =，423a a =，可得54a a -=2a ，3a ，4a ；53a a -=2a ，3a ，4a ；当542a a a -=时，524a a =；当543a a a -=时，525a a =；当544a a a -=时，526a a =；当53a a -=2a 时，5243a a a ==，因为54a a >，此种情况不成立，当53a a -=3a 时，524a a =；当53a a -=4a 时，525a a =；所以10a =，322a a =，423a a =，524a a =或525a a =，所以2222{0,,2,3,4}C a a a a =或2222{0,,2,3,5}C a a a a =此种情况225a a C -∉，不成立，所以2222{0,,2,3,4}C a a a a =，而22222{|,N,4}{0,,2,3,4}D x x ka k k a a a a ==∈≤=，所以C D =.。
逻辑集合概念和非集合概念
逻辑集合概念和非集合概念嘿，朋友们！今天咱们来聊聊逻辑里超级有趣的集合概念和非集合概念，这就像是进入了一个充满奇思妙想的魔法世界呢。
集合概念啊，就像是一群超级英雄组成的复仇者联盟。
你看啊，复仇者联盟是一个整体，它有着自己独特的属性。
比如说，复仇者联盟可以拯救世界，这个能力是整个联盟作为一个集合体才有的。
你不能说联盟里的小蜘蛛一个人就能完全代表复仇者联盟去拯救世界，就像你不能说一片树叶就能代表整个森林遮风挡雨一样。
集合概念就是这种强调整体的概念，它就像一个大蛋糕，每个元素是蛋糕里的一部分，但只有整个蛋糕才是那个有着独特味道的完整存在。
而非集合概念呢，就像是一群各自为战的武林高手。
每个高手都有自己的绝世武功。
比如说郭靖，他的降龙十八掌那是他自己的本事，不需要和其他人组合起来才有这个技能。
这就好比是一颗闪亮的星星，每颗星星都自己发着光，不需要聚在一起才叫亮。
非集合概念里的每个个体都有着和整体类似的属性，不像集合概念里个体只有在整体里才表现出那种特殊的属性。
我再给你们举个超级夸张的例子。
集合概念就像是一群蚂蚁组成的蚁群。
蚁群能够建造超级复杂的蚁穴，这是蚁群这个集合体的厉害之处。
可单独一只蚂蚁，它只能到处乱爬，找吃的，它可没办法自己建造出那么宏伟的蚁穴。
这就像是集合概念里整体的力量远远大于个体。
而非集合概念呢，就像是一群独角兽。
每只独角兽都有着神奇的魔力，它们不需要组合起来才有魔法。
一只独角兽在森林里溜达的时候，它的魔法就已经闪闪发光了，不像蚂蚁必须得成群结队才能展现出建造蚁穴的能力。
有时候啊，这两个概念就像两个调皮的小精灵，在我们的思维里跑来跑去，搞得我们晕头转向。
比如说，“中国人是勤劳勇敢的”，这里的“中国人”就是集合概念，是说整个中国人这个群体有这样的属性。
但要是说“这个中国人很勤劳勇敢”，就是在说个体的属性，就成了非集合概念的运用啦。
这就像你在魔法森林里，要分清哪些是会说话的树精（集合概念），哪些是普通的花草（非集合概念）一样有趣又有点小难度。
数学集合的知识点总结
数学集合的知识点总结一、集合与元素1. 集合的概念集合是指具有特定共同属性的对象的总体，这些对象可以是数字、字母、符号、图形等。
集合用大括号{}表示，其中的元素通过逗号分隔。
2. 元素的概念集合中的每一个对象称为元素，元素可以是数字、字母、符号等。
如果一个元素属于某个集合，则可以用“∈”表示。
3. 空集不包含任何元素的集合称为空集，用∅表示。
4. 全集包含一切可能的元素的集合称为全集，常用符号U表示。
二、集合的运算1. 并集设A和B是两个集合，A和B的并集是由所有属于A或属于B的元素所组成的集合，用符号“∪”表示。
2. 交集设A和B是两个集合，A和B的交集是由同时属于A和属于B的元素所组成的集合，用符号“∩”表示。
3. 补集设A是全集U的一个子集，U中所有不属于A的元素构成的集合称为A关于全集U的补集，用符号“-”或“\”表示。
4. 差集设A和B是两个集合，A和B的差集是由属于A但不属于B的元素所组成的集合，用符号“-”表示。
5. 互补设A和B是全集U的两个子集，如果A∪B=U且A∩B=∅，则称A与B互补。
三、集合的关系和运算律1. 相等关系两个集合A和B相等，当且仅当A包含B的所有元素，且B包含A的所有元素。
2. 包含关系集合A包含于集合B，当且仅当A的所有元素都是B的元素。
3. 空集的关系任何集合都包含于全集，且全集包含于任何集合，空集是任何集合的子集。
4. 并集的结合律和交集的结合律设A、B、C是集合，那么(A∪B)∪C=A∪(B∪C)和(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
5. 并集与交集的分配律设A、B、C是集合，那么A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)和A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。
四、集合的判定1. 属于一个集合如果某个元素属于一个集合，可以用“∈”表示。
2. 不属于一个集合如果某个元素不属于一个集合，可以用“∉”表示。
3. 集合的子集集合A是集合B的子集，当且仅当A中的所有元素都是B中的元素。
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2018年考研管综逻辑之集合和非集合概
念整理
为帮助2018考研小伙伴们开展复习，中公考研精心为大家整理了考研管综逻辑小故事系列，供大家参考使用。
2018考研加油！
【逻辑故事】
2012年的冬天，切糕火了。
一个富翁想去尝尝那个与黑洞、中子星并称为3大密度最大的切糕，花了一辆车的价钱买了两斤切糕没吃饱，接着又花了一栋别墅的价钱买了四斤还是没吃饱，接着忍痛把诺亚方舟的船票换了六斤切糕。
他吃完之后就后悔啦!
“早知道最后一斤的切糕能吃饱，我还吃前面的干嘛，还能留下房子和车子，现在只能沦落成为犀利哥了。
”
【逻辑原理】
这个富翁最后的反省没有明确集合概念和非集合概念的区别。
集合概念是反映事物集合体的概念。
集合体就是由两个或两个以上的同类个体经过组合构成的一个特殊的的整体，这个整体所具有的本质属性不为组成它的个体所具有。
非集合概念是反映非集合体的概念。
它是相对于集合概念来说的，凡不属于反映集合体的概念都是非集合概念。
【逻辑思考】
数学系的学生也学了不少文科课程，王颖是数学系的学生，所以她也学了不少文科课程。
以下哪项论证展示的推理错误与上述论证中的最相似?
A.数学系的学生都学《哲学原理》这门课程，小马是数学系的一名学生，所以她也学习数学这门课程。
B.哲学系的教师写了许多哲学方面的论文。
老张是哲学系的一名教师，所以他也写过许多哲学方面的论文。
C.所有的旧房子需要经常维修，这套房子是新的，所以不需要经常维修。
D.这个学习小组的成员多数是女学生，王颖是这个学习小组的成员，所以她也是女学生。
解析：题干大前提中的“数学系的学生”与小前提中的“数学系的学生”不是同一个概念，前者是集合概念，后者是非集合概念。
B项符合。
选项A中，作为都学“哲学原理”这门课程的“数学系的学生”所表达的不是集合概念，而是非集合概念，整个推理是正确的。
【逻辑训练】
2012年真题：小李将自家护栏边的绿地毁坏，种上了黄瓜。
小区物业管理人员发现后，提醒小李：护栏边的绿地是公共绿地，属于小区的所有人。
物业为此下发了整改通知书，要求小李限期恢复绿地。
小李对此辩称：“我难道不是小区的人吗?护栏边的绿地既然属于小区的所有人，当然也属于我。
因此，我有权在自己的土地上种黄瓜。
”(集合概念或三段论) 以下哪项论证，和小李的错误最为相似?
(A)所有人都要对他的错误行为负责，小梁没有对他的这次行为负责，所以小梁的这次行为没有错误。
(B)所有参展的兰花在这次博览会上被订购一空，李阳花大价钱买了一盆花。
由此可见，李阳买的必定是兰花。
(C)没有人能够一天读完大仲马的所有作品，没有人能够一天读完《三个火枪手》，因此，《三个火枪手》是大仲马的作品之一。
(D)所有莫尔碧骑士组成的军队在当时的欧洲是不可战胜的，翼雅王是莫尔碧骑士之一，
所以翼雅王在当时的欧洲是不可战胜的。
(E)任何一个人都不可能掌握当今世界的所有知识，地心说不是当今世界的知识，因此，有些人可以掌握地心说。
2011年真题：公达律师事务所以为刑事案件的被告进行有效辩护而著称，成功率达90%以上，老余是一位以专门为离婚案件的当事人成功辩护而著称的律师。
因此，老余不可能是公达律师事务所的成员。
以下哪项最为确切地指出了上述论证的漏洞?
(A)公达律师事务所具有的特征，其成员不一定具有。
(B)没有确切指出老余为离婚案件的当事人辩护的成功率。
(C)没有确切指出老余为刑事案件的当事人辩护的成功率。
(D)没有提供公达律师事务所统计数据的来源。
(E)老余具有的特征，其所在工作单位不一定具有。
2010年真题：克鲁特是德国家喻户晓的“明星”北极熊，北极熊是北极名副其实的霸主，因此，克鲁特是名副其实的北极霸主。
以下哪项除外，均与上述论证中出现的谬误相似?
(A)儿童是祖国的花朵，小雅是儿童，因此，小雅是祖国的花朵
(B)鲁迅的作品不是一天能读完的，《祝福》是鲁迅的作品。
因此《祝福》不是一天能读完的
(C)中国人是不怕困难的，我是中国人。
因此，我是不怕困难的。
(D)康怡花园坐落在清水街，清水街的建筑属于违章建筑。
因此，康怡花园的建筑属于违章建筑
(E)西班牙语是外语，外语是普通高等学校招生的必考科目。
因此西班牙语是普通高等学校招生的必考科目
2007年真题：舞蹈学院的张教授批评本市芭蕾舞团最近的演出没能充分表现古典芭蕾舞的特色。
他的同事林教授认为这一批评是个人偏见。
作为芭蕾舞技巧专家，林教授考察过芭蕾舞团的表演者，结论是每一位表演者都拥有足够的技巧和才能来表现古典芭蕾舞的特色。
以下哪项最为恰当地概括了林教授反驳中的漏洞?
(A)他对张教授的评论风格进行攻击而不是对其观点加以批驳。
(B)他无视张教授的批评意见是与实际情况相符的。
(C)他仅从维护自己的权威地位的角度加以反驳。
(D)他依据一个特殊事例轻率概括出一个普遍结论。
(E)他不当地假设，如果一个团体每个成员具有某种特征，那么这个团体就总能体现这种特征。