高等数学教案
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湖南机电职业技术学院学期授课计划
学期授课计划
备注：严格按此计划组织教学，授课内容误差不得超过2个课时；各班级按教学进度表组织教学，如有实习周或放假周，按计划内容顺延。
湖南机电职业技术学院教案(一)备课组长签名：教师签名：
湖南机电职业技术学院教案（二）备课组长签名：教师签名：
湖南机电职业技术学院教案（三）备课组长签名：教师签名：
湖南机电职业技术学院教案（四）备课组长签名：教师签名：
sin tan ,x x x ∴<<即
sin cos 1,x
x x <
<
.02也成立上式对于<<-
x π ,20时当π
< = 2)2(2x < , 22x = ,02lim 20=→x x ,0)cos 1(lim 0=-∴→x x ,1cos lim 0=∴→x x ,11lim 0=→x 又 .1sin lim 0=∴→x x x 注：（1）这个重要极限主要解决含有三角函数的型的极限。 （2）公式形象的记为：0 sin lim 1x →= 例1． 求0sin 3lim sin 4x x x → 解略 例2．求0tan 2lim x x x → 解 ： 000tan 2sin 21sin 21 lim lim lim 22 222x x x x x x x x cos x x cos x →→→=== 例3． 求201cos lim .x x x →- 解：2202sin 2lim x x x →=原式2 2 0)2(2sin lim 21x x x →= 2 0)22sin (lim 21x x x →= 2121⋅= .21= 2. 极限的存准则Ⅱ与重要极限 1 lim(1)x x e x →∞+= 15’ 15’ A C x B D o ) +)型幂指函数的极限。 1x +⎪-⎭3lim 1x ⎛+- 湖南机电职业技术学院教案（五）备课组长签名：教师签名： 00()()y f x x f x ∆=+∆- 强调：增量可正可负，其实是变量的改变量。 例1 设2()31y f x x ==-，求适合下列条件的自变量的增量x ∆和函数的增量 y ∆： （1）x 由1变化到0.5 （2）x 由1变到1x +∆ （3）x 由0x 变到0x x +∆ 解略。 二、函数连续性的概念 1. 一点处连续的定义。 定义2 设函数()y f x =在点0x 的某个邻域有定义,如果当△x 趋向于零时，函数y 对应的增量△y 也趋向于零，即：那末就称函数 在点x 0处连续。 例2 证明函数2 ()22y f x x x ==-+在点0x x =处连续。 定义 3 设函数 在点x 0的某个邻域内有定义，如果有 称函数 在点x 0处连续，且称x 0为函数的 的 连续点. 由定义，函数在()y f x =点0x 连续需同时满足三个条件： （1） 函数在点0x 的一个邻域内有定义，即0()f x 存在 （2） 0 lim ()x x f x →存在，即左右极限相等0 lim ()lim ()x x x x f x f x +- →→= （3） 上述两个值相等，即极限值等于函数值0 lim ()x x f x →=0()f x 10’ 由图形分析加强学生对定义的理解 10’ 10’ 15’ 例3 讨论函数 21 () 1 x f x x - = - 在1 x=处的连续性。 例4 讨论函数 1,1 ()0,1 1,1 x x f x x x x +> ⎧ ⎪ == ⎨ ⎪-< ⎩ 在1 x=处的连续性。 例5 讨论函数 1,1 () 0,1 x x f x x +≠ ⎧ =⎨ = ⎩ 在1 x=处的连续性。 2. 区间连续 设函数在区间(a,b]内有定义，如果左极限存在且等于，即：=，那末我们就称函数在点b左连续. 设函数在区间[a,b)内有定义，如果右极限存在且等于，即：=，那末我们就称函数在点a右连续. 一个函数在开区间(a,b)内每点连续,则为在(a,b)连续，若又在a点右连续，b点左连续，则在闭区间[a，b]连续，如果在整个定义域内连续，则称为连续函数。连续函数图形是一条连续而不间断的曲线。 三、函数的间断点 分类原因包含情况类 型 第 一类间断点 lim() x x f x - → , lim() x x f x + → 都存在 lim() x x f x - → ≠ lim() x x f x + → 跳 跃 间 断 点 lim() x x f x - → = lim() x x f x + → = lim()() x x f x f x → ≠可 去 间 断 点 5’ 5’