Lyapunov指数计算算法的设计与实现
毕业设计__基于神经网络的时间序列Lyapunov指数普的计算毕业设计论文
摘要 (II)Abstract (III)第一章绪论 (1)1.1 引言 (1)1.2 Lyapunov计算方法的定义 (2)第二章基于神经网络的Lyapunov指数谱的计算 (3)2.1 相空间重构 (3)2.2 Oseledec矩阵的确定 (3)2.3 QR分解 (5)2.4 小波神经网络 (7)2.5 基于RBF神经网络的Lyapunov指数谱计算方法 (10)2.6 Lyapunov指数实验计算代码 (11)2.6.1确定嵌入维数 (11)2.6.2确定延迟时间 (11)2.6.3计算Lyapunov指数普 (12)2.7 Lyapunov指数仿真实验结果 (14)2.7.1 实验一 (14)2.7.2 实验二 (16)小结 (18)总结 (19)参考文献 (20)致谢 (21)Lyapunov指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标,它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。
对于系统是否存在动力学混沌, 可以从最大Lyapunov指数是否大于零非常直观的判断出来: 一个正的Lyapunov 指数,意味着在系统相空间中,无论初始两条轨线的间距多么小,其差别都会随着时间的演化而成指数率的增加以致达到无法预测,这就是混沌现象。
利用RBF 神经网络的非线性函数逼近能力, 由实验观察数据列计算系统的Lyapunov指数谱实例计算表明, 此种方法精度较高且计算量较小, 有重要的实际意义.关键词: Lyapunov 指数谱; 相空间重构; 人工神经网络AbstractLyapunov exponent is an important measure of system dynamics quantitative indicators, It is characterized by the average rate in the phase space between adjacent tracks convergence or divergence. For the existence of chaotic dynamics, can be very intuitive judgment from the largest Lyapunov exponent is greater than zero: a positive Lyapunov exponent, means that the system in phase space, regardless of the initial two-rail line spacing, however small, the difference will cannot predictAs time evolved exponential increase in the rate of so reached, which is chaos. Lyapunov exponents are one of a number of parameters that characterize the nature of a chaotic dynamical system. We calculate the Lyapunov exponents from an observed time series based on the ability thata RBF neural network can approximate nonlinear functions. The results show that this method needs less computing time and has higher precision, soit has practical significance.Keywords: Lyapunov exponents;Reconstruction of phase space;Artificial neural network第一章绪论1.1引言混沌系统的基本特点就是系统对初始值的极端敏感性，两个相差无几的初值所产生的轨迹，随着时间的推移按指数方式分离，Lyapunov指数[1]就是定量的描述这一现象的量。
Lyapunov指数的计算方法
【总结】Lyapunov指数的计算方法非线性理论近期为了把计算LE的一些问题弄清楚，看了有7〜9本书！下面以吕金虎《混沌时间序列分析及其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线，把目前已有的LE计算方法做一个汇总！1.关于连续系统Lyapunov指数的计算方法连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的LE求解方法来计算得到。
关于连续系统LE的计算，主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍内容。
（1）定义法—对H堆连续动力系統z = 在—OBJ孙味“为中心.|拆（心0）||为丰笹啟存«堆的球面*施著时间的演化，在t时討该球而0P变形为M继的椭球厨・设滾椭域面的第/ 个坐标轴方向的半轴长対卩兀|，则诙系统第i个指数対*此即连续系统Lyapunov揩较飽定冥・弼计尊时・取|处（心0）［为岀W为常数），以孔为球心・欧几里篇范敢为山的正衮矢量集仙测，…叮为初始球.由非线性徴分方崔“尸㈤可以分别计算出点細血创、引他、r引址经过时间t后淺化的轨迹・役其终了点分别为珊、砒、f 仙则令石f 陶一心■处严=甩-和，r 亦耳国=略一報#则可得新的矢重棄叶禺巴…后畀｝・由于各牛妥臺在演化过程中舌焙向着是大的UapurOT IS数方何靠掘，因此需要通过Schimdt IE交化不断地讨新矢量逬行置换.SP Wolf to文章中提出的GSR^法.表述如下：播着以他为球心，疤数対（I的正奁矢臺料创巴叫叫…伽严;为祈球继续进行演出设演化至N步时，得到矢董慕冈㈤出巴…耳僅牛且N足够大,这可以得到Lyapunov 扌鐵的近似计算公式三实际计算时，取为1・定义法求解Lyapunov 指数JPG关于定义法求解的程序，和matlab板块的连续系统LE求解程序”差不多。
以Rossie啄统为例Rossler系统微分方程定义程序function dX = Rossler_ly(t,X)% Rossler吸引子，用来计算Lyapunov指数% a=0.15,b=0.20,c=10.0% dx/dt = -y-z,% dy/dt = x+ay,% dz/dt = b+z(x-c),a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;x=X(1); y=X(2); z=X(3);%Y的三个列向量为相互正交的单位向量丫 = [X(4), X(7), X(10);X(5), X(8), X(11);X(6), X(9), X(12)];%输出向量的初始化，必不可少dX = zeros(12,1);% Rossler吸引子dX(1) = -y-z;dX(2) = x+a*y;dX(3) = b+z*(x-c);% Rossler吸引子的Jacobi矩阵Jaco = [0 -1 -1;1 a 0; z 0 x-c];dX(4:12) = Jaco*Y;求解LE 代码：% 计算Rossler 吸引子的Lyapunov 指数clear;yinit = [1,1,1]; orthmatrix = [1 0 0;0 1 0;0 0 1];a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;y = zeros(12,1);% 初始化输入y(1:3) = yinit; y(4:12) = orthmatrix;tstart = 0; % 时间初始值tstep = 1e-3; %时间步长wholetimes = 1e5; % 总的循环次数steps = 10; %每次演化的步数iteratetimes = wholetimes/steps; %演化的次数mod = zeros(3,1);lp = zeros(3,1);% 初始化三个Lyapunov 指数Lyapunov1 = zeros(iteratetimes,1);Lyapunov2 = zeros(iteratetimes,1);Lyapunov3 = zeros(iteratetimes,1);for i=1:iteratetimestspan = tstart:tstep:(tstart + tstep*steps); [T,Y] = ode45('Rossler_ly', tspan, y);% 取积分得到的最后一个时刻的值y = Y(size(Y,1),:);% 重新定义起始时刻tstart = tstart + tstep*steps;y0 = [y(4) y(7) y(10);y(5) y(8) y(11);y(6) y(9) y(12)];%正交化y0 = ThreeGS(y0);% 取三个向量的模mod(1) = sqrt(y0(:,1)'*y0(:,1));mod(2) = sqrt(y0(:,2)'*y0(:,2));mod(3) = sqrt(y0(:,3)'*y0(:,3)); y0(:,1) = y0(:,1)/mod(1);y0(:,2) = y0(:,2)/mod(2);y0(:,3) = y0(:,3)/mod (3);Ip = lp+log(abs(mod));%三个Lyapunov指数Lyapu nov1(i) = lp(1)/(tstart);Lyapu nov2(i) = lp(2)/(tstart);Lyapu nov3(i) = lp(3)/(tstart); y(4:12) = y0';end%作Lyapunov指数谱图i = 1:iteratetimes;plot(i,Lyap uno v1,i,Lyap uno v2,i,Lyap unov3)程序中用到的ThreeGS程序如下：%G-S正交化function A = ThreeGS(V) % V 为3*3 向量v1 = V(:,1);v2 = V(:,2);v3 = V(:,3);al = zeros(3,1);a2 = zeros(3,l);a3 = zeros(3,1);al = v1;a2 = v2-((a1'*v2)/(a1'*a1))*a1;a3 = v3-((a1'*v3)/(a1'*a1))*a1-((a2'*v3)/(a2'*a2))*a2; A = [a1,a2,a3];计算得到的Rossler系统的LE 为------- 0.063231 0.092635 -9.8924Wolf文章中计算得到的Rossler系统的LE为-------- 0.09 0 -9.77需要注意的是一一定义法求解的精度有限，对有些系统的计算往往出现计果和理论值有偏差的现象。
克隆法计算李雅普诺夫指数
克隆法计算李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数（Lyapunov exponent）是用来衡量动态系统稳定性的一个重要指标。
在混沌理论中，李雅普诺夫指数可以用来预测一个系统对初始条件的敏感性。
克隆法是一种计算李雅普诺夫指数的数值方法。
其基本思想是：对于一个给定的动态系统，我们首先生成两个几乎完全相同的初始条件，然后让它们分别演化。
随着时间的推移，这两个初始条件会逐渐分离，我们可以通过测量它们之间的距离来计算李雅普诺夫指数。
具体步骤如下：
生成两个几乎完全相同的初始条件。
让这两个初始条件分别演化。
计算它们之间的距离。
重复上述步骤多次，并取平均值。
将平均值与时间作图，并求出斜率，即为李雅普诺夫指数。
需要注意的是，克隆法是一种数值方法，其结果会受到初始条件的选择、时间步长的选择等因素的影响。
因此，在使用克隆法计算李雅普诺夫指数时，需要选择合适的参数，并进行多次模拟以获得更准确的结果。
切换系统Lyapunov指数的算法综述
切换系统Lyapunov指数的算法综述
郭建丽;高庆
【期刊名称】《科技信息》
【年(卷),期】2014(000)005
【摘要】Lyapunov指数是衡量系统动力学特性的重要指标.本文针对切换系统,综述了目前常用Lyapunov指数的三种计算方法:庞加莱映射法、时间序列法和混沌同步法.通过分析和比较其特点及优缺点,详细探讨各方法在切换系统中的应用.【总页数】2页(P3-4)
【作者】郭建丽;高庆
【作者单位】重庆邮电大学工业物联网与网络化控制教育部重点实验室,中国重庆400065;重庆邮电大学工业物联网与网络化控制教育部重点实验室,中国重庆400065
【正文语种】中文
【相关文献】
1.条件Lyapunov指数和时间τ-条件Lyapunov指数的研究 [J], 何岱海;徐健学;陈永红;谭宁
2.切换系统的鲁棒二次公共Lyapunov函数矩阵寻找算法 [J], 张晓宇;李平
3.时滞切换系统指数稳定性分析:多Lyapunov函数方法 [J], 丛屾;费树岷;李涛
4.非线性切换系统的振荡行为及其Lyapunov指数计算 [J], 余跃;张春;毕勤胜
5.基于Adomian分解法的分数阶非线性系统的分析及Lyapunov指数算法的实现[J], 雷腾飞;贺金满;王艳玲;臧红岩;黄丽丽;付海燕
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常微分方程中的Lyapunov指数
常微分方程中的Lyapunov指数Lyapunov指数是一种用于研究动力系统稳定性的重要工具。
在常微分方程中，Lyapunov指数可以帮助我们判断一个系统的稳定性，从而可以更好地理解物理现象。
本文将从以下几个方面介绍Lyapunov指数。
一、什么是Lyapunov指数？Lyapunov指数是法国数学家Lyapunov在19世纪末首次引入的一个概念，用于描述动力系统在某一相空间内的稳定性。
Lyapunov指数是一个实数，通常用λ表示，其大小代表了系统的稳定程度。
当λ>0时，系统是不稳定的；当λ<0时，系统是稳定的；当λ=0时，系统处于稳态。
二、如何计算Lyapunov指数？计算Lyapunov指数的方法有很多种，其中最为常用的是Kaplan-Yorke公式。
这种方法需要进行线性化处理，将非线性动力系统转化为线性动力系统。
通常用牛顿迭代法求解微分方程，并对每个时间步长进行雅可比矩阵的计算，从而最终得到系统的Lyapunov指数。
三、Lyapunov指数在物理学中的应用Lyapunov指数在物理学中有着广泛的应用，尤其是在研究混沌现象中。
混沌是指系统发生不可预期的非周期性运动，常常出现在分子动力学、天体力学和流体力学中。
利用Lyapunov指数可以判断混沌现象的发生，从而更好地理解这些物理现象。
四、Lyapunov指数在控制系统中的应用除了在物理学中的应用外，Lyapunov指数还被广泛应用于控制系统中。
在控制系统中，通过计算Lyapunov指数可以判断系统是否稳定，并且可以设计出更好的控制策略。
此外，Lyapunov指数还可以用于描述系统的鲁棒性，即系统对干扰的抵抗能力。
五、Lyapunov指数的局限性尽管Lyapunov指数在控制系统和物理学中有着广泛的应用，但是它也存在一些局限性。
首先，计算Lyapunov指数常常非常复杂，需要耗费大量时间和计算资源。
其次，Lyapunov指数只能用于描述系统局部的稳定性，而不能用于描述全局的稳定性。
计算lyapunov指数,利用wolf方法[技巧]
![计算lyapunov指数,利用wolf方法[技巧]](https://img.taocdn.com/s3/m/97e9f7380166f5335a8102d276a20029bd646319.png)
!系统表现为常微分方程组：（洛伦兹系统）!使用Wolf方法，注意IVF与fortran下面使用库函数的不同PROGRAM LE_DIFEQEN!INCLUDE 'link_fnl_shared.h'!USE numerical_libraries!使用fortran65用下面的一句话，用IVF使用上面的两句话USE IMSLIMPLICIT NONEINTEGER,PARAMETER::N=3 ! 原始微分方程个数INTEGER,PARAMETER::NN=12 !系统变量个数N+N*NEXTERNAL FCN !计算微分方程的子程序INTEGER I,J,K,L,NSTEP,IDO!NSTEP为计算次数REAL::TOL,STPSZE,T,TEND!T为系统的初始时间值，执行一次IVPRK后设为TEND（所要计算的系统时间值）!STPSZE为从T到TEND的时间步长!TOL为期望的误差范围REAL::Y(NN),ZNORM(N),GSC(N),LE(N),PARAM(50)!ZNORM中放向量的模!LE中放李雅普洛夫指数!非线性系统的初值Y(1)=10.0Y(2)=1.0Y(3)=0.0!线性系统的初值DO I=N+1,NNY(I)=0.0END DODO I=1,NY((N+1)*I)=1.0LE(I)=0.0END DO!参数设置参数设置参数设置参数设置IDO=1PARAM=0PARAM(4)=5000000param(10)=1.0T=0.0TOL=1E-2NSTEP=1000000STPSZE=0.01DO I=1,NSTEPTEND=STPSZE*REAL(I)CALL IVPRK(IDO,NN,FCN,T,TEND,TOL,PARAM,Y)!以下部分将N个向量正交单位化!V1=(Y(4),Y(7),Y(10))!V2=(Y(5),Y(8),Y(11))!V3=(Y(6),Y(9),Y(12))!.......! Normalize the first vectorZNORM(1)=0.0DO J=1,NZNORM(1)=ZNORM(1)+Y(N*J+1)**2END DOZNORM(1)=SQRT(ZNORM(1))DO J=1,NY(N*J+1)=Y(N*J+1)/ZNORM(1)END DO!Generate the new orthonormal set of vectorsDO J=2,N! Generate J-1 GSR coefficientsDO K=1,(J-1)GSC(K)=0.0DO L=1,NGSC(K)=GSC(K)+Y(N*L+J)*Y(N*L+K)END DOEND DO! Construct a new vectorDO K=1,NDO L=1,(J-1)Y(N*K+J)=Y(N*K+J)-GSC(L)*Y(N*K+L) END DOEND DO! Calculate the vector's normZNORM(J)=0.0DO K=1,NZNORM(J)=ZNORM(J)+Y(N*K+J)**2 END DOZNORM(J)=SQRT(ZNORM(J))! Normalize the new vectorDO K=1,NY(N*K+J)=Y(N*K+J)/ZNORM(J)END DOEND DODO K=1,NLE(K)=LE(K)+ALOG(ZNORM(K))/ALOG(2.0) !计算指数END DOEND DOCALL IVPRK(3,NN,FCN,T,TEND,TOL,PARAM,Y)DO K=1,NWRITE(*,'(f12.2)') LE(K)/TEND DOSTOPEND PROGRAM LE_DIFEQENSUBROUTINE FCN(N,T,Y,YPRIME)IMPLICIT NONEINTEGER N,IREAL T,Y(12),YPRIME(12)YPRIME(1)=16.0*(Y(2)-Y(1))YPRIME(2)=-Y(1)*Y(3)+45.92*Y(1)-Y(2)YPRIME(3)=Y(1)*Y(2)-4.0*Y(3)DO I=0,2YPRIME(4+I)=16.0*(Y(7+I)-Y(4+I))YPRIME(7+I)=(45.92-Y(3))*Y(4+I)-Y(7+I)-Y(1)*Y(10+I)YPRIME(10+I)=Y(2)*Y(4+I)+Y(1)*Y(7+I)-4.0*Y(10+I)END DORETURNEND SUBROUTINE。
基于神经网络的Lyapunov指数谱的计算
(1) 所示系统的全部L yap unov 指数Ζ
α 收稿日期: 1999212221 © 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
10
系统工程理论与实践
2001 年 8 月
从实验观察到的数据确定系统的 L yap unov 指数, 可采用W o lf 方法[3]和 BBA [4]方法等Λ 其中W o lf 方 法仅适用于求系统的最大 L yap unov 指数, BBA 法可求出系统的全部 L yap unov 指数, 但此种方法运算量 很大, 而且需要的数据点很多, 使其应用受到很大限制Λ本文利用B P 神经网络能够任意逼近非线性函数的 性质, 用于求解实验观察数据的全部 L yap unov 指数, 可克服上述困难Λ
A (i)Q (i - 1) = Q (i)R (i)
(16)
式中, Q (i) 为正交矩阵, R (i) 为上三角矩阵, Q (0) 是 d ×d 阶单位矩阵Ζ 按 (16) 式所示过程 Q R 分解 N 次,
得到矩阵 A 的 Q R 分解如下:
A = Q (N ) R (N ) R (N - 1) …R (1)
第8期
基于神经网络的L yap unov 指数谱的计算
11
Χk1 =
5Χ 5x k, 1
,
Χk2
=
5Χ 5x k, 2
,
…,
Χkd
=
5Χ 5x k, d
(11)
确定雅可比矩阵D F (k) 的过程即为确定 (11) 式的过程Ζ
(9) 式表明, 对于重构的相空间向量 y (k ) , 它在 k 时刻的微小变化 ∃y (k ) , 在雅可比矩阵D F (k ) 的作用
-Lyapunov指数的计算方法
【总结】Lyapunov指数的计算方法非线性理论近期为了把计算LE的一些问题弄清楚，看了有7～9本书！下面以吕金虎《混沌时间序列分析及其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线，把目前已有的LE计算方法做一个汇总！1. 关于连续系统Lyapunov指数的计算方法连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的LE求解方法来计算得到。
关于连续系统LE的计算，主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍内容。
（1）定义法定义法求解Lyapunov指数.JPG关于定义法求解的程序，和matlab板块的“连续系统LE求解程序”差不多。
以Rossler系统为例Rossler系统微分方程定义程序function dX = Rossler_ly(t,X)% Rossler吸引子，用来计算Lyapunov指数% a=0.15,b=0.20,c=10.0% dx/dt = -y-z,% dy/dt = x+ay,% dz/dt = b+z(x-c),a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;x=X(1); y=X(2); z=X(3);% Y的三个列向量为相互正交的单位向量Y = [X(4), X(7), X(10);X(5), X(8), X(11);X(6), X(9), X(12)];% 输出向量的初始化，必不可少dX = zeros(12,1);% Rossler吸引子dX(1) = -y-z;dX(2) = x+a*y;dX(3) = b+z*(x-c);% Rossler吸引子的Jacobi矩阵Jaco = [0 -1 -1;1 a 0;z 0 x-c];dX(4:12) = Jaco*Y;求解LE代码：% 计算Rossler吸引子的Lyapunov指数clear;yinit = [1,1,1];orthmatrix = [1 0 0;0 1 0;0 0 1];a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;y = zeros(12,1);% 初始化输入y(1:3) = yinit;y(4:12) = orthmatrix;tstart = 0; % 时间初始值tstep = 1e-3; % 时间步长wholetimes = 1e5; % 总的循环次数steps = 10; % 每次演化的步数iteratetimes = wholetimes/steps; % 演化的次数mod = zeros(3,1);lp = zeros(3,1);% 初始化三个Lyapunov指数Lyapunov1 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov2 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov3 = zeros(iteratetimes,1);for i=1:iteratetimestspan = tstart:tstep:(tstart + tstep*steps); [T,Y] = ode45('Rossler_ly', tspan, y);% 取积分得到的最后一个时刻的值y = Y(size(Y,1),:);% 重新定义起始时刻tstart = tstart + tstep*steps;y0 = [y(4) y(7) y(10);y(5) y(8) y(11);y(6) y(9) y(12)];%正交化y0 = ThreeGS(y0);% 取三个向量的模mod(1) = sqrt(y0(:,1)'*y0(:,1));mod(2) = sqrt(y0(:,2)'*y0(:,2));mod(3) = sqrt(y0(:,3)'*y0(:,3));y0(:,1) = y0(:,1)/mod(1);y0(:,2) = y0(:,2)/mod(2);y0(:,3) = y0(:,3)/mod(3);lp = lp+log(abs(mod));%三个Lyapunov指数Lyapunov1(i) = lp(1)/(tstart);Lyapunov2(i) = lp(2)/(tstart);Lyapunov3(i) = lp(3)/(tstart);y(4:12) = y0';end% 作Lyapunov指数谱图i = 1:iteratetimes;plot(i,Lyapunov1,i,Lyapunov2,i,Lyapunov3)程序中用到的ThreeGS程序如下：%G-S正交化function A = ThreeGS(V) % V 为3*3向量v1 = V(:,1);v2 = V(:,2);v3 = V(:,3);a1 = zeros(3,1);a2 = zeros(3,1);a3 = zeros(3,1);a1 = v1;a2 = v2-((a1'*v2)/(a1'*a1))*a1;a3 = v3-((a1'*v3)/(a1'*a1))*a1-((a2'*v3)/(a2'*a2))*a2;A = [a1,a2,a3];计算得到的Rossler系统的LE为———— 0.063231 0.092635 -9.8924Wolf文章中计算得到的Rossler系统的LE为————0.09 0 -9.77需要注意的是——定义法求解的精度有限，对有些系统的计算往往出现计果和理论值有偏差的现象。
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典型混沌系统的 ’()*+,-. 指数谱的计算
对典型混沌系统进行计算， 如 /0,-, ， ’-40,5， 9+::;,< 系 统
等， 计算结果如表 2 所示。
表2 典型混沌系统的 ’()*+,-. 指数谱和分数维
’()*+,-. 指数谱 "$#!"， >2$6!# 2$&"6， "$""2， >!!$&"& "， >"$!"@ "$2"@，
8)9-:; 矩阵
’()*+,-. 指数
条件 ’()*+,-. 指数 文献标识码 R
分数维
文章编号 0""!EG%%0E （!""# ） %&E""0!E"%
中图分类号 STU00$#
)*+,-& #&. /0$1*0*&2#2,’& ’3 !"#$%&’( 45$’&*&2+ 6#17%1#2,&- 81-’9,2:0
（! ）
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’()*+,-. 指数的物理意义
系 统 的 ’()*+,-. 指 数 谱 可 有 效 地 表 征 变 量 随 时 间 演 化
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) & 0
!) E!) F0
（% ）
基金项目： 湖南省自然科学基金项目 （编号： "088\!00" ） 作者简介： 孙克辉 （0]>GE ） ， 男， 副教授， 博士生， 从事混沌同步及其保密通信研究。张泰山 （0]%GE ） ， 男， 教授， 博士生导师。
算法的基本原理是首先求解出系统常微分方程的近似解， 然 后 对 系 统 的 D)8-3; 矩 阵 进 行 EF 分 解 ， 从 而 计 算 出 系 统 的
% &’ （$ ） ， 其 ’()*+,-. 指 数 谱 和 分 数 维 。 如 考 虑 系 统 微 分 方 程 ： $ ) 切空间中点 $ （* ） 处切向量 + 的演化方程为： 中 $"( ，
（0 ）
一边长为 " 的 + 维立方体去 测 量 给 定 的 空 间 ， 所 测 得 的 立 方 （" ） ， 则容量维为： 体个数为 ’ （" ） ,- A6;? 6,’ "!D 0 " 容量维和 ’()*+,-. 指数 !) 的关系如下：
.
其中， （!% ） 表 示 !% 时 刻 最 邻 近 两 点 间 的 距 离 ； ’ $ 为计算总 步数。最大 ’()*+,-. 指数不仅是区别混沌吸引子重要指标， 而 且是混沌系统对初始确定性放大率的定量描述。 对于维数大于 存在 ’= 的集合， 通常被称为 ’()*+,-. 指数谱。 0 的系统，
!$!
算法流程图
基于以上算法设计了如图 2 所示的算法流程。 首先初始化
一系列参数， 然后设置迭代次数， 再求解微分方程， 每迭代一 对 D)8-3; 矩阵进行 EF 分解 ， 计算 次， 就计算一次 D)8-3; 矩阵， 最后计算出由式 （6） 定义的 ’()*+,-. D)8-3; 矩阵特征值的乘积， 指数。 在计算过程中， 特别要注意初始条件的输入， 因为每次迭 代的初始条件都是前一次迭代的结果。 同时， 还可根据 （% ） 计算 出系统的分数维。
分维数也是判别混沌运动的有效工具。维数的定义有很多种， 如容量维数， 关联维数， 信息维数和相似维数等等。 一般讨论的 混沌系统的分数维是指它的容量维数。容量维数的定义是： 用
’()*+,-. 指数定义为 ：
/>1
!?)@ A 0 !" #!"
（!% ） ’ !6, ’ （!%#0 ） % & 0
$
时， 系统对初值的敏感性。 ’()*+,-. 指数小于零说明体系的相 体积在该方向上是收缩的，此方向的运动是稳定的；而正的
’()*+,-. 指 数 值 则 表 明 了 体 系 的 相 体 积 在 该 方 向 上 不 断 膨 胀
和折叠，以致吸引子中本来邻近的轨线变得越来越不相关， 从 而使初态对任何不确定性的系统的长期行为成为不可预测， 即 所谓的初值敏感性。 设某一系统的 ’()*+,-. 指数谱为 !0， !!…， !（从大到小排 ( 列） ，若该系统具有混沌吸引子，则必须同时满足以下条件 /01： （0 ） 至少存在一个正 ’()*+,-. 指数 !)B" 。 （! ） 至少存在某一 !)A （% ） "， 0C)*( 。 ’()*+,-. 指数谱之和为负。
0 ’()*+,-. 指数与分数维 0$0 ’()*+,-. 指数的定义
（’= ） 是指在相 空 间 中 相 互 靠 近 的 两 条 轨 线 ’()*+,-. 指数 随着时间的推移，按指数分离或聚合的平均变化速率。最大
0$%
’()*+,-. 指数和分数维的关系
维数是一个重要的几何特征量。混沌吸引子具有分维数，
0!
!""#$%&
计算机工程与应用
其中 ! 满足： !2!!!! … !!!!"!!!"2! … !!#， 如 果 式 中 包含等于 " 的 !， 则 ! 中还应该加上这些等于 " 的 ! 个数。
算结果用时域波形和瞬时值实时显示出来。 计算数据和结果还 可以文件形式输出， 以便保存和处理。
! 基于 A)BC)3 的 D)8-3; 算法设计与实现 !$2 算法原理
!$%
’()*+,-. 指数工具箱界面设计
基于 A)BC)3 语言和 IJK 编程，根据以上算法设计了一个
光标、 按键、 菜单、 文字 ’()*+,-. 指数工具箱。 IJK 界面由窗口、 说明等对象构成。用户通过一定的方法 （如鼠标或键盘） 选择、 激活这些图形对象， 使计算机产生某种动作， 比如实现计算、 绘 主要用于设定需计算的系统方程和 图等。图 ! 为计算主界面， 可将计 一系列的计算参数。图 % 为计算结果的实时显示界面，
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内恒为正， 说明该系统是一个全域性混沌系统， 具有重要理论 价值和实际意义。
知， 迭代时间越长， 误差 越 小 ， 计算结果也就越精确， 这 与 *I0O 计算步长越短， 误差越 J6.+K 指 数 的 定 义 相 符 。 由 表 % 可 知 ， 选 小， 但计算速度将有所下降， 通常选取 )%"$") 。由表 # 可知， 择不同的 E5L 函数， 计算结果的误差值都在 &D 范围内。也就 其计算结果都是大体正确 是说， 无论你选取何种的 E5L 函数， 的 ， 即 E5L 函 数 对 系 统 的 计 算 精 度 的 影 响 不 大 ， 通 常 取 初值对系统的精度影响不大， 误差很小， EF-#& 。由表 & 可 知 ， 理论上， 只要初值落在奇异吸引子的范围内， 则计算结果与初 值选择无关。通过分析可以看出， 只要选取适当的 E5L 函数， 当离散化时间步长越短， 迭代次时间越长时， 计算结果就越精 确。对离散混沌系统有相似的结论。
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其 中 # "L" ， 当 参 数 # 分 别 取 "、 统一系统分 2M， "$@ 、 2 时， 别演变为 ’-40,5 系统、 ’O 系统和 PQ0, 系统。统一系统的最大 ’R 随 # 变化曲线如图 # 所示，由于最大 ’R 在 # 的 取 值 范 围 计算机工程与应用
一， 计 ’()*+,-. 指数分析方法是混沌研究的重要方法 /01。目前， 算 ’()*+,-. 指数的方法很多， 但是总的来看， 目前的算法一般 是基 于 两 个 方 面 ： 一是利用相轨线、 相面积、 相体积等来计算， 如 234 方法 /!1、 二是利用系统的相空间切向量进行 5-67 方法 /%1。 小波变换方法 /&1等等。 论文主要研 计算， 像神经网络分析方法 /#1、 究 基 于 8)9-:; 矩 阵 <4 分 解 原 理 的 系 统 ’()*+,-. 指 数 计 算 算 法的设计与实现。
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