第2章 误差基本理论(大连理工大学)汇总
误差知识与算法知识点总结
误差知识与算法知识点总结1. 误差的概念误差是指测量结果与真实值之间的差异。
在实际应用中，无法完全获得真实值，因此测量结果总会有一定的偏差，这种偏差就是误差。
误差可以分为系统误差和随机误差两种类型。
2. 系统误差系统误差是指测量结果偏离真实值的固有偏差，常常是由于仪器、环境或测量方法等因素引起的。
系统误差的存在会导致测量结果产生偏差，降低测量结果的准确性。
3. 随机误差随机误差是由于实验环境、人为操作等随机因素引起的误差，是无法完全避免的。
随机误差会导致测量结果的离散度增大，降低测量结果的精确性。
4. 误差分析误差分析是对测量结果中的误差进行定量分析的过程，其目的是评估测量结果的准确性和精确性。
误差分析通常包括误差的来源和类型、误差的大小和分布、误差的传递和积累等内容。
5. 误差传递误差传递是指当多个测量结果相互影响时，每个测量结果中的误差会随着计算和运算的进行而传递和积累。
误差传递的过程需要考虑各种因素对误差的影响，以准确评估测量结果的误差范围。
6. 误差控制误差控制是指在测量过程中采取一系列措施来减小误差的产生和传递，以提高测量结果的准确性和精确性。
误差控制的方法包括校准仪器、规范操作、提高测量精度等。
7. 误差分布误差分布是指测量结果中误差的分布情况，可以通过统计学方法进行分析和描述。
误差分布通常服从正态分布或其他概率分布，可以通过统计参数进行描述。
8. 误差评估误差评估是对测量结果中的误差进行评定和验证的过程，以确定测量结果的可靠性和可信度。
误差评估通常包括测量不确定度的计算和报告，以及误差边界的确定和验证。
二、算法知识点总结1. 算法的概念算法是指解决问题或实现功能的一系列有序步骤的描述，是计算机程序的核心。
算法描述了如何通过一定的计算过程来实现特定的功能或者处理特定的数据。
2. 算法的特性算法具有确定性、有限性、输入和输出、易实现等特性。
确定性指算法的每一步都有唯一的后续步骤，有限性指算法必须在有限的步骤内结束，输入和输出指算法需要接受输入数据并产生输出结果，易实现指算法可以通过简单的描述和规范步骤来实现。
2 误差基本知识
1.测绘科学有那些分类? 测绘工作在工程建设中有什么作用? 解释数字地球/大地水准面/大地体/绝对高 程/相对高程/天文经纬度/大地经纬度。 测量工作的基本原则是什么? 设用经纬仪对某角等精度观测了6个测回， 其观测值列于表中，试求该角的最或然值， 观测值中误差和最或然值中误差，将表中 数据平差计算，整理后结果列于表中空白 处。
n
用最或是值误差求观测值的中误差
vi = l i - x
m
vv
n 1
2. 求最可靠值中误差
Mx
vv nn 1
m n
六、不等精度直接观测值的最可靠值
例： 已知：HA、 HB、 HC ， 求： HE
B A S=4km E
S=2km
S=2.5km
C
一、权（用 p 表示）
2. σ 与误差分布曲线拐点的关系
y y=f(△)
－△
-
+
3. 标准差σ 的概率值P（－σ＜△ ＜＋σ ）
y y=f(△)
－△
-
+
+△
三、 衡量精度的标准
一、用绝对误差来衡量精度 1. 方差和中误差
方差
2
lim
n
n
标准差σ的计算公式
lim
2 n
会超过一定的限度；
2.渐降性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的
机多；
3.对称性：绝对值相等的正负误差出现的机会相等；
4.抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均
数趋近于零，即
1 2 n 0 lin lin n n n n
三、高斯分布曲线
误差理论
例8、已知半径及其中误差，求圆面积的相对中误 、已知半径及其中误差， 差。
S = πR
2
ln S = ln π + 2 ln R dS dR = 0+2 S R mS mR k= =2 S R
例9、由三角形内角和的闭合差计算测角的中误差 、
设在相同条件下， 个三角形的内角进行了观测， 设在相同条件下，对n个三角形的内角进行了观测，测角 个三角形的内角进行了观测 中误差为m， 中误差为 ，三角形内角和的闭合差也就是三角形内角 和的真误差。 和的真误差。
2 Σh 2 h1 2 h2 2 hn
mΣh = ± n mh = ± 2n m读
已知边长的中误差,求周长 例3、观测了正方形的四条边 已知边长的中误差 求周长 、观测了正方形的四条边,已知边长的中误差 的中误差是多少? 的中误差是多少
p = a1 + a2 + a3 + a4 m =m +m +m +m
[∆] = [l ] − nX [∆] = [l ] − X = x − X [∆] → 0 n→∞
n x→X n n
∆=l−X
又名最或是误差) 二、观测值的改正数(又名最或是误差 观测值的改正数 又名最或是误差
v = x−l [v] = nx − [l ]
=0
m=±
三、由观测值的改正数计算中误差
1 1 1 x = l1 + l2 + ⋯ + ln n n n 1 1 1 dx = dl1 + dl2 + ⋯ + dln n n n 1 2 2 2 m = ml1 + ml 2 + ⋯ + mln n m mx = ± n
误差理论2
在计算中，单位统一为厘米，角值的单位由秒化为弧度。
按双观测值之差求观测值的中误差
对某一量进行同精度的双次观测（如高差、距离的往返 观测），其较差为：
d = L ′— L″
因d为真误差(观测值—真值，真值为0)， 所以可以利用 中误差的定义公式计算： md = ± [∆∆] = ± [dd ] 设单次观测中误差为m，结合误差传播定律：
已知某三角锁由8个三角形构成，按同精度测量内角后， 计算得到闭合差见下表。试计算闭合差的中误差和测角 中误差。
编号 1 2 3 4 闭合差″ -2.7 -0.6 +3.2 -1.9 编号 5 6 7 8 闭合差″ +3.0 +1.7 +2.5 -0.8
mϖ [ϖϖ ] = ±1.3′′ mϖ = ± = ±2.2′′ mβ = n 3
mD = ± (
∂S ∂D = − S ⋅ sin δ = −106.28 × 100 × sin 8°30′ = 1570.918 ∂δ
∂D 2 2 ∂D 20 ) m S + ( )mδ2 = ± 0.989 2 × 5 2 + 1570.918 2 × ( ) 2 = ±4.9cm ∂S ∂δ 206265
往测 h ′ 返测 h ′′
d = h′ + h′′
+3 -3 +5 -4 -2
dd 9 9 25 16 4
1~2 2~3 3~4 4~5 5~6
-0.185 +1.626 +1.435 +0.505 -0.007
+0.188 -1.629 -1.430 -0.509 +0.005
按三角形的闭合差求测求各个变量 的系数； 3.利用误差传播定律计算间接观测量的中误差。
误差理论复习资料
第一章误差理论及其在化学分析中的应用1、误差的定义（测量结果与真值的差值），误差的数学表达式E＝X－T，真值的特性。
2、绝对误差Ea＝X－T、相对误差、标准偏差、相对平均偏差、平均值的标准偏差、相对标准偏差计算；3、分析误差的分类及特点（系统、随机、过失误差），随机误差分布（服从正态分布）的四个特性及其意义，系统误差、随机误差的概念及区别，减少系统误差、随机误差的手段。
4、已知随机误差服从正态分布由概率计算对应的误差区间，由误差区间计算对应的概率。
5、什么是分析结果的准确度？（分析结果与真值的差异或符合程度，系统误差与其关系。
准确度以误差来衡量）提高分析准确度有哪些措施？什么是分析测定的精密度？（平行测定所得分析数据的离散程度，随机误差与其关系，精密度以偏差来衡量）提高精密度的措施是什么？（增加平行测定次数，精密测定以11次为宜，一般测定5~6次即可，高组分测定一般3~4次。
）准确度与精密度的关系？★在分析过程中，提高分析准确度的有效措施：(1)选择标准分析方法或正确分析方法(2)适当增加测量次数（提高分析准确度）(3)保证取样有充足的代表性(4)合理的取样量(5)试液的制备要严防损失和污染(6)正确配制标准溶液(7)正确绘制标准曲线(8)用空白试验消除系统误差(9)测量仪器、器具经检定和校准合格(10)试剂、纯水、工作环境等符合要求。
6、置信度与显著度的概念及关系，置信水平与置信区间的关系；7、误差的传递：系统误差、随机误差在加减法、乘除法中的传递应用及计算。
（1）系统误差的传递（2）随机误差的传递第二章分析数据处理1、分析结果的位数，有效数字位数近似数的修约，修约间隔、舍入误差的计算。
2、异常值（粗大误差）的检验（Dixon、Grubbs检验），系统误差的检验（t 检验），随机误差的检验（χ2检验、F 检验，精密度是否一致的判断计算），不确定度的评定计算，各自统计量计算及查临界值。
正确表达分析结果。
大连理工大学《工科数学分析基础》第二章复习.docx
第二章复习X.l 各类导数的求法复合函数微分法 包=空更dx du dx=arcsin 3 兀-2丫 3x + 2 丿 12 (3兀+ 2尸d 3y _ d (d 2y\ _ dtydx 1) _ /^(r) dx It 隐函数微分法1对方程两边求导，要记住y 是兀的函数，则y 的函数是兀的复合函数。
2利用微分形式不变性，在方程两边求微分，然后解出芈dx例 3 设方程 xy 2+ e y= cos(x + y 2),求 y'解法一：y 2+ 2xyy + e yy = -sin(% + >,2)(1 + 2y/),‘3兀-2、<3x + 2 >,/\x) = arcsin x 2,求空dx A=()于是dy dx3=(arcsin 1)・ 3 =—龙 x=o 2参数方程微分法fdx dy d y - dt _ /(O d ~y _ x ，(0/(0 一 y\t)x (r) dx _/(/) dx 1dt[V(0]3,英屮f ⑴的三阶导数存在，且f”⑴H 0 ,求乞，ax dx~ dx解 dy 二血）二厂⑴+（T （/） -广⑴二£ dxx\t ） f\t ） d(dyd 2y d■■Idx~ dxdt\dx) _1dtdx‘ dxIdx 1]r （t ）r 3（oy 2 +sin(x+ b) 〉2xy 4- e y + 2j ,sin(x+ y 2)解法二：d (xy 2+ e y) = d (cos(x + y~))y 2dx + 2xydy + e ydy = -sin(x + y 2)(clx^2ydy)[(2xy + e y+2ysin(x+ y 2)]dy = -[y 2+sin(x+ y 2)]dx,_y 2+sin (兀 + y 2)2xy + R + 2ysin(x+)，)幕指函数的微分法 设 y = w(x)v(x) (w(x) > O,w(x) H1) => y = e v(x,,nM(J)y 二 /讪“(彳/(x)lnw(%) + y (x)也 |_心)」=u(x)v(x)v\x) In u(x) + 咻)""_ U(x)」例 4 设 y = x a' + a x+ x v ,求 y‘解尸/皿+口严+/呎Xy = e(,x ,n\a xln^zlnx + —) +”夕,nx (1 + In x)In a + /,n”(心心 i n% + 齐)X=x°x a x(In d In 兀 + —) + a e(1 + In x)x x• In a + x x°+</_, (alnx +1)函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法：采用对数微分法（即先对式子的两边取口然对数，然后在等式的两端再对x 求导）解先将表达式写成分式指数幕的形式2 4 £y =(兀 一 2尸(兀 + 3)^(3 - 2 兀$ )*1 + x 2 )刁(5 一 3x 3)'5 In y 二 2 ln(x-2) + | ln(x + 3) + 彳 ln(3-2x 2)-|ln(l + x 2)-| ln(5 一 3x 3)上式两边对x 求导，得2L = _2_ + _? -------- -- --------- - -- +—y x-23(兀 + 3) 3(3-2x 2)3(1+ 〒)5-3x 3(X + 3)2(3-2X 2)4(1 + X 2)(5-3X 3)2 (兀+ 3)2(3-2 兀2 )4例5设尸（“后EU-2)2s2216x 2x 3x 2 + — — +兀一 2 3(x + 3) 3(3-2x 2) 3(1+ x 2) 5-3x 3_分段函数微分法：各区间内的导数求法与一般所讲的导数求法无界，要特別注意的是分界点处的导数一定要用导数的定义求°例如使用公式/©)=lim "兀)_/(和 及左右 XTXo X- X (} 导数来求是否可导。
第二章误差基本理论
2 2 mC = ± m A + m B = ± 6 2 + 8 2 = ±10′′
线性函数
设有函数：z = k1 x1 + k 2 x2 + … + k n xn + k 0 xi的中误差为mi , 则z的中误差为：
2 2 2 2 2 mz = ± k12 mx + k 2 m2 + … k n mn
第二章 测量误差的基础知识
测量误差及分类 衡量精度的指标 误差传播定律及其应用 等精度直接观测值的最可靠值 非等精度观测的未知量估值和精度估值
§2-1 测量误差及分类
一、测量误差及来源
观测误差总是存在的， 观测误差总是存在的，如fh = h测 － h理 ≠ 0 180° 内角和 ≠ 180° 仪器的不完善； 仪器的不完善； 人感觉器官的局限性； 人感觉器官的局限性； 外界条件的影响 本章的学习目的：了解误差产生的原因及规律； 本章的学习目的：了解误差产生的原因及规律； 正确处理观测数据，评定观测质量；指导测量实践。 正确处理观测数据，评定观测质量；指导测量实践。 D往 ≠ D返 A B 观测误差产生的原因(观测条件)： 观测误差产生的原因(观测条件) C
Hale Waihona Puke §2-2 衡量精度的指标一、精度的含义
问题1 问题1：个别误差的大小能否反映精 度的高低？ 度的高低？ 例：不同的两组观测对应着两条不 同的误差分布曲线，如图。 同的误差分布曲线，如图。 若σ1<σ2，那么 σ1 σ2 第一组观测，误差分布密集， 第一组观测，误差分布密集，图形 陡峭，精度较高； 陡峭，精度较高； 第二组观测，误差分布离散， 第二组观测，误差分布离散，图形 平缓，精度较低。 平缓，精度较低。
第二章 误差理论基础
K l l K a a
运行误差
零件表面间的磨损 载荷作用下的变形 环境温度的变化
一、原理误差
把仪器设备实际的非线性特性近似地视为线性， 采用线性的技术处理措施来处理非线性的仪器特 性所带来的误差 数据处理方法上的近似所带来的误差 实际机构的作用方程与理论作用方程有差别、零 件工作图与原理图的差异所引起的误差 结构参数取值近似带来的误差 测量与控制电路系统中，实际采样脉冲与理想采 样脉冲不同带来的误差 取值舍位带来的误差
1 绝对误差
测得值x与被测量真值x0（或相对真值）之差
x x0
• 绝对误差一般都有量纲，能反映出误差的大小 和方向 • 绝对误差只能判断同一尺寸（同一量程）的误 差大小程度
最大绝对误差值
例：用一个单位为mm钢尺测某一工件长度，钢尺
可准确到0.5mm，如测得尺寸为25mm，可知 该工件的实际长度必在24.5mm~25.5mm之间。
z1 z3 s s L La L l ( arcsin ) z 2 z4 a a
原理误差
采用被测量单位来表示的机械测微 仪原理误差：
L a s 3 1 s ( ) l z1 z3 6 a a z 2 z4
原理误差的大小与测量范围s有关 若s=±0.1mm，a=5.5mm时，
原理误差
测量杆1感受被测工件2的尺寸变化 位移s经过一级杠杆传动（正弦机构） 和两级圆柱齿轮传动，使指针l偏转 角度φ 指针末端位移L的理论值
L l l s s sin ， arcsin , a a
z1 z3 z2 z4
机械测微仪的刻度方程式 L和s是非线性的
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三、测量误差的表示方法
测量误差有绝对误差和相对误差两种表示方法。 1.绝对误差 （1）定义：由测量所得到的被测量值与其真值之差，称
为绝对误差
x x A0
有x 大小，又有符号和量纲
实际应用中常用实际值A（高一级以上的测量仪器或计量器 具测量所得之值）来代替真值。
x：示值 ，即 测量值
绝对误差： x x A 读数：直接从仪表读出的数。
➢ 随机误差主要由对测量值影响微小且互不相关的大量 因素共同造成。这些因素主要是噪声干扰、电磁场微 变、零件的摩擦和配合间隙、热起伏、空气扰动、大 地微震、测量人员感官的无规律变化等。
例：对一不变的电压在相同情况下，多次测量得到 1.235V，1.237V，1.234V，1.236V，1.235V， 1.237V。
指针式：读数→示值 数字式：读数=示值
（2）修正值 与绝对误差的绝对值大小相等，但符号相反的量值，称为
修正值
C x A x
测量仪器的修正值可以通过上一级标准的检定给出，修正 值可以是数值表格、曲线或函数表达式等形式。
被测量的实际值
A xC
2.相对误差
一个量的准确程度，不仅与它的绝对误差的大小，而且与 这个量本身的大小有关。
（3）理论误差和方法误差：由于测量原理、近似公式、 测量方法不合理而造成的误差。
（4）人身误差：由于测量人员感官的分辨能力、反应速 度、视觉疲劳、固有习惯、缺乏责任心等原因，而在测量 中使用操作不当、现象判断出错或数据读取疏失等而引起 的误差。
（5）测量对象变化误差：测量过程中由于测量对象变化 而使得测量值不准确，如引起动态误差等。
例：测量足球场的长度和赤道的周长，若绝对误差都为1米， 测量的准确程度是否相同？
（1）相对真误差、实际相对误差、示值相对误差
相对（真）误差：绝对误差与被测量的真值之比
x 100%
A0
相对（真）误差是两个有相同量纲的量的比值，只有大小 和符号，没有单位。
实际相对误差：
A
x A
用100实%际值A代替真值A0
第二章．误差基本理论
2.1 测量误差的基本概念 2.2 测量误差的分类和测量结果的表征 2.3 测量误差的估计和处理 2.4 测量不确定度 2.5 测量数据处理
§2.1 测量误差的基本概念
一、 测量误差的定义 测量的目的: 获得被测量的真值（约定真值）。 真值: 在一定的时间和空间环境条件下，被测量
100%
xm : 仪表某量程
x
Vxm : 仪表某量程内的最大绝对误差 x m
仪表各量程内绝对误差的
最大值 xm m xm 0
| xm |
| xm |
xA
Am
A
电工仪表就是按引用误差 m之值进行分级的。是仪表在工 作条件下不应超过的最大引用相对误差
我国电工仪表共分七级：0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5 及5.0。如果仪表为S级，则说明该仪表的最大引用误差 不超过S% ，即 | m | S%
单次测量的随差没有规律，
但多次测量的随差在总体上服从统计规律。
可通过数理统计的方法来处理,即求算术平均值
x
x1 x2 L n
xn
1 n
n i 1
xi
随机误差定量定义：测量结果与在重复性条件下，对同一 被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差
i xi x (n )
2.系统误差
定义：在同一测量条件下，多次重复测量同一量 时，测量误差的绝对值和符号都保持不变，或在 测量条件改变时按一定规律变化的误差，称为系 统误差。例如仪器的刻度误差和零位误差，或测 量值随温度变化的误差。
分贝误差是用对数形式（分贝数）表示的一种相对误差， 单位为分贝（dB）。
电压增益的测得值为
Ax
误V差o 为
Vi
A Ax A
用对数表示为增益测得值的分贝值 Gx 20lg Ax (dB)
分贝误差
AdB
20 lg( A0
A)
20 lg
A0
20 lg(1
A) A
dB
20 lg(1
A) A
20 lg(1 x )
示值相对误差：
x
x x
用100测%量值X
代替实际值A
x 很小时，可以用示值相对误差代替实际相对误差，绝对误差大时不准确。
（2）满度相对误差（引用相对误差）
➢ 用测量仪器在一个量程范围内出现的最大绝对误差与 该量程值（上限值－下限值）之比来表示的相对误差， 称为满度相对误差（或称引用相对误差）
m
xm xm
➢解：用0.5级量程为0～400mA电流表测100mA时， 最大相对误差为
x1
xm x
s%
400 100
0.5%
2%
➢用1.5级量程为0～100mA电流表测量100mA时的最 大相对误差为
x2
xm x
S%
100 100
1.5%
1.5%
因为后者的误差范围小，所以测量结果更好。
（3）分贝误差——相对误差的对数表示
本身所具有的真实数值。 A0 所有测量结果都带有误差，因为真值是测不出来
的。 测量误差 :测量结果与真值的差别
二、 测量误差的来源
（1）仪器误差：由于测量仪器及其附件的设计、制造、 检定等不完善，以及仪器使用过程中老化、磨损、疲劳等 因素而使仪器带有的误差。
（2）环境误差：由于各种环境因素（温度、湿度、振动、 电源电压、电磁场等）与测量要求的条件不一致而引起的 误差。
若测量的是功率增益，则分贝误差为：
dB 10lg(1 x )
§2.2 测量误差的分类和测量结果的表征
一、 测量误差的分类
➢ 根据测量误差的性质，测量误差可分为随机误差、系 统误差、粗大误差三类。
1.随机误差
➢ 定义: 在同一测量条件下（指在测量环境、测量人员、 测量技术和测量仪器都相同的条件下），多次重复测 量同一量值时（等精度测量），每次测量误差的绝对 值和符号都以不可预知的方式变化的误差，称为随机 误差或偶然误差，简称随差。
测量点的最大相对误差
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
xm x
S%
在使用这类仪表测量时，应选择适当的量程，使示值尽可 能接近于满度值，指针最好能偏转在不小于满度值2/3以 上的区域。
[例1-3] 某待测电流约为100mA，现有0.5级量 程为0～400mA和1.5级量程为0～100mA的两 个电流表，问用哪一个电流表测量较好？
➢ 产生的主要原因是仪器的制造、安装或使用方法不正 确，环境因素（温度、湿度、电源等）影响，测量原 理中使用近似计算公式，测量人员不良的读数习惯等。