2012_第2章 Z传递函数v3
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第二章(3)传递函数.ppt
m
cxo kxo kxi csX o (s) kXo (s) kXi (s) c
传递函数 G(s) Xo(s) k 1 Xi (s) cs k Ts 1
略去质量的阻尼—弹簧系统
例 如图所示无源滤波电路，
已知
u i
(t)
i(t)R
1 C
u 0 (t)
1 C
i(t)dt
i(t)dt
g(t) L1[G(s)]
传递函数具有以下特点：
(1) 传递函数的分母是系统的特征多项式，代表系统的 固有特性；分子代表输入与系统的关系，而与输入 量无关，因此传递函数表达了系统本身的固有特性。
(2) 传递函数不说明被描述系统的具体物理结构，不同 的物理系统可能具有相同的传积分运算转化为简单的代数运算；
特点：延时环节也是线性环节，有输入信号后，在τ时间内没有任何输出， 到τ时间后，不失真地反映输入。 延时常作为一个特性，与其他环节共同存在，而不单独存在。
延迟环节与惯性环节的区别：
✓ 惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅 由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要 求的输出值；
✓ 延迟环节从输入开始之初，在0 ~ 时间内, 没有输出，但t=之后，输出等于之前时刻 的 输入。
电路中常遇到下述的近似微分环节。
图 永磁式直流测速机
2
近似微分环节
G(s) kTs Ts1
已知
u
i
(t)
1 C
i(t)dt i(t)R
u 0 (t) i(t)R
例7 图2-14所示的无源微分电路
ui (t)
C
u0 (t)
其中，
拉氏变换得
U
i
(s)
1 Cs
第二节传递函数[1]
![第二节传递函数[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/29d9f6550640be1e650e52ea551810a6f424c861.png)
B
R0
u0 (t)
Ui(s) U0(s)
R1
R2
1 C2S
所以
G(s) U0(s)
R2
1 C2S
R2C2S 1
Ui (s)
R1
R1C2S
[传递函数的适用范围和局限性]：
只能于线性系统且零初值情况。若初值不为零，则形式很复杂。
仅反映输入量和输出量之间的关系。
7/18/2024 1:31:53 AM
Y (s) Z2 (s)
, Z2
R2, Z1
R2
R1 1 R1Cs
G(s) Y (s) R2 (1 R1Cs) k(Ts 1)
X (s) R1 R2 R1R2Cs kTs 1
式中：
k
R2 R1 R2
,T
R1C
7/18/2024 1:31:53 AM
21
延迟环节
（六）延迟环节：又称时滞，时延环节。它 x(t)
(s
1 p1 )( s
p2 )
s2
1
2 ns
n2
或
(T1s
1 1)(T2 s
1)
T
2s2
1
2Ts
1
其系数、 由 p1、p2 或 T1、T2 求得；若有零极点，则传递
函数的通式可以写成：
m1
m2
G(s)
K s
(s zi )
(s2
2kk s
2 k
)
i 1
k 1
n1
n2
(s pi )
(s2
7/18/2024 1:31:53 AM
11
积分环节
（二）积分环节：
t
时域方程：y(t) k x(t)dt, t 0 0
计算机控制技术-第2章 Z变换及Z传递函数
第2章 Z变换及Z传递函数
2.2 Z变换的性质和定理
1．线性定理 设a,a1,a2为任意常数，连续时间函数f(t),f1(t),f2(t) 的Z 变换分别为F(z),F1(z),F2(z)、及，则有
Z af(t)aF(z) Z a1f1(t)a2f2(t)a1F 1(z)a2F 2(z)
第2章 Z变换及Z传递函数
s i n t 1 ( e j t e j t ) 2j
F
(z)
Z
1 2
j
(e
j
t
e
j
t
)
1 2j
Z e j t Z e j t
1 z 2 j z e j T
z
z e j T
1 2j
z2
e (e
j T j T
e j T e j T ) z 1
z sin T z2 2 z cos T 1
F (z) Z f(t) Z [f* (t)] f(k T )z k k 0
第2章 Z变换及Z传递函数
求取离散时间函数的Z变换有多种方法，常用的有两种。 1．级数求和法
将离散时间函数写成展开式的形式
f* (t) f(k) T (t k)T k 0 f(0 )(t)f(T )(t T )f(2 T )(t 2 T ) f(k) T (t k)T 对上式取拉氏变换，得
1 1az1
z z a
z a
第2章 Z变换及Z传递函数
2．部分分式法 设连续时间函数的拉氏变换为有理函数，将展开成
部分分式的形式为
n
F(s)
ai
i1 s si
因此，连续函数的Z变换可以由有理函数求出
n
F(z)
ai z
第2章 Z变换及Z传递函数课件
F (z) (t) (kT )zk 1 k 0
2．单位阶跃信号 f (t) 1(t)
F (z) 1(kT )z k k 0
1 z 1 z 2
1 1 z 1 z
z 1
( z 1)
第2章 Z变换及Z传递函数
3．单位速度信号 f (t) t
F ( z) kTz k k 0
zk f (kT )zk f [(k 1)T ]z(k1) f [(k 2)T ]z(k2)
zk f (mT )zm mk
zk
m 0
f
(mT )zm
k 1 m0
f
(mT
)
z
m
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k 1
zk F (z) f (mT )zkm m0
第2章 Z变换及Z传递函数
4．初值定理 设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
第2章 Z变换及Z传递函数
对上式进行拉氏变换，则
F * (s) L[ f * (t)]
f
* (t ) eTs dt
k 0
f
(kT
)
(t
kT
)
e
Ts
d
t
k 0
f
(kT
)
(t
kT
)
eTs dt
根据广义脉冲函数的性质，可得：
F * (s) f (kT )ekTs k 0
n
F(z)
ai z
i1 z zi
然后逐项查Z变换表，得到
则：
fi (kT )
1
ai z z zi
i 1, 2, , n
n
f * (t) fi (kT ) (t kT ) k 0 i1
2.2-6传递函数
s zi (i 1, 2 m)是N (s) 0的根，称为传递 函数的零点，s pi (i 1, 2 n)是D(s) 0的根 是传递函数的极点。
因为组成系统的元部件或多或少存在惯 性，所以G(s)的分母阶次大于等于分子阶 次，即 n,是m有理真分式，若 ,我们m 就 n 说这是物理不可实现的系统。
c(t)
a1
d dt
c(t
)
a0c(t
)
bm
dm dt m
r(t)
bm1
d m1 dt m1
r(t)
b1
d dt
r(t)
b0r(t
)
y(t)为系统的输出，r(t)为系统输入，则零 初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到 系统传递函数为：
G(s)
Y (s) R(s)
bmsm ansn
bm1sm1 an1sn1
一、传递函数的定义和概念
以上一节RLC电路的微分方程为例：
LC
d
2uC (t) dt 2
RC
duC (t) dt
uC
(t )
ur
(t )
设初始状态为零，对上式进行拉氏变换，得到：
LCs2Uc (s) RCsUc (s) Uc (s) Ur (s) （LCs2 RCs 1）Uc (s) Ur (s)
例 电枢控制式直流电动机
电枢回路： ur Ri Eb
[Ur (s) Eb (s)] / R I (s)
电枢反电势：Eb ce m
ce m (s) Eb (s)
电磁力矩： Mm cmi
cm I (s) Mm (s)
力矩平衡： Jmm fmm Mm Mm (s) /(Jm s fm ) m (s)
I1 ( s )
因为组成系统的元部件或多或少存在惯 性，所以G(s)的分母阶次大于等于分子阶 次，即 n,是m有理真分式，若 ,我们m 就 n 说这是物理不可实现的系统。
c(t)
a1
d dt
c(t
)
a0c(t
)
bm
dm dt m
r(t)
bm1
d m1 dt m1
r(t)
b1
d dt
r(t)
b0r(t
)
y(t)为系统的输出，r(t)为系统输入，则零 初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到 系统传递函数为：
G(s)
Y (s) R(s)
bmsm ansn
bm1sm1 an1sn1
一、传递函数的定义和概念
以上一节RLC电路的微分方程为例：
LC
d
2uC (t) dt 2
RC
duC (t) dt
uC
(t )
ur
(t )
设初始状态为零，对上式进行拉氏变换，得到：
LCs2Uc (s) RCsUc (s) Uc (s) Ur (s) （LCs2 RCs 1）Uc (s) Ur (s)
例 电枢控制式直流电动机
电枢回路： ur Ri Eb
[Ur (s) Eb (s)] / R I (s)
电枢反电势：Eb ce m
ce m (s) Eb (s)
电磁力矩： Mm cmi
cm I (s) Mm (s)
力矩平衡： Jmm fmm Mm Mm (s) /(Jm s fm ) m (s)
I1 ( s )
专题3-传递函数
R(s) G(s) C(s)
传递函数的图示
说明：
传递函数是物理系统的数学模型,但பைடு நூலகம்能 反应系统的物理性质，不同的物理系统可 以有相同的传递函数；
传递函数只适用于线性定常系统;
⑶ 物理意义
传递函数是在零初始条件下定义的,控制系统的零初始条 件有两方面的含义: 一是指输入量是在t≥0时才作用于系统,因此在t=0-时输 入量及其各阶导数均为零; 二是指输入量加于系统之前,系统处于稳定的工作状态, 即输出量及其各阶导数在t=0-时的值也为零.现实的工程控制 系统多属此类情况.
于是,由定义得系统的传递函数为
C ( s) b0 s m b1s m1 bm1s bm M ( s) G( s ) n n 1 R( s ) a0 s a1s an1s an N ( s)
式中
M ( s) b0sm b1sm1 bm1s bm
2 2 bm (1s 1)( 2 s 2 2 s 1)( i s 1) G( s ) an (T1s 1)(T22 s 2 2T2 s 1)(T j s 1)
式中，一次因子对应于实数零极点，二次因子对应于复数零极点。
3.典型环节的传递函数
4. 典型元部件的传递函数
N ( s) a0sn a1sn1 an1s an
例： 试求 RLC无源网络的传递函数 R ui(t) L i(t)
解: 该网络微分方程已求出,如式
2 d uo(t) LC uo (t ) RC duo (t ) u (t ) u (t ) o i 2 C dt dt
本讲内容：
1.传递函数的定义和性质 2.传递函数的零点和极点 3.典型环节的传递函数 4.典型元部件的传递函数
传递函数的图示
说明：
传递函数是物理系统的数学模型,但பைடு நூலகம்能 反应系统的物理性质，不同的物理系统可 以有相同的传递函数；
传递函数只适用于线性定常系统;
⑶ 物理意义
传递函数是在零初始条件下定义的,控制系统的零初始条 件有两方面的含义: 一是指输入量是在t≥0时才作用于系统,因此在t=0-时输 入量及其各阶导数均为零; 二是指输入量加于系统之前,系统处于稳定的工作状态, 即输出量及其各阶导数在t=0-时的值也为零.现实的工程控制 系统多属此类情况.
于是,由定义得系统的传递函数为
C ( s) b0 s m b1s m1 bm1s bm M ( s) G( s ) n n 1 R( s ) a0 s a1s an1s an N ( s)
式中
M ( s) b0sm b1sm1 bm1s bm
2 2 bm (1s 1)( 2 s 2 2 s 1)( i s 1) G( s ) an (T1s 1)(T22 s 2 2T2 s 1)(T j s 1)
式中，一次因子对应于实数零极点，二次因子对应于复数零极点。
3.典型环节的传递函数
4. 典型元部件的传递函数
N ( s) a0sn a1sn1 an1s an
例： 试求 RLC无源网络的传递函数 R ui(t) L i(t)
解: 该网络微分方程已求出,如式
2 d uo(t) LC uo (t ) RC duo (t ) u (t ) u (t ) o i 2 C dt dt
本讲内容：
1.传递函数的定义和性质 2.传递函数的零点和极点 3.典型环节的传递函数 4.典型元部件的传递函数
传递函数求取方法与定理
K1
K: 增益； :自平衡率
y()
T: 惯性 ； : 迟延时间
K y() x0
Kx0
x0
y()
T
2.6.2 阶跃响应图解法（2）
X 2.6.2.1 有自平衡型
X 2) 不含迟延函数的过程传递函数模型
X （1）切线法
当n为整数时
G(s)
K
T0s 1n
K y() x0
据 /T查图2-40或表2-7,得n和T/T0。 当n不为整数时
0 1
特点: 是关键参数传,递它函决数定的求了取振方荡法和特定性, n 决定振荡周期.
理
2.4.5 振荡环节(续)
实例:
Ux R
L
C
Uy
LC
d
2U y (t dt 2
)
RC
dU y (t dt
)
U
y
(t)
U
x
(t
)
n2
1 LC
R C
2L
T LC
传递函数的求取方法和定 理
2.4.6 迟延环节
1=1
R1F 2
R
2
F
2
s
1
2.5.2. 应用举例
例 2 求下系统的传递函数。
L3 G6
G7 L2
X
G1
G2
G3
G4
G5
Y
L1
-1
-H1
L4
-H2
解:(1)有三条前向通路 P1=G1G2G3G4G5
P2=G1G4G5G6
(2)有四个回路
P3=G1G2G7 L1= - G4H1
L2= - G2G7H2
的增益
La----所有不同回路的增益之和
第2章 Z变换及Z传递函数
第2章 Z变换及Z传递函数
8．位移定理 设a为任意常数，连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
Z f (t )e
证明：
at
F (z e )
aT
at akT k Z f (t )e f (kT )e z k 0
f (kT )(e z )
f (kT ) f (kT T )
k 0 k 0
f (kT ) f (kT T )
k 0
f (0) f (T ) f (T ) f (0) f (2T ) f (T ) f ( )
第2章 Z变换及Z传递函数
F ( z ) e kaT z k
k 0
1 e aT z 1 e 2 aT z 2 1 aT 1 1 e z z aT z e
第2章 Z变换及Z传递函数
5．正弦信号 f (t ) sin t
1 sin t (e j t e j t ) 2j 1 j t j t F ( z) Z (e e ) 2 j 1 j t j t Z e Z e 2j
2.2 Z变换的性质和定理
1．线性定理 设a, a1, a2为任意常数，连续时间函数f(t), f1(t), f2(t) 的 Z变换分别为F(z), F1(z), 及F2(z)，则有
Z af (t ) aF ( z ) Z a1 f1 (t ) a2 f 2 (t ) a1 F1 ( z ) a2 F2 ( z )
( z 1)
第2章 Z变换及Z传递函数
3．单位速度信号
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19
计算机控制系统的闭环脉冲传递函数
1. 数字部分的脉冲传递函数 • 控制算法，通常有以下两种形式：
– 差分方程 – 连续传递函数
(离散法) (z变换法)
脉冲传递函数D(z) 脉冲传递函数D(z)
20
计算机控制系统的闭环脉冲传递函数
2. 连续部分的脉冲传递函数
• 计算机输出的控制指令u*(t)是经过零阶保持器加到系统的 被控对象上的，因此系统的连续部分由零阶保持器和被控 对象组成。
2.5 脉冲传递函数(Z传递函数)
1.定义：在初始条件为零时，
离散系统脉冲传递 函数 又称为z传递函数 输出量z变换 输入量z变换
输出的采样信号：
为了用Z传函表示，可在输 出端虚设一个与输入开关同 步动作的采样开关
1
2.5 脉冲传递函数特性
2. 连续环节的离散化
离散系统的脉冲传递函数可以看作是系统输入为单位脉冲时，其脉 冲响应的z变换。 若已知采样系统的连续传递函数G(s)，当其输出端 加入虚拟开关变为离散系统时，其脉冲传递函数可按下述步骤求取：
1.定义：在初始条件为零时，
离散系统脉冲传递 函数 又称为z传递函数 输出量z变换 输入量z变换
输出的采样信号：
为了用Z传函表示，可在输 出端虚设一个与输入开关同 步动作的采样开关
16
环节串联连接的等效变换
17
环节并联连接的等效变换
根据叠加定理有：
18
闭环反馈系统脉冲传递函数
C( z)
前向通道所有独立环节z变换的乘积 1 闭环回路中所有独立环节z变换的乘积
（1）对G(s)做拉氏反变换，求得脉冲响应 （2）对 g (t ) 采样，求得离散系统脉冲的响应为
（3）对离散脉冲响应做z变换，即得系统的脉冲传递函数为
几种脉冲传递函数的表示法均可应用
脉冲传递函数完全表征了系统或环节的输入与输出之间的特性， 并且也只由系统或环节本身的结构参数决定，与输入信号无关。
2
Ts
•解
HG s (1 e
Ts
1 1 )[ ] s sa
•式中e-Ts相当于将采样延迟了T时间。根据 Z变换的线性定理和滞后定理，再通过查表， 可得上式对应的脉冲传递函数为 1 1 z 1 z (1 e aT ) 1 e aT 1 HG z (1 z )[ ] aT 1 aT aT 1
K z z K z (e aT ebT ) G( z ) ( ) aT bT ba z e z e b a ( z e aT )( z ebT )
3
•零阶保持器H(s)与被控对象G(s)串联成为 广义对象，其Z传递函数为HG(z)。 •例2-21已知一个广义对象为： s 1 e a HG s sa 求HG(z)=？
1 z
1 e
z
z ( z 1)( z e
)
4 ze
2.5 脉冲传递函数特性
脉冲传递函数的极点与零点
– 极点
• 当G(z)是G(s)由通过z变换得到时，它的极点是G(s) 的极点按z=e-sT的关系一一映射得到。由此可知， G(z)的极点位置不仅与G(s)的极点有关，还与采样 周期T密切相关。当采样周期T足够小时，G(s)的极 点都将将密集地映射在z=1附近。
G1 ( z)G2 ( z) G1G2 ( z), 但二者极点相同！
10
环节串联连接的等效变换
2. 串联环节的脉冲传递函数
11
环节串联连接的等效变换
3. 并联环节的脉冲传递函数
根据叠加定理有：
12
2.5.3.3.闭环反馈系统脉冲传递函数
E(z) = R(z)-B(z) B(z) = G2G3H(z)U(z) E(z) = R(z) - G2G3H(z)U(z) C(z) = G2G3(z)U(z) U(z) = G1(z)E(z) C(z) = G2G3(z)G1(z)E(z)
c(t ) c(t 1) 0.632c(t 2) 0.368r (t 1) 0.264r (t 2)
25
2.5.4 用传递汉书分析离散系统的过渡过 K[(e aT 1) z (1 e aTe )] 程 e )]z [K (1 e aTe ) a e ]， 例2.34.已知(z)= a z [ K (e aT 1) a (1
•
G( z) K [(e aT aT 1) z (1 e aT aTe aT )] (z)= 2 1 G( z ) a ( z 1)( z e aT ) K[(e aT aT 1) z (1 e aT aTe aT )] a 2 z 2 [ K (e aT K [(e aT aT 1) z (1 e aT aTe aT )] aT 1) a 2 (1 e aT )]z [ K (1 e aT aTe aT ) a 2e aT ]
7
• 例 2.28 设线性离散系统的差分方程为：
c(kT ) 3c(kT T ) 4c(kT 2T ) 5c(kT 3T ) r (kT ) 3r (kT T ) 2r (kT 2T )
• 初始静止，求系统的Z传函？
C( z) 1 3z 1 2 z 2 解：G( z ) R( z ) 1 3z 1 4 z 2 5 z 3
aT aT aT 2 2 aT 2 aT aT aT 2 aT
输入为单位阶跃，且a 1/ s, K 1, T 1s, 分析系统的过渡过程。
(z)=
a z [ K (e
2 2
aT
K[(e aT aT 1) z (1 e aT aTe aT )] e1 z (1 2e1 ) 2 2 aT aT aT 2 aT aT 1) a (1 e )]z [ K (1 e aTe ) a e ] z z (1 e1 )
(z)= K[(e aT aT 1) z (1 e aT aTe aT )] e1 z (1 2e1 ) 2 2 aT aT aT 2 aT aT 1) a (1 e )]z [ K (1 e aTe ) a e ] ) z / ( z 1)
e1 z (1 2e1 ) z 0.368z 2 0.264 z C ( z ) (z)R(z) 2 3 超调量40% 1 z z (1 e ) z 1 z 2 z 2 1.632 z 0.632 峰值时间3s 震荡次数1.5次 C ( z ) e1 z (1 2e1 ) 0.368 z 1 0.264 z 2 法2： 2 稳态误差0 1 R( z ) z z (1 e ) 1 z 1 0.632 z 2
a 2 z 2 [ K (e aT
法1：输入单位阶跃：R( z) z / ( z 1)
e1 z (1 2e1 ) z 0.368z 2 0.264 z C ( z ) (z)R(z) 2 3 1 z z (1 e ) z 1 z 2 z 2 1.632 z 0.632 C ( z ) e1 z (1 2e1 ) 0.368 z 1 0.264 z 2 法2： 2 1 R( z ) z z (1 e ) 1 z 1 0.632 z 2
共同作用时 的系统输出
23
2.5.4离散系统动态特性指标的提法
动态特性主要是用系统在单位阶跃输入信号作用下的响应特性来描述。 超调量
图 系统阶跃响应特性
图 系统阶跃响应的采样
上升时间
峰值时间
调节时间
24
2.5.4 用传递函数分析离散系统的过渡过程
例2.34.已知(z)= a 2 z 2 [ K (e aT K[(e aT aT 1) z (1 e aT aTe aT )] ， aT 1) a 2 (1 e aT )]z [ K (1 e aT aTe aT ) a 2e aT ] 输入为单位阶跃，且a 1/ s, K 1, T 1s, 分析系统的过渡过程。
1. 采样系统中连续部分的结构形式
并不是所有结构都能写出环节的脉冲传递函数
9
• 例2-30
z az 设G1 ( z ) , G2 ( z ) ，求开环传函G ( z ) ? aT z 1 z e
•
az 2 解：G( z ) G1 ( z )G2 ( z ) ( z 1)( z e aT ) 1 a 设G1 ( s ) , G2 ( z ) ，求开环传函G ( z ) ? 例2-31 s sa z (1 e aT ) 解：G( z ) Z [G1 (s)G2 (s)] G1G2 ( z ) ( z 1)( z e aT )
被控对象传 递函数
21
3. 闭环传递函数的求取
K , 求闭环Z传递函数(z)=? 例2-33如图2-14,已知G0 ( s) s( s a)
1 e aT K k 1 k 1 k 1 1 G ( z ) HG( z) Z[ ] (1 z ) Z[ 2 2 2 ] s s ( s a) a s a s a ( s a) z 1 k Tz k z k z K [(e aT aT 1) z (1 e aT aTe aT )] [ 2 2 ] 2 aT z a ( z 1) a z 1 a z e a 2 ( z 1)( z e aT )
• 例 2.29 设线性离散系统的Z传递函数为：
1 3z 1 2 z 2 z -3 z -4 G( z ) 1 4 z 1 5 z 2 3z 3 2 z 4