因式分解拓展题及解答(必考题型)

因式分解拓展题解

板块一：换元法

例1分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++

【解析】 将248x x u ++=看成一个字母，可利用十字相乘得

原式2232()(2)u xu x u x u x =++=++22(48)(482)x x x x x x =++++++

22(58)(68)x x x x =++++2(2)(4)(58)x x x x =++++

例2分解因式：22(52)(53)12x x x x ++++-

【解析】 方法1：将25x x +看作一个整体，设25x x t +=，则

原式=22(2)(3)1256(1)(6)(2)(3)(51)t t t t t t x x x x ++-=+-=-+=+++- 方法2：将252x x ++看作一个整体，设252x x t ++=，则

原式=22(1)1212(3)(4)(2)(3)(51)t t t t t t x x x x +-=+-=-+=+++- 方法3：将253x x ++看作一个整体，过程略.如果学生的能力到一定的程度，甚至

连换元都不用，直接把25x x +看作一个整体，将原式展开，分组分解即可，

则原式22222(5)5(5)6(51)(56)(2)(3)x x x x x x x x x x =+++-=+-++=++2(51)x x +-.

【巩固】 分解因式：(1)(3)(5)(7)15x x x x +++++

【解析】

2(2)(6)(810)x x x x ++++

【巩固】 分解因式：22(1)(2)12x x x x ++++-

【解析】

2(1)(2)(5)x x x x -+++

例3证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方．

【解析】 设这四个连续整数为：1x +、2x +、3x +、4x +

(1)(2)(3)(4)1x x x x +++++[(1)(4)][(2)(3)]1x x x x =+++++22(54)(56)1x x x x =+++++

24652

u x x +=++ 原式22[(55)1][(55)1]1x x x x =++-++++22(55)11x x =++-+22(55)x x =++

【巩固】 若x ，y 是整数，求证：()()()()4234x y x y x y x y y +++++是一个完全平方数.

【解析】 ()()()()4234x y x y x y x y y +++++()()()()4423x y x y x y x y y =+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦

22224(54)(56)x xy y x xy y y =+++++

令2254x xy y u ++=

∴上式2422222(2)()(55)u u y y u y x xy y ++=+=++

即()()()()4222234(55)x y x y x y x y y x xy y +++++=++

例4分解因式2(25)(9)(27)91a a a +---

【解析】 原式22[(25)(3)][(3)(27)]91(215)(221)91a a a a a a a a =+-+--=-----

设2215a a x --=，

原式2(6)91691(13)(7)x x x x x x =--=--=-+22(228)(28)a a a a =----

2(4)(27)(28)a a a a =-+--

【巩固】 分解因式22(32)(384)90x x x x ++++-

【解析】 原式22(1)(2)(21)(23)90(253)(252)90x x x x x x x x =++++-=++++-

225y x x =+

原式22(3)(2)90584(12)(7)(2512)(27)(1)y y y y y y x x x x =++-=+-=+-=+++-

例5分解因式：22224(31)(23)(44)x x x x x x --+--+-

【解析】 咋一看，很不好下手，仔细观察发现：222(31)(23)44x x x x x x --++-=+-， 故可设2231,23x x A x x B --=+-=，则244x x A B +-=+.

故原式=24()AB A B -+2A =-222()B AB A B -+=--

2

2222(31)(23)(232)x x x x x x ⎡⎤=----+-=--+⎣⎦.

【巩固】 分解因式：2(2)(2)(1)a b ab a b ab +-+-+- 【解析】 由于题中以整体形式出现的式子有两个，共4个地方，故采取换元法后会大大简

化计算过程，不妨设,a b x ab y +==，

【解析】 则原式=222(2)(2)(1)222x y x y x xy y y x --+-=-++-

222221()2()1(1)(1)(1)(1)x y x y x y a b ab a b +=---+=--=+--=--

例6分解因式：272)3()1(4

4-+++x x

【解析】 设1322

x x y x +++==+，则原式=4442(1)(1)2722(61)272y y y y -++-=++- 422222(6135)2(9)(15)2(3)(3)(15)y y y y y y y =+-=-+=+-+

22(5)(1)(419)x x x x =+-++ 【巩固】 分解因式：4444(4)a a ++-

【解析】 为方便运算，更加对称起见，我们令2x a =-

4444(4)a a ++-444(2)(2)4x x =++-+22224(44)(44)4x x x x =+++-++

422(2416)256x x =+++422(24144)x x =++222(12)x =+222[(2)12]a =-+222(416)a a =-+ 板块二：因式定理

因式定理：如果x a =时，多项式1110...n n n n a x a x a x a --++++的值为0，那么x a -是该多项式的一个因式.

有理根：有理根p c q

=的分子p 是常数项0a 的因数，分母q 是首项系数n a 的因数. 例7分解因式：32252x x x ---

【巩固】 02a =-的因数是1±，2±，2n a =的因数是1±，2±．

因此，原式的有理根只可能是1±，2±(分母为1)，12

±． 因为(1)21526f =---=-，(1)21520f -=--+-=， 2323222232125222 35 33 22

x x x x x x x x x x

x x

x --+---+------