第一章 生存分布理论基础

q[ x ] n 编制的生命表称为选择生命表.
若选择期为r年，投保期超过r年的同一年龄上的死亡概率 相等。
q[ xr ]r q[ xr 1]r 1 q[ xr 2]r 2 qx
终极表：依据选择效果已经消失后的死亡率资料编制的 生命表。
选择和终极表：选择效果和终极表合在一起。 表1-2 例. 根据表1-2，求3年前购买人寿保险，现年76岁的被 保险人活过80岁的概率。
第一节 寿命与生存分布
一、寿命的概率分布与生存函数 新生儿在x岁之前死亡的概率
F ( x) Pr( X x), x 0.
假定寿命极限为w，满足：
(1) F (0) 0;
(2)F(w) 1.
寿命的生存函数 随机变量X 的生存函数
S ( x) Pr( X x) 1 F ( x), x 0.
t
qx Pr (T ( x) t ) Pr ( X x t X x) S ( x) S ( x t ) S ( x)
寿命变量和剩余寿 命变量的区别？
前者是无条件概率，后者是条件概率；
特别地.
(1)t q0 F (t ); (2)1 qx 记为qx ;
(3) t|u qx Pr (t T ( X ) t u ) Pr ( x t X x t u X x) S ( x t ) S ( x t u) S ( x)
w x 1 k 0 w x 1
整值剩余寿命的期望值
ex E ( K ( x))
k
k
px qx k

k 0
k 1
px
例.证明:
k
px 1 px px 1 px k 1
第二节 生命表
一、生命表的概念和类型 生命表起源 Halley
第三节 死亡力
一、死亡力的概念
S ( x ) S ( x h) S ( x) f ( x) (ln S ( x)) x lim h 0 h S ( x) S ( x) S ( x)
死亡效力曲线称为“浴盆曲线”
lx x lx
二、死亡效力与生存分布的关系
（4）Weibull模型(1939)
x kx n
S ( x) exp{kx n 1 /(n 1)} , k 0, n 0, x 0
（5）常数死亡力
x , S ( x) exp{ x}
第四节 非整数年龄的生存分布假设
基本原理：加权平均法 1）均匀分布假定（算术加权平均） 2）常数死亡力假定（几何加权平均） 3）Balducci假定（调和加权平均）
指数曲线插值法 等价于死亡力恒定假设
(1t )
s ( x 1) , 0 t 1
t
Balducci假定（调和加权平均）
1 1 t t , 0 t 1 s ( x t ) s ( x) s ( x 1)
双曲线插值法
三种假定下的生命表函数 函数
t
均匀分布
常数死亡力
剩余寿命的生存函数
ST ( x ) (t ) Pr (T ( x) t ) Pr ( X t x | X x) S (x t) t px 1 t qx S ( x)
特别地.
(1) x p0 S ( x); (2) px 1 px ;
(3)t u px t px u px t
px qx [1 (1 t ) q x ] 2
xt t px
qx
例.已知 lx 100 x 分别在三种非整数年龄假定下，计算下面各值：
0.5
q30 ,5.25 q50，30.5
假定寿命极限为w，满足：
(1) S (0) 1;
(2)S(w) 0.
新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率
Pr(x X z) S(x) S(z)
寿命的密度函数
f ( x) F ( x) S ( x).
概率意义为在x点附近极小区间失效的速率； 满足属性：
(1) f ( x) 0;
4.t px : 在x与x+t 之间存活概率；
lxt S(x t) t px lx S(x)
5.t Lx : 0岁的人在x与x+t岁之间生存的总年数；
t t
Lx lxs ds
0
特别，0岁的人在x与x+1岁之间生存的总年数 Lx
6.Tx : 能活到x岁的人群剩余寿命总和；
Tx
o
ex E (T ( x)) t fT (t )dt
0
o

w x

0
1 t p x dt S ( x)

0
S ( x t )dt
e0 S (t )dt
0
o
w
例.已知 S ( x) (1
x ) 0 x 100 计算： 100
（1）（30）岁的人在60岁内死亡的概率； （2）（40）岁的人至少还能再活10年的概率； （3）（30）岁的寿命在60岁到80岁之间的概率； （4）（30）岁的平均寿命。
三、选择-终极生命表 选择生命表：一组被保险人的死亡率不仅随年龄而变动， 而且随已投保年限长短变动。 q[ x]n 表示x岁加入保险、经过n年在x+n岁的死亡概率。 q[ x] q[ x1]1 q[ x2]2 把同一年龄上相邻已投保年数死亡率差异明显的时期称为 选择效果明显期。
均匀分布假定（算术加权平均）
s( x t ) (1 t ) s ( x) ts ( x 1) , 0 t 1
线性插值法 例.设（x）在[x,x+1]上服从死亡均匀分布，试证：
1 ex ex , x N 2
0
常数死亡力假定（几何加权平均）
s( x t ) s( x)
2. t d x : 在x与x+t 之间死亡的期望人数；
t
d x lx lx t
特别：t=1时，记作 d x
3. t qx : 在x与x+t 之间死亡概率； t dx t qx lx
S ( x) S ( x t ) t q x Pr ( X x t | X x ) S ( x) 特别：t=1时，记作 qx
三、 整数年龄的概率分布 (x)未来存活的完整年数（整值余寿），简记
K ( X ) k,
整值余寿的密度函数
k T ( x) k 1, k 0,1,
Pr( K ( X ) k ) Pr(k T ( x) k 1) k qx
k
qx k 1 qx k qx k px k 1 px k px qx k
1 (0 x w),试求： 例 设某种生物的死亡力 x w x
（1）寿命的分布函数、密度函数、生存函数； （2）x岁的余命分布函数、密度函数、生存函数。
三、死亡力的若干假定 （1）De Moivre模型(1729)
1 x x S ( x) 1 x

,
0 x
(2) f ( x)dx F ( x), f ( x)dx S ( x);
0 x
x
w
(3) f ( x)dx 1.
0
w
平均寿命
E X x f ( x)dx
0
w
x 例.假设某人群的生存函数为 S ( x ) 1 , 0 x 100.求： 100
生命表的理论基础
kn 依概率收敛 lim P( x) n n
生命表的类型 （1）国民生命表和经验生命表 （2）寿险生命表和年金生命表 （3）男性生命表和女性生命表 （4）选择表和终极表
二、生命表的构成要素
1.lx ( x 0,1, , w 1) : 存活到x岁的期望个数； lx l0 S ( x)
0
w x 1 t 0
L
x t

w x
0
lx t dt
7. e x : x岁人群的平均余寿；
w x Tx e x t px dt 0 lx
0
8.ex : x岁人群的整值余寿；
ex
l
k 1
w x
xk
lx
例. 已知表1-1（P11）中的数据，计算下列概率 （1）（45）在46岁之前死亡的概率； （2）（40）活过10年的概率； （3）（40）活过10年在其后1年内死亡的概率；
(4) t|u qx t px t u px t px u qx t
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剩余寿命的概率密度
S ( x t ) ( x ) (t ) fT ( x ) (t ) FT( x ) (t ) ST S ( x)
期望剩余寿命：剩余寿命的期望值(均值),简记
ex
w x
S ( x) exp{ s ds}
0
x
t
px exp{
x t
x
s ds} exp{ x s ds}
0
t
x t
d ln t px dt
死亡效力表示剩余寿命的密度函数
S ( x) S ( x t ) G (t ) t qx 1 t px S ( x) d d S ( x) S ( x t ) S ( x t ) x t g (t ) G (t ) t px x t dt dt S ( x) S ( x)
（1）刚出生婴儿活过60岁的概率； （2）刚出生婴儿在70~80岁间死亡的概率； （3）活到40岁的人活不到70岁的概率； （4）计算平均寿命。
二、余命的概念分布与生存函数 x岁的人（简记(x)），继续存活的时间，称为剩余寿命， 记作T(x) . 剩余寿命分布函数
FT (t ) Pr(T ( x) t ) t qx , t 0.
（2）Gompertze模型(1825)
x Bc x
S ( x) exp{ B(c x 1) / ln c}, B 0,c 1,x 0
（3）Makeham模型(1860)
x A Bc x
S ( x) exp{ Ax B(c x 1) / ln c} , B 0,A -B,c 1,x 0
Ballducci
t qx 1 (1 t ) qx
qx
tq x
1 tq x
yq x 1 tq x qx 1 tq x
1 e
t
t px
y xt
e t
q
1 e
y
x t

e t
px 1 (1 t ) q x yq x 1 (1 y t ) q x qx 1 (1 t ) q x