电网络 - 第一章网络理论基础(3)
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近代电网络理论课程讲义
5
粗略地说，当输入，输出互换位置时，将不改变同一激励所产生的响应，网络的这种性 质称为互易性。具有互易性的网络称为互易网络。
6
2．网络的代数方程 §2．1 网络的基本解法 1 KCL 和 KVL 的矩阵形式 若一个网络是用一个具有 b 条支路， nt = n + 1 个节点的连通图表示，并选一树 T。于 是可以写出 A = [ Al
如果一个 n 端口网络同时具备齐次性和可加性，称其为按端口线性网络。 例 1．1 图示电路中，电容初始值为 U 0 ，考察其是否线性。
该电路按定义 10， 20 是线性的； 按定义 30 却不是线性的； 因为 y (t ) = 既不具有齐次性又不具有可加性。 例 1．2
1 t u (τ )dτ + U 0 c ∫0
& + 1 ⋅ il = ψ & + f (ψ ) u =ψ
我们考察定义 30，因为 f (⋅) 的导数连续，所以它们的解是存在且唯一的。
& = u − f (q ) q & = u − f (ψ ) ψ
所以
q (t 0 ) = 0 ψ (t 0 ) = 0
对所有 t ≥ t 0 即 Ri =
q(t ) = ψ (t )
T
1 Y = diag 1 2
w(t ) = ∫ u (τ )i (τ )dτ
MEMRISTOR,由美籍华人蔡少棠教授于 1971 年提出。
§1．2
网络的基本性质
1 线性和非线性 （1） 关于线性的定义 10 从元件性质定义 若一网络由线性元件（具有任意初始值）及独立电源所构成，则称其为线性网络。此定 义初看起来似乎正确，但就网络的输入输出特性而言未必有效。我们将举例说明。 20 从网络方程定义 若网络的输入输出方程可以写成
粗略地说，当输入，输出互换位置时，将不改变同一激励所产生的响应，网络的这种性 质称为互易性。具有互易性的网络称为互易网络。
6
2．网络的代数方程 §2．1 网络的基本解法 1 KCL 和 KVL 的矩阵形式 若一个网络是用一个具有 b 条支路， nt = n + 1 个节点的连通图表示，并选一树 T。于 是可以写出 A = [ Al
如果一个 n 端口网络同时具备齐次性和可加性，称其为按端口线性网络。 例 1．1 图示电路中，电容初始值为 U 0 ，考察其是否线性。
该电路按定义 10， 20 是线性的； 按定义 30 却不是线性的； 因为 y (t ) = 既不具有齐次性又不具有可加性。 例 1．2
1 t u (τ )dτ + U 0 c ∫0
& + 1 ⋅ il = ψ & + f (ψ ) u =ψ
我们考察定义 30，因为 f (⋅) 的导数连续，所以它们的解是存在且唯一的。
& = u − f (q ) q & = u − f (ψ ) ψ
所以
q (t 0 ) = 0 ψ (t 0 ) = 0
对所有 t ≥ t 0 即 Ri =
q(t ) = ψ (t )
T
1 Y = diag 1 2
w(t ) = ∫ u (τ )i (τ )dτ
MEMRISTOR,由美籍华人蔡少棠教授于 1971 年提出。
§1．2
网络的基本性质
1 线性和非线性 （1） 关于线性的定义 10 从元件性质定义 若一网络由线性元件（具有任意初始值）及独立电源所构成，则称其为线性网络。此定 义初看起来似乎正确，但就网络的输入输出特性而言未必有效。我们将举例说明。 20 从网络方程定义 若网络的输入输出方程可以写成
计算机网络安全原理第1章 绪论
网络空间安全
网络空间（Cyberspace）
网络空间安全
网络空间（Cyberspace）
网络空间安全
网络空间（Cyberspace）
网络空间安全
网络空间安全（Cyberspace Security）
网络空间安全
网络空间安全（Cyberspace Security）
方滨兴：在信息通信技术的硬件、代码、数据、应用4个 层面，围绕着信息的获取、传输、处理、利用4个核心功 能，针对网络空间的设施、数据、用户、操作4个核心要 素来采取安全措施，以确保网络空间的机密性、可鉴别 性、可用性、可控性4个核心安全属性得到保障，让信息 通信技术系统能够提供安全、可信、可靠、可控的服务 ，面对网络空间攻防对抗的态势，通过信息、软件、系 统、服务方面的确保手段、事先预防、事前发现、事中 响应、事后恢复的应用措施，以及国家网络空间主权的 行使，既要应对信息通信技术系统及其所受到的攻击， 也要应对信息通信技术相关活动的衍生出政治安全、经 济安全、文化安全、社会安全与国防安全的问题
计算机网络的脆弱性
问题七：互联网的级联特性
互联网是一个由路由器将众多小的网络级联而成的大网 络。当网络中的一条通讯线路发生变化时，附近的路由 器会通过“边界网关协议(BGP)”向其邻近的路由器发出 通知。这些路由器接着又向其他邻近路由器发出通知， 最后将新路径的情况发布到整个互联网。也就是说，一 个路由器消息可以逐级影响到网络中的其它路由器，形 成“蝴蝶效应”。“网络数字大炮”
生存性）
系
机
统
密
以保护信息 属性空间 为主的属性
性
机密性：保证信息在产生、传 输、处理和存储的各个环节中
为 主
可控性：系统对拥有者来说 是可掌控的，管理者能够分
最新【精选资料】电网络理论课后题答案讲学课件
• Bf = [ -QTf It ] =
1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0
0
1 1 1 1 1 1
0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0
01
0 0
1 1
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1 0
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0 0
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1 0
10
2-1：
以下为附加内容
让更多的农民成为新型职业农民 中央农业广播电视学校 刘天金
1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0
•
A=
0
0
0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0
0 0
0 0
01
1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1
• ⑵ 基本割集矩阵 Qf 是一个N×B的矩阵， 它的每一行对应于一个基本割集，每一列 对应于一条支路。此题基本割集矩阵为：
各级农业部门要把培育新型职业农 民作为一项重要职责和基本任务，积极争 取当地政府和有关部门的重视支持，将其 放在三农工作的突出位置，坚持“政府主 导、农民主体、需求导向、综合配套”的 原则，采取更加有力的措施加以推动落实， 培养和稳定现代农业生产经营者队伍，壮 大新型生产经营主体。
二、什么是新型职业农民
——创新农业生产经营方式：“不是 种不过来，而是怎么种得更好”
一、为什么要大力培育新型职业农民
（三）历史使命
◆回答好“谁来种地”“地如何种”的问 题，历史性地落在了培育新型职业农民 上。
—— 2012年中央一号文件聚焦农业科
技，着力解决农业生产力发展问题，明确 提出大力培育新型职业农民；2013年中央 一号文件突出农业经营体制机制创新，着 力完善与现代农业发展相适应的农业生产 关系，进一步强调加强农业职业教育和职 业培训。
电网络理论
二端电容元件 的成分关系 fC (u(t), q(t), t) 0
又称为二端电容元件的特性方程。
非线性 荷控电容 u(t) h(q(t), t)
二端电
容元件 压控电容 q(t) f (u(t), t)
单调型、 时不变、 时变
电容元件的电压与电流之间的关系
(1)压控型非线性时变电容
q(t) f (u(t),t)
dt
(1)流控型非线性时变电感 (t) f (i(t), t)
u(t) d f (i(t), t) f (i, t) di f (i, t)
dt
i dt t
(2) 磁控型非线性时变电感
i(t) h( (t), t)
di(t) h( , t) u(t) h( , t)
dt
t
(3)线性时变电感
t0
ik
(
)d
qk (t0 )
t
t0 ik ( )d
动态无关的网络变量偶：
(uk，ik)、（uk，qk）、(ik，k)和（k，qk）这四
种组合的二变量之间存在预先规定的依赖于元件 N的关系。
由一对 动态无关的网络变量向量构成的向量偶
称为动态无关变量向量偶，记为
(ξ, η )(u,i), (u,q), (i,ψ ), (ψ ,q)
泛地应用于整流、变频、调制、限幅等信号处理的许 多方面。
由例1可以看出，在时变偏置电源作用下，一个非线性 时不变电阻元件的小信号等效电阻是线性时变的，这是
一个十分有用的结果。显然，如果希望得到线性时不变 的小信号等效电阻，只需将偏置电源换为直流电源即可。
例2说明流控非线性电阻可以改变频率。即流控非线 性电阻元件的电压与电流虽然都是正弦的，但频率不 同。
又称为二端电容元件的特性方程。
非线性 荷控电容 u(t) h(q(t), t)
二端电
容元件 压控电容 q(t) f (u(t), t)
单调型、 时不变、 时变
电容元件的电压与电流之间的关系
(1)压控型非线性时变电容
q(t) f (u(t),t)
dt
(1)流控型非线性时变电感 (t) f (i(t), t)
u(t) d f (i(t), t) f (i, t) di f (i, t)
dt
i dt t
(2) 磁控型非线性时变电感
i(t) h( (t), t)
di(t) h( , t) u(t) h( , t)
dt
t
(3)线性时变电感
t0
ik
(
)d
qk (t0 )
t
t0 ik ( )d
动态无关的网络变量偶：
(uk，ik)、（uk，qk）、(ik，k)和（k，qk）这四
种组合的二变量之间存在预先规定的依赖于元件 N的关系。
由一对 动态无关的网络变量向量构成的向量偶
称为动态无关变量向量偶，记为
(ξ, η )(u,i), (u,q), (i,ψ ), (ψ ,q)
泛地应用于整流、变频、调制、限幅等信号处理的许 多方面。
由例1可以看出，在时变偏置电源作用下，一个非线性 时不变电阻元件的小信号等效电阻是线性时变的，这是
一个十分有用的结果。显然，如果希望得到线性时不变 的小信号等效电阻，只需将偏置电源换为直流电源即可。
例2说明流控非线性电阻可以改变频率。即流控非线 性电阻元件的电压与电流虽然都是正弦的，但频率不 同。
电网络理论绪论第一章2
四、忆阻元件(Memristor)
发展概况
（3）惠普公司实验室的研究人员已证明忆阻器的确存
在（忆阻现象在纳米尺度的电子系统中确实是天然 存在的），并成功设计出一个能工作的忆阻器实物 模型，研究论文在2008年5月1日的《自然》期刊上 发表 。 D. B. Strukov, G. S. Snider, D. R. Stewart & R. S. Williams. The Missing Memristor Found. Nature, 2008,453(1 May):80-83
dx dt
x=
du dt
D i
正弦稳态之下,该元件的导纳为
Y ( jω) = I ( jω) = −ω 2 D U ( jω )
＋
－
u
（2）FDNR元件
赋定关系
d 2i u=E 2 dt
dx 或者 u = E dt
di x= dt
在正弦稳态之下,该元件的阻抗为
I ( jω ) Z ( jω ) = = −ω 2 E U ( jω )
正阻抗逆转器 (BC>0)
理想回转器
i1
1 ⎧ ⎪u1 = − i2 g ⎨ ⎪ ⎩ i1 = gu2
线性电容
2、非线性电容 （1）压控电容
非线性电容
二、电容元件(续) （2）荷控电容
u = S (q)
（3）单调电容
q = C (u )
或者 u = S ( q )
大多数实际电容器属于此类。如变容二极管：
q = Q0 ( eku −1)
( Q0 < 0)
（4）多值电容 以铁电物质为介质的电容器呈现滞回现象
三、电感元件 (Inductor) 定义：赋定关系为i和Ψ之间的代数关系的元件
第一章网络安全基础知识
化测试分析 B2：结构化保护 E4：半形式化分析
GB5：访问验证保护级
B3：安全区域
E5：形式化分析
EAL6：半形式化验证设 计测试
--
A：验证设计
E6：形式化验证
EAL7：形式化验证和测
试
知识链接信息保障PDRR模型
Protect
Detect
Restore
React
网络安全与黑客攻防技术
华东交通大学理工学院 尧刚华
课程简介
计算机网络安全基础：包括信息安全、网络安
全、病毒、黑客以及基本网络技术等。
基本的黑客攻击技术：包括基本命令、扫描、
监听、入侵、后门、隐身、恶意代码等。
基本的防御技术：包括系统安全、加密、防火
墙、隔离闸、入侵检测、IP安全、Web安全等。 目的是使同学们可以进一步了解网络基本知 识，掌握初步的黑客攻击技术，提高网络安全意 识。
邮政系统的分层结构
发信者 书写信件 贴邮票 送邮箱 收集信件 盖邮戳 信件分拣 邮局服务业务 邮局服务业务 通信者活动 通信者活动 阅读信件 收信者
信件投递 信件分拣
信件打包 送运输部门
邮局转送业务
邮局转送业务
分发邮件 邮件拆包
路由选择 运输
转送邮局
运输部门的运输路线 接收邮包
分层的优点
各层功能明确，且相互独立易于实现。 各层之间通过接口提供服务，各层实
是网络安全橙皮书。
自从1985年橙皮书成为美国国防部的标准以来，
就一直没有改变过，多年以来一直是评估多用 户主机和小型操作系统的主要方法。
类别 级别
名称
主要特征
D
C
D
C1 C2
低级保护
GB5：访问验证保护级
B3：安全区域
E5：形式化分析
EAL6：半形式化验证设 计测试
--
A：验证设计
E6：形式化验证
EAL7：形式化验证和测
试
知识链接信息保障PDRR模型
Protect
Detect
Restore
React
网络安全与黑客攻防技术
华东交通大学理工学院 尧刚华
课程简介
计算机网络安全基础：包括信息安全、网络安
全、病毒、黑客以及基本网络技术等。
基本的黑客攻击技术：包括基本命令、扫描、
监听、入侵、后门、隐身、恶意代码等。
基本的防御技术：包括系统安全、加密、防火
墙、隔离闸、入侵检测、IP安全、Web安全等。 目的是使同学们可以进一步了解网络基本知 识，掌握初步的黑客攻击技术，提高网络安全意 识。
邮政系统的分层结构
发信者 书写信件 贴邮票 送邮箱 收集信件 盖邮戳 信件分拣 邮局服务业务 邮局服务业务 通信者活动 通信者活动 阅读信件 收信者
信件投递 信件分拣
信件打包 送运输部门
邮局转送业务
邮局转送业务
分发邮件 邮件拆包
路由选择 运输
转送邮局
运输部门的运输路线 接收邮包
分层的优点
各层功能明确，且相互独立易于实现。 各层之间通过接口提供服务，各层实
是网络安全橙皮书。
自从1985年橙皮书成为美国国防部的标准以来，
就一直没有改变过，多年以来一直是评估多用 户主机和小型操作系统的主要方法。
类别 级别
名称
主要特征
D
C
D
C1 C2
低级保护
【课件】国家电网考试之电网络分析理论：第一章网络理论基础小结
t 2
sin
t
2
0
任意
t [0的, 2 ]
其它
可得
i1
(
2
)
0,
i2
(
2
)
0
则
W ( 2
)
(M12
M 21)
2 0
sin
2
cos
2
2 sin
2
d
( M 12
M 21 )
2 0
2
图示电路含有非线性（非互易元件） 但仍为线性（互易）一端口网路。
设二极管D的模型为正向电阻 R 和
+i
反向电阻 R ，它们都是常数。
i1
i2
列出相应的KCL和KVL方程
u
R
R
i i1 i2
i1R i1R u
i2R i2R u
_
u i1 R R
i2
R
u R
i1i2 0
M12d
(i1i2
)
(M12
M 21)
t
i2
di1
d
d
1 2
L1i12
1 2
L2i22
M12i1i2
(M12
M 21)
t
i2
di1
d
d
（1）先说明M12 M 21 件是有源的。 电流是
假定
M
2
1s2inMt
21
取 i1
2 t
i2
10道例题！
例1 试说明受控源是有源元件 。
王燕凌电网络 - 第一章 网络理论基础资料
第一章 网络理论基础第一节 网络及其元件的基本概念一．网络基本表征量 1． 分类基本变量：)()()()(t t q t i t u ψ高阶基本变量：βαβα,()()(i u 是不为0，－1的任意整数）基本复合量：)()(t w t p2．关系ττd i t q dtt dq t i t ⎰∞-==)()()()( （1－1－1）ττψψd u t dtt d t u t ⎰∞-==)()()()( （1－1－2）)()()()(t i t u dtt dw t p == （1－1－3）τττττd i u d p t W tt ⎰⎰∞-∞-==)()()()( （1－1－4）二．多口元件和多端元件 1．二端元件 多端元件 （1） 二端元件： R 、L 、C元件约束为一个方程描述，两个独立变量。
（二端网络：一个方程描述，两个独立变量。
）（2） n 端元件：有n －1个电流和n －1个电压是独立变量，共（2n －2）个，有n －1个约束方程。
2．多端元件和“端口”的概念 （1）“双口”是最简单的多口。
（2）端口：端口电流相等。
条件：端口与端口之间无任何联系。
例： N 1不是双口网络，N 2 是双口网络。
3．n ＋1端元件与n 端元件等效 （p2图1－1－1）例：三极管任选一点为参考点，则为二端口元件。
三．容许信号与赋定关系1． 容许信号偶（Admissible Signal Pair ） p2或：元件给定的电流（压）时的电压（流）值，记{})(),(t i t u ，是一对激励和响应的关系。
2． 赋定关系（Constitutive Relation ） p2 四．网络及其元件分类依据 1． 集中参数元件 p3分布元件附：均匀传输线特性方程：p3 本书只讨论集中参数网络。
2． 时不变元件（Time-invariant ）时变元件（Time-varying ） （1） 定义：p3 （2） 应用例1：判断独立电压源t E t u ωsin )(=是否是时不变元件。
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有向图拓扑性质的描述 ： （1）关联矩阵(Incidence Matrix) （2）回路矩阵(Loop Matrix) （3）割集矩阵(Cutset Matrix) （4）连通图的主要关联矩阵的关系
(1)关联矩阵A
• 节点支路关联矩阵Aa：全阶点关联矩阵（增广关联矩阵） 行：节；列：支，流出为正，流入为正，无关为零。
因此就用抽象的点来代替原来的节点。用线段来代 替原来的支路，而得到的一个由节点和支路组成的 图，称为电路的图。
图(Graph) 图是拓扑（Topological）图的简称 是节点和支路的一个集合
:: 未赋以方向的图称为无向图。 只有部分支路赋以方向的图称为混合图。 所有支路都赋以方向的图称为有向图。图中的
4）有向图
(2)路径（简称路）：从图的某一个节点出发，沿着一些支路 连续移动到达另一个节点，这样的一系列支路称为图的 一条路径。一条支路本身也是一条路径。一般出发的节 点称为始节点，到达的节点称为终节点。支路和节点只 过一次。
(3) 回路： 回路L是连通图G的一个子图。 具有下述性质
1)连通； 2)每个节点关联支路数恰好为2。
5
（4） 割集
• 与广义节点（闭合面）的概念相关联。是被闭合面所切 割的支路集合。是把一个连通图恰好分成两部分的最少 支路集合。因此与节点有关的关系对割集也成立。
割集Q是连通图G中一个支路的集合，具有下述性质：
1) 把Q 中全部支路移去，将图恰好分成两个分离部分；
2)保留Q 中的一条支路，其于都移去， G还是连通的。
节点数 支路数 有向支路 j 背离 i 节点 有向支路 j 指向 i 节点 i节点与 j 支路无关
②
1
2
①5
③
2
1
5
①
43
4
④
6
6
Q1: { 2 , 5 , 4 , 6 }
②
③
3
④
②
②
1
2
①5
③
1
2
①5
③
43 ④6
43 ④6
Q2: { 2 , 3 , 6 }
Q3: { 1 , 5 , 4}
•单树支割集（基本割集）
②②Βιβλιοθήκη 12①5③
43 ④6
Q1: { 2 , 3 , 6 }
1
2
①5
③
43 ④6
Q2: { 3 , 5 , 4}
对于一个选定的树
树支(Tree Branch or Twig) ：属于树的支路 连支(Chord or Link) ：属于G而不属于T的支路
树支数 bt= n-1
连支数 bl=b-(n-1) 单连支回路（基本回路）
4
1 3 56
2
树支数 4 连支数 3
7 单连支回路 单连支回路
独立回路 独立回路
4 1
{1，5，3，6} {2，3，6} {3，4，5}
2） 由某个连支b3确定的单连支回路应包含那些树支，每个
这种树支所构成的基本割集中含有b3。
②
基本回路
基本割集
1
2
①5
③
43 ④6
{1，2，3，4} {1，4，5} {1，2，6}
{1，5，3，6} {2，3，6} {3，4，5}
§ 1-9 图的矩阵表示及其性质
123 75
6 84
23 5 回路
12 5
78 9 不是回路
(4) 树 (Tree)
树T是连通图G的一个子图，具有下述性质：
1)连通； 2)包含G的所有节点； 3)不包含回路。
•余树或补树：G中对应树T的余 子图称为余树或补树(Cotree).
4
13
2
5
6
4
13
2
5
6
4
13
2
5
6
16个 树不唯一
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q4: { 1 , 5 , 2 }
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q3: { 1 , 5 ,3 , 6 }
单树支割集 单树支割集
1
独立割集 独立割集
3
2
4
{1，2，3，4} 割集
1
2
3
4
{1，2，3，4} 割集
三个分离部分
4 保留4支路，图不连通的。
②
1
2
①5
③
43 ④6
基本回路 {1，2，3，4} {1，4，5} {1，2，6}
方向表示原电路中支路电压和电流关联参考方向
::图并不反映支路之间的耦合关系。
•元件的图
1
i1
i2 2
1
2
3
3
二端元件的图
i1 ＋ u1 －
三端元件的图
i2 ＋
u2 －
1
2
双口元件的图
•网络的图
网络拓扑 连接性质
i1 i2 i3
i1 i2 i3
i = 0
抽象
i1 i2 i3
+
抽象
支路 电路图
抽象图
抽象 +
不连通图 -
+
抽象
-
连通图
①
１
不含自环
②
允许孤立节点存在
2）子图
如果图G1中的每个节点和每条支路都是G图中的一部分， 则称G1为G 的子图(Subgraph)。
路径：从图G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达 另一节点所经过的支路构成路经。
3） 连通图 图G的任意两节点间至少有 一条路经时称G为连通图。
-
无
抽象
向
L
图
uS
R2 C
有 向
R1
抽象
图
(1)图的基本概念(名词和定义)
连通图
1） 图 G={支路，节点} 图
连通图
不连通图
如果图G中的任何两个节点之间都至少存在一 条路径，则G称为连通图(Connected Graph)，否则 称为非连通图。
铰链图
由电路中的多口元件造成的非连通图，可以把 不连通的各部分中的任一节点(一部分只能取一个 节点)之间假设有一条短路线相连。把这些假设短 路线连接的节点合并成一个节点，这样所得的图称 为铰链图(Hinged Graph)。
•任意去掉一行剩下的线性无关，去掉的节就做参考点节。称为 降阶关联矩阵。简称关联矩阵，记为A，（AI=0 对应独立的n-1 个KCL方程），A的秩为（N-1）Rank（Aa）=Rank（A）=n-1
用矩阵形式描述节点和支路的关联性质
关联矩阵
aij = 1
aij
aij= -1
aij =0
Aa={aij}n b
基本割集 {1，5，3，6} {2，3，6} {3，4，5}
•基本回路和基本割集关系
对同一个树
1）由某个树支bt (b4)确定的基本割集应包含那些连 支，每个这种连支构成的单连支回路中包含该树 支bt (b4) 。
②
基本回路
基本割集
1
2
①5
③
43 ④6
{1，2，3，4} {1，4，5} {1，2，6}
§1-8 网络图论的基本知识
1 网络(电路)的图（线图Graph）
主要复习:节点、支路、路径、回路、树、割集 （P43-P47）
众所周知，电路（网络）的约束分成两类，一为 元件约束，一为结构约束。
结构约束是电路的连接结构，对电网络中的电压和电 流的制约关系（KCL，KVL）,它与元件的性质无关。
既如此，讨论这部分关系时，就没有必要把元件画出。
(1)关联矩阵A
• 节点支路关联矩阵Aa：全阶点关联矩阵（增广关联矩阵） 行：节；列：支，流出为正，流入为正，无关为零。
因此就用抽象的点来代替原来的节点。用线段来代 替原来的支路，而得到的一个由节点和支路组成的 图，称为电路的图。
图(Graph) 图是拓扑（Topological）图的简称 是节点和支路的一个集合
:: 未赋以方向的图称为无向图。 只有部分支路赋以方向的图称为混合图。 所有支路都赋以方向的图称为有向图。图中的
4）有向图
(2)路径（简称路）：从图的某一个节点出发，沿着一些支路 连续移动到达另一个节点，这样的一系列支路称为图的 一条路径。一条支路本身也是一条路径。一般出发的节 点称为始节点，到达的节点称为终节点。支路和节点只 过一次。
(3) 回路： 回路L是连通图G的一个子图。 具有下述性质
1)连通； 2)每个节点关联支路数恰好为2。
5
（4） 割集
• 与广义节点（闭合面）的概念相关联。是被闭合面所切 割的支路集合。是把一个连通图恰好分成两部分的最少 支路集合。因此与节点有关的关系对割集也成立。
割集Q是连通图G中一个支路的集合，具有下述性质：
1) 把Q 中全部支路移去，将图恰好分成两个分离部分；
2)保留Q 中的一条支路，其于都移去， G还是连通的。
节点数 支路数 有向支路 j 背离 i 节点 有向支路 j 指向 i 节点 i节点与 j 支路无关
②
1
2
①5
③
2
1
5
①
43
4
④
6
6
Q1: { 2 , 5 , 4 , 6 }
②
③
3
④
②
②
1
2
①5
③
1
2
①5
③
43 ④6
43 ④6
Q2: { 2 , 3 , 6 }
Q3: { 1 , 5 , 4}
•单树支割集（基本割集）
②②Βιβλιοθήκη 12①5③
43 ④6
Q1: { 2 , 3 , 6 }
1
2
①5
③
43 ④6
Q2: { 3 , 5 , 4}
对于一个选定的树
树支(Tree Branch or Twig) ：属于树的支路 连支(Chord or Link) ：属于G而不属于T的支路
树支数 bt= n-1
连支数 bl=b-(n-1) 单连支回路（基本回路）
4
1 3 56
2
树支数 4 连支数 3
7 单连支回路 单连支回路
独立回路 独立回路
4 1
{1，5，3，6} {2，3，6} {3，4，5}
2） 由某个连支b3确定的单连支回路应包含那些树支，每个
这种树支所构成的基本割集中含有b3。
②
基本回路
基本割集
1
2
①5
③
43 ④6
{1，2，3，4} {1，4，5} {1，2，6}
{1，5，3，6} {2，3，6} {3，4，5}
§ 1-9 图的矩阵表示及其性质
123 75
6 84
23 5 回路
12 5
78 9 不是回路
(4) 树 (Tree)
树T是连通图G的一个子图，具有下述性质：
1)连通； 2)包含G的所有节点； 3)不包含回路。
•余树或补树：G中对应树T的余 子图称为余树或补树(Cotree).
4
13
2
5
6
4
13
2
5
6
4
13
2
5
6
16个 树不唯一
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q4: { 1 , 5 , 2 }
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q3: { 1 , 5 ,3 , 6 }
单树支割集 单树支割集
1
独立割集 独立割集
3
2
4
{1，2，3，4} 割集
1
2
3
4
{1，2，3，4} 割集
三个分离部分
4 保留4支路，图不连通的。
②
1
2
①5
③
43 ④6
基本回路 {1，2，3，4} {1，4，5} {1，2，6}
方向表示原电路中支路电压和电流关联参考方向
::图并不反映支路之间的耦合关系。
•元件的图
1
i1
i2 2
1
2
3
3
二端元件的图
i1 ＋ u1 －
三端元件的图
i2 ＋
u2 －
1
2
双口元件的图
•网络的图
网络拓扑 连接性质
i1 i2 i3
i1 i2 i3
i = 0
抽象
i1 i2 i3
+
抽象
支路 电路图
抽象图
抽象 +
不连通图 -
+
抽象
-
连通图
①
１
不含自环
②
允许孤立节点存在
2）子图
如果图G1中的每个节点和每条支路都是G图中的一部分， 则称G1为G 的子图(Subgraph)。
路径：从图G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达 另一节点所经过的支路构成路经。
3） 连通图 图G的任意两节点间至少有 一条路经时称G为连通图。
-
无
抽象
向
L
图
uS
R2 C
有 向
R1
抽象
图
(1)图的基本概念(名词和定义)
连通图
1） 图 G={支路，节点} 图
连通图
不连通图
如果图G中的任何两个节点之间都至少存在一 条路径，则G称为连通图(Connected Graph)，否则 称为非连通图。
铰链图
由电路中的多口元件造成的非连通图，可以把 不连通的各部分中的任一节点(一部分只能取一个 节点)之间假设有一条短路线相连。把这些假设短 路线连接的节点合并成一个节点，这样所得的图称 为铰链图(Hinged Graph)。
•任意去掉一行剩下的线性无关，去掉的节就做参考点节。称为 降阶关联矩阵。简称关联矩阵，记为A，（AI=0 对应独立的n-1 个KCL方程），A的秩为（N-1）Rank（Aa）=Rank（A）=n-1
用矩阵形式描述节点和支路的关联性质
关联矩阵
aij = 1
aij
aij= -1
aij =0
Aa={aij}n b
基本割集 {1，5，3，6} {2，3，6} {3，4，5}
•基本回路和基本割集关系
对同一个树
1）由某个树支bt (b4)确定的基本割集应包含那些连 支，每个这种连支构成的单连支回路中包含该树 支bt (b4) 。
②
基本回路
基本割集
1
2
①5
③
43 ④6
{1，2，3，4} {1，4，5} {1，2，6}
§1-8 网络图论的基本知识
1 网络(电路)的图（线图Graph）
主要复习:节点、支路、路径、回路、树、割集 （P43-P47）
众所周知，电路（网络）的约束分成两类，一为 元件约束，一为结构约束。
结构约束是电路的连接结构，对电网络中的电压和电 流的制约关系（KCL，KVL）,它与元件的性质无关。
既如此，讨论这部分关系时，就没有必要把元件画出。