第二章机械优化设计
[工学]机械优化设计孙靖民主编课件
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当 X
(0)
(x1 ) (x2 ) 0时，
2 2
如果上式极限存在，则称这个极限值为目标 函数Ｆ(Ｘ)在Ｘº 点沿S方向的方向导数。
§2.1
目标函数的性态分析
记作
F ( X S
(0)
)
lim (0)
X
F (x
( 0) 1
x1 , x
( 0) 2
x 2 ) F ( x , x )
x
1 2 3 4
1
§2.1
目标函数的性态分析
非圆形的等值面（等值线）是 实际问题中常见的。可以用地形图 中的等高线来比喻。等值线的中心 一般是目标函数的极值，等值线越
密，该处的函数变化率越大。 等值线（面）的分布律表示了
目标函数的变化情况。 对于有中心的曲线族，求目标
中心
函数的极值就是寻找等值线族的共
§2.1
目标函数的性态分析
二、函数的方向导数
等值面或等值线只是从几何方面定性地表达了目标函 数的变化规律。这是不够的，必须对目标函数的性态作定 量的分析，以便进一步探明目标函数沿某个指定方向的函 数值的变化率是多少，沿哪个方向变化率最大。（现代设 计方法的发展趋势之一，就是由定量取代定性。）为此， 需要引入方向导数和梯度的概念。
而对于n维函数，可以以此类推出：
n F ( X ( 0) ) F ( X ( 0) ) . cos i S xi i 1
§2.1
目标函数的性态分析
例1：优化钻杆问题
F(X ) x x
2 1
2 2
设方向S
1
， S 2分别为
0 0 40 60 1 1 S1 , S 2 0 0 50 30 2 2
《机械优化设计》-课程教学大纲
《机械优化设计》-课程教学大纲第一篇：《机械优化设计》-课程教学大纲《机械优化设计》－课程教学大纲修订—、课程名称机械优化设计Mechanical Optimize Design二、学分、学时2学分，32学时三、预修课程高等数学、理论力学、数值分析、机械学、计算机科学等。
四、适用学科领域机械设计及理论、森林工程、交通工程和控制理论与控制工程等。
五、课程主要内容、重点难点及学时分配（一）教学基本要求：通过实用机械优化设计的教学要使专业学生了解优化设计的基本思想，优化设计在机械中的作用及其发展概况。
初步掌握建立数学模型的方法，熟练掌握优化方法。
并具备一定的将机械工程问题转化为最优化问题并求解的应用能力。
（二）培养能力与素质：本门课程的教学目的和任务是：通过实用机械优化设计的教学使学生掌握问题转化成最优化问题的方法。
并且利用最优化的方法编制计算机程序，用计算机自动寻找最佳的设计方案。
机械优化设计是一种现代设计方法。
在有条件的情况下，应在课余时间指导学生上机操作，提高学生独立工作的能力，掌握实例用于解决工程实际问题。
（三）主要内容和重点、难点本门课程的主要内容包括：机械优化设计的基本术语和数学模型，优化设计的基本概念和理论；无约束最优化方法，约束优化设计的直接法，约束优化设计人间接解法。
第一章机械优化设计的基本术语和数学模型通过列举一些实际的优化设计问题，对机械优化设计的数学模型及用到的基本述评作一简要叙述。
对主要名词术语进行定义和作必要的解释。
使学生了解模型的形式和分类初步掌握数学模型建立的方法，了解设计的一般过程用其几何解释。
1．1几个机械优化设计问题的示例 1．2机械优化设计的基本术语1．3优化设计的数学模型及其分类 1．4优化设计方法1．5优化设计的一般过程及其几何解释第二章优化设计的某些概念和理论在讲述机械优化设计方法之前,首先讲述目标函数、约束函数的基本性质。
目标函数达到约束最控制的条件及迭代法求解的一般原理和收敛条件等。
机械优化设计
例2：用一块边长3m的正方形薄板，在四角各裁去 一个大小相同的方块，做成一个无盖的箱子。 如何裁剪可使做成的箱子具有最大的容积？
x 3
小结
建立优化设计数学模型步骤：
最优解 X*, f(X*)
例3：已知 P=22680N, l=254cm, E=7.04×104MPa, ρ =2.768T/m3, [σ]=140MPa, 均径D=(D1+D2)/2 不大于8.9cm, δ不小于0.1cm。如何设计D与δ， 才能使立柱质量最小。试建立优化数学模型。
§2-3优化设计几何解释
例：
a11 a A 21 an1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
x1xn 2 f X k x2xn
实对称阵
H X
k
2 f X
k
2 f X
2 xn
k
xn x2
本次课重点
• 数学模型的一般表达式 • 等值线族的性质
• 梯度定义、表达式及其性质
• 海赛矩阵表达式及其性质
v=1,2,…,p<n
2）从性质上分：
• 边界约束：直接限定设计变量取值范围。
•
性能约束：由设计的性能要求推出的约束条件。
3. 可行域
定义：满足所有约束条件的设计点的集合。
g u ( X ) 0, u 1,2,, m • 表示： D X hv( X ) 0, v 1,2,, p n
机械优化设计 优化设计的理论与数学基础
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三、 二次型函数
机械优化设计
是指含有n个自变量的二次齐次函数
F ( X ) a11 x12 a12 x1 x2 ... a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x2 2 ... a2 n x2 xn ... a( n1)1 xn1 x1 a( n1)2 xn1 x2 ...a( n1)( n1) xn12 a( n1) n xn1 xn an1 xn x1 an 2 xn x2 ... ann xn 2
10
... ...
(4)
...
机械优化设计
2 2 2 x x x 例：求目标函数F（X） 1 2 3 2 x1 x2 2 x2 x3 3x3
的梯度和Hesse矩阵。 解：因为 F X 2 x1 2 x2
x1 F X
F X 2 x2 2 x1 2 x3 x2
机械优化设计
1.二元函数的Taylor 展开式（取到前三项）
F F (k ) ) ( x1 x1 ) ( x2 x2( k ) ) x1 x2 (1)
2 2 1 2 F 2 F F (k ) 2 (k ) (k ) [ 2 ( x1 x1 ) ( x1 x1 )( x2 x2 ) 2 ( x2 x2( k ) )2 ] Rn 2! x1 x1x2 x2
T
根据线性代数 1)对于X 0, 恒有F ( X ) 0, 则A为正定矩阵 ; 对于X 0, 恒有F ( X ) 0,则A为半正定矩阵 ; 对于X 0, 恒有F ( X ) 0,则A为负定矩阵 ; 2)若A为正定 ,则F ( X )称为正定二次型 .
16
02机械优化设计第二章(哈工大—孙靖民)PPT优秀课件
参见教材例题P30
16
*
2 f
G(
x0
)
x12 2 f
x2x1
2 f
x1x2
2 f
x22
海赛矩阵是由函数 f (x1,x2) 在点 x 0 处的二阶偏
导数组成的方阵。由于函数的二次连续性，有：
2 f 2 f x2x1 x1x2
所以 G(x0 ) 矩阵为对阵方阵。
凡满足上式的点称为函数的驻点
27
*
如f y'下图0 所是示个的驻二点元，函但数它，不在是M极0值点点虽。有
f
' x
0
和
28
*
定理2：若二元可微函数 f (x1,x2)在 x0 x10,x20 的
某个邻域取得极小值的充分条件是要求在该点 2 ) f(x 1,0 x 2)0 0
11212223242526221方向导数1020201020fxxx10201020102010120fxxx方向导数21多元函数的方向导数和梯度二维空间中的方向偏导数与方向导数的关系44三元函数点处沿s方向的方向导数302010coscoscoscoscoscoscos552二元函数的梯度coscoscoscoscos66当梯度方向和当梯度方向和dd方向重合时方向导数值方向重合时方向导数值最大即梯度方向是函数值变化最快方向最大即梯度方向是函数值变化最快方向而梯度的模就是函数值变化率的最大值
依次类推，即可得到n元函
数在点x0处沿s方向的方向导数
f d
x0
f x1
cos 1
x0
f x2
cos 2
x0
.......
f xn
x0
机械优化设计第二章
第二章 优化设计的数学基础
第二节 多元函数的泰勒展开
二次n维函数用向量和矩阵的表示方法：
若f ( x)是n维函数，则可按下式化为向量及矩阵形式： f ( x) f ( x1 , x2 , , xn ) aij xi x j bk xk c
i 1 j 1 k 1 n n n
第二章 优化设计的数学基础
第一节 多元函数的方向导数和梯度
一个多元函数可用偏导数的概念来研究函数沿各坐标方向 的变化率。 二元函数的偏导数： 一个二元函数f ( x1 , x2 )在点x0 ( x10 , x20 )处的偏导数是
f x1 f x2 f x10 x1 , x20 f x10 , x20 lim x1 0 x1 f x10 , x20 x2 f x10 , x20 lim x2 0 x2
向量d1的方向为：1 2 向量d 2的方向为：1
4
，
3
， 2
6
第二章 优化设计的数学基础
第一节 多元函数的方向导数和梯度
f T x f f 梯度： 二元函数f ( x1 , x2 )在点x0处的梯度是f ( x 0 ) 1 , f x1 x2 x0 x 2 x
d 0
偏导数与方向导数之间的数量关系：
f d lim
x0
f x10 x1 , x20 x2 f x10 , x20 d
d 0
lim lim f x1
d 0
f x10 x1 , x20 x2 f ( x10 x1 , x20 ) x2 x2 cos 1
哈工大机械优化设计方案
哈工大机械优化设计方案第一章引言1.1优化设计的背景在人类活动中，要办好一件事（指规划、设计等），都期望得到最满意、最好的结果或效果。
为了实现这种期望，必须有好的预测和决策方法。
方法对头，事半功倍，反之则事倍功半。
优化方法就是各类决策方法中普遍采用的一种方法。
历史上最早记载下来的最优化问题可追溯到古希腊的欧几里得（Euclid，公元前300年左右），他指出：在周长相同的一切矩形中，以正方形的面积为最大。
十七、十八世纪微积分的建立给出了求函数极值的一些准则，对最优化的研究提供了某些理论基础。
然而，在以后的两个世纪中，最优化技术的进展缓慢，主要考虑了有约束条件的最优化问题，发展了一套变分方法。
六十年代以来，最优化技术进入了蓬勃发展的时期，主要是近代科学技术和生产的迅速发展，提出了许多用经典最优化技术无法解决的最优化问题。
为了取得重大的解决与军事效果，又必将解决这些问题，这种客观需要极推动了最优化的研究与应用。
另一方面，近代科学，特别是数学、力学、技术和计算机科学的发展，以及专业理论、数学规划和计算机的不断发展，为最优化技术提供了有效手段。
现在，最优化技术这门较新的科学分支目前已深入到各个生产与科学领域，例如：化学工程、机械工程、建筑工程、运输工程、生产控制、经济规划和经济管理等，并取得了重大的经济效益与社会效益。
1.2机械优化设计的特点传统设计者采用的是经验类比的设计方法。
其设计过程可概括为“设计—分析—再设计”的过程，即首先根据设计任务及要求进行调查，研究和搜集有关资料，参照相同或类比现有的、已完成的较为成熟的设计方案，凭借设计者的经验，辅以必要的分析及计算，确定一个合适的设计方案，并通过估算，初步确定有关参数；然后对初定方案进行必要的分析及校核计算；如果某些设计要求得不到满足，则可进行设计方案的修改，并再一次进行分析及较和计算，如此反复，直到获得满意的设计方案为止。
这个设计过程是人工试凑与类比分析的过程，不仅需要花费较多的设计时间，增长设计周期，而且只限于在少数几个候选方案中进行比较。
第二章-机械优化设计
约束条件
gu ( X ) 0
hv ( X ) 0
二维问题的可行域
可行点（内点）：可行域内的点。 内点所对应的设计方案都是可行方案。 非可行点（外点）：可行域外的点。 外点所对应的设计方案都是不可行方 案，不能用。 边界设计点（极限设计点）：处于 某一不等式约束边界上（即不等式约束 条件的极值条件gj(X)=0）的设计点。 边界设计点属可行设计点，它是一 个为该项约束所允许的极限设计方案。
约束条件： g1 X 4 x1 0
g 2 X x2 0 g 3 X x3 0
x2
独立变量
x1
（等式约束条件） h X 5 x1 x 2 x3 0
二、优化设计数学模型
h X 5 x1 x2 x3 0
x3 5 x1 x 2
等值线
二维目标函数等值线
目标函数 f ( X ) f ( x1 , x2 , xn )
在设计空间内，目标函数值相等点的连线：
■ 对于二维优化问题，构成了等值线；
对于三维优化问题，构成了等值面； ■ 对于四维以上的优化问题，则构成了等 值超曲面。
■
等值线
二维目标函数等值线
约束条件
gu ( X ) 0
目标函数 f ( X ) f ( x1 , x2 , xn )
目标函数是用来评价设计方案优劣的标准，又称评价函数。它是设计
变量的函数。 目标函数可以根据工程问题的要求从不同角度来建立。如：机械零 件设计中的重量、体积、效率、可靠性、几何尺寸、承载能力；机械设 计中的运动误差、功率、应力、动力特性；产品设计中的成本、寿命等。 目标函数是一个标量函数。目标函数值的大小，是评价设计质量优 劣的标准。在优化设计中，一般取最优值为目标函数的最小值(对于某些 追求目标函数极大值的问题，可把它转化为求其负值极小的问题)。该最 优值即为最优点X*，也即为最优设计方案。