机械优化设计课后习题答案学习资料
机械优化设计习题参考答案--孙靖民-第四版第6章习题解答-1教学内容
第六章习题解答1．已知约束优化问题：2)(0)()1()2()(min 21222112221≤-+=≤-=⋅-+-=x x x g x x x g ts x x x f试从第k 次的迭代点[]T k x21)(-= 出发，沿由（-1 1）区间的随机数0.562和-0.254所确定的方向进行搜索，完成一次迭代，获取一个新的迭代点)1(+k x 。
并作图画出目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线。
[解] 1）确定本次迭代的随机方向：[]T TRS 0.4120.9110.2540.5620.2540.2540.5620.5622222-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++=2) 用公式：R k k S x xα+=+)()1( 计算新的迭代点。
步长α取为搜索到约束边界上的最大步长。
到第二个约束边界上的步长可取为2，则：176.1)412.0(22822.0911.0212212111=-⨯+=+==⨯+-=+=++R kk R k k S x x S x xαα⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+176.1822.01k X即： 该约束优化问题的目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线如下图所示。
2．已知约束优化问题：)(0)(025)(124)(m in 231222211221≤-=≤-=≤-+=⋅--=x x g x x g x x x g ts x x x f试以[][][]T T T x x x 33,14,12030201===为复合形的初始顶点，用复合形法进行两次迭代计算。
[解] 1）计算初始复合形顶点的目标函数值，并判断各顶点是否为可行点：[][][]935120101-=⇒==⇒=-=⇒=030302023314f x f x f x 经判断，各顶点均为可行点，其中，为最坏点。
为最好点，0203x x2）计算去掉最坏点 02x 后的复合形的中心点：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡==∑≠=3325.221132103312i i i c x Lx3）计算反射点1R x （取反射系数3.1=α）20.693.30.551422.51.322.5)(1102001-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-+=R R c c R f x x x x x 值为可行点，其目标函数经判断α 4）去掉最坏点1R0301x x x x 和，，由02构成新的复合形，在新的复合形中 为最坏点为最好点，011R x x ，进行新的一轮迭代。
《机械优化设计》复习题答案
《机械优化设计》复习题解答一、填空题1、用最速下降法求f(X)=100(x 2- x 12) 2+(1- x 1) 2的最优解时，设X （0）＝[-0.5,0.5]T ，第一步迭代的搜索方向为 [-47,-50]T 。
2、机械优化设计采用数学规划法，其核心一是寻找搜索方向，二是计算最优步长。
3、当优化问题是凸规划的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。
4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成 高－低－高 趋势。
5、包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。
6、函数C X B HX X T T++21的梯度为B 。
7、设G 为n×n 对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量d 0，d 1，满足(d 0)T Gd 1=0，则d 0、d 1之间存在共轭关系。
8、 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 是优化设计问题数学模型的基本要素。
9、对于无约束二元函数),(21x x f ，若在),(x 20100x x 点处取得极小值，其必要条件是，充分条件是(正定 。
10、 K-T 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。
11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点，初始搜索区间]10,10[],[-=b a ，经第一次区间消去后得到的新区间为 [-2.36 10] 。
12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量、 目标函数 、 约束条件。
13、牛顿法的搜索方向d k= ，其计算量大 ，且要求初始点在极小点 附近 位置。
14、将函数f(X)=x 12+x 22-x 1x 2-10x 1-4x 2+60表示成C X B HX X T T++21的形式 。
15、存在矩阵H ，向量 d 1，向量 d 2，当满足d 1T Hd 2=0，向量 d 1和向量 d 2是关于H 共轭。
机械优化设计题目答案
1—1.简述优化设计问题数学模型的表达形式.答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。
在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式.求设计变量向量[]12Tn xx x x =使()min f x →且满足约束条件()0(1,2,)k h x k l == ()0(1,2,)j g x j m ≤=利用可行域概念,可将数学模型的表达进一步简练.设同时满足()0(1,2,)j g x j m ≤=和()0(1,2,)k h x k l ==的设计点集合为R ，即R 为优化问题的可行域，则优化问题的数学模型可简练地写成求x 使 min ()x Rf x ∈ 符号“∈"表示“从属于”。
在实际优化问题中，对目标函数一般有两种要求形式：目标函数极小化()min f x →或目标函数极大化()max f x →。
由于求()f x 的极大化与求()f x -的极小化等价，所以今后优化问题的数学表达一律采用目标函数极小化形式。
1—2.简述优化设计问题的基本解法。
（不要抄书，要归纳） 答：求解优化问题可以用解析解法，也可以用数值的近似解法.解析解法就是把所研究的对象用数学方程（数学模型）描述出来，然后再用数学解析方法(如微分、变分方法等）求出有化解.但是，在很多情况下,优化设计的数学描述比较复杂，因而不便于甚至不可能用解析方法求解;另外，有时对象本身的机理无法用数学方程描述,而只能通过大量试验数据用插值或拟合方法构造一个近似函数式，再来求其优化解，并通过试验来验证；或直接以数学原理为指导,从任取一点出发通过少量试验(探索性的计算）,并根据试验计算结果的比较，逐步改进而求得优化解。
这种方法是属于近似的、迭代性质的数值解法。
数值解法不仅可用于求复杂函数的优化解,也可以用于处理没有数学解析表达式的优化问题.因此，它是实际问题中常用的方法,很受重视。
其中具体方法较多,并且目前还在发展。
《机械优化设计》复习题答案
《机械优化设计》复习题解答、填空题1、 用最速下降法求 f(X)=100(x 2- X 12) 2+(1- x i ) 2 的最优解时，设 X (°)=[-0.5,0.5]T ，第一 步迭代的搜索方向为 [-47,-50]T 。
2、 机械优化设计采用数学规划法，其核心一是 寻找搜索方向，二是计算最优步长。
3、 当优化问题是凸规划的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。
4、 应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和 终点，它们的函数值形成—高一低一高 _________ 趋势。
5、 包含n 个设计变量的优化问题，称为 ___ n _____ 维优化问题。
16、 函数 —X T HX B T X C 的梯度为B 。
2 _7、 设G 为n>n 对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量d 0，d 3 4，满足(d 0)T Gd 1=0, 则d 0、d 1之间存在共轭关系。
& ___ 设计变量 ____________ 、 __ 目标函数 ___ 、 __ 约束条件 是优化设计问题数学 模型的基本要素。
9、 对于无约束二元函数 f (X 1,X 2)，若在X 0(X 10,X 20)点处取得极小值，其必要条件是15、 存在矩阵H ，向量d 1，向量d 2，当满足d 1T Hd 2=0，向量d 1和向量d 2是关于H 共 轭。
16、 采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因 子r 数列，具有单调递增特点。
17、采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即求 最优步长。
二、选择题13、 牛顿法的搜索方向d k =—H k g k ，其计算量大且要求初始点在极小点 附近—位，充分条件是 • (—一一L 正定 ______ 。
10、 _ K-T ____________ 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。
机械优化设计题目答案
解；由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向， 这里用单位向量p 表示，函数变化率最大和数值时梯度的模|(x0)。
求f (x1, x2)在x0点处的梯度方向和数值，计算如下：1-1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。
答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。
在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就 可以表示成一般数学形式。
求设计变量向量x x 2 L x n J 使f (X )T min 且满足约束条件 h k (x) =0 (k =1,2,L I) g j (x)乞0 (j =1,2,L m)利用可行域概念，可将数学模型的表达进一步简练。
设同时满足g j (x)乞0 (j =1,2丄 m )和 n(x)=0 (k=1,2,L I)的设计点集合为R ，即R 为优化问题的可行域，则优化问题的数学模型可简练地写成 求x 使 min f(X) 符号“ •二”表示“从属于”。
x W R 在实际优化问题中，对目标函数一般有两种要求形式：目标函数极小化f(x)「. min 或目标函数极大化 f(x)—： max 。
由于求f(x)的极大化与求「f(x)的极小化等价，所以今后优化问题的数学表达一律采用目标函数极小 化形式。
1-2.简述优化设计问题的基本解法。
(不要抄书，要归纳) 答：求解优化问题可以用解析解法，也可以用数值的近似解法。
解析解法就是把所研究的对象用数学方程(数学模型)描述出来，然后再用数学解析方法(如微分、变分方法等)求出有 化解。
但是，在很多情况下，优化设计的数学描述比较复杂，因而不便于甚至不可能用解析方法求解；另外，有时对象本身的机 理无法用数学方程描述，而只能通过大量试验数据用插值或拟合方法构造一个近似函数式，再来求其优化解，并通过试验来验 证；或直接以数学原理为指导，从任取一点出发通过少量试验(探索性的计算) ，并根据试验计算结果的比较，逐步改进而求 得优化解。
(完整版)机械优化设计习题参考答案孙靖民第四版机械优化设计
2.黄金分割法（0.618法）
原理：提高搜索效率：1）每次只插一个值，利用一个前次的插值；2）每次的缩短率λ相同。左右对称。
程序：p52
（四）插值方法
1.抛物线法
原理：任意插3点：
算得： ； ；
要求：
设函数 用经过3点的抛物线 代替，有
解线代数方程
解得：
程序框图p57
网格法 ，缩小区间，继续搜索。
Monte Carlo方法 ， ，随机数。
比较各次得到的 得解
遗传算法(专题)
（二）区间消去法（凸函数）
1.搜索区间的确定：高—低--高（ ）则区间内有极值。
2.区间消去法原理：在区间[a, b]内插两个点a1, b1保留有极值点区间，消去多余区间。
缩短率：
（三）0.618法
可行方向—约束允许的、函数减小的方向。（图）约束边界的切线与函数等高线的切线方向形成的区域。
数学模型
用内点法或混合法，取 ，
直接方法
（一）随机方向法
1.在可行域产生一个初始点 ，因 （约束），则
--（0，1）的随机数。
2.找k个随机方向，每个方向有n个方向余弦，要产生kn个随机数 ， ， ，随机方向的单位向量为
3.取一试验步长 ，计算每个方向的最优点
4.找出可行域中的最好点 得搜索方向 。以 为起点， 为搜索方向得 。最优点必须在可行域内或边界上，为此要逐步增加步长。
得
穷举下去得递推公式
3.算例
p73
4.框图p72
5.特点
作业：1. 2.
（六）变尺度法
1.引言
坐标变换
二次函数
令 为尺度变换矩阵
《机械优化设计》复习题 答案
《机械优化设计》复习题解答一、填空题1、用最速下降法求ｆ(X ）=100(x 2－ x １2） 2＋(1- ｘ1) ２的最优解时,设X （0)＝[-０.5,0．5］Ｔ,第一步迭代的搜索方向为 [-47,-5０]Ｔ。
2、机械优化设计采用数学规划法，其核心一是寻找搜索方向，二是计算最优步长。
３、当优化问题是凸规划的情况下,任何局部最优解就是全域最优解。
4、应用进退法来确定搜索区间时,最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点,它们的函数值形成 高-低－高 趋势。
5、包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。
６、函数C X B HX X T T++21的梯度为Ｂ。
7、设G 为ｎ×n 对称正定矩阵,若n 维空间中有两个非零向量ｄ0,d 1,满足（ｄ０)T G ｄ1=０，则d 0、ｄ1之间存在共轭关系。
8、 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 是优化设计问题数学模型的基本要素。
9、对于无约束二元函数),(21x x f ,若在),(x 20100x x 点处取得极小值,其必要条件是,充分条件是（正定 。
10、 K －T 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。
11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点，初始搜索区间]10,10[],[-=b a ,经第一次区间消去后得到的新区间为 [－２.36 １0] 。
1２、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量、 目标函数 、 约束条件。
1３、牛顿法的搜索方向d k= ,其计算量大 ,且要求初始点在极小点 附近位置。
1４、将函数f(X ）=ｘ１２＋ｘ22-ｘ1x 2-10x 1-4x 2+60表示成C X B HX X T T++21的形式 。
15、存在矩阵Ｈ,向量 d 1,向量 d 2,当满足ｄ1T Hd 2＝０，向量 d １和向量 ｄ２是关于Ｈ共轭。
１６、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子r 数列，具有单调递增特点。
机械优化设计课后习题答案
2、 3、 4 时的四条等值线，并在图上 (1) 以一定的比例尺画出当目标函数依次为 f ( X) 1、
画出可行区的范围。 (2) 找出图上的无约束最优解 X1 和对应的函数值 f ( X1 ) ， 约束最优解 X 2 和 f ( X2 ) ； (3) 若加入一个等式约束条件：
h(X) x1 x2 0
1-3 某厂生产一个容积为 8000 cm 的平底、无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗 原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型。 解：根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为 X = 表面积为目标函数，即： minf(X) =
3
x1 底面半径r , h x2 高
求此时的最优解 X3 ， f ( X3 ) 。
解：下图为目标函数与约束函数（条件） 设计平面 X1OX2 。其中的同心圆是目标 函数依次为 f(X)=1、2、3、4 时的四条等 值线；阴影的所围的部分为可行域。 由于目标函数的等值线为一同心圆，所以 无约束最优解为该圆圆心即： X1*＝[3，4]T 函数值 f(X1*)= 0 。
3·
g1(X) =1800-8*25x1+8*15x2≤0 g2(X) =x1 -8≤0 g3(X) =x2-10≤0 g4(X) = -x1 ≤0 g5(X) = -x2 ≤0
1-2
已知一拉伸弹簧受拉力 F ，剪切弹性模量 G ，材料重度 r ，许用剪切应力 [ ] ，
许用最大变形量 [ ] 。欲选择一组设计变量 X [ x1
6
a 各阶主子式： a11 2 0，11 a 21
a12 a 22
2 1 0 1 2
H(X)是正定的， 所以， f (X) 为凸函数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
机械优化设计课后习题答案第一章习题答案1-1 某厂每日（8h 制）产量不低于1800件。
计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为25件／h ，正确率为98％，计时工资为4元／h ；二级检验员标准为：速度为15件／h ，正确率为95％，计时工资3元／h 。
检验员每错检一件，工厂损失2元。
现有可供聘请检验人数为：一级8人和二级10人。
为使总检验费用最省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？ 解：（1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡二级检验员一级检验员21x x ；（2）建立数学模型的目标函数；取检验费用为目标函数，即：f (X ) = 8*4*x 1+ 8*3*x 2 + 2（8*25*0.02x 1 +8*15*0.05x 2 ） =40x 1+ 36x 2（3）本问题的最优化设计数学模型：min f (X ) = 40x 1+ 36x 2 X ∈R 3·s.t. g 1(X ) =1800-8*25x 1+8*15x 2≤0g 2(X ) =x 1 -8≤0 g 3(X ) =x 2-10≤0g 4(X ) = -x 1 ≤0 g 5(X ) = -x 2 ≤01-2 已知一拉伸弹簧受拉力F ，剪切弹性模量G ，材料重度r ，许用剪切应力[]τ，许用最大变形量[]λ。
欲选择一组设计变量T T n D dx x x ][][2321==X 使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数3n ≥，簧丝直径0.5d ≥，弹簧中径21050D ≤≤。
试建立该优化问题的数学模型。
注：弹簧的应力与变形计算公式如下322234881,1,(2n s s F D FD D k k c d c d Gd τλπ==+==旋绕比），解： （1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n D d x x x 2321； （2）建立数学模型的目标函数；取弹簧重量为目标函数，即：f (X ) =322124x x rx π（3）本问题的最优化设计数学模型：min f (X ) =322124x x rx π X ∈R 3·s.t. g 1(X ) =0.5-x 1 ≤0g 2(X ) =10-x 2 ≤0 g 3(X ) =x 2-50 ≤0 g 4(X ) =3-x 3 ≤0 g 5(X ) =[]τπ-+312218)21(x Fx x x ≤0 g 6(X ) =[]λ-413328Gx x Fx ≤01-3 某厂生产一个容积为8000 cm 3的平底、无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型。
解：根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡h r x x21高底面半径 , 表面积为目标函数，即：m i n f (X ) = πx 12 + 2π x 1 x 2考虑题示的约束条件之后，该优化问题数学模型为：m i n f (X ) = πx 12 + 2π x 1 x 2X =[x 1,x 2]T∈R 2s.t . g 1(X ) = -x 1 ≤0g 2(X ) = -x 2 ≤0h 1(X ) = 8000 - πx 12 x 2 = 01-4 要建造一个容积为1500 m 3的长方形仓库，已知每平方米墙壁、屋顶和地面的造价分别为4元、6元和12元。
基于美学的考虑，其宽度应为高度的两倍。
现欲使其造价最低，试导出相应优化问题的数学模型。
解：（1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡高宽长321x x x ； （2）建立数学模型的目标函数；取总价格为目标函数，即：f (X ) = 8(x 1 x 3 + x 2 x 3) + 6 x 1 x 2 + 12 x 1 x 2（3）建立数学模型的约束函数；1）仓库的容积为1500 m 3。
即：1500-x 1 x 2 x 3 =02）仓库宽度为高度的两倍。
即：x 2 -2 x 3 = 03）各变量取值应大于0，即：x 1 > 0, x 2 .> 0.，则 -x 1 ≤0，-x 2 ≤0（4）本问题的最优化设计数学模型：min f (X ) = 8(x 1 x 3 + x 2 x 3) + 18 x 1 x 2 X ∈R 3·s.t. g 1(X ) = -x 1 ≤0g 2(X ) = -x 2 ≤0 g 3(X ) = -x 3 ≤0 h 1(X ) = 1500-x 1 x 2 x 3 =0 h 2(X ) = x 2 -2 x 3 = 01-5 绘出约束条件：82221≤+x x ； 82221≤+-x x ； 421≤x x 所确定的可行域 1-6 试在三维设计空间中，用向量分别表示设计变量：1[132]T =X ; 2[234]T =X ; 3[414]T =X 。
第二章习题答案2-1 请作示意图解释：(1)()()()k k k k α+=+XX S 的几何意义。
2-2 已知两向量12[1220],[2021]T T P P =-=,求该两向量之间的夹角θ。
2-3 求四维空间内两点)2,1,3,1(-和)0,5,6,2(之间的距离。
2-4 计算二元函数321121()56f x x x x =-+-X 在(0)[11]T =X 处，沿方向[12]T =-S 的方向导数(0)'()s f X 和沿该点梯度方向的方向导数(0)'()f ∇X 。
2-5 已知一约束优化设计问题的数学模型为2212121122123142min ()(3)(4)[,]()50() 2.50()0()0Tf x x x xg x x g x x g x g x =-+-==+-≤=--≤=-≤=-≤X X X X X X求：(1) 以一定的比例尺画出当目标函数依次为()1234f =X 、、、时的四条等值线，并在图上画出可行区的范围。
(2) 找出图上的无约束最优解1*X 和对应的函数值1()f *X ，约束最优解2*X 和2()f *X ； (3) 若加入一个等式约束条件：12()0h x x =-=X求此时的最优解3*X ，3()f *X 。
解：下图为目标函数与约束函数（条件）设计平面X 1OX 2 。
其中的同心圆是目标函数依次为f (X )=1、2、3、4时的四条等值线；阴影的所围的部分为可行域。
由于目标函数的等值线为一同心圆，所以无约束最优解为该圆圆心即：X 1*＝[3，4]T函数值 f (X 1*)= 0 。
而约束最优解应在由约束线g 1(X)=0，g 2(X)=0，g 3(X)=0，g 4(X)=0，组成的可行域（阴影线内侧）内寻找，即约束曲线g 1(X)=0与某一等值线的一个切点X 2*，可以联立方程：⎩⎨⎧=+-=-+01052121x x x x ，解得X 2*=[2，3] 。
函数值 f (X 2*)= (2-3)2 + (3-4)2 = 2 。
加入等式约束条件，则X 3*为可行域上为h 1(X )=0上与某一条等值线的交点，可以联立方程：⎩⎨⎧=-=-+052121x x x x ， 解得X 3*=[5/2，5/2] 。
函数值 f (X 3*)= (5/2-3)2 + (5/2-4)2 = 2.5 。
2-6 试证明在(1,1)点处函数522)(1222122141+-++-=x x x x x x f X 具有极小值。
证明：求驻点：2244)(121311-+-=∂∂x x x x x X f ，221222)(x x x X f +-=∂∂ 0)(0)(21=∂∂=∂∂x X f x X f ，由，4)(]11[**==x f x T ，极值得：驻点 2)(4)()(2412)(2221122212221212=∂∂-=∂∂∂=∂∂∂+-=∂∂x X f x x x X f x x X f x x x X f ，， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=24410)(X H 海赛矩阵 0244100102221121111>--=>=a a a aa ，各阶主子式：H (X )是正定的， 所以驻点必定是极小点。
故在(1,1)点处函数)(X f 具有极小值。
2-7 求函数221212()32210f x x x x =+--+X 的极值点，并判断其极值的性质。
解：26)(11-=∂∂x x X f ，14)(22-=∂∂x x X f 0)(0)(21=∂∂=∂∂x X f x X f ，由，24/229)(]4/13/1[**==x f x T ，极值得：极值点 4)(0)()(6)(222122212212=∂∂=∂∂∂=∂∂∂=∂∂x X f x x X f x x X f x X f ，， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4006)(X H 海赛矩阵 04006062221121111>=>=a a a aa ，各阶主子式：H (X )是正定的，所以，)(X f 为凸函数。
24/229)(]4/13/1[**==x f T ，极值得：极值点X2-8 试判断函数2212121()221f x x x x x =+-++X 的凸性。
解：124)(211+-=∂∂x x x X f ，12222)(x x x X f -=∂∂ 2)(2)(2)(5)(222122212212=∂∂-=∂∂∂-=∂∂∂=∂∂x X f x x X f x x X f x X f ，，， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2225)(X H 海赛矩阵 02225052221121111>--=>=a a a aa ，各阶主子式：H (X )是正定的， 所以，)(X f 为凸函数。
2-9 试用向量及矩阵形式表示221212()10460f x x x x =+--+X 并证明它在12{,,1,2}i x x x i =-∞<<∞=D 上是一个凸函数。
解：211210)(x x x X f -+-=∂∂，12224)(x x x X f -+-=∂∂ 2)(1)(2)(222212212=∂∂-=∂∂∂=∂∂x X f x x X f x X f ，， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2112)(X H 海赛矩阵 02112022221121111>--=>=a a a aa ，各阶主子式：H (X )是正定的， 所以，)(X f 为凸函数。
2-10 现已获得优化问题212221122221212223124152min ()412..()250()1010340()(3)(1)0()0()0f x x s tg x x g x x x x g x x g x g x =--=+-≤=+--+≤=----≤=-≤=-≤X X X X X X的一个数值解[1.000,4.900]T=X ,试判定该解是否上述问题的最优解。