《机械优化设计》习题及答案
机械优化设计试题及答案
机械优化设计试题及答案### 机械优化设计试题及答案#### 一、选择题（每题2分，共10分）1. 机械优化设计的最基本目标是什么？- A. 最小化成本- B. 最大化效率- C. 确保安全性- D. 以上都是2. 以下哪个是优化设计中常用的数学方法？- A. 线性代数- B. 微积分- C. 概率论- D. 几何学3. 在进行机械优化设计时，以下哪个因素通常不是设计变量？ - A. 材料选择- B. 尺寸参数- C. 工作温度- D. 制造工艺4. 机械优化设计中，约束条件通常包括哪些类型？- A. 应力约束- B. 位移约束- C. 速度约束- D. 所有上述5. 以下哪个软件不是用于机械优化设计的？- A. ANSYS- B. MATLAB- C. AutoCAD- D. SolidWorks#### 二、简答题（每题10分，共20分）1. 简述机械优化设计的基本步骤。
2. 解释什么是多目标优化，并举例说明其在机械设计中的应用。
#### 三、计算题（每题15分，共30分）1. 假设有一个机械臂设计问题，需要优化其长度以获得最大的工作范围。
如果机械臂的长度 \( L \) 与工作范围 \( R \) 的关系为 \( R = L \times \sin(\theta) \)，其中 \( \theta \) 是机械臂与水平面的夹角，\( 0 \leq \theta \leq 90^\circ \)，求当 \( \theta = 45^\circ \) 时，机械臂的最佳长度 \( L \)。
2. 考虑一个简单的梁结构，其长度为 \( 10 \) 米，承受均布载荷\( q = 10 \) kN/m。
若梁的弯曲刚度 \( EI \) 为 \( 1 \times10^7 \) Nm²，求梁的最大挠度 \( \delta \)。
#### 四、论述题（每题15分，共30分）1. 论述机械优化设计在现代制造业中的重要性。
(完整版)机械优化设计习题参考答案孙靖民第四版机械优化设计
2.黄金分割法（0.618法）
原理：提高搜索效率：1）每次只插一个值，利用一个前次的插值；2）每次的缩短率λ相同。左右对称。
程序：p52
（四）插值方法
1.抛物线法
原理：任意插3点：
算得： ； ；
要求：
设函数 用经过3点的抛物线 代替，有
解线代数方程
解得：
程序框图p57
网格法 ，缩小区间，继续搜索。
Monte Carlo方法 ， ，随机数。
比较各次得到的 得解
遗传算法(专题)
（二）区间消去法（凸函数）
1.搜索区间的确定：高—低--高（ ）则区间内有极值。
2.区间消去法原理：在区间[a, b]内插两个点a1, b1保留有极值点区间，消去多余区间。
缩短率：
（三）0.618法
可行方向—约束允许的、函数减小的方向。（图）约束边界的切线与函数等高线的切线方向形成的区域。
数学模型
用内点法或混合法，取 ，
直接方法
（一）随机方向法
1.在可行域产生一个初始点 ，因 （约束），则
--（0，1）的随机数。
2.找k个随机方向，每个方向有n个方向余弦，要产生kn个随机数 ， ， ，随机方向的单位向量为
3.取一试验步长 ，计算每个方向的最优点
4.找出可行域中的最好点 得搜索方向 。以 为起点， 为搜索方向得 。最优点必须在可行域内或边界上，为此要逐步增加步长。
得
穷举下去得递推公式
3.算例
p73
4.框图p72
5.特点
作业：1. 2.
（六）变尺度法
1.引言
坐标变换
二次函数
令 为尺度变换矩阵
机械优化设计试题及答案
计算题1．试用牛顿法求()221285f X x x =+的最优解，设()[]01010TX =。
初始点为()[]01010TX =，则初始点处的函数值和梯度分别为()()0120121700164200410140f X x x f X x x =+⎡⎤⎡⎤∇==⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦，沿梯度方向进行一维搜索，有()010000010200102001014010140X X f X αααα-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∇=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦0α为一维搜索最佳步长，应满足极值必要条件()()[]()()()(){}()αϕααααααααm i n 14010514010200104200108min min 200020001=-⨯+-⨯-⨯+-⨯=∇-=X f X f X f()001060000596000ϕαα'=-=， 从而算出一维搜索最佳步长 0596000.05622641060000α==则第一次迭代设计点位置和函数值01010200 1.245283010140 2.1283019X αα--⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ ()124.4528302f X =，从而完成第一次迭代。
按上面的过程依次进行下去，便可求得最优解。
2、试用黄金分割法求函数()20f ααα=+的极小点和极小值，设搜索区间[][],0.2,1a b =（迭代一次即可）解：显然此时，搜索区间[][],0.2,1a b =，首先插入两点12αα和，由式 ()1()10.61810.20.5056b b a αλ=--=--= ()2()0.20.6181.20.6944a b a αλ=+-=+⨯-=计算相应插入点的函数值()()4962.29,0626.4021==ααf f 。
因为()()12f f αα>。
所以消去区间[]1,a α，得到新的搜索区间[]1,b α， 即[][][]1,,0.5056,1b a b α==。
《机械优化设计》试卷与答案
《机械优化设计》复习题及答案一、填空题1、用最速下降法求f<X>=100<x 2- x 12> 2+<1- x 1> 2的最优解时,设X 〔0＝[-0.5,0.5]T ,第一步迭代的搜索方向为[-47;-50]。
2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向二是计算最佳步长因子。
3、当优化问题是__凸规划______的情况下,任何局部最优解就是全域最优解。
4、应用进退法来确定搜索区间时,最后得到的三点,即为搜索区间的始点、中间点和终点,它们的函数值形成高-低-高趋势。
5、包含n 个设计变量的优化问题,称为n 维优化问题。
6、函数C X B HX X T T++21的梯度为HX+B 。
7、设G 为n×n 对称正定矩阵,若n 维空间中有两个非零向量d 0,d 1,满足<d 0>T Gd 1=0,则d 0、d 1之间存在_共轭_____关系。
8、设计变量、约束条件、目标函数是优化设计问题数学模型的基本要素。
9、对于无约束二元函数),(21x x f ,若在),(x 20100x x 点处取得极小值,其必要条件是梯度为零,充分条件是海塞矩阵正定。
10、库恩-塔克条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。
11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点,初始搜索区间]10,10[],[-=b a ,经第一次区间消去后得到的新区间为[-2.36,2.36]。
12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量 、约束条件 目标函数 、 13、牛顿法的搜索方向d k =,其计算量大,且要求初始点在极小点逼近位置。
14、将函数f<X>=x 12+x 22-x 1x 2-10x 1-4x 2+60表示成C X B HX X T T++21的形式。
15、存在矩阵H,向量 d 1,向量 d 2,当满足<d1>TGd2=0,向量 d 1和向量 d 2是关于H 共轭。
机械优化设计课后习题答案
2、 3、 4 时的四条等值线，并在图上 (1) 以一定的比例尺画出当目标函数依次为 f ( X) 1、
画出可行区的范围。 (2) 找出图上的无约束最优解 X1 和对应的函数值 f ( X1 ) ， 约束最优解 X 2 和 f ( X2 ) ； (3) 若加入一个等式约束条件：
h(X) x1 x2 0
1-3 某厂生产一个容积为 8000 cm 的平底、无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗 原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型。 解：根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为 X = 表面积为目标函数，即： minf(X) =
3
x1 底面半径r , h x2 高
求此时的最优解 X3 ， f ( X3 ) 。
解：下图为目标函数与约束函数（条件） 设计平面 X1OX2 。其中的同心圆是目标 函数依次为 f(X)=1、2、3、4 时的四条等 值线；阴影的所围的部分为可行域。 由于目标函数的等值线为一同心圆，所以 无约束最优解为该圆圆心即： X1*＝[3，4]T 函数值 f(X1*)= 0 。
3·
g1(X) =1800-8*25x1+8*15x2≤0 g2(X) =x1 -8≤0 g3(X) =x2-10≤0 g4(X) = -x1 ≤0 g5(X) = -x2 ≤0
1-2
已知一拉伸弹簧受拉力 F ，剪切弹性模量 G ，材料重度 r ，许用剪切应力 [ ] ，
许用最大变形量 [ ] 。欲选择一组设计变量 X [ x1
6
a 各阶主子式： a11 2 0，11 a 21
a12 a 22
2 1 0 1 2
H(X)是正定的， 所以， f (X) 为凸函数。
《机械优化设计》试卷习题及答案
精选文档你我共享《机械优化设计》复习题及答案一、填空题、用最速降落法求22212的最优解时，设X（0）＝[-0.5,0.5]T，第一1)+(1-x)1f(X)=100(x-x步迭代的搜寻方向为[-47;-50]。
2、机械优化设计采纳数学规划法,其中心一是成立搜寻方向二是计算最正确步长因子。
3、当优化问题是__凸规划______的状况下，任何局部最优解就是全域最优解。
4、应用进退法来确立搜寻区间时，最后获取的三点，即为搜寻区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成高-低-高趋向。
5、包括n个设计变量的优化问题，称为n维优化问题。
、函数1X THX BTX C的梯度为HX+B。
627、设G为n×n对称正定矩阵，若n维空间中有两个非零向量0，d1，知足(d0T1，d)Gd=0则d0、d1之间存在_共轭_____关系。
8、设计变量、拘束条件、目标函数是优化设计问题数学模型的基本因素。
9、对于无拘束二元函数f(x1,x2)，若在x0(x10,x20)点处获得极小值，其必需条件是梯度为零，充足条件是海塞矩阵正定。
10、库恩-塔克条件能够表达为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各拘束函数梯度的非负线性组合。
11、用黄金切割法求一元函数f(x)x210x36的极小点，初始搜寻区间[a,b][10,10]，经第一次区间消去后获取的新区间为[-2.36,2.36]。
12、优化设计问题的数学模型的基本因素有设计变量、拘束条件目标函数、13、牛顿法的搜寻方向d k=，其计算量大，且要求初始点在极小点迫近位置。
14、将函数f(X)=x222-10x1-4x2+60表示成1XTHXTX C的形1+x2-x1x2B式。
15、存在矩阵H，向量d，向量d，当知足(d1)TGd2=0，向量d和向量d1212是对于H共轭。
16、采纳外点法求解拘束优化问题时，将拘束优化问题转变为外点形式时引入的处罚因子r数列，拥有由小到大趋于无量特色。
《机械优化设计》试题及答案解析
《机械优化设计》复习题及答案一、填空题1、用最速下降法求f(X)=100(X2- X12) 2+(1- x i) 2的最优解时，设X(°)=[-0.5,0.5]T，第一步迭代的搜索方向为卜47;-50] ______________ 。
2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向二是计算最佳步长因子 ________ 。
3、当优化问题是—凸规划______ 的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。
4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成高-低-高___________ 趋势。
5、包含n个设计变量的优化问题，称为__n _______ 维优化问题。
16、函数—X T HX B T X C的梯度为HX+B 。
27、设G为n>n对称正定矩阵，若n维空间中有两个非零向量d°, d1，满足(d°)T Gd—=0, 则d0、d1之间存在—共轭 ______ ■关系。
8、设计变量、约束条件______________ 、目标函数________________ 是优化设计问题数学模型的基本要素。
9、对于无约束二元函数f(X1,X2)，若在X°(X10,X20)点处取得极小值，其必要条件是_梯度为零，充分条件是海塞矩阵正定 ______________ 。
10、 ________________ 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。
11、用黄金分割法求一元函数f (xHx2 -10x 36的极小点，初始搜索区间[a,b] =[-10,10]，经第一次区间消去后得到的新区间为[-2.36236] 。
12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设_________ 、13、牛顿法的搜索方向d k= ______ ,其计算量大，且要求初始点在极小点逼近位置。
14、将函数f(X)=x 12+X22-X1X2-10X1-4X2+60表示成-X T HX - B T X C 的形2式 ________________________ 。
机械优化设计课后习题答案word版本
第一章习题答案1-1 某厂每日(8h 制)产量不低于1800件。
计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为25件/h,正确率为98%，计时工资为4元/ h;二级检验员标准为：速度为15件/h,正确率为95%，计时工资 3 元/h。
检验员每错检一件，工厂损失2元。
现有可供聘请检验人数为：一级8人和二级10人。
为使总检验费用最省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？解：(1 )确定设计变量；X-j 一级检验员根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = 1;x2二级检验员(2)建立数学模型的目标函数；取检验费用为目标函数，即：f(X) = 8*4* X1+ 8*3* X2 + 2 ( 8*25*0.02 X1 +8*15*0.05 X2 )=40x1+ 36x2(3)本问题的最优化设计数学模型：3 •min f (X) = 40X1+ 36X2 X€ Rs.t. g1(X) =1800-8*25 X1+8*15X2W 0g2( X) = x1 -8 < 0g3(X) = x2-10 w 0g4( X) = - X1 w 0 g5( X) = - x2w 01-2已知一拉伸弹簧受拉力F，剪切弹性模量G，材料重度r，许用剪切应力[],许用最大变形量[]。
欲选择一组设计变量X [X1 X2 X3]T [d D2 n]T使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数n 3, 簧丝直径d 0.5，弹簧中径10 D2 50。
试建立该优化问题的数学模型。
注：弹簧的应力与变形计算公式如下k s 8FD32 , k s 1 1, c D2 (旋绕比)，s d3 s 2c d解：(1)确定设计变量；x-i d 根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X= x2D2;X3 n(2)建立数学模型的目标函数；取弹簧重量为目标函数，即：22f(X) = rx1 x2x343 本问题的最优化设计数学模型：8F n D；Gd423 •min f (X) = rx 1 x 2x 3 X € R4s.t.g i (X) =0.5- x i w 0 g 2( X) =10- x 2 w 0 g 3( X) = X 2-50 w 0 g 4( X) =3- X 3 w 0 g 5(X) =(1 丄)辱 w 02x 2 x 1w 0g 6(X)=38FX 2 x 3Gx 141-3某厂生产一个容积为 一优化问题的数学模型。
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机械优化设计习题及参考答案1-1、简述优化设计问题数学模型的表达形式。
答:优化问题的数学模型就是实际优化设计问题的数学抽象。
在明确设计变量、约束条件、目标函数之后,优化设计问题就可以表示成一般数学形式。
求设计变量向量[]12Tn x x x x =使 ()min f x →且满足约束条件()0(1,2,)k h x k l == ()0(1,2,)j g x j m ≤=2-1、何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？答:二元函数f(x 1,x 2)在x 0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的形式:⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂+∂∂=∂∂2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d f令xo Tx f x f x f x fx f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂∂∂=∇21]21[)0(, 则称它为函数f(x 1,x 2)在x 0点处的梯度。
(1)梯度方向就是函数值变化最快方向,梯度模就是函数变化率的最大值。
(2)梯度与切线方向d 垂直,从而推得梯度方向为等值面的法线方向。
梯度)0(x f ∇方向为函数变化率最大方向,也就就是最速上升方向。
负梯度-)0(x f ∇方向为函数变化率最小方向,即最速下降方向。
2-2、求二元函数f(x 1,x 2)=2x 12+x 22-2x 1+x 2在T x ]0,0[0=处函数变化率最大的方向与数值。
解:由于函数变化率最大的方向就就是梯度的方向,这里用单位向量p 表示,函数变化率最大与数值时梯度的模)0(x f ∇。
求f(x1,x2)在x0点处的梯度方向与数值,计算如下:()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂=∇120122214210x x x x f x f x f 2221)0(⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∇x f x f x f =5⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∇∇=5152512)0()0(x f x f p2-3、试求目标函数()2221212143,x x x x x x f +-=在点X 0=[1,0]T 处的最速下降方向,并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。
解:求目标函数的偏导数21221124,46x x x f x x x f +-=∂∂-=∂∂ 则函数在X 0=[1,0]T 处的最速下降方向就是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂-=-∇=====462446)(012121012102121x x x xx x x x x f x f X f P 这个方向上的单位向量就是:13]2,3[4)6(]4,6[T22T -=+--==P P e 新点就是⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=+=132133101e X X 新点的目标函数值1321394)(1-=X f 2-4、何谓凸集、凸函数、凸规划？(要求配图)答:一个点集(或区域),如果连接其中任意两点x1、x2的线段都全部包含在该集合,就称该点集为凸集,否则为非凸集。
函数f(x)为凸集定义域的函数,若对任何的01α≤≤及凸集域的任意两点x1、x2,存在如下不等式:称f(x)就是定义在图集上的一个凸函数。
对于约束优化问题()()()121211f x x f x x αααα+-≤+-⎡⎤⎣⎦若()j=j f x g x 、（） 1,2,...,m 都就是凸函数,则称此问题为凸规划。
3-1、简述一维搜索区间消去法原理。
(要配图)答:搜索区间(a,b)确定之后,采用区间逐步缩短搜索区间,从而找到极小点的数值近似解。
假设搜索区间(a,b)任取两点a1,b1 ,a 1《b 1,并计算函数值f(a 1),f(b 1)。
将有下列三种可能情形;1)f(a 1)《f(b 1)由于函数为单谷,所以极小点必在区间(a,b 1) 2)f(a 1)》f(b 1),同理,极小点应在区间(a 1,b) 3)f(a 1)=f(b 1),这就是极小点应在(a 1,b 1)3-2、简述黄金分割法搜索过程及程序框图。
1()b b a αλ=-- 2()a b a αλ=+-其中,λ为待定常数。
3-3、对函数ααα2)(2+=f ,当给定搜索区间55≤≤-α时,写出用黄金分割法求极小点*α的前三次搜索过程。
(要列表) 序号 a a 1 a 2 b Y 1 比较 Y 20 -5 -1、18 1、18 5 -0、9676< 3、7524 1 -5 -2、639 -1、181？ 1、686> -0、967 2 ？ -1、18 -0、279 1、18 -0、9676< -0、48 3 -2、639 -1、737 -1、181 ？ -0、457>-0、4823-4、使用二次插值法求f(x)=sin(x)在区间[2,6]的极小点,写出计算步骤与迭代公式,给定初始点x1=2,x2=4,x3=6, ε=10-4。
迭代次数K= 4 ,极小点为 4、71236 ,最小值为 -113131x x y y c --=,12122x x y y c --=,32123x x cc c --= )(213131c c x x x p -+=收敛的条件:ε<-22y y y p4-1、简述无约束优化方法中梯度法、共轭梯度法、鲍威尔法的主要区别。
答:梯度法就是以负梯度方向作为搜索方向,使函数值下降最快,相邻两个迭代点上的函数相互垂直即就是相邻两个搜索方向相互垂直。
这就就是说在梯度法中,迭代点向函数极小点靠近的过程,走的就是曲折的路线。
这一次的搜索方向与前一次的搜索过程互相垂直,形成“之”字形的锯齿现象。
从直观上可以瞧到,在远离极小点的位置,每次迭代可使函数值有较多的下降。
可就是在接近极小点的位置,由于锯齿现象使每次迭代行进的距离缩短,因而收敛速度减慢。
这种情况似乎与“最速下降”的名称矛盾,其实不然,这就是因为梯度就是函数的局部性质。
从局部上瞧,在一点附近函数的下降就是最快的,但从整体上瞧则走了许多弯路,因此函数的下降并不算快。
共轭梯度法就是共轭方向法中的一种,因为在该方法中每一个共轭的量都就是依赖于迭代点处的负梯度而构造出来的,所以称作共轭梯度法。
该方法的第一个搜索方向取作负梯度方向,这就就是最速下降法。
其余各步的搜索方向就是将负梯度偏转一个角度,也就就是对负梯度进行修正。
所以共轭梯度法实质上就是对最速下降法进行的一种改进,故它又被称作旋转梯度法。
鲍威尔法就是直接利用函数值来构造共轭方向的一种共轭方向法,这种方法就是在研究其有正定矩阵G 的二次函数1()2TT f x x Gx b x c =++的极小化问题时形成的。
其基本思想就是在不用导数的前提下,在迭代中逐次构造G 的共轭方向。
在该算法中,每一轮迭代都用连结始点与终点所产生出的搜索方向去替换原向量组中的第一个向量,而不管它的“好坏”,这就是产生向量组线性相关的原因所在。
因此在改进的算法中首先判断原向量组就是否需要替换。
如果需要替换,还要进一步判断原向量组中哪个向量最坏,然后再用新产生的向量替换这个最坏的向量,以保证逐次生成共轭方向。
4-2、如何确定无约束优化问题最速下降法的搜索方向？答:优化设计就是追求目标函数值最小,因此搜所方向d 取该点的负梯度方向-)(x f ∇。
使函数值在该点附近的围下降最快。
按此规律不断走步,形成以下迭代的算法)(1kx f kk x k x∇-=+α(k=0,1,2,…)由于最速下降法就是以负梯度方向作为搜索方向,所以最速下降法有称为梯度法为了使目标函数值沿搜索方向-)(kx f ∇能获得最大的下降值,其步长因子ka 应取一维搜索的最佳步长。
即有)(min )(min)(1αϕ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+k x f a kx f k x f k a kx f k x f 根据一元函数极值的必要条件与多元复合函数求导公式得;0)()1(=∇⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇k x f T k x f 或写成01=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+kd T k d由此可知,在最速下降法中,相邻两个迭代点上的函数梯度相互垂直。
而搜索方向就就是负梯度方向,因此相邻的两个搜索方向相互垂直。
这就就是说在最速下降法中,迭代点向函数极小点靠近的过程。
4-3、 给定初始值x 0=[-7,11]T ,使用牛顿法求函数2212121)2()2(),(x x x x x f -+-=的极小值点与极小值。
解: 梯度函数、海赛矩阵分别为⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-=∇)2(4)2(2)2(2),(2121121x x x x x x x f (2分) []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∇⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∇-41414121,8444),(12212f x x f (4分) 假设初始值x 0=[-7,11]T则,11676)(0⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∇x f (1分) []⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∇⋅∇-=-12)(01201x x x f f (2分)则,00)(1⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∇x f (1分)x 1满足极值的必要条件,海赛矩阵就是正定的,所以就是极小点1)(,11*1*-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==x x x f 。
(2分)4-4、以二元函数),(21x x f 为例说明单形替换法的基本原理。
答:如图所示在平面上取不在同一直线上的三个点x1,x2,x3,以它们为顶点组成一单纯形。
计算各顶点函数值,设f(x1)>f(x2)>f(x3),这说明x3点最好,x1点最差。
为了寻找极小点,一般来说。
应向最差点的反对称方向进行搜索,即通过x1并穿过x2x3的中点x4的方向上进行搜索。
在此方向上取点x5使 x5=x4+α(x4-x1)x5称作x1点相对于x4点的反射点,计算反射点的函数值f(X5),可能出现以下几种情形;1)f(x5)<f(x3)即反射点比最好点好要好,说明搜索方向正确,可以往前迈一步,也就就是扩。
2)f(x3)<f(x5)<f(x2)即反射点比最好点差,比次差点好,说明反射可行,一反射点代替最差点构成新单纯形3)f(x2)<f(x5)<f(x1),即反射点比次差点差,比最差点好,说明x5走的太远,应缩回一些,即收缩。
4) f(x5)>f(x1),反射点比最差点还差,说明收缩应该多一些。
将新点收缩在x1x4之间5) f(x)>f(x1),说明x1x4方向上所有点都比最差点还要差,不能沿此方向进行搜索。
5-1、简述约束优化方法的分类。
(简述约束优化问题的直接解法、间接解法的原理、特点及主要方法。
)答: 直接解法通常适用于仅含不等式约束的问题,它的基本思路就是在m个不等式约束条件所确定的可行域选择一个初始点x,然后决定可行搜索方向d,且以适当的步长 沿d方向进行搜索,得到一个使目标函数值下降的可行的新点1x,即完成一个迭代。