241抛物线的标准方程
抛物线的点到直线的距离公式
抛物线的点到直线的距离公式一、抛物线的标准方程。
1. 开口向上或向下的抛物线。
- 标准方程为y = ax^2+bx + c（a≠0），其顶点坐标为(-(b)/(2a),frac{4ac -b^2}{4a})。
- 当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
- 对于形如x^2=2py(p>0)的抛物线，焦点坐标为(0,(p)/(2))，准线方程为y =-(p)/(2)；对于x^2=-2py(p>0)，焦点坐标为(0,-(p)/(2))，准线方程为y=(p)/(2)。
2. 开口向左或向右的抛物线。
- 标准方程为y^2=2px(p>0)时，抛物线开口向右，焦点坐标为((p)/(2),0)，准线方程为x =-(p)/(2)；当y^2=-2px(p>0)时，抛物线开口向左，焦点坐标为(-(p)/(2),0)，准线方程为x=(p)/(2)。
二、点到直线的距离公式。
1. 对于点P(x_0,y_0)到直线Ax + By+C = 0（A、B不同时为0）的距离公式为d=(| Ax_0+By_0 + C|)/(√(A^2)+B^{2)}。
三、抛物线上的点到直线的距离。
1. 设抛物线上一点M(x,y)（y = ax^2+bx + c），直线Ax + By + C=0。
- 首先将y = ax^2+bx + c代入点到直线距离公式中的y，得到d=frac{|Ax+(B(ax^2+bx + c))+C|}{√(A^2)+B^{2}}。
- 然后对d进行化简求值。
例如对于抛物线y = x^2上一点(x,x^2)到直线2x - y+1 = 0的距离，根据距离公式d=frac{| 2x-(x^2) + 1|}{√(2^2)+(-1)^{2}}=frac{| -x^2+2x + 1|}{√(5)}。
- 如果是特殊的抛物线标准方程，如y^2=2px上的点(frac{y^2}{2p},y)到直线Ax+By + C = 0的距离d=frac{| Afrac{y^2}{2p}+By + C|}{√(A^2)+B^{2}}。
抛物线的标准方程
抛物线的标准方程 制作人 曲径1、抛物线的定义平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线． 2）．抛物线的标准方程3）一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，如下表：图形xyO FlxyO Fl标准 方程 y 2＝2px （p ＞0） y 2＝－2px （p＞0）x 2＝2py （p ＞0） x 2＝－2py （p ＞0）焦点 坐标 （2p ，0）（2p -，0）（0，2p ） （0，2p -） 准线 方程x ＝2p - x ＝2p y ＝2p -y ＝2p3.平面内到定点F 和定直线l 的距离之比等于常数e ，当0＜e ＜1时，轨迹为椭圆；当e ＝1时，轨迹为抛物线；当e ＞1时，轨迹为双曲线．这就是圆锥曲线的统一定义．4.过抛物线上一点可以作一条切线，过切点所作垂直于切线的直线叫做抛物线在这点的法线，抛物线的法线有一条重要性质：经过抛物线上一点作一直线平行于抛物线的轴，那么经过这一点的法线平分这条直线和这点与焦点连线的夹角5.典型例题［例1］(1)已知抛物线的标准方程是x 2＝4y ，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点坐标是(－3，0)，求它的标准方程．xy OFlxyOF l例2．求满足下列条件的抛物线的标准方程： （1）焦点坐标是F （－5，0） （2）经过点A （2，－3）例3．点M 与点F （4，0）的距离比它到直线l ：x ＋5＝0的距离小1，求点M 的轨迹方程．例4、 提高训练1］若点A 的坐标为(3，2)，F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，点P 是抛物线上一动点，则｜PA ｜＋｜PF ｜取得最小值时点P 的坐标是( )A ．(0，0)B ．(1，1)B ．C ．(2，2)D ．(21，12、抛物线y 2＝2px(p ＞0)有一内接直角三角形，直角的顶点在原点，一直角边的方程是y ＝2x ，斜边长是53，求此抛物线方程3、设抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明：直线AC 经过原点O ．课后提升1．已知直线l 与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(8，8)，则线段AB 的中点到准线的距离是( )A ．425B ．225C ．825D ．25解析：抛物线的焦点坐标为(2，0)，直线l 的方程为y ＝34(x －2)．由⎪⎩⎪⎨⎧=-=x y x y 8)2(342得B 点的坐标为(21，－2)．∴｜AB ｜＝｜AF ｜＋｜BF ｜＝2＋8＋2＋22521=，∴AB 的中点到准线的距离为425．答案：A2．过抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点作一条直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则2121x x y y 为( )A ．4B ．－4C ．p 2D ．－p 2解析：特例法．当直线垂直于x 轴时，4),,2(),,2(222121pp x x y y p p B p p A -=-＝－4．答案：Ｂ3．已知抛物线的焦点在直线x －2y －4＝0上，则此抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝16x B ．x 2＝－8yC ．y 2＝16x 或x 2＝－8yD ．y 2＝16x 或x 2＝8y解析：直线x －2y －4＝0与坐标轴的交点为(4，0)和(0，－2)，∴抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2)，∴抛物线的标准方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y ． 答案：C4．抛物线y ＝ax 2(a>0)与直线y ＝kx ＋b(k ≠0)有两个公共点，其横坐标分别是x 1、x 2；而直线y ＝kx ＋b 与x 轴交点的横坐标是x 3，则x 1、x 2、x 3之间的关系是( )A ．x 3＝x 1＋x 2B ．x 3＝2111x x +C ．x 1x 3＝x 1x 2＋x 2x 3D ．x 1x 2＝x 1x 3＋x 2x 3解法一：(特值法)取a ＝1，k ＝1，b ＝0，则x 1＝0，x 2＝1，x 3＝0， 可排除A 、B ． 再取a ＝1，k ＝1，b ＝1，可得x 1＋x 2＝1．x 1x 2＝－1，x 3＝－1，检验C 、D 可知D 选项适合． 解法二：(直接法)把y ＝kx ＋b 代入y ＝ax 2，得ax 2－kx －b ＝0，x 1＋x 2＝a k，x 1x 2＝－a b又x 3＝－k b，∴x 1x 2＝(x 1＋x 2)x 3答案：D5．直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2，则k 的值为______．解析：∵直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于两点，∴k ≠0，由⎩⎨⎧=-=x y kx y 822得k 2x 2－4kx －8x ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝284kk +，∵AB 中点的横坐标为2，∴284kk +＝4，∴k ＝－1或k ＝2．∵当k ＝－1时方程k 2x 2－4kx －8x ＋4＝0只有一个解，即A 、B 两点重合．∴k ≠－1． 答案：26．动圆M 经过点A(3，0)且与直线l ：x ＝－3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为______． 解析：设圆M 与直线l 相切于点N ，∵｜MA ｜＝｜MN ｜， ∴圆心M 到定点A(3，0)和定直线x ＝－3的距离相等． 根据抛物线的定义，M 在以A 为焦点，l 为准线的抛物线上．∵2p＝3，∴p ＝6．∴圆心M 的轨迹方程为y 2＝12x ． 答案：y 2＝12x7．已知抛物线的焦点在x 轴上，直线y ＝2x ＋1被抛物线截得的线段长为15，求抛物线的标准方程．解：∵抛物线的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为y 2＝2px ．由方程组⎩⎨⎧+==,1222x y px y得4x 2＋(4－2p)x ＋1＝0，∴｜x 1－x 2｜＝24416)24(22p p p -=--，∴pp x x 425||212212-=-+，∴154252=-p p ，∴p ＝6或p ＝－2，∴抛物线的方程为y 2＝12x 或y 2＝－4x ．8．一直线与抛物线x 2＝y 交于A 、B 两点，它们的横坐标分别为x 1和x 2，此直线在x 轴上的截距为a ，求证：21111x x a+=．证明：∵直线过(a ，0)点且与抛物线交于A 、B 两点， ∴设直线的方程为y ＝k(x －a)且k ≠0，由方程组⎩⎨⎧-==)(2a x k y y x 得x 2－kx ＋ka ＝0．由韦达定理，得x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝ka ． ∵a ≠0∴a kak x x x x x x 111212121==+=+．即a x x 11121=+．9．A 、B 是抛物线y 2＝2px(p ＞0)上的两点，满足OA ⊥OB(O 为坐标原点)．求证： (1)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值； (2)直线AB 经过一个定点．证明：(1)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 12＝2px 1、y 22＝2px 2 ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0 y 12y 22＝4p 2x 1x 2＝4p 2·(－y 1y 2)∴y 1y 2＝－4p 2，从而x 1x 2＝4p 2也为定值．(2)∵y 12－y 22＝2p(x 1－x 2) ∴2121212y y p x x y y +=--∴直线AB 的方程为：y －y 1＝212y y p+(x －x 1)即y ＝p y y y p x y y p222212121⋅+-+＋y 1y ＝2121212y y y y x y y p+++亦即y ＝212y y p+(x －2p)∴直线AB 经过定点(2p ，0)．。
241抛物线的标准方程(2)
普通高中课程标准实验教科书—数学选修1-1[人教版B]2.4.1 抛物线的标准方程（第二课时）教学目标：熟练掌握抛物线的四个标准方程教学重点：四种抛物线标准方程的应用教学过程一、复习：1、抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F 叫抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.2、抛物线的标准方程二、引入新课例2 点M 与点F （4，0）的距离比它到直线l :x +5=0的距离小1，求点M 的轨迹方程. 分析：由已知，点M 属于集合|}.5|1|||{+=+=x MF M P将|MF |用点的坐标表示出来，化简后就可得到点M 的轨迹方程，但这种解法的化简过程比较繁琐.仔细分析题目的条件，不难发现：首先，点M 的横坐标x 应满足x ＞－5,即点M 应在直线l 的右边，否则点M 到F 的距离大于它到l 的距离；其次，“点M 与点F 的距离比它到直线l ：x +5=0的距离小1”，就是“点M 与点F 的距离等于它到直线x +4=0的距离”，由此可知点M 的轨迹是以F 为焦点，直线x +4=0为准线的抛物线.解：如图，设点M 的坐标为（x ，y ）.由已知条件可知，点M 与点F 的距离等于它到直线x +4=0的距离.根据抛物线的定义，点M 的轨迹是以F （4，0）为焦点的抛物线..8,42=∴=p p 因为焦点在x 轴的正半轴上，所以点M 的轨迹方程为：y 2=16x说明：此题为抛物线定义的灵活应用，应强调学生加强对抛物线定义的理解与认识.例3 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已知灯口圆的直径为60cm,灯深40cm,求抛物线的标准方程和焦点的位置.分析:此题是根据已知条件求抛物线的标准方程,关键是选择建立恰当的坐标系,并由此使学生进一步认识坐标法.解:如图,在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合,x 轴垂直于灯口直径.设抛物线的标准方程是)0(22p px y =.由已知条件可得点A的坐标是(40,30),代入方程得: .445402302=⨯=p p 即 所以所求抛物线的标准方程是x y 2452=,焦点坐标是(845,0). 说明:此题在建立坐标系后,要求学生能够根据抛物线的图形确定抛物线标准方程的类型,再求出方程中的参数p .师:为使大家进一步掌握坐标法,我们来看下面的例3:小结：本节课我们学习了抛物线的标准方程的简单应用课堂练习：第64页练习A 、B。
抛物线的标准方程式是什么
抛物线的标准方程式是什么在数学的广袤世界中，抛物线是一种常见且重要的曲线。
要深入理解抛物线，首先就得搞清楚它的标准方程式是什么。
咱们先来说说抛物线的定义。
简单来讲，平面内到一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹就叫做抛物线。
这个定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。
抛物线的标准方程有四种形式，分别是：第一种，当抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上时，标准方程是 y²＝2px（p ＞ 0）。
这里的 p 表示焦点到准线的距离。
比如说，如果 p ＝ 2，那么抛物线的方程就是 y²＝ 4x 。
对于这个方程，它的开口是朝右的。
第二种，当抛物线的焦点在 x 轴的负半轴上时，标准方程是 y²＝－2px（p ＞ 0）。
此时，抛物线的开口是朝左的。
第三种，当抛物线的焦点在 y 轴的正半轴上时，标准方程是 x²＝2py（p ＞ 0）。
这种情况下，抛物线的开口是朝上的。
第四种，当抛物线的焦点在 y 轴的负半轴上时，标准方程是 x²＝－2py（p ＞ 0）。
相应地，抛物线的开口是朝下的。
为了更好地理解这些标准方程，咱们来举几个例子。
假设一个抛物线的焦点是 F(1,0) ，准线方程是 x ＝－1 。
因为焦点在 x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离 p 是 2 ，所以这个抛物线的方程就是 y²＝ 4x 。
再比如，有个抛物线的焦点是 F(0, －2) ，准线方程是 y ＝ 2 。
这时候，焦点在 y 轴的负半轴上，p ＝ 4 ，那么这个抛物线的标准方程就是x²＝－8y 。
那这些标准方程是怎么来的呢？咱们可以通过几何方法来推导。
以焦点在 x 轴正半轴上的抛物线 y²＝ 2px 为例。
假设抛物线上有一点 P(x,y) ，根据抛物线的定义，点 P 到焦点 F 的距离等于点 P 到准线的距离。
焦点 F 的坐标是（p/2, 0) ，准线方程是 x ＝ p/2 。
(完整版)求抛物线的标准方程
（2）若弦AB被焦点分成长为m，n的两部分，求证：
1/m＋1/n＝2/p。
（3）设θ为直线AB的倾斜角，求证：当θ＝90o时，取 得︱AB︱的最小值2p。
（4）求证：焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。
（5）若弦AB过焦点，求证：以AB为直径的圆与准线 相切。
背 葡萄美酒夜光杯,
4cm
景
引 欲饮琵琶马上催.
入
8cm
问题1:如果测量得酒杯杯口宽 4cm，杯深8cm，试求出该抛 物线方程？
4cm 8cm
解：如图建立平面直角坐标系, 则可知A(-2,8),B(2,8) 所以设抛物线的方程
为： x2 = 2 py( p > 0)
A、B点在抛物线上，代入抛
1 物线方程，可得P= 4 ,
B
y2=2px(p>0)，由题意得，点A的坐标为
（40，30）代入方程得 p = 45
4
所以所求抛物线的标准方程是y2=
45
x
2
例2：过抛物线 y2 = 2 px( p > 0)
的焦点F的直线与抛物线相交于A,B两 点,自A、B向准线作垂线,垂足分别为
C、D,求证: CFD = 90
２
１ ３ ６ ５ ４
(0,0)
e=1
y2 = -2 px x 0, ( p > 0) y R
关于x 轴 对称，无 对称中心
(0,0)
e=1
x2 = 2 py ( p > 0)
y 0, xR
关于y 轴 对称，无 对称中心
(0,0)
e=1
x2 = -2 py y 0,
关于y 轴 对称，无
抛物线相关公式总结大全
抛物线相关公式总结大全抛物线是一种二次曲线，其具体形态由焦点、直线和定点确定。
在数学中，我们常常使用一些公式来描述和计算抛物线的性质。
下面是抛物线相关公式的总结：1. 标准方程公式：抛物线的标准方程为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b和c是抛物线的参数，决定了抛物线的形状和位置。
2. 顶点坐标公式：抛物线的顶点坐标可以通过标准方程公式中的x值公式得到： x = -b / (2a)将x代入标准方程公式中得到顶点坐标：(x, y)3. 平移和缩放公式：当抛物线的标准方程为y = ax^2 + bx + c时，可以通过平移和缩放来改变抛物线的位置和形状：- 上下平移：y = ax^2 + bx + c + k，其中k为上下平移的位移值。
- 左右平移：y = a(x - h)^2 + k，其中h为左右平移的位移值。
- 缩放：y = a(x - h)^2 + k，其中a为缩放系数。
当a>1时，抛物线变窄，当0<a<1时，抛物线变宽。
4. 焦点和准线坐标公式：抛物线的焦点和准线可以通过标准方程公式的参数a来求解： - 焦点坐标：F(h, k + 1/4a)，其中h和k为标准方程公式中顶点的坐标。
- 准线坐标：y = k - 1/4a5. 弦与切线公式：- 弦长公式：当给定抛物线上的两点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)时，可以使用以下公式计算弦长：L = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)- 切线斜率公式：抛物线上任意点(x, y)处的切线斜率可以通过求导得到：m = dy/dx = 2ax + b以上是抛物线的一些常见公式和相关内容。
了解这些公式可以帮助我们更好地理解和运用抛物线的性质，进一步探索其在数学和物理等领域中的应用。
241抛物线及其标准方程解析课件
1 4a
思考:M是抛物线y2 = 2px（p＞0）上一点，若点M 的横
坐标为x0，则 MF
p
x0
+
— 2
这就是抛
My
物线的焦 半径公式!
y
M
F o x xp
2
y
MF
p 2
x0
OF
x
x p
2
p
MF
x0
–(–
—) 2
F
o
M
x
MF
y p
y0
p 2
2
y y p
o
2
x
FM
MF
p 2
y0
例4抛物线的焦点在 x 轴上，抛物线上的横坐标为3 的点M到焦点的距离等于6，求抛物线的标准方程.
右焦点是：( p , 0) , 2
p 左准线方程为: x
2
一条抛物线，由于它在 坐标平面内的位置不同，方 程也不同，所以抛物线的标 准方程有四种形式.
y
M(x,y)
Ko F x
l
﹒ 图 形
焦点
准线
y
第一:一次项的变量为x(或
o x y),则x轴(或y轴)为抛物线
的对称轴,焦点就在对称轴
﹒y
上. 第二:一次项的系数的正负
焦点的距离等于5的点的坐标.
O
F
x
MF
p x
— 2
–x0
p 2
例3抛物线y2 =4x上的一个动点P，F为抛物线的焦点。 （1）求点P到点A（-1，1）的距离与点P到直线x=-1 的距离之和的最小值。 （2）若B（3，2），求 PB PF 的最小值。
练习1定点M（3，10 3
抛物线的定义及标准方程
抛物线的定义及标准方程一、抛物线的定义1. 定义内容- 平面内与一定点F和一条定直线l(F∉ l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。
2. 定义理解要点- 强调“平面内”这一前提条件，因为在空间中满足到定点与定直线距离相等的点的轨迹是一个抛物面。
- 焦点F不在准线l上，如果F∈ l，则轨迹为过F且垂直于l的直线。
二、抛物线的标准方程1. 建立坐标系推导标准方程- 设抛物线的焦点为F，准线为l，过点F作准线l的垂线，垂足为K，以线段FK的中点O为坐标原点，FK所在直线为x轴建立直角坐标系。
- 设|FK| = p(p>0)，则焦点F的坐标为((p)/(2),0)，准线l的方程为x =-(p)/(2)。
- 设抛物线上任一点M(x,y)，根据抛物线的定义，点M到焦点F的距离等于点M到准线l的距离。
- 点M到焦点F的距离| MF|=√((x - frac{p){2})^2+y^2}，点M到准线l的距离| x+(p)/(2)|。
- 由√((x - frac{p){2})^2+y^2}=| x+(p)/(2)|，两边平方可得(x-(p)/(2))^2 + y^2=(x + (p)/(2))^2，展开并化简得y^2=2px(p>0)，这就是抛物线的一种标准方程，它表示焦点在x轴正半轴上的抛物线。
2. 其他几种标准方程形式- 当焦点在x轴负半轴上时，设焦点F(-(p)/(2),0)，准线l的方程为x=(p)/(2)，按照上述推导过程可得抛物线方程为y^2=-2px(p > 0)。
- 当焦点在y轴正半轴上时，设焦点F(0,(p)/(2))，准线l的方程为y =-(p)/(2)，设抛物线上一点M(x,y)，根据定义可得√(x^2)+(y-(p)/(2))^2=|y+(p)/(2)|，化简后得到x^2=2py(p>0)。
- 当焦点在y轴负半轴上时，设焦点F(0,-(p)/(2))，准线l的方程为y=(p)/(2)，可得抛物线方程为x^2=-2py(p>0)。
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y
H p
M(x,y)
o
Fx
l
(x ? p)2 ? y2 ? x
化简得：y2 ?
2 px ?
p
2
(
p
?
0)
二、标准方程的推导
方案二：以定点 F 为原点，过点 F 垂直于L的直线为 x 轴
建立直角坐标系，设定点 F到直线 l的距离为p，动点 M(x, y)
则定点 F(0,0) ，直线l的方程 x ?? p ，由抛物线的定义
把点A（3,2）代入方程
，解得p= ，
∴其标准方程为
当焦点在y轴时，设其标准方程为： x2 =2py（p＞0），
同理可得， p= ，其标准方程为
综上所述，过点（ -3，2）的抛物线的标准方程为：
或
例3 .（2）焦点在x轴上，且抛物线上一点A（3，m） 到焦点的距离为5．
解：设该抛物线的标准方程为 y2=2px（p＞0），
建系
设点
列式
化简
? 探讨建立平面直角坐标系的方案
y
.M
O
.
F
x
y
M.
.
F(0)
x
y .M
.
OF
x
l
l
l
方案(1)
方案(2)
问题：哪种方案的方程更简单呢？
方案(3)
二、标准方程的推导
方案一：以 L为 y轴，过点 F 垂直于L的直线为 x轴建立
直角坐标系 ,设动点 M (x, y)，定点F到直线 l的距离为 P，
则点 F ( p ,0) ,直线 l : x ? ? p
2
2
由抛物线的定义得：
(x ?
p)2 ?
y2 ? | x ?
p |
2
2
化简得： y2 ? 2 px ( p ? 0)
比较三种方案推导出的方程，哪种更简单？
y
.M
O
.
F
x
y
M.
.
F
x
y .M
.
OF
x
l 方案(1)
y2 ? 2px? p2
l
方案(2) y2 ? 2px? p2
y2 ? 12 x
y2 ? x
例3 .（1）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程. （2）焦点在x轴上，且抛物线上一点A（3，m） 到焦点的距离为5．
例3 .（1）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程.
解∵抛物线过点（ -3，2），
∴当焦点在 x轴时，设其标准方程为： y2 =-2px（p＞0）
l 方案(3)
y2 ? 2 px
三、抛物线的标准方程
把方程 y 2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方 程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.
p: 焦点到准线的距离
焦点坐标线方程 :
x?
?
p. 2
y
p l d ·M
o Fx
思考：
你能否分别写出 开口向左、向上、向下 ，顶点在原点， 焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程？
平面内与一个定点 F和一条定 H 直线 l(l不经过点 F )的 距离相等 的点的轨迹叫 抛物线.
点F叫抛物线的 焦点, 准线 l
直线l 叫抛物线的 准线
· d M 焦点
·F
即:若 MF ? 1 ,则点 M 的轨迹是抛物线 . d
那么如何建立坐标系 ,使抛物线的方程更简 单,其标准方程形式怎样 ?
求曲线方程的基本步骤：
﹒ ﹒ ﹒ ﹒ y
ox
y
ox
y
ox
y
o
x
(1)
(2)
(3)
(4)
【四种形式抛物线的对比 】
P：
焦 点
图 形 标准方程 焦点坐标 准线方程
ly
y2? 2px
o F x (p>0)
( 2p, 0 )
x?
?
p 2
抛物线标准 方程的特征：
等号左边是
到
系数为1的
准 线 的
yl
Fo
x
y2?? 2px (p>0)
复习回顾：
我们知道 ,椭圆和双曲线有共同的几何特征：
都可以看作是 :在平面内与一个 定点的距离和一条
定直线的距离的比是 常数e的点的轨迹 .
(其中定点不在定直线上 )
(1)当0<e<1时
(2) 当e＞1时 （3）e=1
l M
·F
l M
F·
l
·M
·F
椭圆
双曲线
那么,当e=1时，它又是什么曲线呢？
一、抛物线的定义:
(?
p 2
,
0)
x
?
p 2
二次项，右 边是一次项.
小结：
距 离
y
F
x2? 2py
l o x (p>0)
( 0,
p 2
)
y?
?
p 2
（1）一次项
定轴，系数正 负定方向；
y l
o F
x
x2?? 2py (p>0)
( 0,
?
p 2
)
y?
p 2
（2）焦点与
方程同号，准 线与方程异号.
例1. 已知抛物线的标准方程是 y2? 6x, 求它的 焦点坐标和准线方程;
则其准线方程为：
，
∵抛物线上一点 A（3，m）到焦点的距离为 5，
∴由抛物线的定义知， 3-（ ）=5，解得p=4，
∴抛物线的标准方程为 y2=8x．
【 课堂小结】
1、椭圆、双曲线与抛物线的定义的联系及其区别： 2、会运用抛物线的定义、标准方程求它的焦点坐标、准线方程； 3、注重数形结合的思想.
练习1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y2 = 20x (2)x2= 1 y (3)2y2 +5x =0 (4)x2 +8y =0
2
焦点坐标
准线方程
(1) （5，0） x=-5
(2) (3)
（0，—1 ） （- —58 ，8 0）
y= - —1
8
x= —85
(4) （0，-2） y=2
【题后反思】：
求抛物线的焦点坐标或准 线方程，先把抛物线方程 化为标准方程。
例2 .已知抛物线的焦点是 F(0,-2), 求它 的标准方程.
【题后反思】：
求抛物线的标准方程， 一般先定位，再定量。
练习2、根据下列条件写出抛物线的标准方程：
（1）焦点F（3，0）
（2）准线方程是 x ? ? 1 4
（3）焦点到准线的距离是 2
得：
y
x2 ? y2 ? x? p
H
M(x,y)
p
y p 2
2
化简得： ? 2 px ? ( p ? 0)
F
x
l
二、标准方程的推导
方案三：以过 F且垂直于 l 的直线为 x轴,垂足为K. 以F、K的中点O为坐标原点，建立直角坐标系 xoy.
y
H
M(x,y)
p
Ko F x
l
设 M ( x, y) , FK ? p ,