重庆市育才中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题
重庆市育才中学2020级高二上10月月考数学(文科)试题
绝密★启用前重庆市育才中学高2020级高二（上）10月月考数学（文科）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卷一并交回.满分150分，考试时间120分钟.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设P 是椭圆22143x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A.2B.C. 4D. 2.双曲线22153x y -=的焦点坐标为（）A. ()(),-B. ()),C. ((0,,D. ()()0,2,0,2-3.在ABC ∆中，若2,3,120a b C ===，则边c 等于（）A. 2B.C.D. 4 4.已知点()3,M m 是抛物线24y x =上一点，则M 到抛物线焦点的距离是（）A.2B. 3C. 4D. 65．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3714a a +=，则9S =（）A. 20B. 35C. 45D. 636.过椭圆22184x y +=内一点()1,1A 引一条弦，使弦被点A 平分，则这条弦所在直线的斜率为（） A.1- B. 12-C. 12D. 27.设F 为抛物线2:6C y x =的焦点，过F 且倾斜角为60的直线交C 于,A B 两点，则AB =（）B.8C.12D.8.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为F F 和()0,2P 的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（） A.22122x y -= B. 22144x y -= C.22124x y -= D.22142x y -= 9.在正项等比数列{}n a 中，若210,a a 是方程2540x x -+=的两根，则6a 的值是（）A.20种B. 36种C.64种D.120种10.已知直线1y kx =+与双曲线22143x y -=的右支有两个不同的交点，则k 的取值范围是（）A.1,⎛- ⎝⎭B. ()1,1-C.30,,122⎛⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.⎫⎪⎪⎝⎭ 11.在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆221259x y +=上的一个动点，点()()4,1,4,0A B -，则P A P B +的最大值为（）A. 16B.11C.5D.412.已知12,F F 是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 的直线上，12PF F ∆为等腰三角形，12120F F P ∠=，则C 的离心率为（） A.23 B. 12 C. 13 D. 14二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数()sin cos 1f x x x =++的最小正周期是 。
2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：圆与圆的位置关系(附答案解析)
2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：圆与圆的位置关系【考点梳理】考点一：两圆的位置关系及其判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r 1，r 2，两圆连心线的长为d ，则两圆的位置关系如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d 与r 1，r 2的关系d >r 1＋r 2d ＝r 1＋r 2|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|d <|r 1－r 2|(2)代数法：设两圆的一般方程为C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0(D 21＋E 21－4F 1>0)，C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0(D 22＋E 22－4F 2>0)，联立方程得x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含【题型归纳】题型一：判断圆与圆的位置关系1．（2021·佛山市南海区狮山高级中学高二月考）已知圆221:23460C x y x y +--+=，222:60C x y y +-=，则两圆的位置关系为（）A ．相离B ．外切C ．相交D ．内切2．（2021·南昌市豫章中学高二开学考试（文））已知圆221:(1)(2)9O x y -++=，圆222:(2)(1)16O x y +++=，则这两个圆的位置关系为（）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内含3．（2021·安徽（理））圆1C ：221x y +=与圆2C ：()224310x y k x y +++-=（k ∈R ，0k ≠）的位置关系为（）A ．相交B ．相离C ．相切D ．无法确定题型二：圆与圆的位置关系求参数范围4．（2021·南京市第十三中学高二开学考试）若圆22:5O x y +=与圆()221:()20O x m y m R -+=∈相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长是（）A ．22B ．92C ．4D ．325．（2020·黑龙江农垦佳木斯学校高二开学考试）若两圆2222450x y ax y a +-++-=和2222230x y x ay a ++-+-=有3条公切线，则a =（）A ．1-或2-B ．1-或5-C ．2-或2D ．5-或26．（2021·四川凉山·高二期末（文））已知圆221:1C x y +=和圆()()2222:20C x y r r +-=>，若圆1C 和2C 有公共点，则r 的取值范围是（）A ．(]0,1B ．(]0,3C ．[]1,3D ．[)1,+∞题型三：圆与圆的位置求圆的方程7．（2020·南昌县莲塘第一中学高二月考（理））圆()()22341x y -+-=关于直线0x y +=对称的圆的方程是（）A ．()()22341x y ++-=B ．()()22341x y -+-=C ．()()22431x y ++-=D ．()()22431x y +++=8．（2020·全国高二课时练习）过点(2,2)M -以及圆2250x y x -=+与圆222x y +=交点的圆的方程是（）.A ．22151042x y x +--=B ．22151042x y x +-+=C ．22151042x y x ++-=D ．22151042x y x +++=9．（2019·江西赣州市·南康中学高二月考）已知半径为1的动圆与定圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25B ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝3或(x －5)2＋(y ＋7)2＝15C ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝9D ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25或(x －5)2＋(y ＋7)2＝9题型四：圆的公共弦长问题（参数、弦长问题）10．（2021·浙江温州市·）圆221:260O x y x y +-+=和圆222:60O x y x +-=的公共弦AB 的垂直平分线方程是（）A ．2330x y -+=B ．2350x y --=C ．3290x y --=D ．3270x y -+=11．（2021·全国高二专题练习）垂直平分两圆222620x y x y +-++=，224240x y x y --++=的公共弦的直线方程为（）A ．3430x y --=B ．4350x y ++=C ．3490x y ++=D ．4350x y -+=12．（2021·石泉县石泉中学高二开学考试（理））设圆1C ：()()22119x y -+-=和圆2C ：()()22124x y +++=交于A ，B 两点，则线段AB 的垂直平分线所在直线的方程为（）A ．3210x y --=B ．3210x y -+=C ．2330x y +-=D ．2340x y ++=题型五：圆的共切线问题13．（2021·安徽池州市·高二期末（理））若圆221:2440C x y x y +---=，圆222:61020C x y x y +---=，则1C ，2C 的公切线条数为（）A ．1B ．2C ．3D ．414．（2021·浙江绍兴市·高二期末）已知圆()221:2C x y m ++=与圆()222:8C x m y -+=恰有两条公切线，则实数m 的取值范围是（）A ．13m <<B ．11m -<<C ．3m >D ．3<1m -<-或13m <<15．（2021·安徽滁州市·定远二中高二开学考试）两个圆221:240C x y x y +-+=与2222:245200C x y mx my m +-++-=的公切线恰好有2条，则m 的取值范围是（）．A ．()2,0-B ．()()2,02,4-C ．()2,4D ．()(),04,-∞+∞ 题型六：圆与圆位置关系的综合类问题16．（2021·江苏高二课时练习）已知圆C 满足：圆心在直线0x y +=上，且过圆221:210240C x y x y +-+-=与圆222:2280C x y x y +++-=的交点A ，B .（1）求弦AB 所在直线的方程；（2）求圆C 的方程.17．（2020·安庆市第二中学）已知圆C 的圆心C 在x 轴上，且圆C 与直线30x y n ++=切于点33(,)22．（1）求n 的值及圆C 的方程：（2）若圆222:(15)(0)M x y r r +-=>与圆C 相切，求直线320x y -=截圆M 弦长．【双基达标】一、单选题18．（2021·南昌市豫章中学高二开学考试（理））已知圆221:4240C x y x y ++--=，2223311:222C x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则这两圆的公共弦长为（）A ．2B ．22C ．2D ．119．（2021·河南商丘市·（文））已知圆221:4O x y +=与圆222:60O x x y ++=相交于点A ，B ，则四边形12AO BO 的面积是（）A ．423B ．22C ．42D ．82320．（2021·全国）过点()0,4M -作直线l 与圆22:2660C x y x y ++-+=相切于A 、B 两点，则直线AB 的方程为（）A ．230x y -+=B ．7180x y -+=C ．2550x y -+=D ．2550x y ++=21．（2021·安徽省岳西县店前中学高二期末（文））已知圆22:20M x y ay +-=（0a >）截直线0x y +=所得线段的长度为22，则圆M 与圆22:61240N x y x y +---=的位置关系是（）A ．内切B ．外切C ．相交D ．相离22．（2021·江苏高二课时练习）已知圆22:2440A x y x y +---=，圆22:2220B x y x y +++-=，则两圆的公切线的条数是（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条23．（2020·浙江台州市·高二期中）已知圆C ：222245200()x y mx my m m R +-++-=∈上存在两个点到点(1,2)A -的距离为5，则m 可能的值为（）A ．5B ．1C ．1-D ．3-24．（2021·全国）已知圆221:20C x y kx y +-+=与圆222:20C x y ky ++-=的公共弦所在直线恒过点(),P a b ，且点P 在直线20mx ny --=上，则mn 的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．1,14⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦25．（2021·安徽池州·高二期末（文））若圆221:2440C x y x y +---=与圆222:8120()C x y x y m m R +--+=∈外切，则m =（）A ．36B ．38C ．48D ．5026．（2021·内蒙古包头市·高二月考（理））已知()()1,0,1,0A B -，圆C ：()()22234x y R -+-=（0R >），若圆C 上存在点M ，使90AMB ∠=︒，则圆C 的半径R 的范围是（）A ．46R ≤≤B ．2542R ≤≤C ．442R ≤≤D ．256R ≤≤27．（2021·重庆）若221:(1)(2)4C x y -+-= 与222:()()4(,)C x a y b a b R -+-=∈ 有公共点，则2224a b a b +--的最大值为（）A ．9B ．10C ．11D ．12【高分突破】一：单选题28．（2021·贵溪市实验中学高二月考）若圆C 与圆22(2)(1)1x y ++-=关于原点对称，则圆C 的方程是（）A ．22(2)(1)1x y -++=B ．22(2)(1)1x y -+-=C ．22(1)(2)1x y -++=D ．22(1)(2)1x y ++-=29．（2020·安徽省蚌埠第三中学（理））已知圆()()228x a y a -+-=上总存在两个点到原点的距离为2，则a 的取值范围为（）A ．11a -<≤B ．33a -≤<C ．31a -≤≤-或13a ≤≤D ．31a -<<-或13a <<30．（2021·江西吉安·白鹭洲中学）若圆22:60,(0,0)M x y ax by ab a b +++--=>>平分圆22:4240N x y x y +--+=的周长，则2a b +的最小值为（）A ．8B ．9C ．16D ．2031．（2020·九龙坡区·重庆市育才中学高二月考）若圆C 的圆心在直线40x y --=上，且经过两圆22460x y x +--=和22460x y y +--=的交点，则圆C 的圆心到直线3450x y ++=的距离为（）A ．0B ．85C ．2D ．18532．（2020·重庆万州区·万州外国语学校天子湖校区）圆()()221:114C x y +++=和圆()()2224:23C x y -+-=的公切线的条数为（）A ．1B ．2C ．3D ．433．（2020·宁城县蒙古族中学高二月考（理））若圆()221:0O x y m m +=>与圆222:86240O x y x y +-+-=有公共点，则实数m 的取值范围为（）A ．()4,144B ．[]4,144C ．[]4,49D ．(]4,14434．（2020·江西省吉水中学高二月考（理））已知圆221:0C x y kx y +--=和圆222:210C x y ky +--=的公共弦所在的直线恒过定点M ，且点M 在直线2mx ny +=上，则22m n +的最小值为（）A ．15B ．55C ．255D ．4535．（2020·南昌市·江西师大附中（文））已知圆1O 的方程为()2216x y ++=，圆2O 的圆心坐标为()2,1．若两圆相交于,A B 两点，且AB 4=，则圆2O 的方程为()A ．()()22216x y -+-=B ．()()222122x y -+-=C ．()()22216x y -+-=或()()222122x y -+-=D ．()()222136x y -+-=或()()222132x y -+-=36．（2020·化州市第一中学高二月考）若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：()()22112x y +++=的周长，则12m n+的最小值为（）A ．92B ．9C ．6D ．3二、多选题37．（2021·全国高二专题练习）已知两圆221x y +=和22(4)()25x y a ++-=相切，则实数a =（）A ．213±B ．25±C ．0D ．以上均有可能38．（2021·全国高二期中）点P 在圆221:1C x y +=上，点Q 在圆222:68240C x y x y +-++=上，则（）A ．||PQ 的最小值为0B ．||PQ 的最大值为7C ．两个圆心所在的直线斜率为43-D ．两个圆相交弦所在直线的方程为68250x y --=39．（2021·全国高二专题练习）已知圆222:210C x ax y a -++-=与圆22:4D x y +=有且仅有两条公共切线，则实数a 的取值可以是（）A ．3-B ．3C ．2D ．2-40．（2021·重庆北碚区·西南大学附中）设m R ∈，过定点A 的动直线1:0l x my +=，和过定点B 的动直线23:0l mx y m --+=交于点P ，圆()()22:243C x y -+-=，则下列说法正确的有（）A ．直线2l 过定点(1，3)B ．直线2l 与圆C 相交最短弦长为2C ．动点P 的曲线与圆C 相交D ．|PA |+|PB |最大值为541．（2021·全国）已知圆221:1C x y +=，圆()()()2222:340C x y r r -++=>，则（）A ．若圆1C 与圆2C 无公共点，则04r <<B ．当=5r 时，两圆公共弦长所在直线方程为6810x y --=C ．当2r =时，P 、Q 分别是圆1C 与圆2C 上的点，则PQ 的取值范围为[]28,D ．当04r <<时，过直线268260x y r -+-=上任意一点分别作圆1C 、圆2C 切线，则切线长相等三、填空题42．（2021·南昌市豫章中学高二开学考试（文））两圆224210x y x y +-++=与22(2)(2)9x y ++-=的公切线有___________条.43．（2020·浙江台州市·高二期中）已知点Q 是圆221x y +=上任意一点，点(2,2)A -，点(6,4)B -，点P 满足2218PA PB +=，则PQ 的最小值为___________.44．（2021·上海高二专题练习）已知圆221:(4)(4)4C x y -+-=，圆222:(3)(5)2C x y -++=.若圆心在x 轴上的圆C 同时平分圆1C 和2C 的圆周，则圆C 的方程为______.45．（2021·台州市书生中学高二期中）已知实数x 、y 满足方程22410x y x +-+=．求：yx的取值范围为_______；y x -的最小值为________；22xy +的取值范围为__________.四、解答题46．（2021·安徽滁州市·明光市二中高二期末（理））已知圆221:(1)1C x y -+=与圆222:80C x y x m +-+=．（1）若圆1C 与圆2C 恰有3条公切线，求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，若直线20x y n ++=被圆2C 所截得的弦长为2，求实数n 的值．47．（2020·山西高二期中）已知圆M ：22210240x y ax ay +-+-=，圆N ：222280x y x y +++-=．且圆M 上任意一点关于直线40x y ++=的对称点都在圆M 上．（1）求圆M 的方程；（2）证明圆M 和圆N 相交，并求两圆公共弦的长度l ．48．（2021·安徽省蚌埠第三中学（文））已知圆221:2280C x y x y +++-=与圆222:210240C x y x y +-+-=相交于A ､B 两点.（1）求公共弦AB 的长；（2）求圆心在直线y x =-上，且过A ､B 两点的圆的方程；（3）求经过A ､B 两点且面积最小的圆的方程.49．（2020·全国高二课时练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点()2,4P，圆22:4O x y+=与x轴的正半轴的交点是Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点,A B.（1）求AB的中点M的轨迹方程；（2）设点4,03N⎛⎫⎪⎝⎭，若133MN OM=，求QAB的面积.2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：圆与圆的位置关系【答案详解】1．D 【详解】由题设，221:(3)(2)1C x y -+-=，222:(3)9C x y +-=，∴1(3,2)C ，2(0,3)C ，则122C C =，又121,3r r ==，∴1221C C r r =-，故两圆内切.故选：D 2．C 【详解】解：根据题意，圆221:(1)(2)9O x y -++=，圆心1(1,2)O -，半径3R =，圆222:(2)(1)16O x y +++=，圆心2(2,1)O --，半径4r =，圆心距12||10O O =，有431043-<<+，则两圆相交；故选：C ．3．A 【详解】解：圆1C ：221x y +=的圆心1(0,0)C ，半径为11r =，由()224310x y k x y +++-=，得222325(2)()124x k y k k +++=+，所以圆2C 的圆心为23(2,)2C k k --，半径222514r k =+，所以2222121292525411444C C k k k r r k =+=<+=++，因为2225251144k k +>+（0k ≠），所以2225251144k k >+-，所以1221C C r r >-所以两圆相交．故选：A 4．C 【详解】由题意作出图形分析得：由圆的几何性质知：当两圆在点A 处的切线互相垂直时，切线分别过对方圆心O 、1O ，则在1Rt OAO △中，5OA =，120O A =，所以15O O =，斜边上的高为半弦，且1OO AB ⊥，则11111222AO O AB S O O OA O A =⋅=⋅ ，即55202AB ⋅=⋅，所以AB 4=.故选：C.5．D 【详解】将两圆方程分别整理为：()()2229x a y -++=和()()2214x y a ++-=，则两圆圆心分别为(),2a -和()1,a -，半径分别3和2；两圆有3条公切线，∴两圆外切，∴两圆圆心距()()221232d a a =++--=+，解得：5a =-或2.故选：D.6．C 【详解】由题意可知，圆1C 的圆心为()10,0C ，半径为1，圆2C 的圆心为()20,2C ，半径为r ，所以，122C C =，由于两圆有公共点，则1211r C C r -≤≤+，即1210r r r ⎧-≤≤+⎨>⎩，解得13r ≤≤.故选：C.7．D 【详解】由圆()()22341x y -+-=的圆心坐标为()3,4A ，而()3,4A 关于直线y x =-的对称点为()4,3A '--，∴以()4,3A '--为圆心，以1为半径的圆的方程为()()22431x y +++=．故选：D ．8．A 【详解】设所求的圆的方程为()2222520x y x x y λ+-++-=,把点(2,2)M -代入可得,()44524420λ+-⨯++-=,解得13λ=,所以所求圆的方程为22151042x y x +--=,故选:A 9．D 【详解】由圆A ：（x-5）2+（y+7）2=16，得到A 的坐标为（5，-7），半径R=4，且圆B 的半径r=1，根据图象可知：当圆B 与圆A 内切时，圆心B 的轨迹是以A 为圆心，半径等于R-r=4-1=3的圆，则圆B 的方程为：（x-5）2+（y+7）2=9；当圆B 与圆A 外切时，圆心B 的轨迹是以A 为圆心，半径等于R+r=4+1=5的圆，则圆B 的方程为：（x-5）2+（y+7）2=25．综上，动圆圆心的轨迹方程为：（x-5）2+（y+7）2=25或（x-5）2+（y+7）2=9．故选：D ．10．C 【详解】解：圆221:260O x y x y +-+=的圆心1(1,3)O -，圆222:60O x y x +-=的圆心2()3,0O ，所以12O O 的中点坐标为31(2+，30)2-+，即3(2,)2-，120(3)3312O O k --==-所以两圆的公共弦AB 的垂直平分线即是圆心12O O 所在的直线：33(2)22y x +=-，即3290x y --=，故选：C ．11．B 【详解】根据题意，圆222620x y x y +-++=，其圆心为M ，则(1,3)M -，圆224240x y x y --++=，其圆心为N ，则(2,1)N -，垂直平分两圆的公共弦的直线为两圆的连心线，则直线MN 的方程为313(1)12y x --+=-+，变形可得4350x y ++=；故选:B.12．A 【详解】由题意知：12(1,1),(1,2)C C --，且12C C 垂直平分AB ，∴线段AB 的垂直平分线所在直线必过12,C C ，故直线的方程为31(1)2y x -=-，整理得3210x y --=.故选：A 13．B 【详解】依题意，圆()()221:129C x y -+-=，圆心为()1,2，半径为3；圆()()222:3536C x y -+-=，圆心为()3,5，半径为6；因为()1249133,9C C =+=∈，故圆1C ，2C 相交，有2条公切线，故选：B.14．D 【详解】由题可得圆1C 的圆心为()0,m -，半径为2，圆2C 的圆心为()0m ,，半径为22， 两圆恰有两条公切线，∴两圆相交，12232C C ∴<<，()()2212002C C m m m =-+--= ，2232m ∴<<，解得3<1m -<-或13m <<.故选：D.15．B 【详解】两个圆化为标准方程可得()()22125x y -++=，()()22220x m y m -++=，圆1C 的圆心为()11,2C -，半径15r =，圆2C 的圆心为()1,2C m m -，半径225r =，圆心距22212(1)(22)5105C C m m m m =-+-+=-+，因为两圆的公切线恰好有2条，所以两圆相交，则22555105255m m -<+<+-，解得(2,0)(2,4)m ∈-⋃.故选：B16．（1）240x y -+=；（2）圆22:6680C x y x y ++-+=.【详解】（1）因为圆221:210240C x y x y +-+-=，圆222:2280C x y x y +++-=，且它们的交点为,A B ，故AB 的直线方程为：()2222210242280x y x y x y x y +-+--+++-=，整理得到AB 的直线方程为：240x y -+=.（2）设圆C 的方程的方程为：()22228240x y x y x y λ+++-+-+=，整理得到圆()()22:222840C x y x y λλλ++++--+=，故2,12C λλ+⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为C 在直线0x y +=上，故2102λλ+-+-=，故4λ=，故圆22:6680C x y x y ++-+=.17．（1）3n =-；()2211x y -+=.（2）外切，23；内切，219.【详解】（1）圆C 与直线30x y n ++=切于点33(,)22，点33(,)22在直线30x y n ++=上，则333022n +⨯+=，解得3n =-.圆C 的圆心C 在x 轴上，设圆心为()0m ,，半径为r ，则圆C 的方程为()222x m y r -+=，所以302332m -=-，解得1m =，13113r -==+，则圆C 的方程为()2211x y -+=.（2）根据题意，()1,0C ，()0,15M ，当两圆外切时，41CM r ==+，3r =当两圆内切时，41CM r ==-，=5r ，点M 到直线320x y -=的距离215632d -⨯==+，当两圆外切时，3r =，此时弦长22229623l r d =-=-=，当两圆内切时，=5r ，此时弦长2222256219l r d =-=-=.18．C 【详解】由题意知221:4240C x y x y ++--=，222:3310C x y x y ++--=，将两圆的方程相减，得30x y +-=，所以两圆的公共弦所在直线的方程为30x y +-=.又因为圆1C 的圆心为(2,1)-，半径3r =，所以圆1C 的圆心到直线30x y +-=的距离213222d -+-==.所以这两圆的公共弦的弦长为()2222223222r d -=-=.故选：C.19．C 【详解】由圆2O －圆1O 可得，直线:AB 64x =-，即23x =-，所以22822433AB ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，而123O O =，所以四边形12AO BO 的面积是121182342223S AB O O =⋅=⨯⨯=．故选：C ．20．B 【详解】圆C 的标准方程为()()22134x y ++-=，圆心为()1,3C -，半径为2，由圆的切线的性质可得MA AC ⊥，则()()22222=21034246MA MC -=--++-=，所以，以点M 为圆心、以MA 为半径的圆M 的方程为()22446x y ++=，将圆M 的方程与圆C 的方程作差并化简可得7180x y -+=.因此，直线AB 的方程为7180x y -+=.故选：B.21．A 【详解】圆M 的圆心为()0,M a ，半径为1,0r a a =>，圆心()0,M a 到直线0x y +=的距离为2a，所以22222222a a a ⎛⎫⎛⎫+=⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()10,2,2M r =.圆N 的圆心为()3,6N ，半径27r =，215MN r r ==-，所以两个圆的位置关系是内切.故选：A 22．B 【详解】由圆22:2440A x y x y +---=可化为22(1)(2)9x y -+-=，可得圆心坐标为(1,2)A ，半径为3R =，由圆22:2220B x y x y +++-=可化为22(1)(1)4x y +++=，可得圆心坐标为(1,1)B --，半径为2r =，则圆心距为22(11)(21)13d AB ==+++=，又由5,1R r R r +=-=，所以R r AB R r -<<+，可得圆A 与圆B 相交，所以两圆公共切线的条数为2条.故选：B.23．C 【详解】以(1,2)A -为圆心，以15r =为半径的圆A ：()()22125x y -++=，圆C ：222245200()x y mx my m m R +-++-=∈圆心为(),2C m m -，半径225r =，圆心距()()2221225105AC m m m m =-+-+=-+，由题意可得两圆相交，即22555105255m m -<+<+-，解得()()2,02,4m ∈- .故选：C 24．A 【详解】解：由圆221 : 20C x y kx y +-+=，圆222:20C x y ky ++-=，得圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线方程为()220k x y y +--=，求得定点()1,1P -，又()1,1P -在直线20mx ny --=上，2m n +=，即2n m =-.∴()()2211mn m m m =-=--+，∴mn 的取值范围是(],1-∞.故选：A.25．C 【详解】依题意，圆221:(1)(2)9C x y -+-=，圆222:(4)(6)52C x y m -+-=-，故22(41)(62)523m -+-=-+，解得48m =，故选C ．26．A 【详解】由题意，点()()1,0,1,0A B -，因为90AMB ∠=︒，所以点M 在以AB 为直径的圆上，设AB 的中点为P 的坐标为(0,0)，2AB =，所以圆P 的方程为221x y +=，又由圆()()222:34C x y R -+-=的圆心为(3,4)，半径为R ，则5PC =，要使得圆C 上存在点M ，满足90AMB ∠=︒，则圆P 与圆C 由公共点，可得151R R -≤≤+，解得46R ≤≤,即圆C 的半径R 的范围是46R ≤≤.故选：A.27．C 【详解】根据题意，221:(1)(2)4C x y -+-= ，其圆心为(1,2)，半径2R =，222:()()4C x a y b -+-= ，其圆心为(,)a b ，半径2r =，两圆的圆心距222212(1)(2)245C C a b a b a b =-+-=+--+，若两圆有公共点，则1204C C R r +=，即2224516a b a b +--+，则有222411a b a b +--，则2224a b a b +--的最大值为11，故选：C 28．A 【详解】由于圆22(2)(1)1x y ++-=的圆心(2,1)C '-，半径为1，圆C 与圆22(2)(1)1x y ++-=关于原点对称，故(2,1)C -、半径为1，故圆C 的方程为：22(2)(1)1x y -++=，故选：A ．29．D 【详解】由圆的方程知：圆心为(),a a ，半径22r =，则圆心到原点的距离为2d a =，圆上总存在两个点到原点的距离为2，∴圆()()228x a y a -+-=与圆222x y +=相交，2222222a ∴-<<+，即2232a <<，解得：31a -<<-或13a <<.故选：D.30．A 【详解】两圆方程相减得，(4)(2)100a x b y ab +++--=，此为相交弦所在直线方程，圆N 的标准方程是22(2)(1)1x y -+-=，圆心为(2,1)N ，∴2(4)2100a b ab +++--=，121a b+=，∵0,0a b >>，∴12442(2)()4428b a b aa b a b a b a b a b+=++=++≥+⨯=，当且仅当4b a a b =即2,4a b ==时等号成立．故选：A ．31．C 【详解】设两圆交点为,A B ，联立2222460460x y x x y y ⎧+--=⎨+--=⎩得1111x y =-⎧⎨=-⎩或2233x y =⎧⎨=⎩，1AB k =，则AB 中点为()1,1，过AB 两点的垂直平分线方程为()112y x x =--+=-+，联立240y x x y =-+⎧⎨--=⎩得31x y =⎧⎨=-⎩，故圆心为()3,1-，由点到直线距离公式得334525d ⨯-+==故选：C 32．D 【详解】圆1C 的圆心为()11,1C --，半径为12r =，圆2C 的圆心为()22,3C ，半径为22r =，()()221212213154C C r r =+++=>+= ，所以，两圆外离.因此，圆1C 与圆2C 的公切线条数为4.故选：D.33．B 【详解】圆()221:0O x y m m +=>，圆心()10,0O ，半径1r m =圆222:86240O x y x y +-+-=，圆心()24,3O -，27r =125O O =，两圆有公共点则：757m m -≤≤+，4144m ≤≤故选:B 34．C 【详解】由圆221:0C x y kx y +--=和圆222:210C x y ky +--=，可得圆1C 和2C 的公共弦所在的直线方程为()()210k x y y -+-=，联立2010x y y -=⎧⎨-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，即点()2,1M 又因为点M 在直线2mx ny +=上，即22m n +=，又由原点到直线22x y +=的距离为22225521d ==+，即22m n +的最小值为255.故选：C.35．C 【详解】设圆()()()2222:210O x y r r -+-=>∴直线AB 的方程为：()()()222222116x y x y r -+---+=-，即244100x y r ++-=1O ∴到直线AB 距离22410144242r r d -+--==2264d ∴-=，解得：22d =()2214232r -∴=，解得：26r =或22∴圆2O 的方程为()()22216x y -+-=或()()222122x y -+-=故选：C 36．D 【详解】把圆2C ：()()22112x y +++=化为一般式，得22220x y x y +++=，又圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >），两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=.圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，()()12150m n ∴-+-++=，即()123,213m n m n +=∴+=.()112225331212121n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭⎭()122152522333n m m n ⎛⎫≥+⨯=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.当且仅当2322m n n m mn +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1m n ==时，等号成立.12m n∴+的最小值为3.故选：D .37．BC 【详解】圆221x y +=的圆心为(0,0)，半径为1，圆22(4)()25x y a ++-=的圆心为(4,)a -，半径为5，若两圆相切，分两种情况讨论：当两圆外切时，有222(4)(15)a -+=+，解得25a =±；当两圆内切时，有222(4)(15)a -+=-，解得0a =，综合可得：实数a 的值为0或25±．故选：BC ．38．BC 【详解】解：根据题意，圆221:1C x y +=，其圆心1(0,0)C ，半径1R =，圆222:68240C x y x y +-++=，即22(3)(4)1x y -++=，其圆心2(3,4)C -，半径1r =，圆心距12||1695C C =+=，则||PO 的最小值为123C C R r --=，最大值为127C C R r ++=，故A 错误，B 正确；对于C ，圆心1(0,0)C ，圆心2(3,4)C -，则两个圆心所在的直线斜率404303k --==--，C 正确，对于D ，两圆圆心距125C C =，有122C C R r >+=，两圆外离，不存在公共弦，D 错误．故选：BC ．39．CD 【详解】圆C 方程可化为：()221x a y -+=，则圆心(),0C a ，半径11r =；由圆D 方程知：圆心()0,0D ，半径22r =；圆C 与圆D 有且仅有两条公切线，∴两圆相交，又两圆圆心距d a =，2121a ∴-<<+，即13a <<，解得：31a -<<-或13a <<，可知CD 中的a 的取值满足题意.故选：CD.40．ABC 【详解】A ：由230(1)(3)0l mx y m m x y --+=⇒-+-=：，有101330x x y y -=⎧⇒==⎨-=⎩，，所以直线过的定点为(1)3，，故A 正确；B ：由圆的标准方程可得圆心为4(2)C ，，半径3r =，直线2l 过的定点为3(1)B ，，当2l CB ⊥时所得弦长最短，则21CM l l k k ⋅=-，又2l k m =，1CM l k =，所以1m =-，得240l x y +-=：，则圆心到直线2l 的距离为2=22d =，所以弦长为：2222r d -=，故B 正确；C ：当0m =时，1203l x l y ==：，：，则点(03)P ，，此时点P 在圆C 外；当0m ≠时，由直线1l 得xm y=-，代入直线2l 中得点P 的方程为圆22135()()222N x y -+-=：，得13()22N ，，半径为10=2R ，所以圆心距3410=322NC r R <+=+，所以两圆相交.故C 正确；D ：由10(00)l x my A +=⇒：，，当0m =时，1203l x l y ==：，：，有12l l ⊥，当0m ≠时，11l k m=-，2l k m =，则1l k 21l k =-，所以12l l ⊥，又点P 是两直线的交点，所以PA PB ⊥，所以222=10PA PB AB +=，设ABP θ∠=，则10sin 10cos PA PB θθ==，，因为0PA PB ≥≥0，，所以[0]2πθ∈，，所以10(sin cos )25sin()254PA PB πθθθ+=+=+≤，故D 错误.故选：AB 41．BCD由题意，圆221:1C x y +=的圆心为()10,0C ，半径为11r =；圆()()()2222:340C x y r r -++=>的圆心为()23,4C -，半径为r ；则圆心距为()()221203045C C =-++=；A 选项，若圆1C 与圆2C 无公共点，则只需121C C r <-或121C C r >+，解得6r >或04r <<，故A 错；B 选项，若=5r ，则圆()()222:3425C x y -++=，由221x y +=与()()223425x y -++=两式作差，可得两圆公共弦所在直线方程为6810x y --=，故B 正确；C 选项，若2r =，则()()222:344C x y -++=，此时125213C C =>+=，所以圆1C 与圆2C 相离；又P 、Q 分别是圆1C 与圆2C 上的点，所以()12121212C C PQ C C -+≤≤++，即28PQ ≤≤，故C 选项正确；D 选项，当04r <<时，由A 选项可知，两圆外离；记直线268260x y r -+-=上任意一点为()00,M x y ，则20068260x y r -+-=，所以22100MC x y =+，()()222222200000000003468256825MC x y x y x y x y x y =-++=+-++=+-++222001x y r =++-，因此切线长分别为2222110011d MC x y =-=+-，222222001d MC r x y =-=+-，即12d d =，故D 正确；故选：BCD.42．3解：圆224210x y x y +-++=整理可得：22(2)(1)4x y -++=，可得圆心1C 的坐标为：(2,1)-，半径12r =；22(2)(2)9x y ++-=的圆心2C 坐标(2,2)-，半径23r =；所以圆心距221212||(22)(21)5C C r r =+++==+，所以可得两个圆外切，所以公切线有3条，故答案为：3．43．2【详解】设(),P x y ，由2218PA PB +=可得，()()()()2222226418x y x y ++-+++-=，化简得，()()22434x y ++-=，所以点P 的轨迹为圆，圆心坐标为()4,3-，点Q 在圆221x y +=上，两圆的圆心距为()2243521-+=>+，所以两圆相离，故PQ 的最小值为5212--=．故答案为：2．44．2236x y +=【详解】由题意，圆C 与圆1C 和圆2C 的公共弦分别为圆1C 和圆2C 的直径设圆C 的圆心为(,0)x ，半径为r ，则2222(4)(04)(3)(05)24x x -+-=-++++，解得：0x =，半径22(04)(04)46r =-+-+=，故圆C 的方程为2236x y +=，故答案为：2236x y +=.45．3,3⎡⎤-⎣⎦26--743,743⎡⎤-+⎣⎦圆22410x y x +-+=的标准方程为()2223x y -+=，圆心为()2,0，半径为3.设y k x =，可得0kx y -=，则直线0kx y -=与圆()2223x y -+=有公共点，则2231k k ≤+，解得33k -≤≤，则yx的取值范围为3,3⎡⎤-⎣⎦；设y x b -=，可得0x y b -+=，则直线0x y b -+=与圆()2223x y -+=有公共点，则232b +≤，解得2626b --≤≤-+，则y x -的最小值为26--；设()2220x y r r +=>，由于()220203-+>，则原点在圆()2223x y -+=外，因为圆222x y r +=与圆()2223x y -+=有公共点，圆心距为2d =，故323r r +≤≤-，解得2323r -≤≤+，故22743743x y -≤+≤+.即22xy +的取值范围为743,743⎡⎤-+⎣⎦.故答案为：3,3⎡⎤-⎣⎦；26--；743,743⎡⎤-+⎣⎦.46．（1）12m =；（2）1n =-或7n =-．【详解】解：（1）圆221:(1)1C x y -+=，圆心1(1,0)C ，半径11r =；圆222:(4)16C x y m -+=-，圆心2(4,0)C ，半径216r m =-．因为圆1C 与圆2C 有3条公切线，所以圆1C 与圆2C 相外切，所以1212C C r r =+，即3116m =+-，解得12m =．（2）由（1）可知，圆222:(4)4C x y -+=，圆心2(4,0)C ，半径22r =．因为直线20x y n ++=与圆2C 相交，弦长是2，所以圆心2C 到直线20x y n ++=的距离222232d r ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即|4|33n +=，解得1n =-或7n =-．47．解：（1）圆M ：22210240x y ax ay +-+-=的圆心为(),5M a a -，由已知可得直线40x y ++=经过圆心M ，所以540a a -+=，解得1a =，则有圆M 的方程为22210240x y x y +-+-=；（2）因为圆M 的圆心为()1,5M -，半径152r =，圆N 的圆心()1,1N --，半径210r =，所以()()22115125MN =++-+=，因为5210255210-<<+，所以圆M 和圆N 相交，又由22222102402280x y x y x y x y ⎧+-+-=⎨+++-=⎩，得两圆的公共弦所在直线方程为240x y -+=，所以M 到直线240x y -+=的距离1104355d ++==，所以22211504552r d ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，解得25l =，则圆M 和圆N 的公共弦的长度25l =．48．（1）由两圆方程相减即得240x y -+=，此为公共弦AB 所在的直线方程.圆心1(1,1)C --，半径110r =.1C 到直线AB 的距离为|124|55d -++==，故公共弦长221||225AB r d =-=.（2）圆心25(1,)C -，过1C ，2C 的直线方程为115111y x ++=-++，即230x y ++=.由230x y y x ++=⎧⎨=-⎩得所求圆的圆心为()3,3-.它到AB 的距离为|364|55d --+==，∴所求圆的半径为5510+=，∴所求圆的方程为22(3)(3)10x y ++-=.（3）过A ､B 且面积最小的圆就是以AB 为直径的圆，由240230x y x y -+=⎧⎨++=⎩，得圆心(2,1)-，半径5r =.∴所求圆的方程为22(2)(1)5++-=x y .49．解：（1）连接,OM OP ，取OP 中点E ，由圆的性质知，OM AB ⊥，所以在Rt OPM △中，25OP =，且为斜边，所以M 在以OP 为直径的圆上，圆心为()1,2，半径为5r =，所以点M 的轨迹为圆，圆心为()1,2E ，半径为5r =，方程为：()()22125x y -+-=；又因为M 在已知圆内部，故与圆O 联立方程组()()22224125x y x y ⎧+=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得两圆交点坐标为68,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，()2,0所以点M 的轨迹方程为()()22125x y -+-=，6,25x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，85y <.（2）设(),M x y ，由133MN OM =得：222241333x y x y ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭，整理得：22640x y x +++=，所以M 在圆22640x y x +++=上，结合（1），M 又在圆()()22125x y -+-=，6,25x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，85y <，故两圆联立方程组()()2222640125x y x x y ⎧+++=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得：()1,1M -，所以2OM =，22AB =，OM 的斜率为1OM k =-，1AB k =直线AB 方程为：2y x =+，所以Q 点到直线AB 的距离为：4222d ==，所以QAB 的面积为142S AB d =⋅⋅=。
2020-2021学年重庆市秀山高级中学校高二上学期10月月考数学试题(解析版)
重庆市秀山高级中学校2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题本试卷共22题，共150分，共1张4页。
考试结束后，将答题卡交回。
考试时间：9月29日15：00—17：00 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填涂清楚。
2．答题时请按要求用0.5的黑色签字笔书写。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．圆C 的圆心为（1，2），半径为3，则圆的方程为（ ） A ．()()32122=-+-y xB ．()()32122=+++y xC ．()()92122=-+-y x D ．()()92122=+++y x2．空间直角坐标系中，点P （2，﹣1，3）关于点M （﹣1，2，3）的对称点Q 的坐标为（ ） A ．（﹣4，5，3）B ．（﹣5，3，4）C ．（4，﹣3，1）D ．（4，1，1）3．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为12cm ，体积为72πcm 3的细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度为（ ）A ．3cmB ．6cmC ．8cmD ．9cm4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为（ ）（单位：cm 3） A ． B ．C ．D ．5．若圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0外切，则实数m＝（）A．﹣24B．﹣16C．24D．166．已知命题P：“若对任意的x＞0都有2x﹣1＞a，则a≤﹣1”，则命题P的否命题为（）A．若存在x＞0使得2x﹣1＞a，则a＞﹣1B．若存在x＞0使得2x﹣1≤a，则a＞﹣1C．若a＞﹣1，则存在x＞0使得2x﹣1＞a D．若a＞﹣1，则存在x＞0使得2x﹣1≤a 7．若向量，，不共面，则下列选项中三个向量不共面的是（）A．B．C．D．8．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都相等，D是侧棱BB1的中点，则异面直线AB1与C1D所成的角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．命题p：∃x∈R使sin x＝；命题q：∀x∈R，都有x2﹣x+1≥0，下列结论正确的是（）A．p∨q是真命题B．p∧q是真命题C．（￢p）∨q是假命题D．（￢p）∧（￢q）是真命题10．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若m∥n，n⊂α，则m∥α；③若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；④若m⊥β，m∥α，则α⊥β．其中所有正确命题的序号是（）A．①②B．②③C．②④D．①④11．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分别为边BC，CD上的动点，P为MN的中点，且MN＝2．则AP长度的最小值为（）A．B．3C．4D．212．已知球O为三棱锥S﹣ABC的外接球，SA=SC=AB=AC=2,BS=BC=2，则球O的表面积是（）A．B．C．7πD．8π第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知直线l的倾斜角是直线y＝x+1的倾斜角的2倍，且过定点P（3，3），则直线l的方程为．14．以点C（1，0）为圆心，且被y轴截得的弦长为2的圆的标准方程为．15．若等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则“a1＞1，且q＞1”是“∀n∈N*，都有a n+1＞a n”的条件．16．在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E,F,G,分别是棱AB,B1B,C1D1,上的点，且AE=B1F=GC1=1，过E，F，G三点作正方体的截面，将截面多边形向平面ABCD作投影，则投影图形的面积为．三、解答题：（本大题共6小题，共计70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题10分）已知p：对于∀x∈R，x2+kx+k＞0成立，q：关于k的不等式（k﹣m）（k﹣2）≤0（m＜2）成立．-,且p∧q为真命题，求k的取值范围；（1）若m=1（2）若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围．18．（本题12分）直线l的y轴截距为4，且过直线x﹣y+11＝0和直线2x﹣y+14＝0的交点Q.（1）求直线l的方程；（2）直线kx﹣y+2k+5＝0所过的定点为M，直线a过M且与l平行，求直线a和直线l间的距离.19．（本题12分）如图．已知ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上， 且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1．（1）求证：E ，B ，F ，D 1四点共面; （2）求证：平面 11C DA 平面EBFD 1．20．（本题12分）已知圆C 经过A （﹣1，5），B （5，5），D （6，﹣2）三点． （Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）求经过点E （﹣3，2）且和圆C 相切的直线l 的方程．21．（本题12分）在四棱锥S ﹣ABCD 中，底面ABCD 为长方形，平面SAB ⊥底面ABCD ，其中BS ＝2，BA ＝2，SA ＝22，BC ＝23． （1）求直线AS 与平面ABCD 所成角的正弦值；（2）线段CD 上满足AE ⊥SE 的点有两个，分别记为E 1，E 2，求二面角E 1﹣SB ﹣E 2的大小．1A 1B 1C 1D22.（本题12分）在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，1）且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2+y2＝4交于点A，B，与圆M：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1交于点C，D．（1）若AB＝273，求CD的长；（2）若CD的中点为E，求△ABE面积的取值范围．参考答案重庆市秀山高级中学校2022级2020年秋期半期考试数学试题参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．C2．解：设空间直角坐标系中，点P（2，﹣1，3）关于点M（﹣1，2，3）的对称点Q的坐标为（a，b，c），则，解得a＝﹣4，b＝5，c＝3，∴Q点坐标为（﹣4，5，3）．故选：A．3．解：细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为6，设高为h，则沙堆的体积为，解得h＝6．故选：B．4．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体由一个底面半径为2，高为4的圆柱体和一个底面边长为2，高为的正四棱锥体组成．所以该几何体的体积为：＝16．故选：C．5．解：根据题意，圆C1：x2+y2＝4，圆心为（0，0），半径为R＝2，圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0，即（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25﹣m，圆心为（3，4），半径r＝若圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0外切，则有|C1C2|＝＝5＝2+，解可得m＝16，故选：D．6．解：否命题是条件、结论都否定，“若对任意的x＞0都有2x﹣1＞a，则a≤﹣1”的否命题为“若存在x＞0使得2x﹣1≤a，则a＞﹣1．故选：B．7.解：向量，，不共面，则下列选项中三个向量A，﹣与+共面，进而得出三个向量共面．B.三个向量不共面C．++＝（+）+，因此三个向量共面．；D．不含有，三个向量一定共面．故选：B．8．解：设BC的中点为E，连接AE，由△ABC为等边三角形，可得AE⊥BC，由正三棱柱ABC﹣A1B1C1可得B1B⊥平面ABC，而AE⊂平面ABC，即有AE⊥B1B，则AE⊥平面BC1，连结B1E，由tan∠BB1E•tan∠B1DC1＝•＝•2＝1，可得∠BB1E+∠B1DC1＝90°，则B1E⊥C1D，由三垂线定理得AB1⊥C1D，故选：D．9．解：根据题意，命题p，由于﹣1≤sin x≤1，则：∃x∈R使sin x＝不会成立，p为假命题，对于q，x2﹣x+1＝（x﹣）2+，则∀x∈R，都有x2﹣x+1≥0，q为真命题，故p∨q、（￢p）∨q为真命题，p∧q、（￢p）∧（￢q）是假命题，则A正确，BCD错误，故选：A．10．解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：对于①，若m⊥α，n∥α，则由线面垂直的性质和线面平行的性质得m⊥n，故①正确；对于②，若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故②错误；对于③，若m∥α，n∥β，α∥β，则m与n相交、平行或异面，故③错误；对于④，若m⊥β，m∥α，则由面面垂直的性质定理得α⊥β，故④正确．故选：D．11．解：以AB为x轴，以AD为y轴建立直角坐标系系，在矩形ABCD中，AB＝4，AD ＝3，M，N分别为边BC，CD上的动点，P为MN的中点，设M（4，y），N（x，3），则，∵MN＝2．∴MN2＝（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4，表示（x，y）以（4，3）为圆心，半径为2的圆，∴，AP长度表示圆上的点（x，y）到（﹣4，3）距离最小得一半，距离的最小值为4+4＝8，∴AP长度的最小值为4．故选：C．12．解：取SC中点M，连接AM、MB，因为△SAC是等边三角形，且SB＝BC，∴AM⊥SC，MB⊥SC，∴SC⊥平面AMB，∴平面SAC⊥平面AMB，由三余弦定理，可知，cos∠SAM•cos∠MAB＝cos∠SAB，由边长条件可知，∠SAM＝30°，∠SAB＝90°，代入上式解得cos∠MAB＝0，∴∠MAB＝90°，因为SC⊥平面AMB，∴球心O在平面AMB上，作OO1⊥平面SAC，易得，，取AB中点N，连接ON，∴ON⊥AB，∴OO1AN四点共圆，AO为这四点共圆的直径，也是三棱锥S﹣ABC的半径，连接O1N，∵∠MAB＝90°，由勾股定理，得，∴O1N为三棱锥S﹣ABC的半径R，∴．故选：A．二．填空题（共4小题）13．x ＝3． 14．（x ﹣1）2+y 2＝2． 15．充分不必要 16． 215． 三．解答题（共6小题）17．已知p ：对于∀x ∈R ，x 2+kx +k ＞0成立，q ：关于k 的不等式（k ﹣m ）（k ﹣2）≤0（m ＜2）成立．（1）若m=-1且p ∧q 为真命题，求k 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求m 的取值范围．解：（1）若p 为真命题，则判别式△＝k 2﹣4k ＜0，得0＜k ＜4，即实数k 的取值范围是（0，4）．由（k ﹣m ）（k ﹣2）≤0（m ＜2）得m ≤k ≤2，即q ：m ≤k ≤2,m=-1则-1≤k ≤2p ∧q 为真命题，0<k ≤2. （2）若p 是q 的必要不充分条件，即q ⇒p ，反之不成立，即当m ≤k ≤2时，x 2+kx +k ＞0恒成立， 即[m ，2]⫋（0，4），即0＜m ＜2，即实数m 的取值范围是（0，2）．20．直线l 在y 轴的截距为4，且过直线x ﹣y +11＝0和直线2x ﹣y +14＝0的交点Q. （1）求直线l 的方程；（2）直线kx ﹣y +2k +5＝0所过的定点为M ，直线a 过M 且与l 平行，求直线a 直线l 间的距离.解：（1）根据题意，点Q 满足⎩⎨⎧=+-=+-0142011y x y x 解得Q(-3，8)，则直线l 过点（0，4），则直线l 的斜率为340348'-=---=k ，则直线l 的方程为4x +3y ﹣12＝0（2）直线kx ﹣y +2k +5＝0，即y ﹣5＝k （x +2），过定点（﹣2，5），直线l 的斜率为34-，则直线a 的斜率为34-，过点（﹣2，5）， 直线a 其方程为y ﹣5＝34-（x +2），变形可得4x +3y ﹣7＝0，则直线a 直线l 间的距离14371222=+-=d ,即直线a 直线l 间的距离为1.19．如图．已知ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，G 在BB 1上，且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1．1A C 1D（1）求证：E ，B ，F ，D 1四点共面; （2）求证：平面⊥11C DA 平面EBFD 1． 证明：（1）如图：在DD 1上取一点N 使得DN ＝1，连接CN ，EN ，则AE ＝DN ＝1．CF ＝ND 1＝2、 因为CF ∥ND 1所以四边形CFD 1N 是平行四边形，所以D 1F ∥CN ． 同理四边形DNEA 是平行四边形，所以EN ∥AD ，且EN ＝AD ，又BC ∥AD ，且AD ＝BC ，所以EN ∥BC ，EN ＝BC ，所以四边形CNEB 是平行四边形， 所以CN ∥BE ，所以D 1F ∥BE ，所以E ，B ，F ，D 1四点共面； （2）连接11111,,,BA C D BD D B B D ，,D D BB C A B D B BB D B C A C A BB D C B A BB 11111111111111111111,平面平面⊥⇒⎭⎬⎫=⋂⊥⊥⇒⊥111BD C A ⊥⇒,同理可得11BD DC ⊥ 11BD DC ⊥111BD C A ⊥，1111C DC C A = ，111C DA BD 平面⊥⇒,11EBFD BD 平面⊆,⇒平面⊥11C DA 平面EBFD 120．已知圆C 经过A （﹣1，5），B （5，5），D （6，﹣2）三点． （Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）求经过点E （﹣3，2）且和圆C 相切的直线l 的方程．解：（Ⅰ）根据题意，设过A （﹣1，5），B （5，5），C （6，﹣2）三点的圆的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0， 则有，解可得D ＝﹣4，E ＝﹣2，F ＝﹣20，故所求圆的一般方程为x 2+y 2﹣4x ﹣2y ﹣20＝0，变形可得（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝25， 故圆C 的标准方程为（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝25，（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，圆C 的方程为（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝25，其圆心C （2，1），半径r ＝5，若直线l 的斜率不存在，直线l 的方程为x ＝﹣3，圆心（2，1）到直线l 的距离d ＝5，与圆相切，符合题意，若直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ﹣2＝k （x +3），即kx ﹣y +3k +2＝0，则有d ＝＝5，解可得k ＝，故直线l 的方程为12x ﹣5y +46＝0；综合可得：直线l 的方程为x ＝﹣3或12x ﹣5y +46＝0．21.在四棱锥S ﹣ABCD 中，底面ABCD 为长方形，平面SAB ⊥底面ABCD ，其中BS ＝2，BA ＝2，SA ＝22，BC ＝23． （1）求直线AS 与平面ABCD 所成角的正弦值；（2）线段CD 上满足AE ⊥SE 的点有两个，分别记为E 1，E 2，求二面角E 1﹣SB ﹣E 2的大小．解：（1）∵BS ＝2，BA ＝2，SA ＝22，∴222SA AB BS =+∴SB ⊥AB∵平面SAB ⊥底面ABCD ，SB ⊥AB,平面SAB 底面ABCD=AB∴SB ⊥底面ABCD ，∴∠SAB 即为直线AS 与平面ABCD 所成角．在Rt △SAB 中，∴sin ∠SAB ＝．故直线AS 与平面ABCD 所成角的正弦值为． （2）以B 为原点，BC 、BA 、BS 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设CE ＝m ，则A （0，2，0），S （0，0，2），E （23，m ，0），B （0，0，0）， ∴＝（23，m ﹣2，0），＝（23，m ，﹣2）， ∵AE ⊥SE ，∴•＝（23，m ﹣2，0）•（23，m ，﹣2）＝+m （m ﹣2）＝0，m ∈[0，2]，解得m＝或．不妨取E1（，，0），E2（，，0），∴＝（0，0，2），＝（，，0），＝（，，0），设平面BSE1的法向量为＝（x，y，z），则，令x＝1，则y＝，z＝0，∴＝（1，，0），同理可得，平面BSE2的法向量为＝（，﹣1，0），∴cos＜＞＝＝＝，∴＜＞＝．由题可知，二面角E1﹣SB﹣E2为锐角，故二面角E1﹣SB﹣E2的大小为.22.在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，1）且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2+y2＝4交于点A，B，与圆M：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1交于点C，D．（1）若AB＝，求CD的长；（2）若CD的中点为E，求△ABE面积的取值范围．解：（1）由题可知，直线AB斜率显然存在，设其斜率为k，则直线AB的方程为y＝kx+1．因为O点到直线AB的距离d1＝，则+＝4，变形可得AB＝2，又由AB＝，则2＝，解可得k2＝15．因为直线AB与直线CD互相垂直，则直线CD：y＝x+1，则M点到直线CD的距离d2＝，又由＝1﹣，则CD＝2＝2＝．（2）当直线AB的斜率不存在时，△ABE的面积S＝×4×2＝4；当直线AB的斜率存在时，设为k，则直线AB：y＝kx+1，k≠0，直线CD：y＝﹣x+1．由＜1得k2＞3，所以k∈（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．因为+＝4，所以AB＝2．因为E点到直线AB的距离即M点到直线AB的距离d＝＝，所以△ABE的面积S＝AB•d＝2．令t＝k2+1＞4，则S＝，又由t＞4，则0＜＜，故S∈．综上，△ABE面积的取值范围是．。
重庆市育才中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学试题 PDF版含答案
（2）连接 AC 交 BD 于点 O ，连接 PO
PD 平面 ABCD ， AO 平面 ABCD 又四边形 ABCD 为正方形 AO BD
AO PD
BD, PD 平面 PBD ， BD PD D AO 平面 PBD
APO 即为 PA 与平面 PBD 所成角
，则（
）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分；把答案填写在答题卡相应位置上．
（13）直线 l : x y 3 0 被圆 C : x 12 y 22 16 截得的弦长为_________ ．
BC / / AD
又 AD 平面 PDA BC / / 平面 PDA
又 EC / / PD ， PD 平面 PDA EC / / 平面 PDA
EC, BC 平面 BEC ， EC BC C 平面 BEC / / 平面 PDA
BE 平面 BEC BE / / 平面 PDA
的个数为（
）
① AC BD ③ AC BD
② AC // 截面 PQMN ④异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45
A．1
B．2
C．3
D．4
（12）已知 P ABC 是正四面体（所有棱长都相等的四面体）， E 是 PA 中点，
F 是 BC 上靠近 B 的三等分点，设 EF 与 PA 、 PB 、 PC 所成角分别为 、 、
PD AD 2 且 PD AD PA 2 2
又 AO 1 AC 1 22 22 2
2
2
2024-2025学年重庆市育才中学高二数学上学期10月考试题参考答案
重庆市育才中学校高2026届高二（上）十月月考数学试题参考答案一、选择题:本题共8个小题，每小题5分，共40分.1-4：ADBB5-8:CCBD8【解析】：如图所示，取PA 中点为O ，由于PB AB ⊥，PC AC ⊥，则OB OC OP OA ===，故O 是三棱锥的外接球的球心，易知4PA =，PB PC ==.过点P 作PH ABC ⊥平面，连接AH ，易知AH 过BC 中点M ，连接PM .因为AM =PM =,4PA =，则直线PA 与平面ABC 所成角PAM ∠，由余弦定理可得22243cos3PAM +-∠==，故选D.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.三、填空题:本题共3个小题，每小题5分，共15分.2121==+OP d d ；9)8()8(88221,82,82222122212221=-+-≤--=⨯=-=-=d d d d BD AC S d BD d AC ABCD 当且仅当21d d =时取得等号.四、解答题:本题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）过点(5,1)A -，点(3,7)B 的直线的两点式方程为：157135y x -+=-+，......................................................................................（2分）整理得：34190x y -+=∴直线l 的方程为34190x y -+=..........................................................................................（4分）（2）设线段MN 的中点为P ，则由(1,0)M ，(3,2)N 有(2,1)P ，且直线MN 的斜率为20131MN k -==-，因此线段MN 的垂直平分线l '的方程为：1(2)y x -=--，即30x y +-=，.........................（7分）由垂径定理可知，圆心C 也在线段MN 的垂直平分线上，则有301341904x y x x y y +-==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩∴圆C 的坐标是(1,4)-；..................................................（9分）圆的半径22(11)(40)25r MC ==--+-=，................................................................（11分）∴圆C 的标准方程是22(1)(4)20x y ++-=.....................................................................（13分）16.（1）连接1BC ，设11BC B C O = ，连接OD ，由三棱柱的性质可知，侧面11BCC B 为平行四边形，∴O 为1BC 的中点，........................................（2分）又∵D 为AB 中点，∴在1ABC 中，1//OD AC ，又∵OD ⊂平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ，..................................................（5分）∴1//AC 平面1CDB ．...............................................................................（7分）（2）由题意可知1,,CA CB CC 两两垂直故以1,,CA CB CC 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．则()0,0,0C ，()6,0,0A ，()16,0,8A ，()3,4,0D ，()10,8,8B ．所以()10,0,8AA = ，()3,4,0CD = ，()10,8,8CB =，...................................（9分）设平面1CDB 的法向量为n(),,x y z =，则1340880C y CBD n x n y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 令4x =，得()4,3,3n =- ；........................................................................（12分）设1AA 与平面1CDB 所成角为θ，则sin θ=111cos ,n AA n AA n AA ⋅===所以1AA 与平面1CDB 所成角的正弦值为33434．.........................................................................（15分）17.（1）由BC BA ==90CBA ∠=︒，所以2AC =．取AC 的中点O ，连接PO ，BO ，由题意，得112PO BO AC ===，再由PB 222PO BO PB +=，即PO BO ⊥．.......（3分）由题易知PO AC ⊥，又AC BO O ⋂=，,BO AC ⊂面ABC ，所以⊥PO 平面ABC ，............（5分）又PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABC ．.........................................................（6分）（2）由（1）可知PO OB ⊥，PO OC ⊥，又OB AC ⊥，故以OC ，OB ，OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．则()1,0,0C ，()0,1,0B ，()1,0,0A -，0,0,1．所以()1,0,1AP = ，()1,1,0BC =- ，()1,0,1PC =- ，...........................（8分）令(),0,AM AP λλλ==，()01λ<<所以()1,0,M λλ-．所以()2,0,MC λλ=--．设平面MBC 的法向量为m()111,,x y z =，则()1111020BC m x y MC m x z λλ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ 令11x =，得m 21,1,λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭；..................................................（10分）设平面PBC 的法向量为()222,,n x y z =，222200BC n x y PC n x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令21x =，得()1,1,1n = ；...................................................................（12分）则cos ,n m n m n m⋅=79=，设2t λλ-=，()1,t ∞∈+，则上式可化为2115450t t --=，..................................................（14分）即()()51110t t -+=，所以5t =（111t =-舍去），所以25λλ-=，解得13λ=．....................（15分）18.解：（1）设动点M 坐标为),(y x ，由MA MO 21=，即2222)3(21y x y x ++=+，.....................................................................................（4分）整理得4)1(22=+-y x ......................................................................................（6分）（2)设直线l 的方程为2-=kx y ，Q P ,两点的坐标分别为),(),(2211y x y x ，联立⎩⎨⎧-==+-24)1(22kx y y x ，整理得01)24()1(22=++-+x k x k （*）..........................................（9分）因为（*）式的两根为21,x x ，所以121222421,11k x x x x k k ++==++，........................................（10分）0)1(4)24(22>+-+=∆k k ，即34-<k 或0>k .........................................（11分）则2121212121212(2)(2)(1)2()43OP OQ x x y y x x kx kx k x x k x x ⋅=+=+--=+-++=-，..............（13分）将121222421,11k x x x x k k ++==++代入上式，化简解得2=k .........................................（15分）而2=k 满足0>∆，故直线l 的方程为)1(2-=x y .因为圆心)0,1(M 在直线l 上，所以4=PQ ...................................................................（17分）19.解：（1）在EB D '∆中，易得4B E '=，33B D '=，7DE =，由余弦定理可得2223cos 22B E B D DE DB E B E B D ''+-'∠==''，从而6DB E π'∠=..............（4分）提示：可建立空间坐标系利用向量求夹角的余弦值为32，从而得出6DB E π'∠=.（2）（i ）曲线Γ是椭圆...............................................................................................（6分）因为二面角B AC D --为直二面角，且90ACB ︒∠=，所以B C α'⊥，如图1，不妨取AC 的中点为O ，以OD 为x 轴，OC 为y 轴，过点O 作B C '的平行线为z 轴建立空间直角坐标系.则点(0,3,23)B '，(0,1,0)E ，设(,,0)P x y ，(0,2,23)B E '=-- ，(,3,23)B P x y '=--，...........（8分）图1由（1）可知6PB E DB E π''∠=∠=，从而222183cos 24(3)12B E B P y PB E B E B P x y ''⋅-+'∠===''+-+ ，...............（10分）化简可得：22169x y +=，即为Γ的方程.......................................................（12分）说明：不同的建系可能得到不同的方程，只要得出椭圆的方程即可得分.（ii ）将立体几何平面化，只需研究平面α上几何关系.不防将（i ）中椭圆所在坐标系逆时针旋转90︒得到图2，在新坐标系下椭圆方程为22196x y +=，直线l 的方程为3530x y +-=，引理：点11(,)M x y 与直线0mx ny c ++=上一动点22(,)N x y 的最小曼哈顿距离为{}11min (,)max ,mx ny cd M N m n ++=.证明：如图3，当m n >，即12MM MM <时，由于111111(,)d M N MN N N MN N M MM =+≥+=，当点N 在点1M 处取得等号成立，即111min 1(,)mx ny c ny cd M N x m m+++=+=，同理可以得出m n ≤时的最小曼哈顿距离，综上{}11min (,)max ,mx ny cd M N m n ++=得证.设点(3cos ,6sin )M θθ.由引理可知：{}min 35333cos 6sin 53(,)5113max3,1M M x y d M N θθ+-+-==≥-，所以(,)d M N 的最小值为511-.........................................................（17分）图2图3。
2024—2025学年重庆市育才中学高二上学期10月月考数学试卷
2024—2025学年重庆市育才中学高二上学期10月月考数学试卷一、单选题(★) 1. 经过两点，的直线的斜率为（）A．B．C．D．(★★★) 2. 经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点，则的周长是（）A． 8B． 9C． 10D． 20(★★) 3. 圆与圆的位置关系为（）．A．相交B．内切C．外切D．外离(★★) 4. 下列可使，，构成空间的一个基底的条件是（）A．B．，，两两垂直C．D．(★★) 5. 已知圆锥的母线长为4，底面的半径，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的小圆锥底面的半径，则截得圆台的体积为（）A．B．C．D．(★★★) 6. 在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面底面，为线段的中点.记异面直线与所成角为，则的值为（）A．B． 0C．D．(★★★) 7. 如图，已知正方体的棱长为2，、分别为线段、的中点，若点为正方体表面上一动点，且满足平面，则点的轨迹长度为（）A．B．C．D． 2(★★★) 8. 已知三棱锥中，△是边长为2的正三角形, ，，若三棱锥的外接球体积为，则直线与平面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题(★★) 9. 关于曲线，下列说法正确的是（）A．若曲线表示两条直线，则，或，B．若曲线表示圆，则C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则D．若曲线表示椭圆，则仅需(★★★) 10. 已知直线，直线，则下列说法正确的为（）A．若，则B．若两条平行直线与间的距离为，则C．直线过定点D．点到直线距离的最大值为(★★★★) 11. 如图，在直棱柱中，底面为菱形，且，，为线段的中点，为线段的中点，点满足则下列说法正确的是（）A．若时，三棱锥的体积为定值B．若时，有且仅有一个点，使得C．若，则的最小值为3D．若，，则平面截该直棱柱所得截面周长为三、填空题(★★) 12. 已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程是 ______ .(★★) 13. 若，，为空间中两两夹角都是的单位向量，则 ______ . (★★★) 14. 已知，为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，圆心到，的距离分别为，，则 ______ ，四边形的面积的最大值为______ .四、解答题(★★★) 15. 已知直线经过点，点.(1)求直线的方程；(2)若圆经过点，点，且圆心在直线上，求圆的方程.(★★★) 16. 如图，在三棱柱中，，，，，点是的中点，平面.(1)求证：平面；(2)求与平面所成角的正弦值.(★★★) 17. 如图，在三棱锥中，，且.(1)证明：平面平面；(2)若棱上存在不同于，的动点，满足，使二面角的余弦值为，求的值.(★★★) 18. 已知动点与两个定点，的距离的比为.(1)求动点的轨迹方程；(2)过点且斜率为的直线与动点的轨迹交于，两点，若，求的值.(★★★★) 19. “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，它是一种使用几何度量空间的几何用语，定义如下：在平面直角坐标中的任意两点，的曼哈顿距离为.已知在四边形中，，，，且平分，若将沿线段向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后点在新图形中对应点记为.(1)计算的大小；(2)若所在平面为，设，且，记点的轨迹为曲线.（i）判断是什么曲线，并求出对应的方程；（ii）设为平面上过点且与直线垂直的直线，已知在直线上，在上，求的最小值.。
2021-2022学年重庆市育才中学校高二上学期第一次月考数学试题 Word版
重庆市育才中学校2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题 2021.10本试卷为第I 卷（选择题）和第II 试卷（非选择题）两部分， 共150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
I 卷一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线30+-=的倾斜角为 A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°2．椭圆2214x y m+=的焦距是2，则m 的值是A ．8B ．5或3C ．5D ．33．已知直线l 的方向向量是()3,2,1a =，平面α的法向量是()1,2,1u =--，则l 与α的位置关系是 A ．l α⊥B ．//l αC ．l 与α相交但不垂直D ．//l α或l α⊂4．若点()3,1-是圆()22225x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是 A ．40x y --= B ．270x y --= C ．20x y +-=D ．250x y +-=5．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆C 的面积为，1F 、2F 分别是C 的两个焦点，过1F 的直线交C 于A 、B 两点，若2ABF 的周长为8，则C 的离心率为A ．12B C D ．236．圆2241210++-+=x y x y 关于直线60(0,0)-+=>>ax by a b 对称，则26+a b的最小值是A ．B ．203C ．323D ．1637． 已知点P 在椭圆22193+=x y 上运动，点Q 在圆 225(1)8-+=x y 上运动，则PQ的最小值为A ．2B C ．2 D ．48． 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.(),A x y 与点(),B a b 之间的距离的几何问题.结合上述观点，对于函数()f x =()f x 的最小值为A ．B ．C ．D ．2二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如果0AB <，0BC >，那么直线0Ax By C ++=经过 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．设椭圆22:1(0)2x C y a b +=>>的左右焦点为1F ，2F ，P 是C 上的动点，则下列结论正确的是A ．12PF PF +=B ．离心率e =C ．12PF F △D ．以线段12F F 为直径的圆与直线0x y +=相切11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点,E O 分别是11A B ，11A C 的中点，P 在正方体内部且满足1132243AP AB AD AA =++，则下列说法正确的是A ．点1B 到直线BE B ．点O 到平面11ABC DC ．平面1A BD 与平面11B CD D ．点P 到直线AD 的距离为5612． P ，底面圆心为O ，2PO =.点Q 为PO （不含端点）上的动点，若光线从点Q 出发，依次经过圆锥的侧面与底面反射后重新回到点Q ，则光线经过路径长度的可能取值为A ．52B ．C ．D ．4 II 卷三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点P 是椭圆222+36=x y 上的点，则点P 到椭圆的一个焦点的最短距离为_____. 14．已知直线1:20+-=l mx y 与直线()2:240-+-=l m x my 垂直，则实数=m _____. 15.古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点,A B 距离之比是常数()0,1λλλ>≠的点M 的轨迹是圆，若两定点,A B 的距离为3，动点M 满足2MA MB =，则M 点的轨迹围成区域的面积为______________. 16．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆C 上存在点M 使三角形12MF F 2，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是______________.四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17．（10分）已知圆()22:24C x y +-=，直线():10l mx y m m R -+-=∈（1）判断直线l 与圆C 的位置关系；（2）若直线l 与圆C 交于A 、B 两点，且120ACB ∠=︒，求直线l 的方程.18．（12分）已知ABC ∆，()1,0A ,(B ，3ABC π∠=，x 轴为BC 边中线.（1）求AC 边所在直线方程；（2）求A ∠内角角平分线所在直线方程.19．（12分）已知O 为坐标原点，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，其右焦点为)1F ，A 为椭圆（一象限部分）上一点，M 为1AF 中点，1OM AF ⊥，1MOF ∆面积为14. （1）求椭圆C 的方程；（2）过A 做圆222x y b +=两条切线，切点分别为,C D ，求AC AD ⋅的值.20.（12分） 在四棱锥中，底面是矩形，平面，，， 线段的中点为，点为上的点，且12MO AC =. （1）求证：平面⊥平面；（2）求二面角B AM C --平面角的余弦值.21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,4P ，圆22:4O x y +=与x 轴的正半轴交点为Q ，过点P 的直线l 与圆O 交于不同两点A 、B .（1）动圆过点P 且与圆O 外切，求动圆圆心M 的轨迹方程（只需求出轨迹方程，无需限制范围）；（2）设直线QA 、QB 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k +为定值. 22．（12分）如图，已知长方体1111ABCD A B C D -底面是边长为2的正方形，侧棱长为23，有一圆柱以平面1111A B C D 、平面ABCD 分别为上下底面，且其侧面与长方体除开平面1111A B C D 、平面ABCD 后剩余的四面均相切. 点P 为平面11ABC D 截圆柱所得椭圆上的一动点.（1）求平面11ABC D 截圆柱所得椭圆的面积； （2）求PA PC ⋅的最大值.重庆育才中学高2023届2021-2022学年（上）第一次月考数学答案一、选择题1.A2.B3.D4.A5.A6.C7.D8.A9.ACD 10.AD 11.BCD 12.AC二、填空题14. 0或115. 4π16.12⎫⎪⎪⎣⎭ 三、解答题17、已知圆()22:24C x y +-=，直线():10l mx y m m R -+-=∈（1）判断直线l 与圆C 的位置关系；（2）若直线l 与圆C 交于A 、B 两点，且120ACB ∠=︒，求直线l 的方程.解析：（1）直线l 过定点()11，，由于()221124+-<，故定点在圆的内部，则直线l 与圆C 相割.(2)由条件知，圆心(0,2)C 道直线l 的距离为110m =⇒=，所求直线方程为1y =.18、已知ABC ∆，()1,0A,(B ，3ABC π∠=，x 轴为BC 边中线.（1）求AC 边所在直线方程；（2）求A ∠内角角平分线所在直线方程.解析：（1）设BC 交x 轴于点M ，根据条件ABM ∆为等边三角形，则()3,0M ，M 为BC中点，则(4,C .故AC直线方程为10x +-=.（2）A ∠内角角平分线斜率为()tan 604523k =︒-︒=-，故()()231y x =--.（也可以通过方向向量来处理、角平分线定理也行）19、已知O 为坐标原点，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，其右焦点为()13,0F ，A 为椭圆（一象限部分）上一点，M 为1AF 中点，1OM AF ⊥，1MOF ∆面积为14. （1）求椭圆C 的方程；（2）过A 做圆222x y b +=两条切线，切点分别为,C D ，求AC AD ⋅的值. 解析：（1）设椭圆左焦点为2F ，则2//OM AF ,1OM AF ⊥，则21AF AF ⊥,又12141AF F OMF S S ∆∆==，则221212122AF AF AF AF ⎧+=⎨⋅=⎩，则22121212224a AF AF AF AF AF AF =+=++⋅=，故2,3,1a c b ===，则椭圆方程为2214x y +=. （2）1211232AF F A S y ∆==⨯⨯，则33A y =，代入椭圆263A x =，故263,33A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3OA =，设OAC θ∠=，则26cos 33θ==.()()222cos 2312cos 13AC AD AC θθ⋅==--=20、在四棱锥中，底面是矩形，平面，，， 线段的中点为，点为上的点，且12MO AC =. （1）求证：平面⊥平面；（2）求二面角B AM C --平面角的余弦值.【解析】（1）由于12MO AC=，则AM MC⊥，又由于平面，则CD PA⊥，又CD AD⊥，则CD⊥平面PAD，则AM CD⊥，故AM⊥平面，则平面⊥平面.（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A(2,0,0)B，(0,4,0)D，(0,0,4)P，,由（1）可知AM⊥平面，且M为PD的中点，故AM PD⊥，由于AB PD⊥，则PD⊥平面ABM，则(0,4,4)PD=-为平面ABM的法向量，则1(0,1,1)n=-为平面ABM的法向量，(0,2,2)M设平面AMC的法向量为(,,)n x y z=，由于,n AC n AM⊥⊥，(2,4,0),(0,2,2)AC AM==，则2402220x y x yn ACy z z yn AM⎧+==-⋅=⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨+==-⋅=⎩⎩⎩，令1y=，则2(2,1,1)n=--平面AMC的法向量，设平面ABM与平面AMC所成二面角的大小为θ，则12123cos3n nn nθ⋅==.21在平面直角坐标系xOy中，已知点()2,4P，圆22:4O x y+=与x轴的正半轴交点为Q，过点P的直线l与圆O交于不同两点A、B.（1）动圆过点P且与圆O外切，求动圆圆心M的轨迹方程（只需求出轨迹方程，无需限制范围）；（2）设直线QA、QB的斜率分别为1k、2k，求证：12k k+为定值.解析：（1）设(),M x y，则2OM MP=+，2=+2=，两边平方：24x y+-=两边继续平方：234816160y xy x y+--+=.（2）设()11,A x y，()22,B x y，()2,0Q，设AB的直线方程为：()42y k x-=-.()()()()2222242124242404y k xk x k k x kx y⎧-=-⇒++-+--=⎨+=⎩()()122212222412441k k x x k k x x k -⎧+=⎪+⎪⎨--⎪=⎪+⎩()()()()()121212121212121224244422211222224k x k x x x y yk k k k k x x x x x x x x -+-++-+=+=+=+=+--=------++ 22、如图，已知长方体1111ABCD A B C D -底面是边长为2的正方形，侧棱长为23，有一圆柱以平面1111A B C D 、平面ABCD 分别为上下底面，且其侧面与长方体除开平面1111A B C D 、平面ABCD 后剩余的四面均相切. 点P 为平面11ABC D 截圆柱所得椭圆上的一动点. （1）求平面11ABC D 截圆柱所得椭圆的面积； （2）求PA PC ⋅的最大值. 解析：（1）设平面11ABC D 与底面ABCD 所成二面角为θ 则()221cos 22232θ==+，由于所截椭圆在底面上的投影刚好是圆柱的底面，由面积射影的方法可知. 则1cos 22S S S S ππθ===⇒=圆椭圆椭圆椭圆 （2）过C 作1CE BC ⊥，由于AB CE ⊥，则CE ⊥平面11ABC D ，在直角1BCC ∆中，容易知道3CE BE ==.取平面11ABC D 建立如图所示的直角坐标系，椭圆方程为2214x y +=，()2,1A -，()32,1E --，设()2cos ,sin P θθ()()()22cos 2,sin 12cos 32,sin 13cos 823cos 423PA PC PA PE θθθθθθ⋅=⋅=+--++=+-+-其中[]cos 1,1θ∈-由于10-<<，故PA PC ⋅的最大值当且仅当cos 1θ=时取得.则()max15PA PC⋅=-。
2024-2025学年北京市西城区育才学校高二上学期10月月考数学试题(含答案)
2024-2025学年北京市西城区育才学校高二上学期10月月考数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知a=(2,−1,3)，b=(−4,2,x)，且a⊥b，则x=( )A. 103B. −6C. 6D. 12.直线x+y−1=0的倾斜角是( )A. 45°B. 135°C. 120°D. 90°3.已知空间向量a=(0,2,0)，b=(1,0,−1)，则(a+b)⋅b=( )A. −2B. −1C. 1D. 24.在空间直角坐标系中，点P(1,2,−3)关于坐标平面xOy的对称点为( )A. (−1,−2,3)B. (−1,−2,−3)C. (−1,2,−3)D. (1,2,3)5.若a=(x,−1,3)，b=(2,y,6)，且a//b，则( )A. x=1，y=2B. x=1，y=−2C. x=12，y=−2 D. x=−1，y=−26.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为CD的中点，则直线A1E与平面BB1C1C所成角的正弦值为( )A. 25B. 35C. 13D. 237.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，则点C1到直线CE的距离为( )A. 13B. 33C. 53D. 638.如图，空间四边形OABC中，⇀OA=⇀a,⇀OB=⇀b,⇀OC=⇀c，点M是OA的中点，点N在BC上，且⇀CN=2⇀NB，设⇀MN=x ⇀a+y⇀b+z⇀c，则x，y，z的值为( )A. 12, 13, 23B. 12, 23, 13C. −12, 23, 13D. −12, 13, 239.已知在棱长均为2的正三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，点D 为B 1C 1的中点，若在棱AB 上存在一点P ，使得B 1P//平面ACD ，则B 1P 的长度为( )A. 2B. 5C. 6D. 310.如图，在正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，点E 是侧面BB 1C 1C 内的一个动点，若点E 满足D 1E ⋅CE =0，则点E 的轨迹为( )A. 圆B. 半圆C. 直线D. 线段二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
重庆市育才中学2019-2020学年高二数学上学期第一次月考试题
重庆育才中学高2021级高二第一次月考数学试题数学试题卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）两直线a 与b 是异面直线，c b //，则a 、c 的位置关系是（）A ．平行或相交B ．异面或平行C ．异面或相交D ．平行或异面或相交（2）下列说法正确的是（）①任意三点确定一个平面；②圆上的三点确定一个平面；③任意四点确定一个平面；④两条平行线确定一个平面A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④（3）若抛物线px y 22=的焦点为()0,1，则p 的值为（）A ．-2B ．-4C ．2D ．4（4）已知平面βα,及直线b a ,，下列说法正确的是（）A ．,,//α⊂b b a 则α//aB ．,,αα⊂⊥b a 则b a ⊥C ．,,,//βαβα⊂⊂b a 则ba //D ．,,αβα⊂⊥a 则β⊥a （5）等比数列{}n a 中，23-=a ，811-=a ，则=7a （）A ．-4B ．4C ．±4D ．-5（6）θ是任意实数，则方程4sin 22=+θy x 表示的曲线不可能是（）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆（7）在梯形ABCD 中，2π=∠ABC ，BC AD //，222===AB AD BC ，将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A ．32πB ．34πC ．35πD ．π2（8）若椭圆()012222>>=+b a b y a x 的离心率为23，则双曲线12222=-b y a x 的离心率为（）A ．45B ．25C ．23D ．45（9）下列说法正确的是（）A ．若直线b a ,与平面α所成角都是 30，则这两条直线平行B ．若直线a 与平面α、平面β所成角相等，则βα//C ．若平面α内不共线三点到平面β的距离相等，则βα//D ．已知二面角βα--l 的平面角为120，P 是l 上一定点，则一定存在过点P 的平面γ，使γ与α，γ与β所成锐二面角都为60（10）如果P 是等边ABC ∆所在平面外一点，且32===PC PB PA ，ABC ∆边长为1，那么PA 与底面ABC 所成的角是（）A ．30B ．45C ．60D ．90（11）如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，正确的个数为（）①BD AC ⊥②//AC 截面PQMN③BD AC =④异面直线PM 与BD 所成的角为45A ．1B ．2C ．3D ．4（12）已知ABC P -是正四面体（所有棱长都相等的四面体），E 是PA 中点，F 是BC 上靠近B 的三等分点，设EF 与PA 、PB 、PC 所成角分别为α、β、γ，则（）A ．αγβ>>B ．αβγ>>C ．γβα>>D ．βγα>>第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分；把答案填写在答题卡相应位置上．（13）直线03:=++y x l 被圆()()1621:22=-++y x C 截得的弦长为_________．（14）自空间一点分别向70二面角的两个平面引垂线，这两条直线所成的角的大小是_________．（15）已知抛物线x y C 4:2=的焦点为F ，准线为l ，过点F 作倾斜角为60的直线交抛物线于A ，B 两点（点A 在第一象限），过点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，则AFM ∆的面积为________．（16）正四面体ABCD 的棱长为2，棱//AB 平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的最小值，最大值是.三、解答题：本大题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知bc a c b +=+222.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若8,34==c a ，D 是BC 上的点，43=AD ，求ABD ∆的面积．（18）（本小题满分12分）如图几何体中，底面ABCD 为正方形，⊥PD 平面ABCD ，PD EC //，且22===EC AD PD ．（Ⅰ）求证：//BE 平面PDA ；（Ⅱ）求PA 与平面PBD 所成角的大小．（19）（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和λ+=+12n n S ，其中λ为常数．（Ⅰ）求λ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列{}n n b a +的前n 项和n T ．（20）（本小题满分12分）已知F 为抛物线px y C 2:2=的焦点，点()m A ,2在抛物线C 上，且4=AF ．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过点F 作斜率为2的直线交抛物线C 于P 、Q 两点，求APQ ∆的面积．（21）（本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都是2，⊥1AA 平面ABC ，E D ,分别是1,CC AC 的中点．（Ⅰ）求证：平面⊥BAE 平面BD A 1；（Ⅱ）求二面角A BA D --1的余弦值；（Ⅲ）在线段B B 1（含端点）上是否存在点M ，使点M 到平面BD A 1的距离为552，请说明理由．（22）（本小题满分10分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线241x y =的焦点，离心率等于552．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1λ=，BF MB 2λ=，求证：21λλ+为定值．。
重庆市第三十七中学校2020-2021学年高二上学期10月月考数学试卷Word版含答案
重庆市第三十七中学校2021-2021学年度高2022级上期10月月考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．如下图，观察四个几何体，其中判断正确的选项是〔 〕A ．①是棱台B ．②是圆台C ．③不是多面体D ．④是棱柱2．底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是〔 〕A B C ．D 3．圆锥的全面积是底面积的3倍，那么这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为〔 〕A ．2πB ．πC ．2π3D ．π2 4．设α，β为两个不重合的平面，能使α∥β成立的是〔 〕A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α内有无数个点到β的距离相等D ．α，β垂直于同一平面5．?算数书?竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖〞的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136v L h ≈．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为〔 〕A ．227B ．258C ．15750D ．3551136．在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝1，那么PC 与平面ABCD 所成的角是〔 〕A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7．在空间中，设m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，那么以下命题正确的选项是〔 〕A ．假设m ∥α且α∥β，那么m ∥βB ．假设α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，那么m ⊥nC ．假设m ⊥α且α∥β，那么m ⊥βD ．假设m 不垂直于α，且n ⊂α，那么m 必不垂直于n8．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五．三棱锥A -BCD 的每个顶点都在球O 的球面上，AB ⊥底面BCD ，BC ⊥CD ，且BC ＝2，利用张衡的结论可得球O 的外表积为〔 〕A ．30B ．C ．33D 9．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为棱AA 1，C 1D 1，DD 1的中点，AB ＝AA 1＝2AD ，那么异面直线EF 与BG 所成角的大小为〔 〕A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°10．在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，1CC =，E 为CC 1的中点，那么点C 1与平面BDE 的距离为〔 〕A ．2B ．111．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，在A ，B ，C ，D ，C 1，D 1这六个顶点中，选择两个点与A 1，B 1构成正三棱锥P ，在剩下的四个顶点中选择两个点与A 1，B 1构成正三棱锥Q ，M 表示P 与Q 的公共局部，那么M 的体积为〔 〕A ．13B C ．23D ．1 12．如图，长方体AC 1中，DD 1＝8，AB ＝BC ＝2，E ，F 分别为AA 1，CC 1上的动点，AE ＋CF ＝8．点P 在棱AA 1上，且AP ＝3，假设EF ∥平面PBD ，那么二面角F -BD -C 的正切值为〔 〕A ．1BC ．不确定 二、填空题：本大题共4小题13．二面角α-1-β的大小为60°，假设直线a ⊥α，直线b ⊥β，那么异面直线a ，b 所成的角是________14．△ABC 和直线l ，假设l ⊥AB ，l ⊥BC ，那么l 和AC 的关系是________15，侧面积为6πcm 2，那么该圆锥的体积是________cm 316．三棱锥D -ABC 的外接球半径为2，且球心为线段BC 的中点，那么三棱锥D -ABC 的体积的最大值为________三、解答题：本大题共6个大题，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，PA ＝PC ，E 为PB 的中点． 〔1〕求证：PD ∥面AEC ；〔2〕求证：平面AEC ⊥平面PDB ．18．在△ABC 中，设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2＋b 2-c 2＝ab ．〔1〕求∠C 的大小；〔2〕假设c =sinA ＝2sinB ，求△ABC 的面积．19．如图，点P 在正方体ABCD -A'B'C'D'的对角线BD'上，满足BP ＝2PD'〔1〕求DP 与CC'所成角的余弦值；〔2〕求DP 与平面AA'D'D 所成角的正弦值．20．数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足112n n S a +=〔n ∈N *〕 〔1〕求数列{a n }的通项公式a n ；〔2〕设113log (1)n n b S +=-〔n ∈N *〕，令12231111n n n T b b b b b b +=+++…，求T n ． 21．三棱锥M -ABC中，MA MB MC AC ====，AB ＝BC ＝2，O 为AC 中点，点N 在棱BC 上，且23BN BC =． 〔1〕证明：BD ⊥平面AMC ；〔2〕求二面角N -AM -C 的余弦值．22．如图，矩形ACEF 和等边三角形ABC 中，AC ＝2，CE ＝1，平面ABC ⊥平面ACEF ． 〔1〕在EF 上找一点M ，使BM ⊥AC ，并说明理由；〔2〕在〔1〕的条件下，求平面ABM 与平面CBE 所成锐二面角余弦值．答案：1——12：DABBB ACBCD AB。
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重庆市育才中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列直线方程中，倾斜角为
3π的是（ ）
A 10y ++=
B 10y -+=
C ．10x ++=
D ．10x +=
2．若a 、b 、c 均为实数且满足22a b >，则下列不等式中正确的是（ ） A ．22ac bc > B ．11a b < C ．33a b > D ．ln ln a b > 3．已知非零向量a ，b 满足3b a =，2a b a b -=+，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 4．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），下左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，下右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为 1.1630.75y x =-，以下结论中正确的为（ ）
A ．15名志愿者身高的极差大于臂展的极差
B ．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米
C ．身高为190厘米的人臂展一定为189.65厘米
D ．15名志愿者身高和臂展成正相关关系
5．若圆C 的圆心在直线40x y --=上，且经过两圆22460x y x +--=和22460x y y +--=的交点，则圆C 的圆心到直线3450x y ++=的距离为（ ）
A ．0
B ．85
C ．2
D ．185
6．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是（ ）
A ．焦距长约为150公里
B ．长轴长约为3988公里
C ．两焦点坐标约为()150,0±
D ．离心率约为75994
7．已知数列{}n a 的首项110,1n n a a a +==+，则20a =（ ）
A ．99
B ．101
C ．399
D ．401
8．过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM ，交y 轴于点P ，切圆于点M ，若1233OM OF OP =+，则双曲线的离心率是（ ）
A B C ．2 D
二、多选题 9．已知双曲线C 的标准方程为2
2
13y x -=，则（ ） A ．双曲线C 的离心率为2
B ．直线2x =与双曲线
C 相交的弦长为6 C ．双曲线2
213
x y -=与双曲线C 有相同的渐近线 D ．双曲线C 的焦点到渐近线的
10．下列命题中是真命题的是（ ）
A ．直线()4120mx y m R +-=∈恒过定点()0,3
B ．“1x >”是“21x >”的必要不充分条件
C ．已知数据1a ，2a ，…，n a 的平均数为a ，方差为2s ，则数据131a +，231a +，…，
31n a +的平均数和方差分别为31a +，29s
D ．若直线()2200,0ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则14a b
+的最小值是9 11．设函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝
⎭的最小正周期为π，且把()f x 的图像向左移6
π后得到的图像关于原点对称.现有下列结论，其中正确的是（ ） A ．函数()f x 的图像关于直线512x π=对称 B ．函数()f x 的图像关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭
对称 C ．函数()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．若325
f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，则71225f πα⎛⎫+= ⎪⎝
⎭ 12．已知抛物线()2
20y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，以线段AB 为直径的圆交y 轴于M 、N 两点，则（ ）
A ．若抛物线上存在一点()2,E t 到焦点F 的距离等于3，则抛物线的方程为24y x =
B ．若2AF BF =，则直线l
的斜率为C ．若直线l
43
p AB = D ．设线段AB 的中点为P ，若点F 到抛物线准线的距离为2，则sin PMN ∠的最小值为12
三、填空题
13．若直线1l ：3210x y -+=与直线2l ：210x my ++=相互垂直，则实数m 的值为______.
14．已知向量()()sin ,2a απ=+，()cos ,1b α=-，且//a b ，则2cos sin 2αα+=________.
15．数列{}n a 中，112
a =，()()()*111n n n na a n n na +=∈++N ，若不等式()24110n n a n n
λ++-≥恒成立，则实数λ的取值范围为__________.
四、双空题
16．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius ）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知直角坐标系中
()2,0A -，()2,0B ，(),P x y ，且满足PA =，则点P 的运动轨迹方程为____________，点P 到直线40x y +-=的最小距离为__________.
五、解答题
17．某中学刚搬迁到新校区，学校考虑，若非住校生上学路上单程所需时间人均超过20分钟，则学校推迟5分钟上课.为此，校方随机抽取100个非住校生，调查其上学路上单程所需时间（单位：分钟），根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，其中时间分组为[)0,10，[)10,20，[
)20,30，[)30,40，[]40,50.
（1）求频率分布直方图中a 的值；
（2）从统计学的角度说明学校是否需要推迟5分钟上课；
（3）若从样本单程时间不小于30分钟的学生中，随机抽取2人，求这两个学生的单程时间均落在[)30,40上的概率.
18．在①(),m a b c a =+-，(),n a b c =-，且m n ⊥，②22cos a c b C -=，③ABC
)
222a c b +-，这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并给出解答. 在ABC ，角A ，B ，C 的对应边为a ，b ，c ，且_________.
（1）求角B ；
（2）若ABC ，求ABC 周长的最大值.
19．已知抛物线()2
:20E y px p =>的焦点是椭圆22
819x y p p +=的一个焦点，直线:1l y kx =+交抛物线E 于B 、C 两点.
（1）求E 的方程；
（2）若以BC 为直径的圆过原点O ，求直线l 的方程.
20．已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{n a }的前n 项和，11n n S qS +=+，其中q>0，*n N ∈.
（Ⅰ）若2322,,2a a a +成等差数列，求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设双曲线22
21n y x a -=的离心率为n e ，且253e =，证明：121433n n
n n e e e --++⋅⋅⋅+>. 21．从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币.如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”.某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字.设OAB θ∠=，五个正方形的面积和为S .
（1）求面积S 关于θ的函数表达式，并求tan θ的范围；
（2）求面积S 最小值，并求出此时tan θ的值.
22．已知圆22:4C x y +=，点P 为圆C 上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，设D 为PQ 的中点，且D 的轨迹为曲线E .
（1）求曲线E 的方程；
（2）不过原点的直线l 与曲线E 交于M 、N 两点，已知OM ，直线l ，ON 的斜率1k
，
S S k，2k成等比数列，记以OM，ON为直径的圆的面积分别为1S，2S，试探就12是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由.。