上海市高二上学期10月月考数学试题
上海市上海交通大学附属中学闵行分校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)
交大附中闵行分校高二月考数学试卷2024.10一.填空题1. 已知椭圆以原点为中心，焦点在轴上，长半轴的长为6，离心率为，则椭圆的标准方程__________.2. 两定点，，动点满足，则动点M 的轨迹方程为______.3. 已知椭圆经过点和，则椭圆的离心率为___________.4. 已知双曲线渐近线与圆相切，则_________.5. 已知椭圆：的左、右两个焦点分别为、，过的直线交椭圆于两点.若是等边三角形，则的值等于_________.6. 若点到直线l ：的距离为d ，则d 的取值范围是______．7. 设椭圆的两焦点为，.若椭圆上存在点P ，使，则椭圆的离心率e 的取值范围为__________.8. 已知双曲线，过点作直线和双曲线交于A ，B 两点.点A 在第一象限，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，则直线倾斜角的取值范围是__________.9. 已知椭圆方程为，双曲线方程为，若该双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点以及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆的离心率与双曲线的离心率之和为______．10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交该双曲线于点、，且，，则的面积为______．11. 双曲线具有如下光学性质:从一个焦点发出的光线经双曲线反射后，反射光线的反向延长线一定经过另的x 13()15,0F -()25,0F (),M x y 128MF MF -=()2222:10x y C a b a b +=>>()20，312⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ()22210x y a a -=>22430x y y +-+=a =C 2221(0)9x y b b +=>1F 2F 2F C ,A B 1F AB V b ()2,1P --()()131225x y λλλ+++=+22221(0)x y a b a b +=>>1F 2F 12120F PF ∠=︒22:41C x y -=(0,0)l C BH 2222x y 1(a b 0)a b +=>>2222x y 1(m 0,n 0)m n -=>>22198x y -=1F 2F 2F A B 120AF AF ⋅= 2220F B F A += 1F AB V一个焦点.已知双曲线，如图从的一个焦点射出的光线，经过两点反射后，分别经过点和.若，则的离心率为_________.12. 考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆上，且其中恰有两个为椭圆的顶点，则这样的等腰三角形个数为 ______.二.选择题13. 关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是（ ）A 关于轴对称 B. 关于轴对称C. 关于轴对称D. 关于原点中心对称14. 已知点，，点P 为椭圆上动点，则的最小值为（ ）A. B. C.D. 15. 如图，已知双曲线的左焦点为F ，过点F 的直线垂直于双曲线C 的一条渐近线，并分别交两条渐近线于两点(其中点A为垂足)，且点分别在第二、三象限内.若，则双曲线C 的渐近线方程为（）.的()2222:10x y C a b a b -=>，C F P Q ，M N 12cos 13PM PQ PM PQ PQN ∠+=-=- ，C 2219x y +=2220x xy y -+=x y y x =()0,1A ()10B ,22:143x y C +=PA PB +4+4-22-2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>l ,A B ,A B ||3||7AF FB =A. B. C. D. 16. 已知双曲线的左右焦点分别为，过点且与渐近线垂直的直线与双曲线左右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 三.解答题17. 已知圆关于直线对称，且过点．（1）求证：圆与直线相切；（2）若直线过点与圆交于两点，且，求此时直线的方程．18. 如图：已知椭圆的内切圆的一条切线交椭圆于A 、B ,且切线AB 与圆的切点Q 在轴右侧．是椭圆的右焦点．（1）设点，试用两点间距离公式推导的表达式（用 与的式子表示）；（2）判断的长是否为定值?如果是定值,求出此定值;如果不是,请说明理由．y x =y =y =y x =2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12F F ，1F C A B ，125tan 12F BF ∠=()22:00C x y ax by a ++-=>2y x =-()0,8P C 2160x y +-=l ()1,0C A B 、AB 4=l 22122:1(0)x y C a b a b+=>>2222:C x y b +=y (,0)F c 00(,)A x y AF 0x ,a c AQ AF +19. 动点到直线与直线的距离之积等于，且．记点M 的轨迹方程为．（1）求的方程；（2）过上的点P 作圆的切线PT ，T 为切点，求的最小值；（3）已知点，直线交于点A ，B ，上是否存在点C 满足若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由．20. 已知直线与椭圆有且只有一个公共点.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数，使椭圆上存在不同两点、关于直线对称？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）椭圆的内接四边形的对角线与垂直相交于椭圆的左焦点，是四边形的面积，求的最小值.(,)Mx y 1:l y =2:l y =34||||y x <ΓΓΓ22:(4)1Q x y +-=||PT 40,3G ⎛⎫ ⎪⎝⎭:2(0)l y kx k =+>ΓΓ0GA GB GC ++= 0x y ++=222:1x E y a+=E λE P Q 20x y λ--=λE ABCD AC BD S ABCD S交大附中闵行分校高二月考数学试卷2024.10一.填空题【1题答案】【答案】【2题答案】【答案】【3题答案】【答案】##05【4题答案】【5题答案】【6题答案】【答案】【7题答案】【答案】【8题答案】【答案】【9题答案】【10题答案】【答案】【11题答案】.2213632x y +=221(0)169x y x -=>12⎡⎣⎫⎪⎪⎭π(0,)41+24【12题答案】【答案】20二.选择题【13题答案】【答案】D【14题答案】【答案】B【15题答案】【答案】B【16题答案】【答案】A三.解答题【17题答案】【答案】（1）证明略（2）或．【18题答案】【答案】（1） （2）是定值，定值为.【19题答案】【答案】（1） （2）2 （3）【20题答案】【答案】（1）（2）存，（3）在0y =247240x y --=0c AF a x a=-⋅a 2213y x -=34C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭2212x y +=⎛ ⎝169。
上海市年高二数学上学期10月月考试题(含解析)
上海市2021-2021年高二数学上学期10月月考试题（含解析）(3,1)-和点(2,2)-的直线的点方向式方程是________.【答案】3153x y +-=- 【解析】 【分析】先设直线上任一点坐标为(,)x y ，由直线上点的坐标，得到直线方向向量，进而可得出结果. 【详解】设直线上任一点坐标为(,)x y ，因为直线经过点(3,1)-和点(2,2)-， 所以直线的方向向量为(2,2)(3,1)(5,3)=---=-a ， 因此，直线的点方向式方程是：3153x y +-=-. 故答案为：3153x y +-=- 【点睛】本题主要考查求直线的方程，熟记直线方程的几种形式即可，属于常考题型.220x y +-=和10mx y -+=的夹角为4π，那么m 的值为________. 【答案】3或13- 【解析】 【分析】先由题意，分别得到两直线的斜率，再由直线的夹角公式，即可求出结果. 【详解】记直线220x y +-=和10mx y -+=的斜率分别为1k ，2k ， 则12k =-，2=k m ，又两直线夹角为4π，所以1212tan41-π=+k k k k ，即2112--=-m m ，解得3m =或13m =-. 故答案为：3或13-【点睛】本题主要考查由直线的夹角求参数的问题，熟记直线的夹角公式即可，属于常考题型.1l 的斜率为2，2l 的倾斜角为1l 的倾斜角的2倍，则2l 的斜率为________.【答案】43- 【解析】 【分析】记直线1l 的倾斜角为α，直线2l 的倾斜角为β，根据题意求出tan β，即可得出结果. 【详解】记直线1l 的倾斜角为α，直线2l 的倾斜角为β， 因为直线1l 的斜率为2，所以tan 2α=， 又2l 的倾斜角为1l 的倾斜角的2倍， 所以22tan 44tan tan 21tan 143αβαα====---， 即2l 的斜率为43-. 故答案为：43-【点睛】本题主要考查求直线的斜率，熟记斜率的定义，以及二倍角公式即可，属于基础题型.(3,2)P 与点(1,4)Q 最新直线l 对称，则直线l 的一般式方程为________.【答案】10x y -+= 【解析】 【分析】先由题意求出P 、Q 两点的中点坐标，以及直线PQ 的斜率，得到所求直线的斜率，从而可求出结果.【详解】因为点(3,2)P 与点(1,4)Q 的中点坐标为(2,3)， 直线PQ斜率为42113-==--PQ k ， 又点(3,2)P 与点(1,4)Q 最新直线l 对称， 所以直线l 过点(2,3)，且PQ l ⊥，因此直线l 的斜率为11PQkk ，所以，直线l 的方程为32y x -=-，整理得：10x y -+=. 故答案：10x y -+=【点睛】本题主要考查由两定点求其对称直线的方程，熟记直线的点斜式方程以及一般式方程即可，属于常考题型.(1,2)A -，(1,4)B ，若直线l 过点(2,3)M --，且A 、B 到直线l 的距离相等，则直线l 的一般式方程为________.【答案】10x y --=或330x y -+= 【解析】 【分析】根据题意，分A 、B 两点在直线l 的同侧和不同侧，两种情况，分别求出直线斜率，即可求出结果.【详解】设直线l 的斜率为k ，因为点(1,2)A -，(1,4)B 到直线l 的距离相等，直线l 过点(2,3)M --， 若A 、B 两点在直线l 的同侧，则//AB l ，即42111ABkk ，所以直线l 的方程为：32+=+y x ，即10x y --=；若A 、B 两点在直线l 的不同侧，则直线l 必过AB 中点(0,3)，即33302k ，所以直线l 的方程为：33y x =+，即330x y -+=. 故答案为：10x y --=或330x y -+=【点睛】本题主要考查求直线的一般式方程，熟记直线方程的几种形式即可，属于常考题型.a 、b 、c 满足230a b c ++=，且a b b c c a ⋅=⋅=⋅，则b 与c 的夹角为____.【答案】34π 【解析】【分析】先由230a b c ++=得到23=--a b c ，分别代入a b b c ⋅=⋅和⋅=⋅b c c a ，求出2=-⋅b b c ，=-⋅c b c ，再由向量夹角公式，即可求出结果.【详解】因为230a b c ++=，所以23=--a b c ， 代入a b b c ⋅=⋅得：(23)--⋅=⋅b c b b c ，即2=-⋅b b c ； 代入⋅=⋅b c c a 得：()23⋅=⋅--b c c b c ，即=-⋅c b c ， 所以12cos ,22⋅⋅<>===-=-⋅⋅-⋅b c b c b c b cb c b c，因此b 与c 的夹角为34π.故答案为：34π 【点睛】本题主要考查求向量的夹角，熟记向量的数量积运算，以及向量的夹角公式即可，属于常考题型.ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，点P 在直线EF 上，则2PC PB BC ⋅+的最小值是________. 【答案】43【解析】 【分析】先由题意，得到122∆∆==PBC ABC S S ，推出4sin ⋅=∠PB PC BPC，由向量数量积得到4cos sin ∠=⋅∠BPC B P PC C PB ，再由余弦定理得到288cos sin -∠≥∠BC BPC BPC ，令=∠x BPC ，84cos ()sin -=x f x x，用导数的方法求函数的最小值，即可得出结果.【详解】因为E 、F 分别是AB 、AC 的中点， 所以EF 到BC 的距离等于点A 到BC 的距离的一半， 所以2∆∆=ABC PBC S S ，又4ABC S ∆=，所以12sin 2∆==⋅⋅∠PBC S PB PC BPC ， 因此4sin ⋅=∠PB PC BPC，所以4cos cos sin ∠⋅⋅∠=∠⋅=BPCPB PC BP PC P C P B B C ；又由余弦定理可得：2222cos =+-⋅⋅∠BC PB PC PB PC BPC22co 88cos sin s ≥⋅-⋅∠-∠∠=PB PC PB PC BP BPCC BPC，当且仅当PB PC =时，取等号；所以24cos 88cos 84cos sin sin sin sin ⋅∠+≥∠-∠+-=∠∠∠∠BPC BPC BPCBP PC PB C BPC BPC BP BC C ，令=∠x BPC ，84cos ()sin -=xf x x，()0,x π∈；又2224sin (84cos )cos 48cos ()sin sin ---'==x x x xf x x x， 由()0f x '>得1cos 2x <，所以3x ππ<<；由()0f x '<得1cos 2x >，所以03x π<< 所以()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；所以min 82()4332-==f x ， 因此243⋅+≥PC PB BC . 故答案：43【点睛】本题主要考查求向量数量积的最值问题，熟记余弦定理，向量数量积的运算，基本不等式，以及导数的方法求最值即可，属于常考题型.8.如图，设AB a =，AC b =，AD c =是平面上两两不平行的三个非零向量，x ∈R ，有下列命题：① 最新x 的方程20ax bx c ++=可能有两个不同的实数解；② 最新x 的方程20ax bx c ++=一定没有实数解； ③ 最新x 的方程20ax bx +=的实数解为0x =或b x a=-；④ 最新x 的方程20ax bx +=没有非零实数解； 其中真命题是_______ . 【答案】②④ 【解析】 【分析】根据题意，结合平面向量基本定理，逐项判断，即可得出结果.【详解】因为AB a =，AC b =，AD c =是平面上两两不平行的三个非零向量， 对于①，方程20ax bx c ++=可化为，2=--c x a xb ，由平面向量基本定理分析可得：20ax bx c ++=最多有一个解，故①错；对于②，a ，b ，c 都是非零向量，方程20ax bx c ++=是最新向量的方程，因此方程在实数集内一定无解，故②正确；对于③，因为a ，b 都是不平行的非零向量，因此，由20ax bx +=得到()0+=ax b x ，所以0+≠ax b ，只能0x =，即实数解为0x =，故③错，④正确；故答案为：②④【点睛】本题主要考查命题真假的判断，以及平面向量基本定理的应用，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型. 9.“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】先由两直线垂直求出m 的值，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】因为直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直， 则(2)(2)3(2)0+-++=m m m m ，即(2)(42)0+-=m m ，解得2m =-或12m =； 因此由“12m =”能推出“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直”，反之不能推出， 所以“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直”的充分非必要条件. 故选：B【点睛】本题主要考查命题充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念，以及两直线垂直的判定条件即可，属于常考题型.210x my --=（0m <）的倾斜角为（ ）A. 2arctanm B. 2arctanm- C. 2arctanmπ+ D.2arctan mπ-【答案】C 【解析】 【分析】记直线的倾斜角为α，根据斜率的定义，得到2tan α=m，从而可求出结果. 【详解】记直线的倾斜角为α，因为直线方程为：210x my --=，0m <， 所以2tan α=m ，因此2arctan απ=+m. 故选：C【点睛】本题主要考查由直线方程求直线倾斜角，熟记斜率定义，以及反三角函数的表示即可，属于常考题型.11.将一圆的六个等分点分成两组相同的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星的中心为点O ，其中x 、y 分别为点O 到两个顶点的向量，若将点O 到正六角星12个顶点的向量，都写出ax by +的形式，则+a b 的最大值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，作出图形，分别用x 、y 表示出相邻的6个顶点的向量，即可求出结果. 【详解】要求+a b 的最大值，只需考虑图中6个顶点的向量即可，讨论如下： （1）因为=OA x ，所以(,)(1,0)=a b ；（2）因为3=+=+OB OF FB y x ，所以(,)(3,1)=a b ； （3）因为2=+=+OC OF FC y x ，则(,)(2,1)=a b ； （4）因32=++=++=+OD OF FE ED y x OC x y ，则(,)(3,2)=a b ；（5）因为=+=+OE OF FE y x ，则(,)(1,1)=a b ； （6）因为=OF y ，则(,)(0,1)=a b ； 因此，+a b 的最大值为325+=. 故选：C【点睛】本题主要考查由用基底表示向量，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型.l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0，当m 为何值时，l 1与l 2(1)相交；(2)平行；(3)重合？【答案】见解析. 【解析】 【分析】()1当两条直线不平行，即斜率不同时相交，()2当两条直线k 相同，b 不同时平行 ()3当两条直线k 相同，b 也相同时重合【详解】当m ＝0时，l 1：x ＋6＝0，l 2：x ＝0，∴l 1∥l 2. 当m ＝2时，l 1：x ＋4y ＋6＝0，l 2：3y ＋2＝0，∴l 1与l 2相交． 当m≠0且m≠2时，由＝得m ＝－1或m ＝3，由＝，得m ＝3.故(1)当m≠－1且m≠3且m≠0时，l 1与l 2相交． (2)当m ＝－1或m ＝0时，l 1∥l 2. (3)当m ＝3时，l 1与l 2重合．【点睛】本题属于中档题，考查了两条直线的相交，平行，重合的条件，要求学生会利用代数的方法研究图象的位置关系，做此类题的时候应采用分类讨论的方法分情况得到所求的范围。
上海市曹杨第二中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题
上海市曹杨第二中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、单选题13．已知a ，b 是两个不同的平面，直线l Ìa ，则“l b ^”是“a b ^”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．在四面体ABCD 中，已知,AB CD AC BD ^^，若BCD △不是等边三角形，且点A 在平面BCD 上的投影O 位于BCD △内，则点O 是BCD △的（ ）A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心15．已知0a >，设函数cos y x =在区间[],2a a 上的最大值为s ，在区间[]2,3a a 上的最大值为t ，当a 变化时，下列情况不可能发生的是（ ）A．12B．22三、解答题17．已知公差d不为0的等差数列【分析】根据题意，按正方形ABCD在棱柱中的位置分2种情况讨论，分析正四棱柱的数目，相加可得答案．【详解】根据题意，分2种情况讨论：①正方形作为对角面时，有6个，②正方形作为正四棱柱的底面或侧面，有6个，共有6+6=12种取法．故答案为：12.13．A【分析】由面面垂直的判定定理及面面垂直的性质，结合充分必要条件的定义即可判断.【详解】根据面面垂直的判定定理，可知若lÌa，则“l b^成立，满足充分^”则a b性；反之，若,la b a^Ì，则l与b的位置关系不确定，即不满足必要性；所以“l b^”的充分不必要条件，^”是“a b故选：A.14．D【分析】先证明CD^平面AOB，BD^平面AOC，进而可证得OB CD^，BD OC^，即可得解.【详解】如图，由题意可知OA^平面BCD，因为,CD BDÌ平面BCD，所以,^^，OA CD OA BD又,,,^Ç=Ì平面AOB，AB CD OA AB A OA AB所以CD^平面AOB，17．(1)2na n =；(2)124433n n n +++-.。
上海市2022高二数学上学期10月月考试题(含解析)
【答案】D
【解析】
不妨设
∵ ， ．
∴ 、 ．
∴点 在以 为圆心半径为 圆上．
∴ 与 的夹角为直线 的倾斜角．
设
∴ ．
即 ，则 ．
又∵ ， ．
∴ 、 夹角 ．
故选 ．
16.三角形ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于D，M，若 ，AB=2，则AC=（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
(2)记 为 ， 的夹角，求 的取值范围.
【答案】(1) ， ；(2) .
【解析】
【分析】
（1）先写出各向量的坐标表示,并求出数量积,再由等差中项列式整理即可；
（2）利用（1）中结果可得 ,再列出 ,进而求出 ,根据（1）中 范围得到 范围,从而得到 范围
【详解】解：（1） , ,
, ,
, ,
,
， ， 成公差小于零的等差数列,
9.在△ABC中， °，M是AB的中点，若|AB|=2，|BC|=2 ，D在线段AC上运动，则 的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
先对 、 用 、 表示,并可将 整理成关于 的二次函数,由余弦定理可解得 ,即确定 的范围,进一步求得其最小值
【详解】由题, ,
,
设 ,由余弦定理得, ,即 ,整理后可得 ,解得 或 （舍）
【答案】(1) ；(2) ；(3) ，Q .
【解析】
【分析】
（1）利用数量积的定义得到 ,设过点 与 轴的垂线的垂足为点 ,再利用三角形面积公式整理即可；
（2）由（1）可分别求出 , , ,从而得到点 的坐标；
（3）由题,可得 ,代入 的式子中得到关于 的函数,根据 的范围求取最值即可,从而得到此时点 的坐标
上海市进才2019 2020学年高二数学上学期10月月考试题(含解析)
【解析】
【分析】
(1)当 时，写出 ， ， ，结合 ，利用待定系数法即可求解；
(2)将 表示为坐标形式，建立方程组，得到 ，根据 的取值，即可判断.
【详解】(1)当 时， ， ，
因为 ，所以
则 ，解得： ，
(2)因为
所以
则 ，得到
当 时，等式 不成立
所以
因为 ，所以 的值不唯一，即 ， 的值不唯一
16.设 、 、 、…、 是平面上给定的2019个不同点，则使 成立的点M的个数为（ ）
A.0B.1C.5D.无数个
【答案】B
【解析】
【分析】
将 、 、 、…、 、 表示为坐标，利用向量的坐标运算，即可求解.
【详解】在平面坐标系内，是 ， ， ， ， 。因为
所以
解得 ，
因为 、 、 、…、 给定，则 固定，所以 只有一个
则 ，解得： 或
故答案为：
【点睛】本题主要考查了向量的模长以及数量积、向量的夹角的求法，属于中等题.
8.已知平面内三点A、B、C满足 ， ， ，则 的值为________.
【答案】
【解析】
分析】
由勾股定理得到 ，从而得到 ，利用向量 运算法则及向量的运算律求出值..
【详解】
,即
所以
故答案为：
【点睛】本题主要考查平面பைடு நூலகம்量的数量积以及向量的运算法则，属于基础题.
【详解】(1)
,得到
同理可得： ，
则
即三角形 是正三角形
(2)
由于 、 、…、 为单位向量，则n边形 内接于半径为 的圆
表示n边形 的周长
当 时， 为半径为1的圆的周长
上海市建平中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题
上海市建平中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、填空题1．圆22:4O x y +=在点处的切线方程为. 2．抛物线22y x =的焦点坐标是.3．已知函数()f x =R ，则m 的取值范围为．4．已知1F ，2F 是椭圆22193x y+=的两个焦点，过1F 的直线交此椭圆于A ，B 两点．若228AF BF +=，则AB =；5．双曲线222x y k -=的焦距是10，则实数k 的值为．6．设集合{}23A m m =-<，22123x y B m m m ⎧⎪=+=⎨+-⎪⎩是双曲线}，则A B =I．7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，点()0,2B b ，双曲线的渐近线上存在一点P ，使得顺次连接,,,A B F P 构成平行四边形，则双曲线C 的离心率为．8．设P 是椭圆2214x y +=第一象限部分上的一点，过P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为M 、N ，则矩形OMPN 的面积的最大值为.9．若直线ax +y +b ﹣1＝0（a ＞0，b ＞0）过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，则11a b+的最小值是．10．已知抛物线对称轴为x 轴．若抛物线上的动点到直线34120x y +-=的最短距离为1，则该抛物线的标准方程为．11．坐标平面上一点P 到点()1,0A ，(),2B a 及到直线1x =-的距离都相等．如果这样的点P 有且只有两个，那么实数a 的取值范围是．12．已知函数()2f x ax b =-，其中,R a b ∈，()f x 的最大值为(),M a b ，则(),M a b的最小值为．二、单选题13．方程210x -+=的两个根可分别作为（ ）A ．椭圆和双曲线的离心率B ．两双曲线的离心率C ．两椭圆的离心率D ．以上皆错14．“222a b R +<”是“圆()()222x a y b R -+-=与坐标轴有四个交点”的（ ）A ．充分非必要条件；B ．必要非充分条件；C ．充要条件；D ．非充分非必要条件．15．已知方程()()22222200b x a k x b a b b a ⎡⎤---=>>⎣⎦的根大于a ，则实数k 满足（ ）A ．bk a > B ．b k a < C ．a k b>D ．a k b<16．设曲线E 的方程为2249x y +=1，动点A （m ，n ），B （﹣m ，n ），C （﹣m ，﹣n ），D （m ，﹣n ）在E 上，对于结论：①四边形ABCD 的面积的最小值为48；②四边形ABCD 外接圆的面积的最小值为25π.下面说法正确的是（ ）A ．①错，②对B ．①对，②错C ．①②都错D ．①②都对三、解答题17．已知,αβ是方程24420x mx m -++=的两个实数根． (1)求m 的取值范围；(2)若()22f x αβ=+，求()f m 的最小值．18．已知p ：点()1,3M 不在圆()()2216x m y m ++-=的内部，q ：“曲线2122:128x yC m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆”，s ：“曲线222:11x ym t m t C +=---表示双曲线”．(1)若p 和q 都成立，求实数m 的取值范围； (2)若q 是s 的必要不充分条件，求t 的取值范围．19．如图1，某十字路口的花圃中央有一个底面半径为2m 的圆柱形花柱，四周斑马线的内侧连线构成边长为20m 的正方形.因工程需要，测量员将使用仪器沿斑马线的内侧进行测量，其中仪器P 的移动速度为1.5m/s ，仪器的移动速度为1m/s .若仪器Р与仪器Q 的对视光线被花柱阻挡，则称仪器Q 在仪器P 的“盲区”中.(1)如图2，斑马线的内侧连线构成正方形ABCD ，仪器Р在点A 处，仪器Q 在BC 上距离C 点4m 处，试判断仪器Q 是否在仪器P 的“盲区”中，并说明理由；(2)如图3，斑马线的内侧连线构成正方形ABCD ，仪器P 从点A 出发向点D 移动，同时仪器Q 从点C 出发向点B 移动，在这个移动过程中，仪器Q 在仪器Р的“盲区”中的时长为多少？20．如图所示，已知动直线y kx =交圆()2224x y -+=于坐标原点O 和点A ，交直线4x =于点B ，若动点M 满足OM AB =u u u u r u u u r，动点M 的轨迹C 的方程为(),0F x y =．（1）试用k 表示点A 、点B 的坐标； （2）求动点M 的轨迹方程(),0F x y =；（3）以下给出曲线C 的五个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究，并说明理由．（若你研究的方面多于三个，我们将只对试卷解答中的前三项予以评分） ①对称性；②顶点坐标（定义：曲线与其对称轴的交点称为该曲线的顶点）； ③图形范围； ④渐近线；⑤对方程(),0F x y =，当0y ≥时，函数()y f x =的单调性．21．已知直线0x y +与椭圆222:1x E y a+=有且只有一个公共点.(1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在实数λ，使椭圆E 上存在不同两点P 、Q 关于直线20x y λ--=对称？若存在，求λ的取值范围；若不存在，请说明理由；(3)椭圆E 的内接四边形ABCD 的对角线AC 与BD 垂直相交于椭圆的左焦点，S 是四边形ABCD 的面积，求S 的最小值.。
2021-2022学年上海市浦东新区南汇中学高二(上)月考数学试卷(10月份) (解析版)
2021-2022学年上海市浦东新区南汇中学高二（上）月考数学试卷（10月份）一、填空题1．直线与平面所成角的范围是．2．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是．3．从同一点出发的四条直线最多能确定个平面．4．“直线l在平面a外”是“直线1与平面a平行”的条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“非充分非必要”）5．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD1与平面BCC1B1所成角的大小为．（结果用反三角函数值表示）6．一个竖直平面内的多边形，用斜二测画法得到的水平放置的直观图是一个边长为的正方形，该正方形有一组对边是水平的，则原多边形的面积是．7．二面角α﹣l﹣β为60°，异面直线a、b分别垂直于α、β，则a与b所成角的大小是．8．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过点A作平面A1BC1的垂线l，则直线l与直线CC1所成角的余弦值为．9．异面直线a，b成60°角，P是a，b外一定点，若过P点有且只有两条直线与a，b所成的角相等且等于θ，则θ的范围为．10．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为．11．正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上所有点在平面α内的射影所构成的图形面积的取值范围为．12．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、K分别为线段A1D1、C1D1、FC的中点，下述四个结论：①直线AE、CF、DD1共点；②直线AE、BK为异面直线；③四面体ABFE的体积为；④线段AB上存在一点N使得直线AE∥平面NFC．其中所有正确结论的序号为．二、选择题13．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C114．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交15．下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；④若直线l上有一点在平面α外，则l在平面α外．其中错误命题的个数是（）A．1B．2C．3D．416．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点F是线段BC1上的动点，则下列说法错误的是（）A．当点F移动至BC1中点时，才有A1F与B1D相交于一点，记为点E，且＝2B．无论点F在BC1上怎么移动，都有A1F⊥B1DC．当点F移动至BC1中点时，直线A1F与平面BDC1成成角最大且为60°D．无论点F在BC1上怎么移动，异面直线A1F与CD所成角都不可能是30°三、解答题17．如图所示，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M是棱A1B1的中点，N是棱A1D1的中点．（1）求直线AN与平面ABCD所成角的大小；（2）求异面直线AN与BM所成角的大小．（计算结果用反三角函数表示）18．如图，四边形ABEF和四边形ABCD均是直角梯形，∠FAB＝∠DAB＝90°，AF＝AB ＝BC＝2，AD＝1，FA⊥CD．（1）求点F到平面ABCD的距离；（2）证明：平面BCE∥平面ADF，并说明在平面EBC上，一定存在过C的直线l与直线FD平行．19．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q分别为对角线BD、CD1上的点，且＝＝.（1）作出平面PQC和平面AA1D1D的交线（保留作图痕迹），并求证：PQ∥平面A1D1DA；（2）若R是AB上的点，当的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明．20．如图1，四边形ABCD中，E是BC的中点，DB＝2，DC＝1，BC＝，AB＝AD＝，将图1沿直线BC折起，使得二面角A﹣BD﹣C为60°．如图2．（1）求证：AE⊥平面BDC；（2）求直线AC与平面ABD所成角的余弦值．21．如图所示，正四棱锥P﹣ABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为．（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．参考答案一、填空题1．直线与平面所成角的范围是．【分析】利用直线与平面所成角的定义，写出结果即可．【解答】直线和平面所成的角，应分三种情况：①直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；②直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；③直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．故答案为：[0，]．2．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是异面或相交．【分析】以正方体为载体，列举出所有情况，从而得到一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是异面或平行．解：在正方体AC1中，①AD和CC1是异面直线，BC∥AD，BC⊥CC1，②AD和C1D1是异面直线，BC∥AD，BC和C1D1是异面直线，∴一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是异面或相交．故答案为：异面或相交．3．从同一点出发的四条直线最多能确定6个平面．【分析】利用平面的基本性质及推论直接求解．解：同一点出发的四条直线最多能确定平面个数：n＝＝6．故答案为：6．4．“直线l在平面a外”是“直线1与平面a平行”的必要不充分条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“非充分非必要”）【分析】根据直线与平面的位置关系进行判断即可．解：“直线l在平面a外”包括了直线l与平面α平行，直线l与平面α相交两种情况，所以“直线l在平面a外”是“直线1与平面a平行”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分．5．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD1与平面BCC1B1所成角的大小为arcsin．（结果用反三角函数值表示）【分析】根据线面角的定义可知所求角为∠D1BC1，根据长度关系可求得sin∠D1BC1，从而得到结果．解：由正方体特点知：C1D1⊥平面BCC1B1，∴直线BD1与平面BCC1B1所成角为∠D1BC1，设正方体棱长为a，则BD1＝a，∴sin∠D1BC1＝，∴∠D1BC1＝arcsin，∴直线BD1与平面BCC1B1所成角的大小为arcsin，故答案为：arcsin．6．一个竖直平面内的多边形，用斜二测画法得到的水平放置的直观图是一个边长为的正方形，该正方形有一组对边是水平的，则原多边形的面积是4．【分析】根据斜二测画法中原平面图形与直观图的面积比是2：1，计算即可．解：该多边形的直观图是一个边长为的正方形，正方形的面积为S正方形＝＝2，∴原多边形的面积是2×2＝4．故答案为：4．7．二面角α﹣l﹣β为60°，异面直线a、b分别垂直于α、β，则a与b所成角的大小是60°．【分析】根据二面角的定义，及线面垂直的性质，我们可得若两条直线a，b分别垂直于两个平面，则两条直线的夹角与二面角相等或互补，由于已知的二面角α﹣l﹣β的平面角为60°，故异面直线所成角与二面角相等，即可得到答案．解：根据二面角的定义则线面垂直的性质，∵二面角α﹣l﹣β的平面角为60°，有两条异面直线a，b分别垂直于平面，设异面直线a，b的夹角为θ则θ＝60°．故答案为：60°．8．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过点A作平面A1BC1的垂线l，则直线l与直线CC1所成角的余弦值为．【分析】连结DB1，则DB1⊥平面A1BC1，从而l∥DB1，直线l与直线CC1所成角为∠D1DB，由此能求出结果．解：如图，连结DB1，则DB1⊥平面A1BC1，∴l∥DB1，直线l与直线CC1所成角为∠D1DB，连结B1D1，在Rt△D1DB1中，设DD1＝a，则DB1＝，∴cos∠D1DB1＝＝．故答案为：．9．异面直线a，b成60°角，P是a，b外一定点，若过P点有且只有两条直线与a，b所成的角相等且等于θ，则θ的范围为（60°，90°）．【分析】将异面直线平移到P点，可确定∠BPE和∠EPD的角平分线与a，b所成角的大小，当直线在平面BPE内的射影为∠BPE的角平分线时，需60°＜θ＜90°能使得题意成立，从而得到结果．解：将异面直线a，b平行移动到点P处，记为直线BD，CE，则∠BPE＝60°，∠EPD＝120°，所以∠BPE的角平分线与a，b所成角为30°，∠EPD的角平分线与a，b所成角为60°，由题意若过P点有且只有两条直线与a，b所成的角相等且等于θ，则60°＜θ＜90°，此时直线在平面BPE内的射影为∠EPD的角平分线，故答案为：（60°，90°）．10．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为或24．【分析】连接AB、CD，分点P在CA的延长线上和点P在线段CA上A、C之间两种情况，分别根据平行线的性质列出比例关系式，解之即可得到BD的长度，得到本题答案．解：连接AB、CD①当点P在CA的延长线上，即P在平面α与平面β的同侧时，∵α∥β，平面PCD∩α＝AB，平面PCD∩β＝CD∴AB∥CD，可得∵PA＝6，AC＝9，PD＝8∴，解之得BD＝②当点P在线段CA上，即P在平面α与平面β之间时，类似①的方法，可得代入PA＝6，PC＝3，PD＝8，得，解得PB＝16∴BD＝PB+PD＝24综上所述，可得BD的长为或24故答案为：或2411．正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上所有点在平面α内的射影所构成的图形面积的取值范围为．【分析】首先想象一下，当正四面体绕着与平面平行的一条边转动时，不管怎么转动，投影的三角形的一个边始终是AB的投影，长度是1，而发生变化的是投影的高，体会高的变化，得到结果．，投影面积最大应是线段AB相对的侧棱与投影面平行时取到，投影面的最小值应在正四面体的一面与投影面垂直时取到．解：由题意当线段AB相对的侧棱与投影面平行时投影最大，此时投影是关于线段AB对称的两个等腰三角形，由于正四面体的棱长都是1，故投影面积为×1×1＝当正四面体的与AB平行的棱与投影面垂直时，此时投影面面积最小，此时投影面是一个三角形，其底面边长为线段AB的投影，长度为1，此三角形的高是AB，CD两线之间的距离，取CD的中点为M，连接MA，MB可解得MA＝MB＝，再取AB中点N，连接MN，此线段长度即为AB，CD两线之间的距离，可解得MN＝，此时投影面的面积是××1＝，故投影面的取值范围是故答案为12．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、K分别为线段A1D1、C1D1、FC的中点，下述四个结论：①直线AE、CF、DD1共点；②直线AE、BK为异面直线；③四面体ABFE的体积为；④线段AB上存在一点N使得直线AE∥平面NFC．其中所有正确结论的序号为①②．【分析】利用三点共线判断①是否正确；利用异面直线判定定理判断②是否正确；利用椎体体积公式判断③是否正确；利用线面平行性质定理判断④是否正确．解：对于①：延长DD1至G使得DD1＝D1G，由于G、F、C和G、E、A均为三点共线，故直线AE，CF，DD1共点，故①正确；对于②：对于①知直线AE，CF共面，记为平面α，其中BK∩α＝K，且K∉AE，由异面直线判断定理知直线AE，BK为异面直线，故②正确；对于③：四面体ABFE的体积即V三棱锥E﹣ABF，而S△ABF＝•1•＝，点E到底面ABF的距离为点A1到平面ABC1D1的距离的一半，即•＝，故V三棱锥E﹣ABF＝••＝≠，故③错误；对于④：假设存在点N在线段AB上使得直线AE∥平面NFC，由线面平行的性质定理知过AE的平面α与平面NFC交直线CF，应满足AE∥CF，这与①中结论矛盾，故假设错误，即不存在满足题设的点N，故④错误；故答案为：①②．二、选择题13．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1【分析】根据异面直线的定义便可判断选项A，B，C的直线都和直线EF异面，而由图形即可看出直线B1C1和直线相交，从而便可得出正确选项．解：根据异面直线的概念可看出直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF为异面直线；B1C1和EF在同一平面内，且这两直线不平行；∴直线B1C1和直线EF相交，即选项D正确．故选：D．14．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交【分析】可以画出图形来说明l与l1，l2的位置关系，从而可判断出A，B，C是错误的，而对于D，可假设不正确，这样l便和l1，l2都不相交，这样可推出和l1，l2异面矛盾，这样便说明D正确．解：A．l与l1，l2可以相交，如图：∴该选项错误；B．l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；C．l可以和l1，l2都相交，如下图：，∴该选项错误；D．“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，假如l和l1，l2都不相交；∵l和l1，l2都共面；∴l和l1，l2都平行；∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；∴该选项正确．故选：D．15．下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；④若直线l上有一点在平面α外，则l在平面α外．其中错误命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】两条异面直线不能确定一个平面；若两个平面有3个共线的公共点，则这两个平面相交；若a与b共面，b与c共面，则a与c不一定共面；若直线l上有一点在平面α外，则由直线与平面的位置关系得l在平面α外．解：在①中，两条异面直线不能确定一个平面，故①错误；在②中，若两个平面有3个不共线的公共点，则这两个平面重合，若两个平面有3个共线的公共点，则这两个平面相交，故②错误；在③中，直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c不一定共面，如四面体S﹣ABC中，SA与AB共面，AB与BC共面，但SA与BC异面，故③错误；在④中，若直线l上有一点在平面α外，则由直线与平面的位置关系得l在平面α外，故④正确．故选：C．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点F是线段BC1上的动点，则下列说法错误的是（）A．当点F移动至BC1中点时，才有A1F与B1D相交于一点，记为点E，且＝2B．无论点F在BC1上怎么移动，都有A1F⊥B1DC．当点F移动至BC1中点时，直线A1F与平面BDC1成成角最大且为60°D．无论点F在BC1上怎么移动，异面直线A1F与CD所成角都不可能是30°【分析】选项A可由三角形的相似关系证得；由DB1⊥面A1BC1可知A1F⊥B1D；选项C，通过计算可知线面角最大值超过60°，故可判断C错误．解：对于A，F为BC1的中点时，也是B1C的中点，它们共面于平面A1B1CD，且必相交，设交点为E，连A1D和B1F，如图，根据△A1DE∽△FB1E，可得＝＝2，故A正确；对于B，在正方体中，DB1⊥面A1BC1，又A1F⊂面A1BC1，所以A1F⊥B1D，故B正确；对于C，当点F在B1C上移动时，直线A1F与平面BDC1所成角由小到大再到小，当F为BC1中点时，直线A1F与平面BDC1所成角最大，如图，且F为B1C的中点时最大角的余弦值为＝＝，所以最大角大于60°，故C错误．故选：C．三、解答题17．如图所示，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M是棱A1B1的中点，N是棱A1D1的中点．（1）求直线AN与平面ABCD所成角的大小；（2）求异面直线AN与BM所成角的大小．（计算结果用反三角函数表示）【分析】（1）由线面角的定义可知∠DAN为所求角；（2）根据异面直线所成角的定义，作出两直线所成角，归入三角形计算．解：（1）由正方体的性质可知，直线AN与平面ABCD所成角为∠DAN，易得tan∠DAN＝2，所以直线AN与平面ABCD所成角的大小为arctan2；（2）记棱B1C1的中点为G，连接BG、GM、GN，GM与B1D1的交点为H，连接BH，因为ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，G，N中点，所以GN∥A1B1∥AB，GN＝A1B1＝AB，即四边形ABGN为平行四边形，所以BG∥AN，所以∠MBG（或其补角）是异面直线AN与BM所成的角，在△MBG中，BM＝BG＝，MG＝，所以cos∠MBG＝＝，所以异面直线AN与BM所成角的大小为arccos．18．如图，四边形ABEF和四边形ABCD均是直角梯形，∠FAB＝∠DAB＝90°，AF＝AB ＝BC＝2，AD＝1，FA⊥CD．（1）求点F到平面ABCD的距离；（2）证明：平面BCE∥平面ADF，并说明在平面EBC上，一定存在过C的直线l与直线FD平行．【分析】（1）由线线垂直，得线面垂直，从而得出点F到平面ABCD的距离即为AF；（2）由面面平行得线线平行即可．解：（1）因为∠FAB＝90°，所以FA⊥AB，又FA⊥CD，AB、CD是相交直线，所以FA⊥平面ABCD，所以点F到平面ABCD的距离AF＝2；证明：（2）由题意得BE∥AF，BC∥AD，BE∩BC＝B，AD∩AF＝A．所以平面BCE∥平面ADF．设平面DFC∩平面BCE＝l，则l过C点，因为平面BCE∥平面ADF，平面DFC∩平面BCE＝l，平面DFC∩平面ADF＝DF，所以DF∥l，证毕．19．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q分别为对角线BD、CD1上的点，且＝＝.（1）作出平面PQC和平面AA1D1D的交线（保留作图痕迹），并求证：PQ∥平面A1D1DA；（2）若R是AB上的点，当的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明．【分析】（1）由题意结合几何性质可作出两平面的交线，然后证明线面平行即可；（2）首先确定点R的位置，然后给出证明即可．解：（1）连结CP并延长与DA的延长线交于M点，则平面PQC和平面AA1D1D的线为D1M，因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD，故△PBC～△PDM，所以，又因为，所以，所以PQ∥MD1．又MD1⊂平面A1D1DA，PQ不在平面A1D1DA内，故PQ∥平面A1D1DA．（2）当的值为时，能使平面PQR∥平面A1D1DA．证明：因为，即，故，所以PR∥DA．又DA⊂平面A1D1DA，PR不在平面A1D1DA内，所以PR∥平面A1D1DA，又PQ⋂PR＝P，PQ∥平面A1D1DA．所以平面PQR∥平面A1D1DA．20．如图1，四边形ABCD中，E是BC的中点，DB＝2，DC＝1，BC＝，AB＝AD＝，将图1沿直线BC折起，使得二面角A﹣BD﹣C为60°．如图2．（1）求证：AE⊥平面BDC；（2）求直线AC与平面ABD所成角的余弦值．【分析】（1）取BD中点F，连结EF，AF，由余弦定理及勾股定理，可得AE⊥EF，由线面垂直的性质可得BD⊥AE，由线面垂直的判定定理可得AE⊥平面BDC；（2）以E为原点建立如图示的空间直角坐标系，求出直线AC的方向向量与平面ABD的法向量，代入向量夹角公式，可得直线AC与平面ABD所成角的余弦值．【解答】证明：（1）取BD中点F，连结EF，AF，则，，由余弦定理知：，∵AF2+EF2＝AE2，∴AE⊥EF，，又BD⊥平面AEF，AE⊂平面AEF，∴BD⊥AE，又∵EF∩BD＝F，EF，BD⊂平面BDC∴AE⊥平面BDC；解：（2）以E为原点建立如图示的空间直角坐标系，则，，，设平面ABD的法向量为＝（x，y，z），由，得，取，则y＝﹣3，∴．∵，∴故直线AC与平面ABD所成角的余弦值为．21．如图所示，正四棱锥P﹣ABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为．（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．【分析】（1）取AD中点M，连接MO，PM，由正四棱锥的性质知∠PMO为所求二面角P﹣AD﹣O的平面角，∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角，则tan∠PAO＝，设AB＝a，则AO＝a，PO＝AO•tan∠POA＝a，MO＝a，tan∠PMO＝，∠PMO＝60°；（2）依题意连结AE，OE，则OE∥PD，故∠OEA为异面直线PD与AE所成的角，由正四棱锥的性质易证OA⊥平面POB，故△AOE为直角三角形，OE＝PD＝＝a，所以tan∠AEO＝＝；（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG，易得BC⊥平面PMN，故平面PMN⊥平面PBC，而△PMN为正三角形，易证MG⊥平面PBC，取MA的中点F，连EF，则四边形MFEG为平行四边形，从而MG∥FE，EF⊥平面PBC，F是AD的4等分点，靠近A点的位置．解：（1）取AD中点M，连接MO，PM，依条件可知AD⊥MO，AD⊥PO，则∠PMO为所求二面角P﹣AD﹣O的平面角．∵PO⊥面ABCD，∴∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角．∴tan∠PAO＝，设AB＝a，AO＝a，∴PO＝AO•tan∠POA＝a，tan∠PMO＝＝．∴∠PMO＝60°．（2）连接AE，OE，∵OE∥PD，∴∠OEA为异面直线PD与AE所成的角．∵AO⊥BD，AO⊥PO，∴AO⊥平面PBD．又OE⊂平面PBD，∴AO⊥OE．∵OE＝PD＝＝a，∴tan∠AEO＝＝；（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG．∵BC⊥MN，BC⊥PN，∴BC⊥平面PMN∴平面PMN⊥平面PBC．又PM＝PN，∠PMN＝60°，∴△PMN为正三角形．∴MG⊥PN．又平面PMN∩平面PBC＝PN，∴MG⊥平面PBC．∴F是AD的4等分点，靠近A点的位置．。
上海市同济大学第一附属中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题
上海市同济大学第一附属中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、填空题1．不等式2230x x +-≤的解集为.2．对于正实数x ，代数式91x x ++的最小值为． 3．“两条直线没有公共点”是“两条直线是异面直线”的条件．4．若圆柱的高为10，底面积为4π，则这个圆柱的侧面积为.5．已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线与底面半径的比为. 6．若正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，且高为1，则其体积为.7．在ABC V A =A ＝.8．若三个向量()3,3,2a =r ，()6,,7b m =r ，()0,5,1c =r 共面，则实数m 的值为．9．已知二面角AB αβ--为30°，P 是半平面α内一点，点P 到平面β的距离是1，则点P 在平面β内的投影到AB 的距离是．10．已知,A B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠=o ，P 为该球面上的动点，若三棱锥P OAB -体积的最大值为6，则球O 的表面积为.11．某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC ，遮阳篷是一个直角边长为6的等腰直角三角形，斜边AB 朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC 与地面所成的角大小为时，所遮阴影面ABC '面积达到最大.12．在四面体PABC 中，2PD PA PB =+uu u r uu r uu r ，523PE PB PC =+uur uu r uu u r ，23PF PC PA =-+u u u r u u u r u u u r ，设四面体PABC 与四面体PDEF 的体积分别为1V 、2V ，则21V V 的值为.二、单选题13．已知m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件能使n ⊥α成立的是（ ）A ．α⊥β，m ⊂βB ．α∥β，n ⊥βC ．α⊥β，n ∥βD ．m ∥α，n ⊥m14．如图，在正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ）.A ．直线AA 1B ．直线A 1B 1C ．直线A 1D 1 D ．直线B 1C 115．已知一个棱长为1的正方体，与该正方体每个面都相切的球半径记为1R ，与该正方体每条棱都相切的球半径为2R ，过该正方体所有顶点的球半径为3R ，则下列关系正确的是（ ）A ．123::2R R RB ．123+=R R RC ．222123+=R R RD ．333123+=R R R16．正四面体ABCD 的体积为1，O 为其中心，正四面体EFGH 与正四面体ABCD 关于点O 对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．34三、解答题17．已知函数21()sin 22f x x x =+． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 18．据《黑鞑事略》记载：“穹庐有二样：燕京之制，用柳木为骨，正如南方罘思，可以卷舒，面前开门，上如伞骨，顶开一窍，谓之天窗，皆以毡为衣，马上可载.草地之制，以柳木组定成硬圈，径用毡挞定，不可卷舒，车上载行.”随着畜牧业经济的发展和牧民生活的改善，穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替.一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体.如图，已知该圆锥的高为3米，圆柱的高为4米，底面直径为8米.(1)求该蒙古包的表面积（不含底面）；(2)求该蒙古包的体积.19．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，AB BC ==1AC 与底面ABCD 所成的角为45︒ .(1)求四棱锥1A ABCD -的体积；(2)求异面直线1A B 与11B D 所成角的大小.20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，侧面11AAC C 为菱形，点1A 在底面上的投影为AC 的中点D ，且2AB =.(1)求证：1BD CC ⊥；(2)求点C 到侧面11AA B B 的距离；(3)在线段11A B 上是否存在点E ，使得直线DE 与侧面11AA B B请求出1A E 的长；若不存在，请说明理由.21．设m 为给定的实常数，若函数()y f x =在其定义域内存在实数0x ，使得00()()()f x m f x f m +=+成立，则称函数()f x 为“()G m 函数”． （1）若函数()2x f x =为“(2)G 函数”，求实数0x 的值；（2）若函数2()lg 1a f x x =+为“(1)G 函数”，求实数a 的取值范围； （3）已知()f x xb =+(b ∈R )为“(0)G 函数”，设()|4|g x x x =-.若对任意的12,[0,]x x t ∈，当12x x ≠时，都有2211()()2()()g x g x f x f x ->-成立，求实数t 的最大值．。
2022-2023学年上海市嘉定区第一中学高二上学期10月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年上海市嘉定区第一中学高二上学期10月月考数学试题一、填空题1．函数sin 21y x =+的最小正周期为_____．【答案】π【详解】试题分析：22T ππ== 【解析】三角函数的周期.2．设复数z 满足i 32i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则Im z =___________．【答案】－3【分析】利用复数的除法运算化简复数z ，即可求解.【详解】由i 32i z ⋅=+可得：()()()32i i 32i 23i i i i z +⋅-+===-⋅-， 所以Im 3z =-，故答案为：3-. 3．已知3 cos 5θ=-，则sin 2πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________. 【答案】35- 【分析】根据诱导公式化简求值.【详解】由诱导公式可知3sin cos 25πθθ⎛⎫+==- ⎪⎝⎭. 故答案为:35- 4．一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是________【答案】相交或异面【分析】分为,b c 共面和不共面，可确定两种位置关系.【详解】若,a b 为异面直线，//a c当,b c 共面时，,b c 相交；当,b c 不共面时，,b c 异面故答案为相交或异面【点睛】本题考查空间中直线与直线位置关系的判定，属于基础题.5．已知向量(),1a x =，()2,3b =-，若//a b ，则实数x 的值是______． 【答案】23-【分析】应用向量共线的坐标表示得230x +=，即可求x .【详解】由题意知：230x +=，解得23x =-. 故答案为：23- 6．如图，正方形O A B C ''''的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为________．【答案】8【分析】根据斜二测画法，还原出原图，根据原图与直观图的关系，求得边长，即可得答案.【详解】根据直观图，还原原图可得OABC ，如图所示：根据原图与直观图的关系可得，1,222OA O A OB O B ''''====OA OB ⊥，所以223AB OB OA =+=， 所以原图形OABC 的周长为3+1+3+1=8，故答案为：87．若复数1z i =+（i 为虚数单位）是方程20x cx d ++=（c 、d 均为实数）的一个根，则||c di +=___【答案】2【分析】先由题意，得到2(1)(1)0++++=i c i d ，化简整理，再由复数相等，得到22c d =-⎧⎨=⎩，根据复数模的计算公式，即可求出结果.【详解】因为复数1z i =+（i 为虚数单位）是方程20x cx d ++=（c 、d 均为实数）的一个根， 所以2(1)(1)0++++=i c i d ，整理得：(2)()0+++=c i c d ，因此200c c d +=⎧⎨+=⎩，解得22c d =-⎧⎨=⎩.所以||22+=-+=c di i .故答案为【点睛】本题主要考查求复数的模，熟记复数模的计算公式，以及复数相等的充要条件即可，属于常考题型.8．在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为1,AA AB 的中点，则EF 与平面11BDD B 所成角的大小为______． 【答案】π6【分析】连接1111B D AC 、相交于O ，连接BO ，1AB ，转化为求直线1A B 和平面11BDD B 所成的角，再利用线面垂直的判定定理可得1A BO ∠就是直线1A B 和平面11BDD B 所成的角，由1111sin 2∠==A O A BO A B 可得答.【详解】连接1A B ，由于,E F 分别是1,AA AB 的中点，所以1//EF A B ，所以直线EF 和平面11BDD B 所成的角的大小等于直线1A B 和平面11BDD B 所成的角，连接1111B D AC 、相交于O ，连接BO ，根据正方体的几何性质可知1BB ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，所以111BB AC ⊥，又因为1111AC B D ⊥，1111B D BB B ⋂=，111、⊂B D BB 平面11BDD B ， 所以11A C ⊥平面11BDD B ，所以1A BO ∠就是直线1A B 和平面11BDD B 所成的角，因为111A B AC =，所以1112=AO A B ，所以1111sin 2∠==A O A BO A B ，1π0,2⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦A BO ， 所以1π6∠=A BO ，故EF 与平面11BDDB 所成角的大小为π6. 故答案为：π6.9．在ABC 中，若4A π∠=，tan()7A B +=，32AC =ABC 的面积为___________. 【答案】212 【分析】利用公式求出sin B ，利用正弦定理求出AB ，利用三角形的面积公式可求出结果.【详解】因为tan()7A B +=，所以tan 7C =-，sin 7cos C C =-，所以22sin 49cos C C =，所以22sin 4949sin C C =-，所以249sin 50C =， 所以2sin 10C =2cos C = 所以sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C =+=22272(==35， 由正弦定理得sin sin AB AC C B =3725AC =，得723210735AB ==， 所以ABC 的面积11221sin 3272222S AC AB A =⋅⋅=⨯⨯=. 故答案为：212 【点睛】关键点点睛：利用正弦定理、三角形面积公式求解是解题关键.10．已知a 、b 满足4a =，b 在a 方向上的数量投影为2-，则3a b -的最小值为______．【答案】10【分析】根据数量投影的定义，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】设a 、b 的夹角为([0,])θθπ∈，因为b 在a 方向上的数量投影为2-， 所以cos 2b θ⋅=-，因此(,]2πθπ∈，因此cos [1,0)θ∈-，所以2b ≥， 22223(3)961696cos a b a b a b a b b a b θ-=-=+-⋅=+-⋅⋅⋅， 因此有23649a b b -=+，因为2b ≥，所以当2b =时，3a b -有最小值，最小值为2649210+⨯=，故答案为：1011．已知函数()f x sin ωx ωx(ω0)=>，x R ∈，若函数()f x 在区间()ω,ω-内单调递增，且函数()f x 的图象关于直线x ω=对称，则ω的值为______．【分析】化函数为f （x ）＝2sin （ωx π3+），由正弦函数的单调增区间求出x 的取值范围，结合题意列不等式组求出k 的值，再根据函数f （x ）的对称轴求出ω的值．【详解】函数()πf x sin ωx ωx 2sin ωx 3⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，x R ∈， 函数()f x 在区间()ω,ω-内单调递增，ω0>，πππ2k πωx 2k π232∴-≤+≤+，k Z ∈； 可解得函数()f x 的单调递增区间为：15π1π2k π,2k πω6ω6⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，k Z ∈， 可得：15πω2k πω6⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭，⋯① 1πω2k πω6⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，⋯②其中k Z ∈， ∴解得：25π0ω2k π6<≤-且2π0ω2k π6<≤+，k Z ∈， 5π206π206k k ππ⎧->⎪⎪∴⎨⎪+>⎪⎩，解得：15k 1212-<<，k Z ∈，可解得：k 0=， 又由ππωx k π32+=+，k Z ∈； 可解得函数()f x 的对称轴为：1πx k πω6⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，k Z ∈， 由函数()y f x =的图象关于直线x ω=对称，可得：2πω6=，可解得：ω=．【点睛】本题主要考查了函数y ＝Asin （ωx+φ）的图象与性质的应用问题，正确确定k 的值是解题的关键，是中档题12．已知O 为ABC 的外心，3ABC π∠=，BO BA BC λμ=+，则λμ+的最大值为________ 【答案】23【分析】以外接圆圆心为半径建立坐标系，设(),B x y ，列方程用、λμ表示出x y ，，代入圆的方程，再利用不等式解出λμ+的范围即可.【详解】设ABC 的外接圆半径为1，以外接圆圆心为原点建立坐标系， 因为3ABC π∠=，所以23AOC π∠=， 不妨设()A 1,0，12C ⎛- ⎝⎭，(),B x y ，则()1,BA x y =--，12BC x y ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()y BO x =--，， 因为BO BA BC λμ=+，所以()112x x x y y y λμλμ⎧⎛⎫--+=- ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎫⎪-+=-⎪⎪⎪⎝⎭⎩，解得12121x y λμλμλμ⎧-⎪=⎪+-⎪⎨⎪⎪=⎪+-⎩， 因为B 在圆221x y +=上， 所以22122111λμλμλμ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪+= ⎪+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()222112λμλμ⎫⎛⎫-+=+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()22132λμλμλμ+-+⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭， 所以()()21210433λμλμ+-++≥， 解得23λμ+≤或2λμ+≥， 因为B 只能在优弧AC 上，所以23λμ+≤， 故23【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及其意义，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型.二、单选题13．若l 、m 是两条不重合的直线，m 垂直于平面α，则“//l α”是“l m ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】利用线面垂直性质定理去判断“//l α”与“l m ⊥”逻辑关系即可解决.【详解】若l 、m 是两条不重合的直线，m 垂直于平面α，则由//l α，可以得到l m ⊥，即“//l α”是“l m ⊥”的充分条件；由l m ⊥，可得//l α或l ⊂α，即“//l α”不是“l m ⊥” 的必要条件.故“//l α”是“l m ⊥”的充分不必要条件故选：A14．函数()3sin cos f x x x =-图象的一条对称轴方程为（ ）A ．π6x =B ．π3x =C ．2π3x =D ．7π6x = 【答案】C【分析】由和差公式化简函数，由整体法令πππ62x k k -=+∈Z ，，即可求解. 【详解】()π3cos 2sin 6f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令πππ62x k k -=+∈Z ，，即2ππ3x k k =+∈Z ，， 故函数图象的一条对称轴方程为2π3x =． 故选：C15．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P Q R S ､､､分别为棱1AB BC BB CD ､､､的中点，连接11A S B D ､，对空间任意两点M N ､，若线段MN 与线段11A S B D ､都不相交，则称M N ､两点可视，下列选项中与点1D 可视的为（ ）A ．点PB ．点QC ．点RD ．点B【答案】B 【分析】根据异面直线的定义判断即可.【详解】A 选项：四边形11A D SP 是平行四边形，1A S 与1D P 相交，故A 错；C 选项：四边形11D B BD 是平行四边形，1D R 与1DB 相交，故C 错；D 选项：四边形11D B BD 是平行四边形，1D B 与1DB 相交，故D 错；利用排除法可得选项B 正确.故选：B.16．已知直线l 垂直平面α，垂足为O ，在矩形ABCD 中1AD =，2AB =，若点A 在l 上移动，点B 在平面α上移动，则O 、D 两点间的最大距离为（ ）A 5B 21C 3D ．322+【答案】B【分析】利用OD OE ED ≤+等号能成立时求得O 、D 两点间的最大距离即可解决【详解】取AB 中点E ，连接OE 、DE ，则1,2OE DE ==则O 、D 两点间的距离12OD OE ED ≤+=当且仅当O 、E 、D 三点依次共线时等号成立，此时平面ABCD ⊥平面α， 直线AB 与平面α所成角为11π3(π)(π)π2248ABO BEO ∠=-∠=-=故选：B三、解答题17．已知复数2i()z a a =+∈R ，且(2i)z -是纯虚数．(1)求复数z ；(2)若复数2(i)()z m m -∈R 在复平面内对应的点在第四象限，求m 的取值范围．【答案】(1)12i z =-+(2)(1,2)【分析】（1）由纯虚数的定义列出方程得出复数z ；（2）由复数的四则运算结合复数2(i)z m -在复平面内对应的点所在象限，列出不等式得出m 的取值范围．【详解】（1）∵2i z a =+，∴2(2i)(2i)(2i)2i 4i 2i 2i 4i 2(22)(4)i z a a a a a a a -=+-=-+-=-++=++-，又(2i)z -是纯虚数，∴220a +=且40a -≠，即1a =-，∴12i z =-+．（2）由（1）得：12i z =-+，则2222(i)(12i i)[1(2)i]1(2)2(2)i z m m m m m -=-+-=-+-=----，∵复数2(i)()z m m -∈R 在复平面内对应的点在第四象限，∴()()2120220m m ⎧-->⎪⎨--<⎪⎩， 解得132m m <<⎧⎨<⎩，故m 的取值范围为(1,2)．18．已知向量()31，a =，4a b ⋅=． (1)当4b =，求;a b + (2)求b 的最小值，并求此时向量a ，b 的夹角大小．【答案】(1)(2)最小值为2，此时a ，b 夹角大小为0【分析】（1）根据模长公式即可求解，（2）根据模长的坐标运算即可利用函数的性质求最值.【详解】（1）因()31312，a a =⇒=+= 因为222||2481628a b a a b b +=+⋅+=++=，所以27a b +=．（2）解法1:设,a b θ<>=，，因为40a b ⋅=>， 所以02πθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，， 由42cos 42cos cos =a b a b b a θθθ⋅==⇔=≥， 当且仅当cos 1θ=即0θ=时取等;所以b 最小值为2，此时a ，b 夹角大小为0． 解法2:设()，b x y =，由44a b y ⋅=⇒+=，所以2b x y =+==;故当x =1y =时b 最小值为2，此时cos ,1,0a ba b a b a b ⋅<>==⇒<>=．19．如图，已知1111ABCD A B C D -是底面为正方形的长方体，1160D A A ∠=，14AD =，P 为1AD 的中点，(1)求证：直线1//C P 平面1AB C ；(2)求异面直线1AA 与1B P 所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)64【分析】（1）连接1BC 交1B C 于点Q ，可证得四边形1AQC P 为平行四边形，由此可得1//AQ C P ，利用线面平行的判定定理可证得结论；（2）方法一：取11A D 中点E ，知1//PE AA ，则所求角为1B PE ∠，在1RT B PE 中，由长度关系可求得结果；方法二：以1A 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法可求得结果. 【详解】（1）连接1BC 交1B C 于点Q ，连接AQ ，四边形11BCC B 为长方形，Q ∴为1BC 中点，又P 为1AD 中点，11BC AD =， 1AP C Q ∴=，又11//AD BC ，∴四边形1AQC P 为平行四边形，1//AQ C P ∴，AQ ⊂平面1AB C ，1C P ⊄平面1AB C ，1//C P ∴平面1AB C .（2）方法一：取11A D 中点E ，连接11,,PE B E B P ，,P E 分别为111,AD A D 中点，1//PE AA ∴， ∴1B PE ∠即为异面直线1AA 与1B P 所成角，1AA ⊥平面1111D C B A ，PE ∴⊥平面1111D C B A ，又1B E ⊂平面1111D C B A ，1PE B E ∴⊥；14AD =，1160D A A ∠=，111AA A D ⊥，112A D ∴=，123AA =，2211115B E A B A E =+=，1132PE AA ==，221122B P B E PE ∴=+=， 1136cos 422PE B PE B P ∴∠===，即异面直线1AA 与1B P 所成角的余弦值为64. 方法二：14AD =，1160D A A ∠=，111AA A D ⊥，112A D ∴=，123AA =；以1A 为坐标原点，11111,,A B A D A A 正方向为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()10,0,0A ，(3A ，()12,0,0B ，(3P ，(10,0,AA ∴=-，(1B P =-，111111cos ,23AA B PAA B P AA B P⋅∴<>===⋅ 即异面直线1AA 与1B P 20．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ．且222222sin sin sin 2a A C b c c Ca b-+-=+-．(1)求角B 的大小；(2)求sin sin A C +的取值范围； (3)若2C π=，2BC =，O 为BC 中点，P为线段AO 上一点，且满足0BP CP ⋅=．求AP 的值，并求此时BPC △的面积S ． 【答案】(1)3B π=(2)sin sin A C ∈⎝+ (3)1AP =，BPC △的面积S【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理求解即可； （2）根据（1）可得23A C π+=，得到2sin sin sin sin 3A C A A π⎛⎫+=+-⎪⎝⎭，再根据正弦的和差角公式与辅助角公式，根据角度的范围求解即可；（3）先根据直角三角形中的关系求解得1AP =，再设OCP α∠=，推导可得sin 2S α=，再根据sin sin 2ACCOA AOα∠==求解即可 【详解】（1）由正弦定理及222222sin sin sin 2a A C b c c C a b -+-=+-，得2222222a c a b c c a c b -+-=+-， 即2222222222222211a a a b c a c a c b a c b -+--==-+-+-，化简得222a cb ac +-=，故2221cos 22a cb B ac +-==．又()0,B π∈，故3B π=．（2）由（1）知，23A C π+=， 故21sin sin sin sinsin sin 32A C A A A A A π⎛⎫+=+-=+⎪⎝⎭ 3sin 26A A A π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.又203A π<<，则5666A πππ<+<，33sin ,362A π⎛⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦， 故3,32sin sin A C ⎛⎤∈ ⎝+⎥⎦． （3）∵0BP CP ⋅=，∴PB PC ⊥，∵2BC =，O 为BC 中点，∴1PO =， ∵2a =，∴23AC =4AB =，∴()2223113AO +131AP ，设OCP α∠=，则2COP πα∠=-， ∴1sin 2PB PB BC α==，1cos 2PC PC BC α==， ∴12sin cos sin 22S PB PC ααα=⨯==， 在直角ACO △中，()23239sin sin 2sin 213AC COA AO παα∠=-=== ∴当131AP =时，BPC △的面积S 23921．已知在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，定义非零向量(,)OM a b =的“相伴函数”为sin cos ()y a x b x x =+∈R ，向量(,)OM a b =称为函数sin cos ()y a x b x x =+∈R 的“相伴向量”；记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S(1)已知R α∈，()cos()2cos h x x x α=++，若函数()h x 为集合S 中的元素，求其“相伴向量”的模的取值范围；(2)已知点(,)M a b 满足条件：3a =，03b <≤OM 的“相伴函数”()y g x =在0x x =处取得最大值，当b 在区间3]变化时，求0tan 2x 的取值范围；(3)当向量(3,1)OM =时，“相伴函数”为()f x ，若110,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，方程2()(2)()30f x a f x a +-+-=存在4个不相等的实数根，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)[1,3] (2)[3,0)(3)(1,3](4,5)⋃【分析】（1）把()h x 化为sin cos a x b x 形式得“相伴向量”OM ，求出模后可得其范围；（2）写出“相伴函数”()y g x =，根据辅助角公式得最大值及最大值点0x ，由b 的范围得0x 的范围，再得出02x 的范围后可得0tan 2x 的取值范围；（3）由定义得()f x 并化简（化为一个角的一个三角函数形式），解方程2()(2)()30f x a f x a +-+-=得()1f x =或()3f x a =-，()1f x =求得两根，然后作出函数()f x ，110,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的图象，由图象可得()3f x a =-且31a -≠有两根的a 的范围．【详解】（1）()cos()2cos cos cos sin sin 2cos sin sin (2cos )cos h x x x x x x x x ααααα=++=-+=-⋅++， ∴函数()h x 的相伴向量(sin ,2cos )OM αα=-+，(sin OM ==∴cos 1α=时，max3OM=；cos 1α=-时，min1OM==.∴OM 的取值范围为[1，3]（2）OM 的相伴函数()sin cos )g x a x b x x ϕ=++ 其中cos ϕ=sin ϕ=.当22x k πϕπ+=+，Z k ∈，即022x k πϕπ=-+，Z k ∈时，()g x 取得最大值，∴013tan tan 22tan a x k b bπϕπϕ⎛⎫=-+=== ⎪⎝⎭，∵0b <≤∴0tan )x ∈+∞，∴0,()32x k k k Z ππππ⎡⎫∈++∈⎪⎢⎣⎭，∴0222,2()3x k k k Z ππππ⎡⎫∈++∈⎪⎢⎣⎭.∴0tan 2[x ∈.（3）1()cos cos )2sin 26f x x x x x x π⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭， 当110,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，,266x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 由2()(2)()30f x a f x a +-+-=，得：(()1)(()(3))0f x f x a ---=， ∴()1f x =或()3f x a =-，由()1f x =，即1sin 62x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而110,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解得0x =或23x π=，即∴()1f x =在110,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个根，方程2()(2)()30f x a f x a +-+-=在110,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上存在4个不相等的实数根，当且仅当()3f x a =-且31a -≠在110,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不等实根，在同一坐标系内作出函数()y f x =在110,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图像和直线3y a =-，如图，方程()3(4)f x a a =-≠在110,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不等实根， 当且仅当函数()y f x =在110,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图像和直线3(4)y a a =-≠有两个公共点，观察图像知：230a -<-≤或132a <-<， 解得13a 或45a <<，所以实数a 的取值范围是(1,3](4,5)⋃.。
2022-2023学年上海市高二上学期10月月考数学检测试题(含解析)
2022-2023学年上海市高二上学期10月月考数学检测试题一、填空题1．直线l 经过点(1,2)A -，且倾斜角为2π，则直线l 的方程为__．【正确答案】=1x -【分析】倾斜角为2π，即是垂直于x 轴，据此可以直接写出直线方程.【详解】由于倾斜角为2π，所以l 垂直于x 轴，直线方程为=1x -；故=1x -.2．若方程2224380x y kx y k +++++=表示一个圆，则实数k 的取值范围是______．【正确答案】()(),14,-∞-⋃+∞【分析】根据题意得()24164380k k +-+>，再解不等式即可得答案.【详解】解：因为方程2224380x y kx y k +++++=表示一个圆所以，()24164380k k +-+>，即2340k k -->，解得4k >或1k <-.所以，实数k 的取值范围是()(),14,-∞-⋃+∞故()(),14,-∞-⋃+∞3．两条直线50x y a ++=与0x y a --=的交点在曲线2y x a =+上，则实数=a __．【正确答案】0或1-【分析】先求出两条直线50x y a ++=与0x y a --=的交点代入曲线2y x a =+，解方程即可得出答案.【详解】由500x y a x y a ++=⎧⎨--=⎩，解得23x a y a =-⎧⎨=-⎩．因为两直线50x y a ++=与0x y a --=的交点在曲线2y x a =+上，所以23(2)a a a -=-+，化为(1)0a a +=，解得0a =或1-．故0或1-4．若直线()2240x a y +++=与直线()1220a x y -++=平行，则实数a 的值为_________.【正确答案】3-根据两直线平行的条件列方程求得a 的值，然后检验，排除两直线重合的情况.【详解】由题意得()()2221a a ⨯=+-,即260a a +-=,解得3a =-或2a =.当2a =时，两直线方程都为：220x y ++=，两直线重合;当3a =-时，两直线方程分别为：240,210x y x y -+=--=,两直线平行.故答案为.3-本题考查利用两直线的平行求参数，属基础题，易错点是忽视重合的情况的排除.5．经过点P (3,2),且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（写出一般式）___．【正确答案】x+y-5=0或2x-3y=0【分析】当直线经过原点时，在两坐标轴上的截距相等，可得其方程为2x ﹣3y ＝0；当直线不经过原点时，可得它的斜率为﹣1，由此设出直线方程并代入P 的坐标，可求出其方程为x +y ﹣5＝0，最后加以综合即可得到答案．【详解】当直线经过原点时，设方程为y ＝kx ，∵直线经过点P （3，2），∴2＝3k ，解之得k 23=，此时的直线方程为y 23=x ，即2x ﹣3y ＝0；当直线不经过原点时，设方程为x +y +c ＝0，将点P （3，2）代入，得3+2+c ＝0，解之得c ＝﹣5，此时的直线方程为x +y ﹣5＝0．综上所述，满足条件的直线方程为：2x ﹣3y ＝0或x +y ﹣5＝0．故x+y-5=0或2x-3y=0．本题给出直线经过定点且在两个轴上的截距相等，求直线的方程．着重考查了直线的基本量与基本形式等知识，属于基础题．6．已知点00(,)M x y 是圆222:()0O x y r r +=>外一点，则直线200x x y y r +=与圆O 的位置关系为__．【正确答案】相交【分析】先由点与圆的位置关系得22200x y r +>，再利用圆心到直线的距离与圆的半径比较即可.【详解】因为点00(,)M x y 是圆222:()0O x y r r +=>外一点，所以22200x y r +>，又圆心O 到直线直线200x x y y r +=的距离2d r =，所以直线200x x y y r +=与圆O 相交.故相交.7．平面直角坐标系内，点(1,2)A ，点(13,1)B 到直线l 的距离分别为1,2，则满足条件的直线l 有__条.【正确答案】4【分析】动直线和点的距离不变，可理解为直线是圆的切线，对于本题，利用两圆的位置关系得出两圆公切线的条数，从而得到答案.【详解】把直线l 看成以(1,2)A 为圆心，1为半径的圆的切线，同时是以(13,1)B 为圆心，2为半径的圆的切线，由于两圆圆心距12AB =>+，所以两圆外离，根据外离的两圆的公切线有4条可知，所以满足条件的直线l 有4条.故48．直线y x b =+与曲线x =b 的取值范围是__________．【正确答案】11b -<≤或b =【分析】根据曲线方程得曲线的轨迹是个半圆，数形结合分析得两种情况：（1）直线与半圆相切有一个交点；（2）直线与半圆相交于一个点，综合两种情况可得答案.【详解】由曲线x =可得221(0)x y x +=≥，表示以原点为圆心，半径为1的右半圆，y x b =+是倾斜角为4π的直线与曲线x =（1）直线与半圆相切，根据d r =，所以1d =，结合图像可得b =；（2）直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知11b -<≤.故11b -<≤或b =.方法点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法；如果x 或y 有限制，需要数形结合进行分析.9．圆22640x y x y +-+=和圆22450x y x +--=交于A ，B 两点，则弦AB 的垂直平分线的方程是________.【正确答案】24y x =-+【分析】弦AB 的垂直平分线即两圆心连线.【详解】2222640(3)(2)13x y x y x y +-+=⇒-++=2222450(2)9x y x x y +--=⇒-+=弦AB 的垂直平分线即两圆心连线方程为24y x =-+故答案为24y x =-+本题考查了弦的垂直平分线，转化为过圆心的直线可以简化运算.10．已知圆C ：22(4)(3)4x y -+-=和两点(),0A m -，(),0(0).B m m >若圆C 上存在点M ，使得AM MB ⊥，则m 的最小值为______【正确答案】3【分析】根据题意，由A 、B 的坐标分析AB 中点的坐标以及AB 的值，进而求出以AB 的中点为圆心，半径12r AB =⨯的圆的方程，由圆与圆的位置关系可得圆C 与圆O 有交点，进而可得2525m m ⎧-≤⎪⎨+≥⎪⎩，解可得m 的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，点(),0A m -，(),0(0)B m m >，则AB 的中点为()0,0，2AB m =，则以AB 的中点为圆心，半径12r AB =⨯的圆为222x y m +=，设该圆为圆O ，若圆C 上存在点M ，使得AM MB ⊥，则圆C 与圆O 有交点，必有22m OC m -≤≤+，即2525m m ⎧-≤⎪⎨+≥⎪⎩，又由0m >，解可得：3m 7≤≤，即m 的最小值为3；故3．本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的方程，属于基础题．11．设点(3,5)A ，点B 和C 分别为直线:220l x y -+=和y 轴上的两动点，则ABC 的周长的最小值为__．【正确答案】【分析】由题可求点A 关于y 轴的对称点M ，A 关于:220l x y -+=的对称点D ，然后利用数形结合即得.【详解】因为点(3,5)A ，则A 关于y 轴的对称点M 为(3,5)-，设A 关于:220l x y -+=的对称点为(),D a b ，则511323522022b a a b -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪-⨯+=⎪⎩，解得5,1a b ==，即()5,1D ，所以MC CA =，AB BD =，所以ABC 的周长为MC CB BD ++，则当,,,M C B D 共线时，ABC 的周长的值最小，此时三角形周长为22(53)(15)45DM =++-=故4512．将函数29103([0,10])y x x x =+-∈的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角(0)θθα≤≤，得到曲线C ．若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图像，则α的最大值为__（结果用反三角函数表示）．【正确答案】3arctan5【分析】作出函数图像，数形结合，确定当此圆弧绕坐标原点逆时针方向旋转角大于MOB ∠时，曲线C 将不是一个函数的图像，由此求得答案.【详解】先画出函数29103([0,10])y x x x =+-∈的图像,如图：2()9103([0,10])f x x x x =+-∈，函数图像是一个圆弧，圆心为(5,3)M -，与x 轴分别交于()()0,0,10,0O B ，设此时过原点和圆弧相切的直线为l ,由图可知当此圆弧绕坐标原点逆时针方向旋转角大于MOB ∠时，此时l 将逆时针旋转越过y 轴，y 轴将与旋转后的圆弧有两交点，此时曲线C 将不是一个函数的图像，故α的最大值为MOB ∠，因为(5,3)M -，故arct n 3a 5MOB ∠=,故3arctan5二、单选题13．已知直线21:20l x y t ++=和直线2:24230l x y t ++-=，则当1l 与2l 间的距离最短时，t的值为（）A ．1B ．12C ．13D ．2【正确答案】B【分析】利用平行线之间的距离公式可求出d 关于t 的二次函数解析式，再利用二次函数的单调性即可求解.【详解】解：∵直线2:24230l x y t ++-=即为直线23202t x y -++=，∴直线1//l 直线2l ．∴1l 与2l 间的距离2222231552244512t t t d -⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=+ 12t =时取等号．∴当1l 与2l 间的距离最短时，t 的值为12．故答案选：B14．若直线2x y -=被圆22()4x a y -+=所截得的弦长为，则实数a 的值为（）A ．0或4B ．0或3C ．2-或6D ．1-【正确答案】A【分析】根据直线被圆所截得的弦长为“,r d ”法求解.【详解】由圆的方程22()4x a y -+=可知，圆心坐标为(,0)a ，半径2r =．又直线被圆截得的弦长为所以圆心到直线的距离d =．又d =，所以|2|2a -=，解得4a =或0a =．故选：A ．15．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为A ．3B ．2C ．13-D ．12-【正确答案】A【详解】，，设底边为由题意，到所成的角等于到所成的角于是有，再将A 、B 、C 、D 代入验证得正确答案是A ．16．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（）A ．45πB ．34πC ．(6π-D ．54π【正确答案】A【详解】试题分析：设直线:240l x y +-=因为1||||2C l OC AB d -==，1c d -表示点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线，圆C 的半径最小值为1122O l d -=，圆C 面积的最小值为245ππ=⎝⎭．故本题的正确选项为A.抛物线定义.三、解答题17．在ABC 中，三个顶点的坐标分别为(3,3)A ，(2,2)B -，(7,1)C -.(1)求直线BC 的方程；(2)求BC 边上的高AD 所在直线的方程；(3)求BAC ∠的平分线AE 所在直线的方程．【正确答案】(1)340x y ++=(2)360x y --=(3)0x y -=【分析】（1）利用两点求出斜率，用点斜式直接写出结果后整理化简即可；（2）由两直线垂直可知，1AD BC k k =-先得到AD k ，再由点斜式直接写出结果后整理化简；（3）利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两端的距离相等，直接找出角平分线上一点满足的关系，并结合图形排除不符合的情况.【详解】（1）依题意得，直线BC 的方程为122(2)72y x ++=---，即340x y ++=；（2）依题意，BC AD ⊥，由两直线垂直可知，1AD BC k k =-，结合上一问，13BC k =-，故3AD k =，于是AD 所在直线方程为：33(3)y x -=-，即360x y --=；（3）设BAC ∠平分线AE 上的任意一点(,)P x y ，又ABC 顶点(3,3)A 、(2,2)B -、(7,1)C -，3(2)532AB k --==-，所以直线AB 方程为35(3)y x -=-，即5120x y --=，3113(7)5ACk -==--，直线AC 的方程为13(3)5y x -=-，即5120x y -+=，由角平分线的性质可知：点P 到直线AC 距离等于点P 到直线AB=，故512(512)x y x y --=±-+，即60x y +-=或0x y -=．结合图形，得AC AE AB k k k <<，即155AE k <<，直线60x y +-=的斜率为1-，不符题意，故舍去．故BAC ∠的平分线AE 所在直线的方程为0x y -=．18．已知点(4,0)A -，(2,0)B ，动点P 满足||2||PA PB =．(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)直线l 经过点(0,2)M -且与曲线C 只有一个公共点，求直线l 的方程．【正确答案】(1)22(4)16x y -+=；(2)0x =或3480x y ++=．【分析】（1）设(,)P x y ，根据两点间距离公式结合条件即得；（2）由题可知直线与圆相切，分斜率存在和不存在讨论，结合点到直线的距离公式即得.【详解】（1）设(,)P x y ，因为点(4,0)A -，(2,0)B ，动点P 满足||2||PA PB =，2222(4)2(2)x y x y ++=-+，整理得2280x y x +-=，即22(4)16x y -+=，所以曲线C 方程为22(4)16x y -+=；（2）由22(4)16x y -+=，可知曲线C 为圆心为()4,0，半径为4的圆，所以直线l 与圆相切，当直线l 的斜率不存在时，直线:0l x =，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设直线2y kx =-，即20kx y --=，241k =+，解得34k =-，所以直线l 的方程为324y x =--，即3480x y ++=，综上，直线l 的方程为0x =或3480x y ++=．19．已知点(2,0)P 及圆22:6440C x y x y +-++=.（1）设过点P 的直线1l 与圆C 交于,M N 两点，当||4MN =时，求以线段MN 为直径的圆Q 的方程；（2）设直线10ax y -+=与圆C 交于,A B 两点，是否存在实数a ，使得过点(2,0)P 的直线2l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)22(2)4x y -+=（2）不存在实数a ，使得过点(2, 0)P 的直线2l 垂直平分弦AB【详解】试题分析：（1）由利用两点间的距离公式求出圆心C 到P 的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d ，发现|CP|与d 相等，所以得到P 为MN 的中点，所以以MN 为直径的圆的圆心坐标即为P 的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（2）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y 得到关于x 的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a 的不等式，求出不等式的解集即可得到a 的取值范围，利用反证法证明证明即可．试题解析：（Ⅰ）由于圆22:6440C x y x y +-++=的圆心()3,2C -，半径为3，CP =d =，所以d CP ==P 为MN 的中点，所以所求圆的圆心坐标为()2,0，半径为122MN =，故以MN 为直径的圆Q 的方程为：()2224x y -+=．（Ⅱ）把直线10ax y -+=及1y ax =+代入圆C 的方程，消去y ，整理得：()()2216190a x a x ++-+=，由于直线10ax y -+=交圆C 于A ，B 两点，故()()223613610a a ∆=--+>，即20a ->，解得0a <．则实数a 的取值范围是(),0-∞．设符合条件的实数a 存在，由于2l 垂直平分弦AB ，故圆心()3,2C -必在直线2l 上，所以2l 的斜率2PC k =，所以12AB k a ==，由于()1,02∉-∞，故不存在实数a ，使得过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB ．20．已知圆:O 221x y +=和定点()2,1A ，由圆O 外一点(),P a b 向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足PQ PA =.(1)求实数a b 、间满足的等量关系；(2)求线段PQ 长的最小值；(3)若以P 为圆心所作的圆P 与圆O 有公共点，试求半径取最小值时圆P 的方程.【正确答案】(1)230a b +-=；(3)226314555x y -⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】（1）利用切线长公式结合条件可得()()2222121a b a b +-=-+-，即得；（2）表示出PQ 利用配方法即可求出PQ 的最小值；（3）由⊙P 与⊙O 有公共点，可得1r PO ≥-，只需求出OP 的最小值以及取得最小值时的,a b 的值，即可求出半径最小值的圆的方程.【详解】（1）由圆的切线的性质可得，222||||PQ OP OQ =-，又PQ PA =，∴()()2222121a b a b +-=-+-，∴230a b +-=；（2）∵230a b +-=，∴23b a =-+，∴PQ ====∴当65a =时，线段PQ ；（3）设P 半径为r ，∵⊙P 与⊙O 有公共点，⊙O 半径为1，∴11r PO r -≤≤+，即1r PO ≥-且1r PO ≤+，又OP ===∴当65a =时，min ||5OP =，此时35=b ，min 15r =-，∴当半径取最小值时，圆P 方程为：222631555x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即226314555x y -⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．21．已知直线:0l ax by c ++=和点00(,)P x y ，点P 到直线l 的有向距离(,)d P l 用如下方法规定：若0b ≠，(,)d P l =，若0b =，0(,)ax c d P l a+=．(1)已知直线1:34120l x y -+=，直线2:230l x +=，求原点O 到直线12,l l 的有向距离12(,),(,)d O l d O l ；(2)已知点(2,1)A 和点(3,1)B -，是否存在通过点A 的直线3l ，使得3(,)2d B l =？如果存在，求出所有这样的直线3l ，如果不存在，说明理由；(3)设直线4:cos 2sin 20l x y αα+-=，问是否存在实数0t >，使得对任意的参数α都有：点12(,0),(,0)F t F t -到4l 的有向距离()()1424,,,d F l d F l 满足()()1424,,1d F l d F l ⋅=？如果满足，求出所有满足条件的实数t ；如果不存在，请说明理由．【正确答案】(1)112(,)5=-d O l ，23(,)2=d O l (2)10y -=或4350x y --=(3)存在，t【分析】(1)直接利用点到直线的有向距离公式进行计算即可.(2)分斜率存在和斜率不存在两种情况，分别利用点到直线的有向距离公式进行化简，即可求出直线方程.(3)分sin 0α=和sin 0α≠，分别计算出()()1424,,,d F l d F l ，然后根据题意()()1424,,1d F l d F l ⋅=可得出关于t 和α的等量关系，进行求出t 的结果.【详解】（1）由直线1:34120l x y -+=，直线2:230l x +=，根据点到直线的有向距离公式得，112(,)5d O l ==-，22033(,)22d O l ⋅+==；即112(,)5=-d O l ，23(,)2=d O l （2）当直线3l 的斜率不存在时，直线3l 的方程为20x -=，此时3132(,)121d B l ⨯-==≠，舍去；当直线3l 的斜率存在时，直线3l 的方程为1(2)y k x -=-，化为120kx y k -+-+=，假设3(,)2d B l ==，则2340k k -=，解得0k =或43．所以存在直线3l 的方程为10y -=或4350x y --=；（3）当sin 0α=时，直线4:cos 20l x α-=，()()1424cos 2cos 2,,,cos cos t t d F l d F l αααα---==，由()()14242(cos 2)(cos 2),,1cos t t d F l d F l ααα---⋅==，整理得2224cos cos t αα-=， 22sin cos 1αα+=，∴23t =， 0t >，即t =当sin 0α≠时，直线4:cos 2sin 20l x y αα+-=，得()()1424,,,d F l d F l =由()()142422(cos 2)(cos 2),,1cos 4sin t t d F l d F l αααα---⋅==+，即222224cos cos 4sin 43cos t αααα-=+=-，2224cos 43cos t αα-=-或2224cos 3cos 4t αα-=-，解得23t =或22(3)cos 8t α+=，由题意对任意的参数α都有()()1424,,1d F l d F l ⋅=恒成立，所以t ，综上所述，存在实数0t >满足题目条件，即t =。
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上海市高二上学期 10 月月考数学试题
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)
1. （2 分） (2016 高一下·汕头期末) 省农科站要检测某品牌种子的发芽率，计划采用随机数表法从该品牌 800 粒种子中抽取 60 粒进行检测，现将这 800 粒种子编号如下 001，002，…，800，若从随机数表第 8 行第 7 列的 数 7 开始向右读，则所抽取的第 4 粒种子的编号是（ ）（如表是随机数表第 7 行至第 9 行）
A . 105 B . 507 C . 071 D . 717
2. （ 2 分 ） 设 等 差 数 列
是
（）
的 前 n 项 和 为 Sn ， 若 S9>0,S10<0 ， 则
中最大的
A.
B.
C.
D.
3. （2 分） (2019 高二上·武威期末) 曲线 y＝ x2－2x 在点 A . －135°
处的切线的倾斜角为（ ）．
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B . 45° C . －45° D . 135° 4. （2 分） 已知 m、n 是两条不同的直线，α、β、γ 是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A . 若 α⊥γ，α⊥β，则 γ∥β B . 若 m∥n，m α，n β,则 α∥β C . 若 m∥n，m∥α，则 n∥α D . 若 n⊥α，n⊥β，则 α∥β 5. （2 分） 过点 M(－2,4)作圆 C：(x－2)2＋(y－1)2＝25 的切线 l ， 且直线 l1：ax＋3y＋2a＝0 与 l 平行， 则 l1 与 l 间的距离是（ ）
A.
B.
C.
D. 6. （2 分） 某学校有体育特长生 25 人，美术特长生 35 人，音乐特长生 40 人．用分层抽样的方法从中抽取 40 人，则抽取的体育特长生、美术特长生、音乐特长生的人数分别为（ ） A . 8，14，18 B . 9，13，18 C . 10，14，16 D . 9，14，17 7. （2 分） 与圆（x﹣2）2+y2=1 外切，且与 y 轴相切的动圆圆心 P 的轨迹方程为（ ）
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A . y2=6x﹣3 B . y2=2x﹣3 C . x2=6y﹣3 D . x2﹣4x﹣2y+3=0 8. （2 分） 程序框图如图所示：
如果上述程序运行的结果 S=1320，那么判断框中应填入（ ） A . k<10? B . k≤10? C . k<9? D . k≤11? 9. （2 分） (2017 高二上·越秀期末) 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如 图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是 （ ）
A . 46，45，56 B . 46，45，53 C . 47，45，56 D . 45，47，53
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10.（2 分）(2017 高二上·河南月考) 设 是圆
上一动点，点 的坐标为
，
若线段
的垂直平分线交直线
于点 ，则点 的轨迹方程为（ ）
A.
B.
C.
D. 11. （2 分） (2018 高一下·包头期末) 已知正
中，点 为 的中点，把
沿 折起，
点 的对应点为点 （）
，当三棱锥
体积的最大值为 时，三棱锥
的外接球的体积为
A. B. C.
D. 12. （2 分） 已知圆 O：x2+y2=4 上到直线 l：x+y=a 的距离等于 1 的点恰有 3 个，则实数 a 的值为（ ）
A.2
B.
C.﹣ 或
D . ﹣2 或 2
二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)
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13. （1 分） 某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重（单位：kg）数据进行整理后分成六组， 并绘制频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右第一、第六小组的频率分别为 0.16，0.07，第一、第二、第三 小组的频率成等比数列，第三、第四、第五、第六小组的频率成等差数列，且第三小组的频数为 100，则该校高三 年级的男生总数为________．
14. （1 分） (2018·中山模拟) 假设要考察某公司生产的狂犬疫苗的剂量是否达标，现从 500 支疫苗中抽取 50 支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将 500 支疫苗按 000，001，…，499 进行编号，如果从随机数表第 7 行第 8 列的数开始向右读，请写出第 3 支疫苗的编号________.（下面摘取了随机数表第 7 行至第 9 行）
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 15. （1 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，以点（2，1）为圆心且与直线 mx+y﹣2m=0（m∈R）相切的所有圆中， 半径最大的圆的标准方程为________ 16. （1 分） (2015 高三上·日喀则期末) 已知直线 2ax﹣by+14=0（a＞0，b＞0），且该直线上的点 A（﹣1， 2）始终落在圈（x﹣a+1）2+（y+b﹣2）2=25 的内部或圆上，则 的取值范围为________．
三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)
17. （10 分） 过点 P（2，1）作直线 l 分别与 x，y 轴正半轴交于 A、B 两点． （1） 当△AOB 面积最小时，求直线 l 的方程； （2） 当|OA|+|OB|取最小值时，求直线 l 的方程．
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18. （10 分） (2018 高一下·鹤岗期末) 几何体的三视图如图:求这个几何体的表面积和体积
19. （10 分） (2016 高二上·东莞开学考) 已知向量 =（cos ，sin ）， =（cos ，﹣sin ）， 且 x∈[ ，π]．
（1） 求 • 及| + |；
（2） 求函数 f（x）= • +| + |的最大值，并求使函数取得最大值时 x 的值．
20. （10 分） (2018 高二下·黑龙江期中) 如图，正方形
，
平面
，且
,
.
所在平面与三角形
所在平面相交于
(Ⅰ)求证：
平面
；
(Ⅱ)求凸多面体
的体积.
21.（10 分）(2017 高一下·池州期末) 已知等差数列{an}的首项 a1=1，公差 d=1，前 n 项和为 Sn ，
，
（1） 求数列{bn}的通项公式；
第 6 页 共 11 页
（2） 求证：b1+b2+…+bn＜2．
22.（10 分）(2017 高一上·福州期末) 已知圆 过点 作圆 的切线 、 ，切点为 、 ．
（1） 若
，求 点坐标；
，直线
，点 在直线 上，
（2） 若点 方程；
的坐标为
，过 作直线与圆 交于 、 两点，当
时，求直线 的
（3） 求证：经过 、 、 三点的圆与圆 的公共弦必过定点，并求出定点的坐标．
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一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)
1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、
二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)
13-1、 14-1、
参考答案
第 8 页 共 11 页
15-1、 16-1、
三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)
17-1、 17-2、 18-1、
19-1、
第 9 页 共 11 页
19-2、
20-1、 21-1、
第 10 页 共 11 页
21-2、
22-1、22-2、
22-3、
第11 页共11 页。