专题10 反比例函数(1)-九年级数学专题讲座之剖析经典总结规律(解析版)

※知识精要
1.形如()0k
y k x
=
≠ 的函数叫做反比例函数。

其中自变量x≠0. 2.反比例函数的性质，当k ＞0时，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，在每一个象限，y 随x 的增大而增大．
3. 反比例函数的几何意义，一般的，从反比例函数图像上任一点P ，向x 轴和y 轴作垂线你，以点P 的两个垂足及坐标原点为顶点的矩形面积等于常数
.
s k x y ==⨯ ※要点突破
1.掌握待定系数法求函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、割补法求三角形的面积是解题的关键．
2.从实际问题中整理出反比例函数模型．
※典例精讲
例1．如图，一次函数的图象与反比例函数
的图象交于点
，
，
交y 轴于点B ，交x 轴于点D ．
求一次函数与反比例函数的函数关系式；
连结OA 、OC ，求的面积；
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
或
.
把代入得：，
，，
，
即的面积是；
【点睛】
本题考查了用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数与反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
例2．如图，一次函数y=kx+b分别交y轴、x轴于C、D两点，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A（m，8），B（4，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出kx+b﹣＜0的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
【答案】（1）y=﹣2x+10；（2）15.
解：（1）∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过A（m，8），B（4，n）两点，∴8m=8，4n=8，
解得m=1，n=2，
∴A（1，8），B（4，2），
代入一次函数y=kx+b，可得，
解得，
∴一次函数的解析式为y=-2x+10；
（2）由图可得，kx+b-＜0的x的取值范围是0＜x＜1或x＞4；
（3）在y=-2x+10中，令y=0，则x=5，即D（5，0），
∴OD=5，
∴△AOB的面积=△AOD的面积-△BOD的面积
=×5×8-×5×2
=15．
※课堂精练
1．已知反比例函数，下列结论中不正确的是
A ． 其图象经过点
B ． 其图象分别位于第一、第三象限
C ． 当时，y 随x 的增大而减小
D ． 当
时，
【答案】D
2．下列函数中，当x ＞0时，y 的值随x 的增大而增大的是（ ）
A ． y=
B ． y=﹣x+1
C ． y=﹣
D ． y=﹣x 2 【答案】C 【解析】
A 、y=，x ＞0时，y 的值随x 的增大而减小，故此选项错误；
B 、y=-x+1，x ＞0时，y 的值随x 的增大而减小，故此选项错误；
C 、y=-，x ＞0时，y 的值随x 的增大而增大，故此选项正确；
D 、y=-x 2，x ＞0时，y 的值随x 的增大而减小，故此选项错误． 故选C ．
3．若点，
，
在反比例函数
的图象上，则，，的大小关系是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】画出反比例函数大致图象，利用数形结合进行判断即可. 解：如图,根据反比例函数
的图象特征，在各象限内y 随x 的增大而减小.
所以.
4．反比例函数图象上的两个点为、，且，则下列式子一定成立的是
A．B．C．D．不能确定
【答案】A
5．如图，矩形OABC的顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，双曲线与AB交于点D，与BC交于点E，轴于点F，轴于点G，交DF于点若矩形AGHD和矩形HDBE的面积分别是1和2，
则k的值为
A．B．C．D．3
【答案】C
【点睛】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会由数形结合的思想解决问题．
6．如图，的直角边OC在x轴上，，反比例函数的图象与另一条直角
边AC相交于点D，，，则
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
7．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B在双曲线上，BC与x轴交于点若
点A的坐标为，则点B的坐标为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由矩形的顶点、在双曲线上，与轴交于点.若点的坐标为，利
用待定系数法即可求得反比例函数与直线的解析式，又由，可得直线的系数为：，继而可求得直线的解析式，将直线与反比例函数联立，即可求得点的坐标.
解：矩形的顶点、在双曲线上，点的坐标为，
，
解得：，
双曲线的解析式为：，直线的解析式为：，
，
设直线的解析式为：，
，
解得：，
直线的解析式为：，
将直线与反比例函数联立得出：
，
解得：或，
点.
故选：.
8．对于反比例函数，当时，y的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】D
9．如图，点A是反比例函数y=（x＞0）图象上一点，AB⊥x轴于点B，点C在x轴上，且OB=OC，若△ABC的面积等于6，则k的值等于（）
A．3 B．6 C．8 D．12
【答案】B
10．已知抛物线与x轴有两个不同的交点，则函数的大致图象是
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据抛物线与x轴有两个不同的交点，可得判别式大于零，可得m的取值范围，根据m的取值范围，可得答案．
解：抛物线与x轴有两个不同的交点，
解得，
函数的图象位于二、四象限，
故选：D．
11．在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
12．已知一块蓄电池的电压为定值，以此蓄电池为电源时，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图，则电流I关于电阻R的函数解析式为（）
A．I=B．I=C．I=D．I=-
【答案】C
13．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是__.
【答案】k>2
【解析】根据图象在第二、四象限，利用反比例函数的性质可以确定2-k的符号，即可解答．
解：∵反比例函数y＝的图象在第二、四象限，
∴2-k＜0，
∴k＞2．
故答案为：k＞2．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数的性质，熟练记忆当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限是解决问题的关键．
14．如图是反比例函数与反比例函数且在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若，则的面积是______．
【答案】1
15．如图，点A是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C、D在x轴上，则为______．
【答案】5
【解析】设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b，即可求得A、B的横坐标，则AB的长度即可求得，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．
解：设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b．
把y=b代入y=得，b=，则x=，即A的横坐标是，；
同理可得：B的横坐标是：-．
则AB=-（-）=．
则S□ABCD=×b=5．
故答案为：5．
16．如图所示，点A是反比例函数y=图象上一点，作AB⊥x轴，垂足为点B，若△AOB的面积为2，则k的值是_____．
【答案】4
【解析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 是个定值，即S=|k|．
解：∵点A是反比例函数y=图象上一点，作AB⊥x轴，垂足为点B，
∴S△AOB=|k|=2，
又∵函数图象位于一、三象限，
∴k=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为|k|，运用数形结合思想、正确理解k的几何意义是解此类问题的关键.
17．如图，矩形ABCD中，E是AC的中点，点A、B在x轴上．若函数(x>0) 的图像过D、E两点，则矩形ABCD的面积为________．
【答案】12
详解：过E作EF⊥AB于F，。