高中数学论文：抛物线焦点弦与“五朵金花”沪教版
如何提升解题效率——以抛物线的焦点弦问题为例
%i
22
%1
所以）2//01.
点 评 ：利用抛物 线中焦点弦 的定值性质 ，可以有效
转 化 抛 物 线 中 的 焦 点 弦 的 相 应 点 的 坐 标 关 系4 ，
%i%2=-p2，巧妙地把相应的点的坐标与对应的参#〇/加以
关 联 ，直接略过 相应的运算 过程，减少了因运算能力薄 弱而导致的错误，并有效加快解题速度，提升解题效益.
解 析 ：由拋物线":%2=2#，可 得 /&1，则焦点0 I % ，0 &
准线方程为士.
可得2 % 2 2%1+%2 '
根据焦点弦的定值可知%1%2=-/ 1，
%12+%2 于 是 直 线 的 斜 率 5A2=- 1
22
.%厂％2_ %厂％2
%i2+# %12-%%2
-，直线0 1 的 斜 率 ^ %2-0 _%2&
sin2!
2
由！# |〇，| ) ，可 得 !$子 ，则有+$tan!$1，
所以直线，的方程为y$1x ()-1 )$)-1. 点 评 ：利 用 抛 物 线 的 焦 点 弦 的 长 度 公 式 来 处 理 问 题 ， 可 以 避 免 函 数 与 方 程 的 繁 杂 计 算 ，简 化 过 程 ，直 接 利 用 三 角 函 数 以 及 直 线 的 斜 率 定 义 来 确 定 参 数 + 的 值 ，更 为 直 接 明 确 .碰 到 此 类 与 焦 点 弦 的 长 度 有 关 的 问 题 时 ，都 可 以 考虑利用抛物线的焦点弦的长度公式来尝试与处理.
教学 参谋
解法探究
2018年 9 月
直 线 的 倾 斜 角 为 ！，则有lA Sb - 2^ . sin2!
启发的三层次——“抛物线焦点弦的性质“的教学
2 户x ,
k ( -- 一
李) 进行检测
任
图 1
- 6: 7x, T -I' m L 7p- I- u I 一 sin ' a ’ M , IE I 1 9G
2户
* 二、
我 还 不 知 道 究 竟 是 什 么 关 系. S 2: 是 否 也 可 以 说 ， B ! 的 长 度 是 与 直 JA
线斜 率 有 关 呢.
(改写 日期 : 20060828)
20
中学数学
X ,r 2 今
2006 年第10 期
于是
丝. 4 ‘
JA B
刀” 看 看 可 以挖 出点什 么? ， S, : }AD } = IAF }， C } = }B F }， 形 }B 梯 的 腰 A B 长 等于 两底 边 长 的和 ， 是 中位 线 于
。， 户 C(一 令 + , 一、 2 Yz) ’
D ( 一 令 ， ，. y )
一”
3
回顾反思， 收获各种“ 利产品”
2 ’ ‘ “’ -
T : 现 在 ， 们 来 回顾 反 思这 探 索 、 测 、 我 猜 检验 与推 导 的整 个 过 程 ， 看 还 有 什 么 好 的 看 “ 副产 品”可 以 回收 ， 将 来 的别 的解 题 会 有 于
T : 还 有 其 他 猜 测 么? 现在 我 们 来 看 一 看 ， 答 案 应是 哪 一个 ? 又 如 何 推 导? 检 测 : 学 生 小 组 用 具 体 的抛 物 线 ( 如 少 =
4x ) ， 具 体 的 倾 斜 角 ( 如 。= 与 认 定 (2 ) 为 弦 长 公 式. 推 导 : 应 如 何 推 导证 明呢? 。 al? 4& E ,1 N z_ 1 ，。1 _ . - 3 y2
高中数学论文：圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用 沪教版
M
C O F x
EM HE
MP HG
MQ HG
FM FH
，设 M（m，0） ，H
Q B
（n，0） ，焦点轴长为 2a，则有 得 mn a .
2
am am ， an an
图 3
注:性质 1 就是文[1]中的性质 1，文[2]中的推论 2. 若圆锥曲线为抛物线，把无穷远点作为其虚拟顶点，把图 3 中的 DF 看作与焦点轴平行的 直线，于是得到性质 2. 性质 2：过点 M（m，0）做抛物线 y 2 px 的弦 CD，E 是抛物线的顶点，直线 DF 与抛物
x2 y2 1 的弦 CD，则以 C，D 为切点的圆锥 a2 b2
用心 爱心 专心
曲线的切线的交点 G 在直线 l： x
a2 上. m
G H
M
证明：如图 6，设切线CG交直线l于G 1 ，连接G 1 D，若 G 1 D与圆锥曲线有除D点外的公共点F，做直线FM交圆锥曲 线于E，由性质 4 知CE与DF的交点在直线l上，所以C、E、 G 1 三点共线，与CG 1 是圆锥曲线的切线矛盾，所以G 1 D与圆 锥曲线只有一个公共点D，G 1 D是圆锥曲线的切线，G 1 与G 重合， G在直线l上.
用心 爱心 专心
设
圆
锥
曲
线
的
方
程
为
y
A C
Ax 2 Bxy Cy 2 Dx Ey F 0 (*)，
，B（ x1 , y 2 ） ，则切线 MA 的方 设 A（ x1 , y1 ） 程是 是
D Q M P E B F
D E x1 y1 F 0 ，切线 MB 的方程 2 2 D E ， 得 x1 y 2 F 0 2 2
抛物线焦点弦的研究
抛物线焦点弦的研究上海师范大学附属外国语中学 张勇华一、教学目标：1.知识目标：掌握抛物线焦点弦的要领及性质，能写出命题与逆命题，并判断其真假2.能力目标：学会用解析法及几何法解决问题，养成独立分析问题与解决问题的能力3.情感目标：学会欣赏数学动静结合的美，学会欣赏，学会人与人合作二、教学重点：依据焦点弦的特征，研究焦点弦的定值，定量问题。
培养学生对问题研究的兴趣，及研究能力。
真假命题的判断与证明。
三、教学难点：培养学生发散思维能力及猜测论证能力。
通过对证题技巧的掌握提高学生对于数学的学习兴趣 及增加学习 动力.四、教学方法：研究探讨式五、授课班级：高二（2）班六、教学过程（一）课前作业：在平面直角坐标系xoy 中，直线l 过抛物线px y 22=的焦点F ，且相交于两点),(11y x A 和),(22y x B ，(1)试探讨21x x +，21x x 是否为定值；(2)试探讨21y y +，21y y 是否为定值；（二）课堂交流探讨：1.作业交流：解：当x l ⊥轴时，2:p x l =代入px y 22=，得p y ±= (1)p x x =+21,4221p x x = (2)021=+y y ,221p y y -=当)2(:p x k y l -=04)2(2)2(222222=++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=p k x k p x k pxy p x k y (1)2221)2(k k p x x +=+，4221p x x = kp pk kk p pk x x k p x k p x k y y 2)2()()2()2()2(2212121=-+=-+=-+-=+ 2222222212122121]4)2(24[]4)(2[)2()2(p p kk p p p k p x x p x x k p x k p x k y y -=++⋅-=++-=-⋅-=说明：(1)结论：21x x 与21y y 是定值(2)让学生体会数学问题的形成或结论的得出是经过研究研讨得出，如作业中的式子并非都是定值的。
[很全]抛物线焦点弦的有关结论附答案
![[很全]抛物线焦点弦的有关结论附答案](https://img.taocdn.com/s3/m/4d4653f1ec3a87c24028c4c5.png)
[很全]抛物线焦点弦的有关结论知识点1：若是过抛物线的焦点的弦。
设，AB ()022>=p px y F (),,11y x A ()22,y x B 则（1）；（2）4221p x x =221p y y -=证明：如图，（1）若的斜率不存在时，AB 依题意,221px x ==4221p x x =∴若的斜率存在时，设为则AB ,k ⎝⎛=:k y AB ()42222222222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k 综上：.4221p x x =∴.4221p x x =（2），p y x p y x 2,2222211==Q ,22142221p y y p y y ±=⇒=∴但22121,0p y y y y -=∴<（2）另证：设与联立，得2:pmy x AB +=px y 22=22122,02p y y p pmy y -=∴=--知识点2：若是过抛物线的焦点的弦。
设，AB ()022>=p px y F (),,11y x A ()22,y x B 则（1）（2）设直线的倾斜角为;21p x x AB ++=AB α证明：（1）由抛物线的定义知,2,221px BF p x AF +=+=p x x BF AF AB ++=+=∴21（2）若由（1）知,2,90210p x x ===则α2p AB ==若联立，得px y p x k y AB 2,2:,9020=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≠与设α()42222222222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k ，而，(),22221k k p x x +=+∴()222112k k p p x x AB +=++=∴αtan =k ()ααα222sin 2tan tan 12pp AB =+=∴知识点3：若是过抛物线的焦点的弦，则以为直径的圆与AB ()022>=p px y F AB 抛物线的准线相切。
高中数学_与抛物线焦点弦相关问题教学设计学情分析教材分析课后反思
高三数学专题复习--《抛物线的焦点弦问题》课堂设计方案高三数学组设计依据根据普通高中数学课程标准：认识抛物线的几何特征，建立它们的标准方程，应用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质及它们的位置关系，运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想。
教学设想1.教学任务群：任务一、借助复习学案引导学生回顾抛物线的相关知识任务二、展示学生做题方法达到学生间的交流互动任务三、提取本节课的重难点形成解题模式任务四、当堂巩固提高检测学生学习效率2.教学方法：多媒体教学法，小组合作法，点拨法3.教学时间：1课时4.教学目标：1、抛物线焦半径坐标形式和倾角形式、弦长公式2、过焦点的直线与抛物线交点的定值问题。
3、焦点弦中的位置关系问题。
重难点：和抛物线的焦点弦相关的公式的证明和使用。
教学过程一、复习导入通过一道抛物线的证明题回顾抛物线的焦半径，焦点弦，定值问题，展示学生的解题过程及学生的讲解，达到回顾知识，引出本节的重难点，让学生对本节知识有个整体认知。
教师板书本届知识点达到知识梳理，给学生形成知识脉络的目的。
二、知识讲解知识点一：焦半径及焦点弦 例一、已知抛物线，AB 是抛物线的焦点弦，点C 是AB 的中点，AA '垂直准线于A '，BB '垂直准线于B ',CC '垂直准线于C ',CC '交抛物线于点M ，准线交x 轴于点K.求证： 1.12||,||,22p p AF x BF x =+=+ 2. ||,||,1cos 1cos p p AF BF αα==-+ 证明：作AH 垂直于x 轴于点H,则||||||||||cos ,AF AA KF FH p AF α'==+=+∴||.1cos p AF α=-同理可证另一个. 3．112||||AF BF p+= 证明：由||,||;1cos 1cos p p AF BF αα==-+得证. 4.1222||sin p AB x x p α=++=证明：1212AB AF FB 22p p x x x x p =+=+++=++， AB =p p p p p 2sin 2cos 12cos 1cos 122≥=-=++-αααα 教学目的：通过焦半径及焦点弦的公式的推导以及在原有题目上的应用，达到掌握公式，体会公式使用的优越性，突出本节的重难点。
沪教版高中数学高二下册-12.8-抛物线的性质-课件
x2 2py
焦点 准线 对称性
范围 顶点
问题：
1.哪些是抛物线固有的性质，哪些是随着 坐标轴变化的性质？
2.P的值是如何影响抛物线的图形的？
3.和椭圆、双曲线的性质相比，抛物线的 性质有什么特点？
抛物线的定义也是其重要的性质
KO OF 1KF 1p 22
PFPQ p
KO OF 1KF 1p 22
二、抛物线的性质
1.按焦点在 x轴上的圆锥曲线的有关内容将下表填写完整：
标准方程 图形
椭圆
双曲线
抛物线
对称性 顶点坐标 焦点坐标 范围
渐：
准
准
2.将抛物线的顶点置于坐标原点，焦点在坐标轴的 不同位置上，可得到不同形式的标准方程，其中
p>0，完成下表
方程
2py
求以坐标原点为顶点，焦点在坐标轴上且 经过点 (3，－6）的抛物线的方程。
解：所求抛物线的方程y2=12x 或x2=－1.5y 。
例2，求过定点（0，－2）且与抛物线 y2=4x只有一个公共点的直线的方程。
思考：求直线l过定点（－2，0）且与 抛物线 y2=4x有两个公共点,求直线l的
斜率的范围方程。
完成下列练习：
（1）抛物线上一点到焦点F的距离是3， 则该点到准线的距离是 3
（2）求焦点到准线的距离是3的抛物线的
标准方程 y2 6x,x2 6y
例题:
例1.求以坐标原点为顶点，焦点在坐标轴上且 经过点 P（－1，－2）的抛物线的方程。
解：所求抛物线的方程y2=－4x 或x2=-0.5y 。
练习：
雙曲線
抛
物
线
拋物線
的 性
质
§12.8 抛物线的性质
上海市格致中学 高二数学下册 抛 物 线 的 性 质课件沪教版
顶点
A1a,0, A2 a,0 B10,b,B2 0,b
渐近线 无
A1a,0,A2a,0
ybx a
0,0
无
0,0
无
问题三:
应用举例
y o
x2 8 y
y2 x
x P 4, 2
探 究
课堂练习
课堂小结
课后作业
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月1日星期二2022/3/12022/3/12022/3/1 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/12022/3/12022/3/13/1/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/12022/3/1March 1, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/12022/3/12022/3/12022/3/1
抛物线的性质
复习引入
1.抛物线的定义:
2.抛物线的标准方程:源自图形标准方程焦点坐标
准线方程
问题一: 问题二:
名 称 椭 圆 焦 点 在 x轴 上 双 曲 线 焦 点 在 x 轴 上 抛 物 线 焦 点 在 x 轴 上抛 物 线 焦 点 在 y 轴 上
方程 图形 范围
x2 a2
by22
1ab0
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
x2 a2
by22
1ab0
y B2
y
y22pxp0 y22pxp0x22pyp0x22pyp0
沪教版高中数学高二下册第十二章12.8 抛物线焦点弦的性质探究 课件(共10张PPT)
例题 过抛物线 y2 4x的焦点斜率为2的直线 l与抛物 线相交于A (x 1 ,y 1 )B ,(x 2 ,y 2)两点，求线段 AB的长.
（教材第64页例3）
由yy 2 2 (4x x,1), 得：x23x10.
法1：求 A, B的坐标，用两点间距离公式求 | AB|.
法2：用弦长公式求 | AB|.
变式2 过抛物线 y22p(xp0)的焦点的直线l与抛物线 相交于 A, B两点，问何时 | AB|最短？
结论2 抛物线的所有焦点弦中，通径最短.
y
A
F
O
x
B
三、抛物线 y22p(xp0)焦点弦的性质
设直线l的倾斜角为 ，则有
结论3 焦点弦长公式2 | AB|si2n2p
y
H1
F
O
B H2
A
x
四、小结
数
p__16__. 5
例题 过抛物线 y2 4x的焦点斜率为2的直线 l与抛物
线相交于A (x 1 ,y 1 )B ,(x 2 ,y 2)两点，求线段 AB的长.
（教材第64页例3）
结论1 焦点弦长公式1
y
|A| B x 1 x 2p A1
A
F
O
B1 B
x
x p 2
三、抛物线 y22p(xp0)焦点弦的性质
一、复习
1.抛物线定义 y22p(xp0)
2.焦半径p |MF|x来自23.通径 |H 1H 2|2p
y
M’ H1 M
OF
x
x p H2
2
二、焦点弦的定义
直线过抛物线 y22px (p0)焦点F与 抛物线相交于 A、B两点，则弦AB称为 抛物线的焦点弦.
沪教版高中数学高二下册第十二章抛物线的性质-尝试探究有关抛物线的焦点弦问题 教案
尝试探究有关抛物线的焦点弦问题设计理念美国著名作家海明威在谈到阅读欣赏时，曾讲过一个“冰山理论”：他认为人们看到的小说只是冰山露在海面上的八分之一，那海面下的八分之七得让读者自己去体会揣摩。
小说的表象后面包藏了极为丰富的内涵，它们是小说广阔的背景材料，要真正读懂小说，就必须掌握和了解这些材料。
这段话从一定程度上反映了开展探究性教学的可能和意义所在。
事实上，现行教材中存在很多可选的探究性学习课题，只要我们在教学过程中，善于探究，积极引导，其探究性课题还是比较丰富，并确实有探究的价值。
探究性学习课题一道习题的引申探究性学习目标通过推理、发现、猜测、概括、探究等双边活动过程，来启迪学生思维，调动学生兴趣，激发学习热情，树立创新意识，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。
探究性学习方法学生主动探究与教师启发引导相结合。
探究性学习问题预测重点：抛物线的焦点弦问题的知识联想。
难点：习题的证明结论引发的几何意义。
疑点：更多结论的发现。
情感目标培养学生锲而不舍的个性品质。
体验数学中的对称美、和谐美、统一美都是客观世界美的特征在数学中的反映。
探究性学习双边活动过程问题：过抛物线y2=2px的焦点的一条直线与此抛物线相交，两个交点的纵坐标分别为y 1、y 2.求证：y 1y 2= －p 2证明： 222y px p y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩()k o ≠ ⇒ 2220p y y p k --= （1） 或22222(2)04k p k x p k x ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭（2） ⇒ 212y y p =-以上是同学遇到的一道习题。
请同学判断以上的过程是否正确。
忽视了k 这个变数的讨论当k 不存在时：222y px p x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ⇒ 22y p = ⇒ y p =或y p =- ⇒ 212y y p =-思考1：在证明这个结论的同时，还能得到什么新结论？可得：()21221222p k x x k py y k ++=+=2124p x x =； 甚至还可得到： 2121234x x y y p +=-； 2121254x x y y p -=； 412124p x x y y =-； 121214x x y y =- 设问1 以上的部分结论能否以一个命题形式给出？成果1：过抛物线y 2=2px 的焦点的一条直线与此抛物线相交，两交点的横、纵坐标之积，以及它们的和、差、积、商均为定值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
论文：抛物线焦点弦与“五朵金花”（上海教材）
抛物线的焦点弦的性质层出不穷，变幻莫测，令人心生向往。
如果把焦点弦比
作一棵参天大树，那么它的性质就像是树上开出的“五朵金花”。
第一朵金花：平分金花：
性质定理1：过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的一条弦AB , 记准线与x 轴交点为E,AE,B
E 分别交y 轴于P,Q 两点，则：AE BE PEQ K K 0E
F ∠⇔+=线段平分角
_ A
_ B
_F
_ Q
_E
_ P
_y
)
,2(),,2(22
2
121y p
y B y p y A 证明：设222
11222
AE y py k y p
y p p =
=
++则2
22
22BE py k y p =
+同理：21212222
2122()()
()()
AE BE
p y y y y p k k y p y p +++=++AEF BEF
∠=∠即0
AB BK k k ∴+=
第二朵金花：．定值金花：
性质定理2：端点坐标积恒定. 即 (1)4
221p x x =
;
(2)
(3)=⋅OB OA 243p -
(4) p
FB FA 211=+ 证明：（1）：⎪⎩⎪⎨⎧
=-=px
y p x k y 2)
2(2
0222
=--⇒p y k p y 和04
)2(222
22=++-p k x p p k x k
2
21p y y -=⇒和2
124
p x x =。
同理易证（2）（3）(4)。
第三朵金花：共线金花：
性质定理3： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线
（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴
（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴
证：因为p y p y k y p p
y y x y k oB oA 22121
11122,221-=-====
，而221p y y -=
所以122
2
22oB oA k p y y p p
k =-=-=
所以三点共线。
同理可证（2）（3）（4）
第四朵金花：四个圆金花
性质定理4：
1..以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 。
2. 以A 1B 1为直径的圆与抛物线的弦AB 相切
3 .以AF 为直径的圆与y 轴相切.
4. 以BF 为直径的圆与y 轴相切.
证1：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作
准线的垂线BB 1，
过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知
2
2
2
1
11AB BF
AF BB AA MM =
+=
+=
故结论得证；
同理可证（2）（3）（4）
第五朵面积金花：面积金花
性质定理5：
结论：1.θsin 22p S OAB
=∆ . 结论2： )(8
32为定值p AB S oAB =∆ 证明：结论1易证。
下面证结论2：
()8sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 2
1
sin 21322
20P AB S p p p AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =
∴=
⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=
+=∆∆∆∆θθθθθϑθ 以上性质可以简单记作电影名《五朵金花》，帮助大家记忆。