循环比赛名次R
循环比赛的名次-竞赛图
ê ê
0
0
0
1
1
1
ú ú
6支球队比赛结果
1
2
ê0 1 0 1 0 0 ú
A
=
ê ê
0
0
0
0
1
1
ú ú
6
3
ê0 0 1 0 0 1 ú
ê
ú
ë0 0 1 0 0 0û
5
4
s (1) = (4,3,3,2,2,1)T ,
s (2) = (8,5,9,3,4,3)T
s (3) = (15,10 ,16 ,7,12 ,9)T , s (4) = (38,28 ,32 ,21,25,16 )T
l k ® ¥
k
k ® ¥, s(k) (归一化后) ® s
用s排名
1
é0 1 1 0 ù
2 A = êê0
0
1
1
ú ú
ê0 0 0 1 ú
l =1.4,
s = (0.323,0.280,0.167,0.230)T
4
(4)
3 êë1
0 0 0úû
{1, 2, 3, 4}?
排名为{1，2，4，3}
é0 1 0 1 1 1 ù
s(k) = As(k-1) = Ake
k ® ¥, s(k) ® ?
双向连通竞赛图的名次排序 s(k) = As(k-1) = Ake
• 对于n(>3)个顶点的双向连通竞赛图，存在 正整数r，使邻接矩阵A 满足Ar >0，A称素阵
• 素阵A的最大特征根为正单
根l，对应正特征向量s，且
lim A k e = s
3®2，4 ®5 排名 132456 合理吗
P1309 瑞士轮 题解
P1309 瑞士轮题目背景在双人对决的竞技性比赛，如乒乓球、羽毛球、国际象棋中，最常见的赛制是淘汰赛和循环赛。
前者的特点是比赛场数少，每场都紧张刺激，但偶然性较高。
后者的特点是较为公平，偶然性较低，但比赛过程往往十分冗长。
本题中介绍的瑞士轮赛制，因最早使用于1895年在瑞士举办的国际象棋比赛而得名。
它可以看作是淘汰赛与循环赛的折衷，既保证了比赛的稳定性，又能使赛程不至于过长。
题目描述2*N 名编号为1~2N 的选手共进行R 轮比赛。
每轮比赛开始前，以及所有比赛结束后，都会按照总分从高到低对选手进行一次排名。
选手的总分为第一轮开始前的初始分数加上已参加过的所有比赛的得分和。
总分相同的，约定编号较小的选手排名靠前。
每轮比赛的对阵安排与该轮比赛开始前的排名有关：第1 名和第2 名、第 3 名和第4名、……、第2K – 1 名和第2K名、…… 、第2N – 1 名和第2N名，各进行一场比赛。
每场比赛胜者得1 分，负者得0 分。
也就是说除了首轮以外，其它轮比赛的安排均不能事先确定，而是要取决于选手在之前比赛中的表现。
现给定每个选手的初始分数及其实力值，试计算在R 轮比赛过后，排名第Q 的选手编号是多少。
我们假设选手的实力值两两不同，且每场比赛中实力值较高的总能获胜。
输入输出格式输入格式：输入文件名为swiss.in 。
输入的第一行是三个正整数N、R 、Q，每两个数之间用一个空格隔开，表示有2*N 名选手、R 轮比赛，以及我们关心的名次Q。
第二行是2*N 个非负整数s1, s2, …, s2N，每两个数之间用一个空格隔开，其中si 表示编号为i 的选手的初始分数。
第三行是2*N 个正整数w1 , w2 , …, w2N，每两个数之间用一个空格隔开，其中wi 表示编号为i 的选手的实力值。
输出格式：输出文件名为swiss.out。
输出只有一行，包含一个整数，即R 轮比赛结束后，排名第Q 的选手的编号。
输入输出样例说明【样例解释】【数据范围】对于30% 的数据，1 ≤ N ≤ 100；对于50% 的数据，1 ≤ N ≤ 10,000 ；对于100%的数据，1 ≤ N ≤ 100,000，1 ≤ R ≤ 50，1 ≤ Q ≤ 2N，0 ≤ s1, s2, …, s2N≤10^8，1 ≤w1, w2 , …, w2N≤ 10^8。
线性代数中的数学模型(数学建模必看 姚江淮)
1 上述连分数可以看作是 x 中，把 1 x
x
x
1 1 1 1 x
反复迭代，就得到上述连分数。
x 1 1
1 1 1 1 1 1
上述这一全部由1构成的连分数， 是最简单的一个连分数。
通常，求连分数的值，如同求无理数的值
一样，我们常常需要求它的近似值。
如果把该连分数从第 n 条分数线截住，即
斐波那契协会和《斐波那契季刊》
1． 斐波那契协会和《斐波那契季刊》
斐波那契1202年在《算盘书》中从兔子 问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，
13，…之后，并没有进一步探讨此序列，并且
在19世纪初以前，也没有人认真研究过它。没 想到过了几百年之后，十九世纪末和二十世 纪，这一问题派生出广泛的应用，从而突然活 跃起来，成为热门的研究课题。
解：
先直接推算。在第0月有1对兔子；第1月也只有1对兔子； 第2月这对兔子生了1对小兔，共有两对兔子； 第3月，老兔子又生了1对小兔，共有3对兔子； 第4月:老兔子和第2个月出生的小兔各生了一对小兔，共5对兔子； 第5月，第3个月的3对兔子各生了一对小兔，共有8对兔子； 第6月，第4个月的5对兔子各生了一对小兔，共有13对兔子…。
55或89个花瓣。
花瓣中的斐波那契数 花瓣的数目
海棠（2）
铁兰（3）
花瓣中的斐波那契数 花瓣的数目
洋紫荊（5）
黃蝉（5）
蝴蝶兰（5）
花瓣中的斐波那契数 花瓣的数目
雏菊（13）
雏菊（13）
2）树杈的数目
13 8
5 3 2 1 1
3）向日葵花盘内葵花子排列的螺线数
松果种子的排列
松果种子的排列
斐波那契数列中的任一个数，都叫 斐波那契数。斐波那契数是大自然的 一个基本模式，它出现在许多场合。 下面举几个例子。
第四章：离散模型(5,6)
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
方案层
P1 桂林
P2 黄山
P3 北戴河
首页 上页 下页 尾页
“选择旅游地”思维过程的归 纳• 将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C， 方案层P；每层有若干元素， 各层元素间的关系 用相连的直线表示。
• 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方 案对每一准则的权重。
最大特征根=5.073
准则层对目标的成对比较阵
1 1/ 2
2
1
A 1/ 4 1/ 7
1/ 3
1/ 5
1/ 3 1/ 5
4 3 3
7
5
5
1 1/ 2 1/ 3
2
1
1
3 1 1
权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T
一致性指标 CI5.07350.018
首页 上页 下页 尾页
1 3 50.6194 1.954
A13 1 40.28420.8763.
15 14 10.0964 0.2913
1 (1 .9 5 4 0 .8 7 6 3 0 .2 9 1 3 ) 0 .3 0 8 8 . 30 .6 1 9 40 .2 8 4 20 .0 9 6 4
经济效益 B1
过河的效益 A
社会效益 B2
节 收岸 当 建安 交 自
省 入间 地 筑全 往 豪
时 C2 商 商 就 可 沟 感
间
业 业 业 靠 通 C8
C1
对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性 检验，若通过，则特征向量为权向量。
4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）
国际象棋双循环赛赛况
国际象棋双循环赛赛况作为6名棋手的双循环赛，加西莫夫纪念赛A组第6轮的对阵同第1轮相同，区别是执白执黑互换。
3个对局结果同第一轮相同，1胜2和，具体是：卡尔森执黑再克马梅迪亚罗夫，卡鲁亚纳执白战和中村光，拉迪亚波夫执白战和卡尔雅金。
卡尔森以6轮积3.5分重返积分榜首位，同拉迪亚波夫齐驾并驱。
卡尔雅金则保持着6轮不胜不负的纪录。
其中马梅迪亚罗夫和卡尔森的对局概述如下：马梅迪亚罗夫 2760 –卡尔森2881 [E32]Vugar Gashimov Memorial 2021 Shamkir 6, 26.04.2021对于卡尔森而言，在连败两轮后，休息日来得非常及时。
说到底，卡尔森也是人，会犯下错误。
他需要休息，恢复创造力。
1.d4 Nf6 2.c4 e6 3.Nc3 Bb4 4.Qc2 d5 5.Nf3!?本轮，卡尔森采用了尼姆佐印度防御。
对此，马梅迪亚罗夫在开局伊始就走出这一被高手们认为败多胜少的变例。
这里通常的选择是5.a3或者 5.cxd5。
德国棋手古斯塔夫松Jan Gustafsson在对局讲解中说：“马梅迪亚罗夫在同卡尔森对局中走出的5.Nf3!?鲜为人知，一般被看作是一个错招。
我为马梅迪亚罗夫的粉丝们感到担心。
”5...dxc4此前，卡尔森在2021年执黑同约翰纳生的对局走的是5...0–0 6.a3 Bxc3+ 7.Qxc3 dxc4 8.Qxc4 b6 9.Bg5 Ba6......第47回合下成和棋[Johannessen,L 2555-Carlsen,M 2673 Moss 2021] 6.Bg5 b5 7.a4 c6 8.g3 Bb7 9.Bg2 Nbd7 10.0–0 Qb611.e4 a6 12.Rfd1 h6 13.Be3 0–0黑棋平先。
看不出白棋少一兵获得了什么明显的补偿。
14.d5 马梅迪亚罗夫思考了很久才走出这一步棋，显然他事先对此没有精心准备。
14...c5 15.a5 Qd8黑棋不能吃掉a5兵，否则黑王面临攻击，例如：15...Bxa5 16.dxe6 fxe6 17.e5 Nd5 18.Bxh6!。
循环比赛的名次—数学建模离散模型的应用
1
1
1
1
2 4
(1)
2 3 4
(2)
2 3 4
(3)
2 3 4
(4)
3
• 具有唯一的完全路径，如(1)； 竞赛图的 3种形式
• 双向连通图——任一对顶点存在两条有 向路径相互连通，如(4)；
• 其他，如(2)， (3) 。
竞赛图 的性质
• 必存在完全路径；
• 若存在唯一的完全路径，则由它确定的顶 点顺序与按得分排列的顺序一致，如(1) 。
(9,8,5,8)
T
T
s As
(k )
( k 1)
Ae
k
(7)
(13,13,8,9) , s
T
(21,17,9,13)
k , s ?
(k )
双向连通竞赛图的名次排序
s As
(k )
( k 1)
Ae
k
• 对于n(>3)个顶点的双向连通竞赛图，存在 正整数r，使邻接矩阵A 满足Ar >0，A称素阵 • 素阵A的最大特征根为正单 根，对应正特征向量s，且
(k )
lim k
A e
k
k
s
k , s (归一化后) s
1 2 4
(4)
用s排名
0 0 A 0 3 1
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
1.4, s (0.323 ,0.280 ,0.167 ,0.230 )T
排名为{1，2，4，3}{1,2, 3, 4}?0 0 0 A 0 0 0
1 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 1
1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0
运训羽毛球专选测试标准
羽毛球一、测试指标与所占分值二、测试方法与评分标准（一）专项素质1. 前后左右移动（1）测试方法：考生站在场地右侧单打底线以外（右手持拍）先进行前后移动往返5次，并接着进行左右移动往返5次。
前后移动：听到口令（同时开表）后，直线上网，单手触网顶白线后，直线后退踩底线算一个来回，反复进行5次。
当第5次上网触网退回底线后，后退踩底线同时单脚踩单打边线，并接着做5次左右往返移动。
左右移动：当完成前后移动后采用向左侧移动的步法至场地左侧单打边线处，用持拍手触单打边线，面向球网转身，然后用向右侧移动的步法至场地右侧单打边线处，用持拍手触单打边线，为完成一次左右移动。
如此往返进行5次。
当完成第5次触线时停表，计算时间。
（2）测试要求：前后移动没有踩线和触网为没有完成测试，考评员宣报没有完成的考生要重新踩线或触网才能继续完成后面的测试。
左右移动时没有触线或在左侧场区边线触线后没有面对球网转体为没有完成测试，考评员宣布后考生要重新触线或回到边线处面对球网转体才能继续完成后面的测试。
（3）评分标准（表12-1）表12-1 前后左右移动评分表（二）专项技术1. 前场技术（正反手放、勾、推）（1）测试方法：①右侧场区击球（共10个球）由考评员向考生右侧网前抛球，考生站在前发球线外上网并按照固定的顺序（共击8个球）：放、勾、推技术把球分别击到指定的区域内（A、B、C、D），并轮转2次。
最后剩下的两球由考生将球击到提前选择的2个区域内（分别从A、B区域和C、D区域中各选一个）。
（见图12-1）②左侧场区击球（共10个球）由考评员向考生左侧网前抛球，考生站在前发球线外上网并按照固定的顺序（共击8个球）：勾、放、推技术把球分别击到指定的区域内（A、B、C、D），并轮转2次。
最后剩下两球由考生击到提前选择的2个区域内（分别从A、B区域和C、D区域中各选一个）。
（见图12-2）（2）测试要求：考生必须站在前发球线外准备，落点必须严格按照A、B、C、D的顺序走。
数学建模实验答案离散模型
实验09离散模型（2学时）（第8章离散模型）1. 层次分析模型（验证，编程）正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法p263~264已知正互反阵注：[263]定理2 n阶正互反阵A的最大特征根≥n。
★(1) 用MATLAB函数求A的最大特征根和特征向量。
A为n×n正互反矩阵，算法步骤如下：a. 任取n 维非负归一化初始列向量（分量之和为1）(0)w ；b. 计算(1)(),0,1,2,k k wAw k +==%L ； c. (1)k w +%归一化，即令(1)(1)(1)1k k n k ii ww w+++==∑%%； d. 对于预先给定的精度ε，当(1)()||(1,2,,)k k i i w w i n ε+-<=L 时，(1)k w +即为所求的特征向量；否则返回到步骤b ；e. 计算最大特征根(1)()11k n i k i i w n w λ+==∑%。
注：☆(2) 用幂法函数求A 的最大特征根和特征向量。
A 为n×n 正互反矩阵，算法步骤如下：a. 将A 的每一列向量归一化得∑==n i ijij ij a a w 1~；b. 对ijw ~按行求和得∑==nj ij i w w 1~~； c. 将i w ~归一化T n n i i i i w w w w ww w ),,,(,~~211Λ==∑=即为近似特征向量；d. 计算∑==n i ii w Aw n 1)(1λ，作为最大特征根的近似值。
☆(3) 用和法函数求A 的最大特征根和特征向量。
根法（见[264]）A 为n×n 正互反矩阵，算法步骤如下：a. 将A 的每一列向量归一化得∑==n i ijij ij a a w 1~； b. 对ijw ~按行求积并开n 次方得∏==n j nij i w w 11)~(~； c. 将i w ~归一化T n n i ii i w w w w w w w ),,,(,~~211Λ==∑=即为近似特征向量；d. 计算∑==n i ii w Aw n 1)(1λ，作为最大特征根的近似值。
ynnu数学模型第八章ppt分析
C5旅途
以及景色、费用、
居住等5个因素 的定性分析,确定
P1桂林 P2黄山 P3北戴河
以下线型关系权值,最终确定目标的选择.
OBJ=w1C1 w2C2 w3C3 w4C4 w5C5
C1 =w1(1)P1
w(1) 2
P2
w(1) 3
P3
,
,
C5 =w1(5)P1
w(5) 2
P2
w(5) 3
P3
当CR<0.1时通过一致性检验。这时，在层次分析法中
可用A的归一化特征向量作为权向量.
云南师范大学数学学院
景色 费用 居住 饮食 旅途
“选择旅游地”中
1 1/ 2
准则层对目标的权
2
1
向量及一致性检验 A 1/ 4 1/ 7
1/ 3
1/ 5
最大特征根=5.0721 1/ 3 1/ 5
4 3 3
OBJ=k1P1 k2P2 k3P3, (k1+k2 k3 =1)
云南师范大学数学学院
例.如何按照景色、费用、居住、饮食、旅途等5个因素 在3个目的地中选择旅游地?
目标层 准则层 方案层
OBJ(选择旅游地) C1景色 C2费用 C3居住 C4饮食 C5旅途
P1桂林 P2黄山 P3北戴河
云南师范大学数学学院
例 横渡江河(海峡)方案的抉择?
目标层
过河的选择A
准则层1 准则层2
经济代价B1 社会代价B2 环境代价B3
投 操 冲冲 交 居 汽 对 对
入 作 击击 通 民 车 水 生
资 维 渡生 拥 搬 排 的 态
金 护 船活 挤 迁 放 污 的
C1 C2 业 方 C5 C6 物 染 破
数学建模知识
§4 循环比赛的名次[问题的提出] 若干支球队参加单循环比赛，各队两两交锋，假设每场比赛只计胜负，不计比分，且不允许平局.在循环赛结束后怎样根据他们的比赛结果排列名次呢.有几种表述比赛结果的方法，较直观的一种是用图的顶点表示球队，而用连接两个顶点的、以箭头标明方向的边表示两支球队的比赛结果.右图给出了6支球队的比赛结果，即1队战胜2，4，5，6队，而输给了3队；5队战胜3，6队，而输给1，2，4队等等．根据比赛结果排名次的一个办法是在图中顺箭头方向寻找一条通过全部6个顶点的路径，如3→1→2→4→5→6，这表示3队胜l队，1队胜2队，…，于是3队为冠军，1队为亚军等等．但是还可以找出其它路径，如1→4→6→3→2→5，4→5→6→3→1→2等．所以用这种方法显然不能决定谁是冠亚军．排名次的另一个办法是计算得分，即每支球队获胜的场次．上例中l队胜4场，2，3队各胜3场，4，5队各胜2场，6队胜l场．由此虽可决定l队为冠军，但2，3队之间与4，5队之间无法决出高低．如果只因为有3—2，4—5，就将3排在2之前、4排在5之前，则未考虑它们与其它队的比赛结果，是不恰当的．下面利用图论的有关知识解决这个问题．[竞赛图及其性质]在每条边上都标出方向的图称为有向图(Digraph)．每对顶点之间都有一条边相连的有向图称为竞赛图．(Tournament)．只计胜负、没有平局的循环比赛的结果可用竞赛图表示，如图11．问题归结为如何由竞赛图排出顶点的名次．2个顶点的竞赛图排名次不成问题．3个顶点的竞赛图只有图12的两种形式(不考虑顶点的标号)．对于(1)，3个队的名次排序显然应是{1，2，3}；对于(2)，则3个队名次相同，因为他们各胜一场．4个顶点的竞赛图共有图13所示的4种形式，下面分别进行讨论．(1)有唯一的通过全部顶点的有向路径1→2→3→4，这种路径称完全路径；4个队得分为(3，2，1，0)．名次排序无疑应为{1，2，3，4}．(2)点2显然应排在第1，其余3点如图12(2)形式，名次相同；4个队得分为(1，3，1，1)．名次排序记作{2，(1，3，4)}．(3)点2排在最后，其余3点名次相同；得分为(2，0，2，2)．名次排序记作{(1，3，4)，2}．(4)有不只一条完全路径，如l→2→3→4，3→4→1→2无法排名次；得分为(2，2，1，1)．由得分只能排名为{(1，2)，(3，4)}，无(4，2)的次序．如果由l→2，3→4就简单地排名为{1，2，3，4}，是不合适的．这种情形是研究的重点．还可以注意到，(4)具有(1)～(3)所没有的性质：对于任何一对顶点，存在两条有向路径(每条路径由一条或几条边组成)，使两顶点可以相互连通，这种有向图称为双向连通的(Biconnected)．5个顶点以上的竞赛图虽然更加复杂，但基本类型仍如图13所给出的3种：第1种类型：有唯一完全路径的竞赛图，如(1)；第2种类型：双向连通竞赛图，如(4)；第3种类型：不属于以上类型，如(2)，(3)．一般的，2个顶点的竞赛图具有以下性质：1)竞赛图必存在完全路径．(可用归纳法证明).2)若存在唯一的完全路径，则由完全路径确定的顶点的顺序，与按得分多少排列的顺序相一致．这里一个顶点的得分指由它按箭头方向引出的边的数目．显然，性质2给出了第1种类型竞赛图的排名次方法，第3种类型竞赛图无法全部排名，下面只讨论第2种类型．[双向连通竞赛图的名次排序] 3个顶点的双向连通竞赛图，如图12(2)，名次排序相同．以下讨论n(≥4)个顶点的双向连通竞赛图．为了用代数方法进行研究，定义竞赛图的邻接矩阵A=n n j i a )(如下：依此，图13(4)的邻接矩阵为若记顶点的得分向量为s=T n s s s ),,,(21 ，其中i s 是顶点i 的得分，则由(1)不难知道由(2)，(3)式容易算出双向连通的图13(4)的得分向量是s=(2，2，1，1)T，正如前面已经给出的．由s 无法排出全部名次．记s=s (1)，称为l 级得分向量，进一步计算称为2级得分向量．每支球队(顶点)的2级得分是他战胜的各个球队的(1级)得分之和，与l 级得分相比，2级得分更有理由作为排名次的依据．对于图13 (4)，s (1)=(2，2，1，1)T ，s (2)=(3，2，l ，2) T ．继续这个程序，得到k 级得分向量．对于图13(4)有k 越大，s (k)用作为排名次的依据越合理，如果∞→k 时s (k)收敛于某个极限得分向量(为了不使它无限变大，应进行归一化)，那么就可以用这个向量作为排名次的依据． 极限得分向量是否存在呢?答案是肯定的．因为对于n(≥4)个顶点的双向连通竞赛图，存在正整数r ，使得邻接矩阵A 满足A r >0．这样的A 称为素阵．再利用著名的Perron-Frobenius 定理，素阵A 的最大特征根为正单根λ，λ对应正特征向量s ，且有与(5)式比较可知，k 级得分向量s (k)，∞→k 时(归一化后)将趋向A 的对应于最大特征根的特征向量s ，s 就是作为排名次依据的极限得分向量．如对图13(4)，算出其邻接矩阵A((2)式)的最大特征根λ=1.4和对应特征向量s=(0.323，0.280，0.167，0.230)T，从而确定名次排列为{1，2，4，3}．可以看出，虽然3胜了4，但由于4战胜了最强大的l ，所以4排名在3之前．对于本节开始提出的6支球队循环比赛的结果(图11)，不难看出这个竞赛图是双向连通的．写出其邻接矩阵由(5)式可以算出各级得分向量为进一步算出A的最大特征根 =2.232和特征向量s=(0.238,0.164,0.231,0.113,0.150,0.104)T，排出的名次为{1，3，2，5，4，6}.。
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=A (4)
称为2级得分向量，每支球队（顶点）的2级得分是他战胜的各个球队的（1级）得分之和，与1级得分相比，2级得分更有理由作为排名次的依据。继续这个程序，得到k级得分向量。
=A = 1，k=1,2,…(5)
=（4，3，3，2，2，1 ，
=(15,10,16,7,12,9 , =(38,28,32,21,25,16
则各球队的排名根据{sij}的大小进行。
（1）
D对于开始提出的6支球队循环比赛的结果，不难看出这个竞赛图是双向连通的。写出其邻接矩阵
（2）
若记顶点的得分向量为s=( ，其中 是顶点i的得分，则由（1）不难知道
S=A1，1=(1,1,…,1 ， （3）
由（2），（3）式容易算出s=（4，3，3，2，2，1
二．问题分析
有六支球队进行比赛，其中1队战胜2，3，4，5，6队，而输给了3队；5队战胜3，6队，而输给1，2，4队。
现用图的顶点表示球队，而用连接两个顶点的，以箭头标明方向的边表示两支球队的比赛结果。
根据比赛结果排名次的一个办法是在图中顺箭头方向寻找一条通过全部6个顶点的路径，如3 1 2 4 5 6
教师评语
实验内容
6
3
2
1
4
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三.模型假设
1.比赛是确定型的，或者每个队方差均为0，抽样结果就是均值；
2.比赛的结果是可以精确反映相对实力的，没有误差；
3.比赛的场次是完全的，任意两个队之间都有比赛成绩。
‘
四.符号说明
Pij
第i支球队胜第j支球队的概率
A
邻接矩阵
aij
表示第i支球队与第j支球队的能力
S
顶点的得分
n
表示n支球队
五.模型建立和解决
设n支球队或队员比赛，第i支球队与第j支球队由比赛表现的能力为：aij= pijaji=1-pij(i=1,2,…n j=1,2,…n)
其中pij表示第i支球队胜第j支球队的概率。
且设 aij=0，则第i支球队胜其余n-1支球队的能力表示为：
Si= ij(i=1,2,3…n)
六、模型优缺点以及改进
优点：
该方案简单易行,原理清晰,依据可靠,论证有力,结论最优。并将现实中的问题用简单的线性规划问题进行分析计算，结构简单，计算方便。
缺点：
该模型在处理此问题时有假设与理想化的思想，与实际问题的求解还有一定正式的亲自动手的机会。有利于激发我们学习数学的兴趣，丰富我们数学探索的情感体验；有利于我们自觉检验，巩固所学的数学知识，促进对所学知识的吸收。本次实验让我们收获颇丰。，也使我们深刻认识到我们还存在着很多不足之处。比如分工不明确，在细节问题上粗心大意，小组间沟通不及时等等。但是有了这次的教训，在以后的建模活动中，相信我们一定会将现在发现的问题一点点克服。
这表示3队胜1队，1队胜2队，…，于是3队为冠军，1队为亚军等等。但是还可以找出其他路径，如1 4 6 3 2
5，决定谁是冠军。
排名次的另一个办法是计算得分，即每支球队获胜的场次。上例中1队胜4场，2，3队各胜3场，4，5队各胜2场，6队胜1场。由此虽可决定1队为冠军，但2，3队之间与4，5队之间无法决出高低。
实验报告
实验课名称：数学模型指导教师：朱
学生姓名：年级专业：应用统计学学号：2
实验名称：循环比赛的名次
实验日期：年10月9日 实验成绩：
实验目的
1.熟悉图论模型的建模方法。
2.熟悉掌握用matlab处理图论模型中的相关计算。
实验内容
一.问题重述
若干支足球队参加单循环比赛，各队两两交锋，假设每场比赛只计胜负，不计比分，且不允许平局。在循环赛结束后怎样根据他们的比赛结果排列名次呢。我们的目标就是针对这种不规则的比赛数据提出一种算法，尽可能合理地反映各队真实水平。
K越大，用 作为排名次的依据越合理，如果k 时， 收敛于某个极限得分向量，那么就可以用这个向量作为排名次的依据。再利用Perron-Frobenius定理，素阵A的最大特征根为正单根 对应正特征向量s,且有 =s(6)
进一步算出A的最大特征值根 =2.232和特征向量s=(0.238,0.164,0.231,0.113,0.150,0.104 ,从而排出名次为 .