尺规作图 角平分线
19.3_用尺规作图(第2课时__作角平分线)
联系知识综合运用
•已知：两条线段 a、t。 求作：△ABC，使一角的平分 线等于t，这一角边AB=a。
a
t
• 说说本节你的收获、体会、疑 惑
作业
• 已知：∠α，线段m。 • 求作：△ABC，使一角∠BAC=∠α， ∠Biblioteka AC的平分线为m。m
华东师大版八年级（下册）
第19章 全等三角形
19.3 尺规作图(第2课时)
作已知角的平分线
复习 1、什么叫做尺规作图？ （限定用直尺和圆规来画图，称为 尺规作图） 2、用尺规作图 （1）作线段，使它等于已知线段 的长； （2）作角，使它等于已知角；
求作一个角等于已知角∠AOB.
作法：（1）作 OM； （2）以点O为圆心，以 交 ，交 ； （3）以_____为圆心，以 交 ； （4）以 为圆心，以 弧交于 ； （5）经过 作 . 则 即为所求的角。
A C B D
作弧， 作弧， 半径作弧，两
O
做一做
1. 利用直尺和圆规把一个角二等 分。 你能说
明理由 吗？
可以看出，所画的射线OC是 ∠AOB的角平分线，根据图中的作 图痕迹，你能画一个角的角平分 线吗？并写出作图步骤。
试一试
试把下图所示的角四等分
O
任意画一个三角形， 画出三个内角的角平分 线（不写画法，保留作 图痕迹） .
尺规作图角平分线原理证明
尺规作图角平分线原理证明要证明尺规作图角平分线原理，我们可以考虑证明两个定理：1）尺规可以作出角的平分线，2）尺规不能作出非整数倍的角。
首先，我们来证明尺规可以作出角的平分线。
给定一个角，我们需要找到它的平分线。
我们可以利用角的一些性质来进行尺规作图。
设给定一个角AOB，我们需要作出它的平分线。
1.用尺子，在OA上任意取一点C，将OC延长到D，使得OC=OD，连接DB。
2.以O为圆心，OC为半径，画一个圆，与OB交于E。
3.连接OE。
我们来证明OE是角AOB的平分线：首先，我们可以证明△OAC≅△OAD，这是因为OC=OD，AC=AD，以及角AOC=角AOD=90度。
因此，OA=OA，OC=OD，角OAC=角OAD。
接下来，我们来证明△OBE≅△ODE，这是因为OB=OD，OE=OD，以及角OBE=角ODE。
因此，OB=OD，OE=OD，角OEB=角OED。
由于角OEB与角OED是△OBE内的相对角，而且△OBE≅△ODE，所以它们是相等的角。
因此，OE是角AOB的平分线。
证毕。
接下来，我们来证明尺规不能作出非整数倍的角。
设给定一个角AOB，我们需要证明尺规不能作出它的非整数倍角。
假设我们可以使用尺规作出角AOB的非整数倍角。
由于尺规只能作出长度为1的线段，所以我们只能作出整数长度的线段。
设尺规作出的非整数倍角为角COD。
由于COD是AOB的非整数倍角，所以COD不等于AOB。
我们可以通过多次作角分的操作来逼近COD。
例如，我们可以作出COE、EOF、FPG……，以此类推。
由于尺规只能作出整数长度的线段，所以每次作角分的操作都是有限的。
假设我们作了n次角分操作，最后得到的角为角CODn。
如果最后的角CODn等于角AOB，那么我们就成功地作出了非整数倍角。
然而，由于尺规只能作出有限次角分操作，所以最后得到的角CODn不可能等于角AOB。
因此，尺规不能作出角AOB的非整数倍角。
证毕。
综上所述，我们证明了尺规可以作出角的平分线，并且尺规不能作出非整数倍的角。
华师大八上数学 13.4.2 尺规作图--作角平分线
A Ｍ
Ｎ
Ｏ O
1、尺规作图作的 AOB 平分线方法如下： 以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C 、D，再分别以点C、D为圆心，以大于1 CD 长 2 为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法 得的根据是（ ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
2、试把下图所示的角四等分
A
O
B
6、如下图：用尺规过点Ｃ画直线Ｌ的垂线。 怎么画呢？
C
L
7.作出图中三角形三个内角的角平分 线.（不写作法，保留作图痕迹）
8、已知三角形中的一个角，此角的平分 线长以及这个角的一边长，求作三角形. 分析：首先作出符合条件的图形草图， 分析图形的特征，然后确定作图的顺序， 写出已知、求作、作法，作图中遇到属 于基本作图的，只叙述基本作图即可．
A
O
B
3.如图，已知∠A，试画∠B＝1/2∠A. （不写画法，保留作图痕迹）.
4.已知∠α与∠β，求作一个角，
使它等于（∠α＋∠β）的一半.
分析：要完成这个作图，先作出等于
（∠α＋∠β）的角，再作平分线即可．
5、试把下图所示的角四等分．
分析：首先把∠O二等分，再把得到的两部分 分别再二等分即可，请完成操作并写出画法．
Ｍ
３．作射线ＯＣ．
Ｂ
Ｎ
Ｏ
射线ＯＣ即为所求．
为什么OC是角平分线呢？ 已知：OM=ON，MC=NC。 求证：OC平分∠AOB。
证明：连接CM,CN 在△OMC和△ONC中， Ｃ OM=ON， MC=NC， OC=OC， ∴ △OMC≌ △ONC（SSS） Ｂ ∴∠MOC=∠NOC 即：OC平分∠AOB
D D1
O
C
12.8尺规作图2-角平分线 (1)
二.互助探究
环节1----师友探究
1.画一个角∠AOB，尺规作出它的角平分线。
2.在OC上任取一点C，过C点作CD⊥OA于D， 过C点作CE⊥OB于E. 3.你发现CD与CE有什么数量关系？请说明 理由。 4.请用最精炼的语言总结这一规律 8分钟
环节2----教师点拨 角平分线的性质： 定理：角平分线上的点到角两边的距离相等
A D
P
O
E
B
9分钟
四.总结归纳
环节1----师友总结
1、这节课你学会了哪些知识和学习方法？ 1.会用尺规作已知角的角平分线，知道 其依据。 SSS 2.探索并证明角平分线的性质定理和逆定 理； 运用全等 3.会对的学师（友）提一条学习建议？ 4分钟
五.巩固反馈
作业：
1. 练习册61-62页
1分钟
定理：到角两边距离相等的点在这个角
的平分线上
3分钟
三.分层提高
环节1----师友探究
例1：如图,AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB, 垂足为点E， DF⊥AC，垂足为F,且BD=CD 求证：BE=CF
B D E
A
F
C
9分钟
三.分层提高
环节2----师友探究
例2：如图, PD⊥OA,垂足为点D， PE⊥OB， 垂足为E,且PD=PE 求证:点P在∠AOB的平分线上
12.8尺规作图—角平分线
角平分线
学习目标： 1.会用尺规作已知角的角平分线，知道 其依据。 2.探索并证明角平分线的性质定理和逆定 理； 3.会对角平分线的性质进行简单的应用。
2分钟
一.预习交流
环节1----学生动手操作 按以下步骤画图 1.画一个角∠AOB；
2.以O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA与D，
尺规作图角平分线
尺规作图角平分线尺规作图是古代数学中一种重要的作图方法。
它的原理基于几何学的基本公理和尺规作图的限制条件，通过使用尺和可调规来完成各种几何图形的作图问题。
其中，角平分线也是一类常见的作图问题之一。
角平分线是指将给定角分成两个相等的角的直线。
在几何学中，角平分线的作图问题被广泛应用于各个领域，包括建筑、城规、工程、地理等，因其在实际应用中的重要性而备受关注。
尺规作图的步骤一般分为：给定条件、画出所需图形的辅助线、使用尺规进行作图、绘制出所需的图形。
下面我们来具体讨论如何使用尺规作图来构造角平分线的过程。
首先，假设我们的目标是作出一个角的平分线。
我们有一个给定角A，我们的任务是找到一个直线BC，使得角ABC和角CBD相等。
角平分线的构造方法如下：步骤1：以点A为中心，画一个任意半径的圆（圆心为O），该圆将与角A相交于两个点D和E。
步骤2：以点D和E为中心，分别画两个半径等于AO的圆。
步骤3：连接点O和点F，其中F是这两个圆的交点之一。
步骤4：连接点A和点F，我们得到的线段AF即为角A的平分线。
通过以上的步骤，我们可以很容易地构造出给定角的平分线。
这个方法是尺规作图中常用的角平分线的构造方法。
需要注意的是，这个方法仅适用于使用尺规作图的工具和条件下。
尺规作图角平分线的方法所依赖的原理是，由于圆弧上的任意两个点到圆心的距离是相等的，所以通过相应的操作，我们可以得到使用圆弧相交构建角平分线的方法。
尺规作图角平分线的应用十分广泛。
在数学教学中，角平分线作图是几何学中的重要内容之一。
通过学习角平分线的构造方法，学生们可以深入理解几何学中关于角的概念和性质，并通过实际操作提高他们的几何图形构造能力。
此外，角平分线的应用还可以延伸到建筑、城规和工程领域，例如在设计建筑物或城市规划时，利用角平分线可以确保建筑物或街道的对称性和平衡性。
总结起来，尺规作图角平分线是一种重要的数学作图方法，它基于几何学的基本原理和尺规作图的限制条件，通过使用尺和可调规来构造给定角的平分线。
尺规作图角平分线
目 录
• 引言 • 尺规作图基础知识 • 角平分线的尺规作图方法 • 角平分线在实际问题中的应用 • 角平分线与其他几何概念的联系 • 总结与展望
01 引言
目的和背景
尺规作图角平分线的目的
通过尺规作图的方式，将一个角平分为两个相等的角，以便在几何图形中构造特定的角度或解决与角度相关的问 题。
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感谢您的观看
对角平分线尺规作图的总结
尺规作图角平分线的基本原理
利用尺规作图的基本操作，通过构造等腰三角形或利用圆的性质，将给定角平分为两个相 等的小角。
尺规作图角平分线的步骤
首先，在角的两边上分别截取相等的线段；然后，分别以这两个点为圆心，以大于截取线 段长度为半径画弧，两弧交于一点；最后，连接角的顶点和交点，所得射线即为角的平分 线。
内部画弧，两弧交于一点。
连接角的顶点和这个交点，所得 的射线就是这个角的平分线。
方法二：利用三角板和直尺作图
利用三角板上的45°角或30°角， 通过角的和或差的方式，画出 所需角。
通过移动三角板，使得三角板 的一边与角的一边重合，另一 边落在角的内部。
沿着三角板的另一边画射线， 这条射线就是角的平分线。
角平分线的性质
角平分线将原角平分为两个相等的角。
角平分线上的点到角两边的距离相等。
角平分线是角的对称轴，即角的两边 关于角平分线对称。
在三角形中，角的平分线与对边相交，将对边 分为两段，这两段与角的两边对应成比例。
02 尺规作图基础知识
尺规作图的基本工具
直尺
用于画直线段、连接两点或延长 线段。
圆规
角平分线的定义
角平分线是从一个角的顶点出发，将该角平分为两个相等的 小角的射线。
尺规作图作已知角的平分线 公开课一等奖课件
图 13－4－13
[答案] 把∠ABC 对折，使 BA 与 BC 重合，其折痕就是 ∠ABC 的平分线．
◆ 知识链接——[新知梳理]知识点
13.4.3 作已知角的平分线
13.4.3 作已知角的平分线
例 2 如图 13－4－16 所示，已知∠CAB，以确定的点 B 为顶点作∠ABD，使∠ABD＝12∠A.(不写作法，保留作 图痕迹)
图 13－4－16
13.4.3 作已知角的平分线
[解析] 先作∠A 的平分线 AE，以 B 为顶点作∠ABD＝ ∠EAB，则∠ABD 即为所求．
？ 想一想
大家说一说：这些现象有什么危害？
安静是什么
• 安静是修养。
•公共场所是公众活动的地方，任何人都不得以任何 理由对其进行任何形式的独占，而应自觉维护该场 所的秩序，遵守必须的社会公德。
安静是什么
• 安静是文化，是文明。
•文化可以引领人的发展。到了一个非常安静的场所 ，你忍心一个人制造大的声响来引起别人不必要的 注意吗？当大家都停下自己的活动看你时，你会感 觉到脸红，自觉融入到这安静的氛围之中。学校狠 抓安静校园的治理，就是为了建设良好的校园文化 ，提高文明水平。
13.4.3 作已知角的平分线
13.4.3 作已知角的平分线
探究新知
活动1 知识准备 ∠_B_O__C＝如_图_12_1_3∠－A4O－C1，2，∠OABOC是＝∠_A_2_O_C∠的AO平B分＝线__2，__则∠∠BOACO.B＝
图 13－4－12
13.4.3 作已知角的平分静是形象。
•文明程度比较高的国家，所有公共场所都是比较安 静的，对来自其他国的游客的喧哗吵闹感到非常惊 诧。如果是黄皮肤、黑头发的游客，就一定认为是 中国人，其潜台词就是：中国游客太闹，文明古国 来的人，文明程度并不高。这就是形象。
尺规作图.作已知角的平分线 大赛获奖教学课件
► 知识点一 “S.S.S.”基本事实及运用 基本事实：三__边__分别相等的两个三角形全等．简记为 S.S.S.(或边边边)．
13.2.5 边边边
► 知识点二 “角角角”不能判定三角形全等 三个角分别相等的两个三角形 不一定 全等． [比较] 如果两个三角形有三组对应相等的元素，可分为四 类：三边、两边一角、一边两角、三角．它们判定三角形是否 全等的情况可归纳如下：
使 A′B′＝4，B′C′＝5，A′C′＝6.△ABC 与△A′B′C′满足对
应相等的条件分别是A__B＝A′B′__，_B_C＝B′C′__，__AC＝A′C_′_，
可以确定△ABC 与△A′B′C′的关系是
全等
．
你能用一句话概括出三角形全等的这种判定方法吗？
◆知识链接——[新知梳理]知识点一
13.2.5 边边边
13.2.5 边边边
探究问题二 灵活运用三角形全等的判定方法证明三角形全等 例 2 如图 13－2－19，BE，CD 相交于点 O，且 AD＝
AE，AB＝AC. 求证：∠BAO＝∠CAO.
图 13－2－19
13.2.5 边边边
[解析] 证△AOD≌△AOE 可得到∠BAO＝∠CAO. 证明：证法 1：在△ABE 和△ACD 中， ∵AE＝AD，∠BAE＝∠CAD(公共角)，AB＝AC， ∴ △ABE≌△ACD(S.A.S.)， ∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等)． ∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE. 在△BDO 和△CEO 中， ∵∠B＝∠C，∠DOB＝∠EOC(对顶角相等)，BD＝CE， ∴△BDO≌△CEO(A.A.S.)， ∴ OD＝OE (全等三角形的对应边相等)． 在△AOD 和△AOE 中， ∵AD＝AE，AO＝AO，OD＝OE， ∴△AOD≌△AOE(S.S.S.)， ∴∠BAO＝∠CAO(全等三角形的对应角相等)．
角平分线的三种做法
一个直角，可以做出一条线段的中点，可以做一条线段的垂直平分线，可以做一个角的平分线，不能三等分一条线段，不能三等分一个角，2、请将下面工具的作用填在空上（填写序号，可以重复填写）一个不带刻度的直尺可以干哪些事情？___________________________量角器呢？_______________________________________圆规呢？__________________________________一个带有刻度的直尺呢？_________________________一个带有刻度的三角板呢？_______________________________答案在这里面选（①测量角度，②连接两个点做一条线段或者直线或者射线，③测量一条线段的长度，④做一条线段与已知线段相等，⑤画一个圆或者圆弧，⑥做一个直角，⑦做一条确定长度的线段,⑧做一个确定角度的角）3、如何做一个角的平分线？●如果只给你一个不带刻度的直尺，怎么画出角平分线？●如果只给一个量角器，怎么画出角的平分线？●如果只给带刻度的三角板一个，如何画出角的平分线？●如果给你一个圆规和一个不带刻度的直尺，如何画处角的平分线？（提示：利用SSS的原理，折叠法，测量法，利用HL原理）在上面的角平分线的四种做法，请思考哪种用的是尺规作图？“用尺规作图的方法，做出一个角的平分线”是一个课标要求达到的目标。
1、什么是尺规作图？尺规作图，即用没有刻度的直尺和圆规作图，它可以完成做一条线段与已知线段相等，可以做一个角与已知角相等，可以做一个圆与已知圆全等，可以做一个三角形与已知三角形全等，可以做一个直角，可以做出一条线段的中点，可以做一条线段的垂直平分线，可以做一个角的平分线，不能三等分一条线段，不能三等分一个角，2、请将下面工具的作用填在空上（填写序号，可以重复填写）一个不带刻度的直尺可以干哪些事情？___________________________量角器呢？_______________________________________圆规呢？__________________________________一个带有刻度的直尺呢？_________________________一个带有刻度的三角板呢？_______________________________答案在这里面选（①测量角度，②连接两个点做一条线段或者直线或者射线，③测量一条线段的长度，④做一条线段与已知线段相等，⑤画一个圆或者圆弧，⑥做一个直角，⑦做一条确定长度的线段,⑧做一个确定角度的角）3、如何做一个角的平分线？●如果只给你一个不带刻度的直尺，怎么画出角平分线？●如果只给一个量角器，怎么画出角的平分线？●如果只给带刻度的三角板一个，如何画出角的平分线？●如果给你一个圆规和一个不带刻度的直尺，如何画处角的平分线？（提示：利用SSS的原理，折叠法，测量法，利用HL原理）在上面的角平分线的四种做法，请思考哪种用的是尺规作图？一个直角，可以做出一条线段的中点，可以做一条线段的垂直平分线，可以做一个角的平分线，不能三等分一条线段，不能三等分一个角，2、请将下面工具的作用填在空上（填写序号，可以重复填写）一个不带刻度的直尺可以干哪些事情？___________________________量角器呢？_______________________________________圆规呢？__________________________________一个带有刻度的直尺呢？_________________________一个带有刻度的三角板呢？_______________________________答案在这里面选（①测量角度，②连接两个点做一条线段或者直线或者射线，③测量一条线段的长度，④做一条线段与已知线段相等，⑤画一个圆或者圆弧，⑥做一个直角，⑦做一条确定长度的线段,⑧做一个确定角度的角）3、如何做一个角的平分线？●如果只给你一个不带刻度的直尺，怎么画出角平分线？●如果只给一个量角器，怎么画出角的平分线？●如果只给带刻度的三角板一个，如何画出角的平分线？●如果给你一个圆规和一个不带刻度的直尺，如何画处角的平分线？（提示：利用SSS的原理，折叠法，测量法，利用HL原理）在上面的角平分线的四种做法，请思考哪种用的是尺规作图？“用尺规作图的方法，做出一个角的平分线”是一个课标要求达到的目标。
尺规作图画角平分线的多种方法
尺规作图画角平分线的多种方法
尺规作图画角平分线的多种方法有以下几种：
1. 三等分法：直接使用尺规作图，以角的顶点为圆心，任意取一个半径作圆，然后分别画两个弧交于圆上的两点，连接这两个点与角的顶点，即可得到角的平分线。
2. 比例法：利用角的平分线将整个角分为两部分，然后再将其中一部分再次平分，直到得到所需的比例。
具体步骤如下：取一条尺寸大于一半角的任意直线段AD，以D为圆心作一个尺规圆，交BC于E和F。
再从E和F分别画直线段连接圆心D，与角的两边交于G和H。
直线GH即为所求的角平分线。
3. 三辅圆法：与三等分法类似，利用尺规作图画三个辅助圆，然后通过相交弧来求解角的平分线。
具体步骤如下：以角的两边分别为半径，在空白纸上画两个圆，分别与角的两边相切，并且两个圆心在同一直线上。
再以角的顶点为圆心，画一个辅助圆与两个已知圆相切。
连接辅助圆上两个切点与角的顶点，即可得到角的平分线。
4. 辅助线法：在需要画角平分线的角内引入辅助线，然后利用已知条件来求解。
具体步骤根据具体情况而定，可以使用角的内切圆、垂直线、平行线等辅助线来求解角的平分线。
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尺规作图 角平分线，中垂线，等腰三角形
1、如图，A 、B 、C 三个小区中间有一块三角形的空地，现计划在这块空地上建一个超市，使得它到三个小区的距离相等，请你用尺规作图的方法确定超市所在位置。
2..已知ΔABC ，求作一点P ，使点P 到AB 、AC 的距离相等，且到边AC 的两端点距离相等。
3.如图，A 、B 是平面上两个定点，在平面上找一点C ，使△ABC 构成等腰直角三角形，且C 为直角顶点，请问这样的点有几个?并在图中作出所有符合条件的点．(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法
)
4、（2008广州）（12分）如图9，射线AM 交一圆于点B 、C ，射线AN 交该圆于点D 、E ，且
（1）求证：AC=AE
（2）利用尺规作图，分别作线段CE 的垂直平分线与∠MCE 的平分线，两线交于点F （保
留作图痕迹，不写作法）求证：EF 平分∠CEN
5．尺规作图：某学校正在进行校园环境的改造工程设计，准备在校内一块四边形花坛内栽
上一棵黄桷树。
如图，要求黄桷树的位置点P 到边AB 、BC 的距离相等，并且点P 到
点A 、D 的距离也相等．请用尺规作图作出栽种黄桷树的位置点P （不写作法，保留
作图痕迹）．
D C B A
6、电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m、n的距离也必须相等，发射塔P应修建在什么位置？
7（2010年重庆市潼南县）画一个等腰△ABC，使底边长BC=a，底边上的高为h（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出已知，求作，不写作法和证明）.
已知：
8.（2010年江苏泰州）已知△ABC，利用直尺和圆规，根据下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法），并根据要
求填空：
(1)作∠ABC的平分线BD交AC于点D；
(2)作线段BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F．
由⑴、⑵可得：线段EF与线段BD的关系为
9（2010浙江杭州）(本小题满分6分)
如图, 在平面直角坐标系xOy中, 点A(0,8), 点B(6 , 8 ).
(1) 只用直尺(没有刻度)和圆规, 求作一个点P，使点P同时满足下
.
列两个条件(要求保留作图痕迹, 不必写出作法)：
1）点P到A，B两点的距离相等；
的两边的距离相等.
2）点P到xOy
(2) 在(1)作出点P后, 写出点P的坐标.
(第18题)。