4.2.1二次根式的乘法
二次根式的乘法和除法课件
5.2
二次根式的乘法和除法
1.二次根式的乘法
说一说 积的算术平方根的性质是什么？
a ·b = a · b ( a≥0 ,b≥0 ).
思考：把上述公式从右到左看得到什么？
把上述公式从右到左看，可以得到：
a ? b= a b ( a≥0 ,b≥0 ).
思考：这个公式有什么用？ 可以进行二次根式的乘法运算 .
= -3
4
2? 18
=-9 .
2
例3 已知一张长方形图片的长和宽分别是 3 7cm 和 7cm ，求这张长方形图片的面积 .
Hale Waihona Puke 做一做解 3 7 ? 7 = 3? 7 =21(cm2) 答： 这张长方形图片的面积为 21 cm2 .
你能总结以上例题的解题规律吗？
（1）二次根式相乘，把被开方数相乘， 根指数不变 .
25 y 25 y 52 y 5 y
(2) 9x2 ?
? 9x2
? 32 x2 3x
2.计算：
(1) 3? 2 2 ；
答案：2 6
( 2 ) 4 3 ?(?-3 15) ；
答案：-36 5
讨论
有什么发现？
计算：(1) 4 ? 2
93
(2) 4 ? 2 93
(3)
16
4
?
(3)
16
4
?
25 5
25 5
根据你发现的规律填空：
(1) 2 = 2 (2) 5 = 5
3
3
7
7
二次根式除法法则:
例1 计算：
( 1 ) 3?? 6 ；
(2)
1 3
?
72 .
做一做
解 ( 1 ) 3 ? 6 = 3? 6 = 32? 2 =3 2 .
人教版八年级数学下册《二次根式的乘除》二次根式PPT精品课件
观察两者有什么关系？
4×9
36 6 ;
=_________
400 20 ;
16 × 25 =_________
900 30 .
25 × 36 = _________
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
4
(2)
16
(3)
25
9 = 4 9；
25= 16 25；
16a 4a 2 a 2 .
4
4
知识讲解
2. 若长为 24 ，宽为 8 ，求出它的面积.
解：它的面积为 24 × 8 = 24 × 8 =
82 × 3 = 8 3.
随堂训练
−6 = ⋅ −6
1.若
，则 （ A ）
A．x≥6
B．x≥0
C．0≤x≤6
D．x为一切实数
（ D ）
6 2
（2） 6 × 12 = _______;
2 6
（3） 3 × 2 2 = _____.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：
（1）
5 4
＞
4 5；
（2） 4 2
＜
2 7.
随堂训练
5.计算：（1）2 3 × 5 21；
18
（2）3 3 × (−
);
4
（3）3 2 × 2 10 × 5;
（3） 3 ×
1
=
3
1
3
3 × = .
1
.
3
知识讲解
归纳： 化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因
4.2.1 二次根式的乘法
4.2.1 二次根式的乘法
1.进一步加深对积的算术平方根的性质的理解， 1.进一步加深对积的算术平方根的性质的理解，体会它 进一步加深对积的算术平方根的性质的理解 在二次根式乘法中的价值， 在二次根式乘法中的价值，同时进一步掌握二次根式的 化简。 化简。 2.会逆用算术平方根的性质进行二次根式的乘法运算。 2.会逆用算术平方根的性质进行二次根式的乘法运算。 会逆用算术平方根的性质进行二次根式的乘法运算
1.什么叫二次根式？ 1.什么叫二次根式？ 什么叫二次根式
式子 a (a ≥ 0)叫做二次根式。
2.两个基本性质: 2.两个基本性质: 两个基本性质
( a ) =a
2
(a≥ (a≥0) a (a≥ (a≥ 0) (a＜0) (a＜
a 2 =∣a∣ =
-a
计算下列各式, 观察计算结果,你发现什么规律 计算下列各式, 观察计算结果, 1. 4 × 6 9 =____ 6 4×9 = __
将平方项化简. 将平方项化简. 化简
【解析】 解析】
2.（2010·日照中考） (a， 2.（2010·日照中考）如果 (2 + 2)2 = a + b 2 (a，b为 日照中考 有理数) 那么a+b等于( 有理数)，那么a+b等于( a+b等于 (A)2 (B)3 (C)8 ) (D)10
+2× 【解析】选D. (2 + 2)2 = a + b 2 =22+2×2× 2 +( 2 )2 解析】 a=6，b=4， =6+ 4 2 即a=6，b=4，有a+b=10.
ab = a ⋅ b(a ≥ 0,b ≥ 0)
二次根式的乘法课件
交换律在二次根式中的应用
对于任意两个二次根式A和B，有A×B=B×A。
乘法结合律
结合律的定义
三个数相乘，先把前两个数相乘，再和第三个数相乘，或者先把后两个数相乘， 再和第一个数相乘，积不变。即(a×b)×c=a×(b×c)。
结合律在二次根式中的应用
二次根式乘法的重要性
数学基础
二次根式乘法是数学运算的基础之一 ，对于提高数学素养和计算能力具有 重要意义。
实际应用
在实际生活和工作中，二次根式乘法 被广泛应用于物理、化学、工程等领 域，是解决实际问题的有力工具。
二次根式乘法的应用场景
几何问题
在解决几何问题时，经常需要计 算图形的面积、周长等，这些计 算中往往涉及到二次根式的乘法
03 二次根式乘法的计算方法
直接相乘法
方法描述
将被开方数相乘，根指数不变，再把 结果化为最简二次根式。
示例
$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$
分解因式法
方法描述
将被开方数进行因式分解，然后再相乘，最后化为最简二次根式。
示例
$\sqrt{a \times c} \times \sqrt{b \times c} = \sqrt{(a \times c) \times (b \times c)} = \sqrt{(a \times b) \times c^2} = |c| \times \sqrt{a \times b}$
二次根式乘法的化简
对二次根式乘法运算结果进行化简，如$\sqrt{12} \times \sqrt{18}$等。
的二次根式乘法测试题， 以便学生自我检测学习效果。
二次根式的乘法法则和除法法则
二次根式的乘法法则和除法法则1. 引言嘿，大家好！今天咱们聊聊二次根式的乘法和除法，听起来有点复杂，但其实它就像在吃个冰淇淋，慢慢品味就好。
你知道吗？二次根式就像是数学里的小秘密，虽然看起来有点神秘，但一旦你掌握了窍门，简直就像找到了一把打开宝藏的钥匙！咱们开始之前，先给大家普及一下基础知识，别急，这可不是枯燥的教科书，我们轻松一点就好。
2. 二次根式的乘法法则2.1 基本法则好啦，咱们先从乘法说起。
乘法法则其实就是两个二次根式相乘时，咱们可以把它们的“根”都放在一起。
比如说，你有(sqrt{a)和(sqrt{b)，只要把它们相乘，就可以得到(sqrt{a times b)。
这就像是把两个朋友的手牵在一起，他们一起组成了一个更大的圈子，听起来是不是挺简单的？就像加法一样，乘法也没啥复杂的，只要记住这条法则就行了。
2.2 具体例子那么，具体怎么用呢？假设我们有(sqrt{2)和(sqrt{3)，想要知道它们的乘积。
咱们直接来，(sqrt{2 times sqrt{3 = sqrt{2 times 3 = sqrt{6)。
就是这么简单！有时候，你可能会想，哎，我要是有更多的根式，比如(sqrt{4)和(sqrt{9)呢？没问题，继续来！(sqrt{4 times sqrt{9 = sqrt{4 times 9 = sqrt{36 = 6)。
瞧！是不是像过山车一样刺激，过了一个小坡就到了终点？3. 二次根式的除法法则3.1 基本法则再来聊聊除法。
说到除法，很多人可能会皱眉头，但其实和乘法差不多哦。
二次根式相除时，我们也能把“根”放在一起，听着有点抽象，但没关系，咱们举个例子就明白了。
比如说你有(sqrt{a)和(sqrt{b)，你想知道(frac{sqrt{a{sqrt{b)是什么。
这个时候，你只需要做个简单的操作，就能得到(sqrt{frac{a{b)。
就像把一个美味的蛋糕切成两半，你只要把蛋糕的“根”一起分开就行了。
二次根式的乘除法PPT课件
二次根式的乘除法PPT 课件contents •二次根式基本概念与性质•二次根式乘法运算规则•二次根式除法运算规则•乘除混合运算及简化方法•在实际问题中应用举例•错题集锦与答疑环节目录二次根式基本概念与01性质二次根式定义及表示方法定义形如$sqrt{a}$（$a geq0$）的式子叫做二次根式。
表示方法对于非负实数$a$，其算术平方根表示为$sqrt{a}$。
乘法定理$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$（$a geq 0$，$bgeq 0$）。
非负性$sqrt{a} geq 0$（$a geq 0$）。
除法定理$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$（$a geq 0$，$b > 0$）。
二次根式性质介绍例1解析例3解析例2解析计算$sqrt{8} times sqrt{2}$。
根据乘法定理，$sqrt{8} times sqrt{2} = sqrt{8 times 2} = sqrt{16} = 4$。
计算$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}}$。
根据除法定理，$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}} = sqrt{frac{20}{5}} = sqrt{4} = 2$。
化简$sqrt{18}$。
首先将18进行质因数分解，得到$18 = 2 times 9 = 2 times 3^2$，然后根据二次根式的性质，$sqrt{18} = sqrt{2 times 3^2} = 3sqrt{2}$。
典型例题解析二次根式乘法运算规02则同类二次根式乘法法则两个同类二次根式相乘，把他们的系数相乘，根式部分不变，再根据根式的乘法法则，化简得到结果。
如：√a ×√a = a (a≥0)同类二次根式相乘，结果仍为同类二次根式。
不同类二次根式乘法法则两个不同类二次根式相乘，先把他们的系数相乘，再根据乘法公式展开，化简得到结果。
二次根式的乘除法则公式二次根式混合运算解题步骤二次根式化简方法
一、二次根式的乘除法法则1、积的算数平方根的性质，列如：√ab=√a·√b(a≥0，b≥0)2、乘法法则，列如：√a·√b=√ab(a≥0，b≥0)，二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
3、除法法则，√a÷√b=√a÷b(a≥0，b>0)，二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。
4、有理化根式。
如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式。
二、二次根式混合运算解题步骤1、确定运算顺序。
2、灵活运用运算定律。
3、正确使用乘法公式。
4、大多数分母有理化要及时。
5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化。
6、字母运算时注意隐含条件和末尾括号的注明。
7、提公因式时可以考虑提带根号的公因式。
三、二次根式化简方法二次根式是中学代数的重要内容之一，而二次根式的化简是二次根式运算的基础，学好二次根式的化简是学好二次根式的关键。
下面给同学们归纳总结了几种方法，帮助大家学好二次根。
1、乘法公式法2、因式分解法3、整体代换法4、巧构常值代入法1.乘法规定：(a≥0，b≥0)二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
推广：(1)(a≥0，b≥0，c≥0)(2)(b≥0，d≥0)2.乘法逆用：(a≥0，b≥0)积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的'积。
注意：公式中的a、b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0;3.除法规定：(a≥0，b>0)二次根式相处，把被开方数相除，根指数不变。
推广：，其中a≥0，b>0，。
方法归纳：两个二次根式相除，可采用根号前的系数与系数对应相除，根号内的被开方数与被开方数对应相除，再把除得得结果相乘。
4.除法逆用：(a≥0，b>0)商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
二次根式的乘法 经典课件(最新版)
=11 2.
课堂小结
初中数学课件
法则
a b ab (a 0,b 0)
二次根 式乘法
a b L k abL k（a 0,b 0,k 0)
拓展法则：
m a n b =mn ab（a 0,b 0)
(2)当长为 24, 宽为 8 时，则S= 24 8 ;
你知道这是什 么运算？又如 何进行计算呢？
讲授新课
初中数学课件
一 二次根式的乘法
1.计算下列各式:
（1） 4 9= 6 ， 49= 6 ；
（2） 16 25= 20 ， 16 25= 20 ；
（3） 25 36= 30 ， 2536= 30 ；
是3 x5 .
初中数学课件
5.设长方形的面积为S，相邻两边分别为 a ，b.
(1)已知 a 8 , b 12 ，求S；
解：由题意得：
S = agb = 8 12 = 8 12 = 42 23
= 4 6.
（2）已知 a 2 50 , b 3 32 ，求S.
解：由题意得：
初中数学课件
证一证： 根据积的乘方法则，有
( a b )2 ( a )2 ( b )2 ab.
所以 a b 就是ab算术平方根.
而 ab 表示ab算术平方根. 即 a b ab (a 0,b 0)
初中数学课件
归纳总结 二次根式的乘法法则
a b ab (a 0,b 0).
初中数学课件
练一练 A.抢答：
(1) 18 3 2 ; (2) 20 2 5 . B.陷阱题： 16ab2c3 4bc ac （a 0,b 0,c 0). C.综合题： 4b2 12ab2 2b 1+3a .
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（1）
（2）
4、比较 与 的大小：
六、课后反思
1、学习本节后的体会？
2、你有何疑惑？
课题
4.2.1二次根式的乘法
学习目标
1、了解积的算数平方根的性质；
2、会用性质进行二次根式的乘法运算；
学习重点
二次根式的乘法运算
学习难点
根号外的字母因子移入根号内的根式变形
学习内容
方法
与提示
一、课前检测
1、不改变式子的值，将下列根式外的因式移入根号内
2、化简 ；
3、
二、自主学习(阅读课本P138-P139)
1、二次根式的乘法法则:
2、 ；
三、合作探究
1、计算
2、设 ，计算下列各式
（1）
（2）
3、已知矩形 的两条对称轴为EF、MN，其中E、F、M、N分别在 、 、 、 、上，连结ME、EN、NF、FM得到菱形MENF，若 ，试求菱形的周长和面积。
四、展示质疑
1、计算 ；
2、计算： ；