第一周高等数学教案

a A
教学设计
用提问导入 新课：谈对 以前初等数 学的认识
一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集 的集合称为无限集。 常见的数集：N，Z，Q，R，N+ 元素与集合的关系： A、B 是两个集合，如果集合 A 的元素 复习集合概 念与运算
都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，记作 A B 。 如果集合 A 与集合 B 互为子集，则称 A 与 B 相等，记作 A B 若作 A B 且 A B 则称 A 是 B 的真子集。 空集 ： A 2、 集合的运算
1 x x n
1 x 1
举例说明无 穷大的概念
lim lim
x
1 0 x x n
注意是在自变量的同一个变化过程中 无穷小量与 第五节：极限运算法则 无穷大量的 1、无穷小的性质 设 xn 和 yn 是无穷小量于是： （1）两个无穷小量的和差也是无穷小量：
lim 为 无 穷 小 量 ， 即 用几个特殊 的函数极限
注： 1、

的意义；
来引出无穷 小的定义。
1 0 n 2 n lim
2、 xn 可写成 xn 0 ； (0, xn ) 3、上述命题可翻译成：对于任意小的正数 ，存在一 个号码 N，使在这个号码以后的所有的号码 n ，相应的 xn 与极限 0 的距离比这个给定的 还小。它是我们在直观上对于一个数列 趋于 0 的认识。
x x0
lim (a f ( x)) a lim f ( x)
3、若函数 f 和 g 在点 x0 有极限，则
x x0
lim ( f ( x) g ( x)) lim f ( x) lim g ( x)
x x0 x x0
3、 则
g ( x) 0 ， 若函数 f 和 g 在点 x0 有极限， 并且 xlim x
0 N
n
极
限
的
n N
xn a 则称数列 xn 的极限为 a ， N 定义
记成
lim x n a
也可等价表述： 1） 0 N n N 2） 0
N n N
( xn
a)
定量描述数
)
xn O(a
列极限定义
a, b
半开半闭区间
a, b
有限、无限区间 邻域： U (a )
U (a, ) {x a x a }
邻域的半径
a 邻域的中心 去心邻域 左、右邻域 二、函数 1、 函数的概念：
U ( a, )

定义：设数集 D R ，则称映射 f : D R 为定义在 D 上 的函数 记为
定理 2 在自变量的同一变化过程中，如果 f ( x) 为无穷大，则
1 1 为无穷小；反之，如果 f ( x) 为无穷小，且 f ( x) 0 则 为 f ( x) f ( x)
无穷大 即：非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系：当 xn 0 时：有
lim 0 lim
x
lim
x 1
x ) 中， 定理 1 在自变量的同一变化过程 x x（或 函数 f x 0
无穷小和函 数极限的关 系，同时也
具有极限 A 的充分必要条件是 f ( x) A ，其中 是无穷小。
二、无穷大定义 一个数列 xn ，如果成立： 是本节的重 点。
G 0 N n N xn G 那么称它为无穷大量。记成：
1、
x x0
若函数 f 和 g 在点 x0 有极限，则
x x0 x x0
lim ( f ( x) g ( x)) lim f ( x) lim g ( x)
本节又一重 难点：用极 限运算的几 个法则计算 函数的极限
0
2、
x x0
函数 f 在点 x0 有极限，则对任何常数 a 成立
f ( x1 ) 与 f ( x2 ) 的大小（注：与区间有关）
2 x 1 x 0 x 1 x 1
函数的概 念，中学所 学的函数的
3) 函数的奇偶性(定义域对称、 f ( x) 与 f ( x) 关系决定) 图形特点 (关于原点、Y 轴对称) 4)函数的周期性(定义域中成立： f ( x l ) f ( x) ) 难点：函数 3、 反函数与复合函数 的概念和复 反函数：函数 f : D f ( D) 是单射，则有逆映射 f 1 ( y) x ，称此 合函数以及 映射 f 为 f 函数的反函数 反函数 函数与反函数的图像关 y x 于对称 复合函数：函数 u g ( y ) 定义域为 D1，函数 y f ( x) 在 D 上有定 义、且 f ( D) D1 。则 u g ( f ( x)) g f ( x) 为复合函数。(注意：构 成条件)
( x0 , x0 ) ( x0 , x0 ) D 。
讲授、交流 讨论来对比 数列极限引 出函数极限 的定义，并 比较二者不 同。
2）如果自变量 x 趋于 x0 时，相应的函数值 f ( x) 有一个总趋势
f ( x) A 。 -----以某个实数 A 为极限 ，则记为 ： xlim x
能够应用无 穷小性质计 算某些函数 极限和无穷 大的概念以
lim f ( x) f ( x) x x0 lim x x0 g ( x) lim g ( x) x x
0
极限的四则运算成立的条件是若函数 f 和 g 在点 x0 有极限 4、 复合函数的极限运算法则
0
形式定义为：
0 x(0 x x0 ) f ( x) A
注：左、右极限。单侧极限、极限的关系 2、 x 的极限 掌握左、右 设： y f ( x)
x (,) 如果当时函数值 有一个总趋势 ------
极限的定义 该曲线有一条水平渐近线 y A ----- 则称函数在无限远点 有极
定理 6 设函数 y f [ g ( x)}是由函数 y f (u ) 与 u g ( x) 复合而成， 及二者间的
f [ g ( x)] 在点 x0 的 某去心邻域内有定义，若 lim g ( x) u 0 ，
lim x n 0
x
关系
lim y n 0 lim( x n y n ) 0
x x
（2）对于任意常数 C，数列 c xn 也是无穷小量：
教师启发讲 解 无穷小的 性质
lim x n 0 lim(c x n ) 0
（3） x 穷小量。
lim x n 0
x
x
n y n 也是无穷小量，两个无穷小量的积是一个无

x
lim y n 0 lim( x n y n ) 0
x x
（4） xn 也是无穷小量：
x x0
lim xn 0 lim xn 0
x x0
（5）无穷小与有界函数的积为无穷小。 2、函数极限的四则运算
5) 反三角函数
y arcsin(x) ，
y arctan( x)
y arccos(x)
y arc cot(x)
用割圆法求 以上五种函数为基本初等函数 圆的面积的 第二节：数列的极限 案例来引入 一、数列 数列极限的 数列就是由数组成的序列。 定义，使学 1）这个序列中的每个数都编了号。 生能直观的 2）序列中有无限多个成员。 理解数列极 一般写成： a1 a2 a3 a4 an 缩写为 un
并集 A B ： A B {x | x A或x B} 交集 A B ： A B {x | x A且x B} 差集
A \ B：
A \ B {x | x A且x B}
全集 I 、E
补集 A C ：
3、 区间和邻域 开区间 闭区间
( a, b)
a, b
教学内容 章节：第一章 函 数 与 极 限 第一节 函数 第二节 数列的极限 第三节 函数的极限 第一节：映射与函数 一、集合 1、 集合概念 具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。 组成这个集合的 事物称为该集合的元素 表示方法：用 A，B，C，D 表示集合；用 a，b，c，d 表示 集合中的元素 1) A {a1 , a2 , a3 ,} 2) A {x x的性质P} 元素与集合的关系： a A
lim x n 。
x
特别地，如果 G 0 N n N xn G ，则称为正无穷大，记
x n 成 lim x
特别地，如果 G 0 N n N xn G ，则称为负无穷大，
x n 记成 lim x
注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。 三、无穷小和无穷大的关系
1 例 1 数列 是这样一个数列 xn ，其中 n
xn 1 ， n 1,2,3,4,5 n
限的内涵。
也可写为：
1
1 2
1 3
1 4
1 5
可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近 0，
0 记为 lim n 1 n
1、
极限的 N 定义：
f ( x) A 限。记为： lim x
及判断函数 极限的存
f ( ) lim f ( x)
x
在无穷远点 的左右极限：
f ( ) lim f ( x)
x
在。 作业： 习题 1-3 6题 习题 1-4 2题
关系为：
lim f ( x) A lim f ( x) A lim f ( x)
x x x
二、函数极限的性质 1、 极限的唯一性 2、 函数极限的局部有界性 3、 函数极限的局部保号性 4、 函数极限与数列极限的关系