人教A版高中数学必修二高一下学期

人教A版高中数学必修二高一下学期目录：第四章圆与方程第一节圆的方程第二节直线、园的位置关系第四章圆与方程第一节圆的标准方程第一课时我的学习目标：1、在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；2、会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程；3、利用圆的方程解决与圆有关的实际问题.我的学习过程：（一）生活引入同学们，你们做过摩天轮吗？登高而望远，不亦乐乎。

世界上最巨大的摩天轮是座落于泰晤士河畔的英航伦敦眼，距地总高达135公尺．然而，由于伦敦眼属于观景摩天轮结构，有些人认为其在排行上应该与重力式摩天轮分开来计算．因此目前世界最大的重力式摩天轮应位于日本福冈的天空之梦福冈，是直径112公尺，离地总高120公尺的摩天轮。

对于这些摩天轮，我们如何通过建立平面直角坐标系，利用方程的知识来研究呢？二、基本功训练：1.知识点学习：问题1、具有什么性质的点的轨迹称为圆？问题1答案：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆．问题2：图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？问题2答案：圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．问题3：按照下图的建系，求圆的方程问题3答案：解法一：.以圆心C为直角坐标原点，建立坐标系，设M（x,y）是任一点，则圆可以看做集合｛M||CM|=r｝，由两点距离公式，所示条件=两边平方，得x2+y2=r2r解法二.不选择圆心C为直角坐标系的原点,设圆心C坐标为（a,b）,M （x,y）为任一动点. 则圆可以看做集合｛M||CM|=r｝, 由两点距离=r两边平方得: (x-a)2+(y-b)2=r2.问题4：上述两个方程是圆的方程吗。

问题4答案：要说明上述方程是圆的方程，必须具备两种对应关系，一方面曲线圆上点的坐标应是方程的解，另一方面以方程解为坐标的点在圆上。

因此我们应进一步说明方程的解为坐标的点在圆上，显然上述两个方程的解为坐标的点表示的是到原点和M （a,b ）距离为r 的点的集合，故上述方程表示圆问题5：归纳刚才求得圆的方程的方法。

问题5答案：我们是通过建系的方法，将曲线视为满足某种约束条件的点的集合，然后再用含有x 和y 代数式将这种关系用方程的形式表示出来，最后将方程化简整理。

方程1是方程2的圆心在坐标原点时的特殊形式，因此把方程2叫做圆的标准方程。

问题6：点和圆的位置关系有且只有三种：点在圆上、点在圆外、点在圆内。

那么如何来判断给定点和圆的位置关系呢？问题6答案：根据点到圆心的距离和半径的大小来比较，设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ，若 点在圆上d=r ；点在圆外 d ＞r ；点在圆内 d ＜r 。

2.知识点演练例1求满足下列条件的各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是5；(1)答案522=+y x(2)圆心在点C(8,8)，半径是2008；(2)答案2222008)8()8(=-+-y x(3)经过点P(5,1)，圆心在点C(8,3-).(3)答案方法一： ∵圆的半径5)31()85(22=++-==CP r ，圆心在点C(8,3-)， ∴圆的方程是25)3()8(22=++-y x .方法二：∵圆心为C(8,3-)，故设圆的方程为222)3()8(r y x =++-， 又∵点P(5,1)在圆上，∴222)31()85(r =++-，∴252=r 。

∴所求圆的方程是25)3()8(22=++-y x .例2 写出下列方程表示的圆的圆心和半径．(1)222=+y x ；(1) 答案圆心(0,0)，半径为2；(2)222)3(a y x =+-(0≠a )；(2) 答案圆心(3,0)，半径为||a ；(3)222)1()2(b y x =+++(0≠b ). (3) 答案圆心(1,2--)，半径为||b .三．题型训练1．★圆心是(2,3)C -，且经过原点的圆的方程为( )．A ．22(2)(3)13x y ++-=B ．22(2)(3)13x y -++=C ．22(2)(3)x y ++-=D ．22(2)(3)x y -++1．解析：因为圆C 经过坐标原点，所以圆C 的半径r =．因此，所求圆的方程是222(2)(3)13x y -++==． 答案：B ，如果你选C 、D ，没有注意圆的半径要开方。

如果你选择A 你把圆的标准记错了。

2．圆22(8)(8)10x y ++-=的圆心和半径分别为( )A ．(8,8),10- B ． (8,8),10- C ． (8,-D ． (-2．解析：根据圆的标准方程的定义和参数的几何意义，直接写出圆心坐标和半径．答案：D 。

如果你选择A 、B ，半径求错了，如果你选择C 则圆心求错了。

3．★经过点)0,0(，圆心在x 轴负半轴上，半径等于5的圆的方程_______________.3．解析：根据条件得出圆心为)0,5(-，5=r ，故方程是25)5(22=++y x 。

答案：25)5(22=++y x 。

4．★圆5)1()4(22=-+-y x 内一点)0,3(P ，则过P 点的最短弦的弦长为___________，最短弦所在的直线方程为___________________.4．解析：设圆心为Q ，最短弦应是过P 点且与PQ 垂直的直线。

答案：32，03=-+y x 。

5、写出以点A(2,3-)为圆心，5为半径的圆的标准方程，并判断点M(5,7-)，N(2,1-)，P(10,9-)与该圆的位置关系．5、分析：先求出圆的标准方程，然后再判断。

解：圆的标准方程为25)3()2(22=++-y x . 方法一：因为r MA ==+-+-=5)73()52(||22，所以点M 在圆上． 因为r NA <=+-+-=2)13()22(||22，所以点N 在圆内． 因为r PA >=+-+-=10)93()102(||22，所以点P 在圆外．方法二：因为25)37()25(22=+-+-，所以点M 在圆上．因为254)31()22(22<=+-+-，所以点N 在圆内．因为25100)39()210(22>=+-+-，所以点P 在圆外．6．根据下列条件求圆的方程：（1）圆心在点C(-2, 1), 并过点A(2, -2)（1）答案r = |AC| =5 ⇒ 圆方程为：( x + 2 )2 + ( y -1 )2 = 25（2）圆心在点C(1, 3 ), 并与直线3x -4y -7 = 0相切（2）答案r =516⇒ ( x -1 )2 + ( y -3 )2 =25256（3）过点M(0, 1 )和点N( 2, 1 )，半径为5（3）答案：设圆心( a , b ), 将M 、N 代如得：a = 1, b = 3或a = 1, b = -1 即圆的方程为：( x -1 )2 + ( y -3 )2 = 5, ( x -1 )2 + ( y +1 )2 = 5四．学以致用解决生活中的实际问题1、有一种商品，A ，B 两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后运回的费用：A 地每公里的费用是B 地每公里费用的3倍．已知A ，B 两地的距离是10公里，顾客选择A 地或B 地购买这件商品的标准是包括运费和价格的总费用较低．求P 地居民选择A 地或B 地购货总费用相等时，点P 所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点?1、分析：本题是一个实际问题，要通过建立数学模型来解决，要判断曲线的形状，实际上是求曲线的方程，宜用解析法.解：如图4-1-1-2所示，以A 、B 所在的直线为x 轴，线段AB 中点为原点建立直角坐标系.∵AB=10，∴A(5-,0)，B(5,0).设P(x,y)，P 到A 、B价格+A 地运费=价格+B 地运费，∴2222)5()5(3y x a y x a +-∙=++∙， 化简整理，得222)415()425(=++y x . (1)当P 点在以(425-,0)为圆心，415为半径的圆上时，居民到A 地或图4-1-1-2B 地购货总费用相等.(2)当P 点在上述圆内时，∵222)415()425(<++y x ， ∴0])415()425[(8])5[(]9)5(9[2222222<-++=+--++y x y x y x . ∴2222)5()5(3y x y x +-<++，故此时到A 地购物最合算.(3)当P 点在上述圆外时，同理可知，此时到B 地购物最合算.2、 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如图4-1-1-4所示)的东偏南θ(102cos =θ)方向300km 的海面P 处，并以20km ／h 的速度向西偏北︒45方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以l0km ／h 的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？2、分析：建立适当的平面直角坐标系，将条件转化为圆的相关知识求解。

解：如图4-1-1-5所示，建立坐标系：以O 为原点，正东方向为x 轴正方向．在时刻t (h)时，台风中心),(y x P 的坐标为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是：222)]([)()(t r y y x x ≤-+-，其中6010)(+=t t r.图4-1-1-5 图4-1-1-4若在t 时刻城市O 恰好开始受到台风的侵袭，则有 222)6010()0()0(+=-+-t y x ， 即222)6010(.)22201027300()2220102300(+=⨯+⨯-+⨯-⨯t t t 0288362=++t t ，解得，t =12或t =24．答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭．。