高中数学必修二第四章 4.1.1课件

满足的条件是什么？ 答 |MA|＝r.
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4.1.1
问题 4 如果把圆看成是点的集合，M(x，y)为这个圆上任意一点，
那么圆心为 A 的圆如何表示？ 答 P＝{M||MA|＝r}．
问题 5 用坐标表示点 M 适合的条件并化简将得到什么等式？
本
答 |MA|＝r，由两点间的距离公式，得 x－a2＋y－b2＝r，
4.1.1
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本 课 时 栏 目 开 关
4.1.1
4.1.1 圆的标准方程
[学习要求]
1．掌握圆的定义及标准方程；
本
课 2．能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的
时 栏
标准方程．
目 开
[学法指导]
关
通过运用圆的定义及两点间的距离公式，推导出圆的标准方程，
提高自己应用解析法研究几何问题的能力；通过对圆的标准方程
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4.1.1
例 2 △ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(5,1)，B(7，－3)，C(2，
－8)．求它的外接圆的方程．
解 设所求圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
①
本
因为 A(5,1)，B(7，－3)，C(2，－8)都在圆上，所以它们的坐标都
课
满足方程①.
时 栏 目 开 关
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4.1.1
跟踪训练 1 已知点 A(1,2)在圆 C：(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2 的内部，
求 a 的取值范围．
解 ∵点 A(1,2)在圆的内部，
本 ∴(1＋a)2＋(2－a)2＜2a2，即 5－2a＜0，
课
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时 栏 目
∴a＞52，
开 关
∴a 的取值范围是(52，＋∞)．
2)2＋(y＋3)2＝25.把点 M1(5，－7)的坐标代入方程(x－2)2＋(y
＋3)2＝25，左右两边相等，点 M1 的坐标适合圆的方程，所以
本 课
点 M1 在这个圆上；把点 M2(－ 5，－1)的坐标代入方程(x－
时 栏
2)2＋(y＋3)2＝25，左右两边不相等，点 M2 的坐标不适合圆的
目 开 关
答 (1)(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，点在圆外；
本 课
(2)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上；
时 栏
(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，点在圆内．
目
开
关
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4.1.1
探究点二 圆的标准方程的应用
问题 从圆的标准方程所含的参数上，你能分析出求圆的标准方程需
于是57－ －aa22＋ ＋1－－3b－2b＝2r＝2 r2 2－a2＋－8－b2＝r2
，解方程组，得 ab＝ ＝2－3 r2＝25
所以，△ABC 的外接圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
小结 本例是用待定系数法求圆的标准方程，即先设出圆的标准方
课
化简可得：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
时 栏
问题 6 如何说明(x－a)2＋(y－b)2＝r2 就是圆心坐标为 A(a，b)，
目 开
半径为 r 的圆的方程？
关 答 若点 M(x，y)在圆上，由上述讨论可知，点 M 的坐标适合
方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，反之，若点 M(x，y)的坐标适合方程
栏 目
点及倾斜角也能确定一条直线，那么在什么条件下可以确
开 关
定一个圆呢？直线能用二元一次方程表示，圆也能用一个
方程表示吗？这些就是本节我们要探讨的问题．
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4.1.1
探究点一 圆的标准方程
问题 1 圆是怎样定义的？
答 平面内到定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆．定点
本
要几个条件吗？
答 在圆的标准方程中，含有三个参数分别是 a，b，r，因此求
本 课
圆的标准方程需要三个已知条件．
时
栏
目
开
关
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4.1.1
例 1 写出圆心为 A(2，－3)，半径长等于 5 的圆的方程，并
判断点 M1(5，－7)，M2(－ 5，－1)是否在这个圆上． 解 圆心是 A(2，－3)，半径长等于 5 的圆的标准方程是(x－
关
径为 r 时，则圆的标准方程是 x2＋y2＝r2 .
3．设点 P 到圆心的距离为 d，圆的半径为 r，点 P 在圆外⇔ d>r ;
点 P 在圆上⇔ d＝r ；点 P 在圆内⇔ d<r .
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4.1.1
本 [问题情境]
课 时
在平面直角坐标系中，已知两点能确定一条直线，已知一
方程，所以点 M2 不在这个圆上． 小结 判断点与圆的位置关系，通常用两种方法，一种是利
用点与圆心的距离 d 与半径 r 的大小关系来判定，当 d＞r 时，
点在圆外；当 d＝r 时，点在圆上；当 d＜r 时，点在圆内．另
一种方法是把点 P(x0，y0)代入圆的方程．若(x－x0)2＋(y－y0)2 ＞r2，则点 P 在圆外；若(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，则点 P 在圆 上；若(x－x0)2＋(y－y0)2＜r2，则点 P 在圆内，这种方法实质 上就是第一种方法的另外一种表达形式．
的应用，培养自己观察问题、发现问题及分析、解决问题的能力.
填一填·知识要点、记下疑难点
4.1.1
本 1．圆的定义：在平面内，到 定点 的距离等于 定长 的点的
课
集合叫做圆．确定一个圆的基本要素是 圆心 和 半径 ．
时
栏 2．设圆的圆心是 A(a，b)，半径长为 r，则圆的标准方程是
目 开
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 ，当圆的圆心在坐标原点，圆的半
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，这就说明点 M 与圆心 A 的距离为 r，即点
M 在圆心为 A 的圆上． 小结 方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 就是圆心为 A(a，b)，半径为 r
的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程．
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4.1.1
问题 7 点 M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的关系如何判断？
就是圆心，定长就是半径．
课 问题 2 圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么
时 栏
呢？各要素与圆有怎样的关系？
目 开
答 圆心和半径；圆心：确定圆的位置，半径：确定圆的大小．
关 问题 3 设圆的圆心坐标为 A(a，b)，半径为 r(其中 a、b、r 都
是常数，r＞0)．设 M(x，y)为这个圆上任意一点，那么点 M