八年级数学三角形小结与复习

【教学过程】：一、回顾1、教师采用任意三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰三角形的纸片分别绕着一边中点、底边的中点、斜边中点，斜边的中点旋转180︒，让学生观察原来的三角形与旋转后的三角形分别组成什么样的图形？学生回答：平行四边形、菱形、矩形、正方形。

让学生根据上述要求也剪出任意三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形的纸片，绕中点旋转180︒后的图形与原来图形合并成怎样的图形？与教师演示的结果是否相同？学生回答：一样。

2、根据上面操作你发现了什么？生答：平行四边形、菱形、矩形、正方形、都是中心对称图形。

师问：你还发现了什么？生答：平行四边形的两组对边分别相等。

两组对角分别相等。

对角线互相平分。

菱形、矩形、正方形除具备上述性质外，由于它们采用的原三角形不同，所以又有许多特殊的性质。

菱形：各边都相等，对角线互相垂直且平分各内角。

矩形：各内角都直角，对角线相等。

正方形：各边、各角都相等，对角线互相垂直、平分、平分各内角且相等。

同时还可以说，菱形、矩形和正方形也是轴对称图形。

（1）当∠α从一般的角线成为直角时，这时候四边形ABCD是怎样的图形？生答：是平行四边形同时也是矩形。

（2）当CD在另一组对边的轨道内平移，∠α还是一般角。

当AD=AB（DC//AB）时，这时四边形ABCD是怎样的图形？生答：是平行四边形也是菱形。

（3）当∠α=90︒，AB=AD时，这时ABCD是怎样的图形？生答：是正方形对角线的相等与当∠α的关系？综上所述，我们已经很清楚地发现四边形与特殊四边形之间的关系，与彼此之间的联系。

教师让学生思考：平行四边形与梯形的联系与区别后。

展示下图（1）学习练习。

将相应的条件填在相应的箭头上。

四边平行四边形梯形矩形菱形正方形直角梯形等腰梯形╯ADB C展示图（2），让生在圆圈内，填入相应的图形名称。

一、回顾矩形，菱形，正方形的基本特征，1. 矩形是特殊的平行四边形，矩形的四个内角都是_________。

矩形的对角线__________________2.菱形是特殊的平行四边形，菱形是四条边都_____，它的两条对角线___________________每条对角线平分一组_____.3.正方形四条边都_____，四个角都是_____。

所以正方形可以看作为：一个角是直角的____；有一组邻边相等的_____；4. 等腰梯形的两腰_______，同一底边上的两个内角_______。

等腰梯形的两条对角线________。

5__________________________________________的平行四边形是矩形6._______________________________________________ 的平行四边形是菱形7._________________________________________ 的平行四边形是正方形8.______________________________________________ 的梯形是等腰梯形即有下面的流程图，在箭头里填上变化根据( )二、结全范例，分析理解一：性质例2：正方形的对角线长为10cm ，求正方形的面积。

学生画图并思考，老师提出问题：（1） 要求正方形的面积，常见的方法是什么？学生答：求出它的边长，即可得到它的面积。

（2） 这里知道它的对角线，能不能由对角线求边呢？老师提出：目前的知识还无法求得。

（3） 要求正方形的面积，除了上述方法之外，还有没有别的方法？学生答：正方形被两对角线分成两块面积相等的小三角形，只要求出这小三角形的面积，正方形的面积就可获得。

由于正方形的对角线互相垂直平分且相等，所以这个三角形的面积就可以知道。

解：由于ABCD 是正方形即OA=OB=OC=OD=5cm ，AC ⊥BD那么AOB AOD BOC OCD S S S S S =+++ 正方形 =1111555555552222⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ =502cm例3：矩形两条对角线的夹角为60︒，一条对角线与短边之和为12cm .求对角线和较短边的长。

学生通过正确画图并思考，教师提出问题：（1）从已知条件，你发现图中有些等线段？ （2）要求对角线和较短边的长，就要从中发现它们之间的数量关系。

由已知得AB+AC=12cm ，那AB 与CA 还有其他关系吗？学生答：AC=2AB 。

这样AC 与AB 的长度就能得到。

解：由于ABCD 是矩形。

所以AO=OC=OB=OD又∠AOB=60所以△ABO为等边三角形。

即AB=AO=OB=OC故AB=12AC由于AB+AC=12cm，即3AB=12cm，故AB=4cm，AC=8cm因此这个矩形的对角线为8cm，较短边为4cm三．特殊的四边形的有关计算练习(Ａ层)1．已知菱形的两条对角线分别是6cm,8cm,其周长为20cm,则其面积为_______边长为__________边上的高为_________2.若菱形的一个内角为60°，且边长为2cm，则它的较短对角线长为___________cm，3.菱形ABCD两条对角线相交于O，AO=1，∠ABD=30°，则BC的长为_________4. 正方形的对角线为2cm，则正方形的面积为______________﹔正方形的面积为18cm²，则它的对角线长为_______________________cm5.矩形ABCD两条对角线相交于O，O到短边距离比到长边的距离多8cm，矩形的周长为56cm，求矩形各边长E6.平行四边形的一个内角比它的邻角大42 ，求四个内角的度数。

(B层)7 利用矩形的对角线相等且互相平分这一特征，说明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

ＡＡＤＯＣ ＢＣ分析：通过作辅助线把直角三角形补成矩形，你能做到？如何做？试说明理由解：延长＿＿＿＿到点＿＿使得ＢＯ＝＿＿＿＿ 联结＿＿＿，＿＿＿则8：从平行四边形的一个钝角顶点引分两边的垂线，如果这两条垂线间的夹角为75︒，求这个平行四边形各内角的度数。

学生思考这个问题，老师提示学生画图后再思考。

老师：要求平行四边形各内角的度数，就要知道内角与这55︒角之间的关系，究竟哪一个角与它关系最紧密呢？ 学生答：∠C ，那么∠C 与∠EAF 有何关系？当∠C 的度数得到以后，求出∠B 或∠C 就容易了。

解：连AC 即∠1+∠2+∠3+∠4+180︒=360︒ 而 ∠1+∠2=75︒ 故 ∠3+∠4=105︒ 即∠BCD=105︒由于ABCD 是平行四边形，所以∠BAD=∠BCD=105︒ ∠B+∠BCD=180︒ 即∠B=75︒ 那么∠D=75︒一、 分层练习二(Ａ层) 1.矩形的两条对角线的夹角是120°，短边长为4cm ，求矩形的对角线长B C2. 菱形ABCD中，∠A=60°，对角线BD=a，求菱形的周长3.菱形的周长为20cm，两邻角比为1:2，求较短的一条对角线长Ｄ4. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，CE∥DA。

已知AB＝8，DC＝5，DA＝6，求△CEB的周长。

解：因为AB∥DC，CE∥DA，四边形AECD是__________，所以E于是△CEB的周长为CE＋E＋BC＝_____________=___________ 5．梯形ABCD中，如果DC∥AB，AD＝BC，∠A＝60 ,DB┴AD,那么∠DBC＝______，∠C ＝________。

（Ｂ层）6.如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点Ｏ，∠BOC=2∠AOB ，若 AC=1.8cm ，试求AB 的长DB7。

如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，BC ＝BD 。

∠A ＝120 ，求其他内角的度数。

8.如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别为三边BC 、CA 、AB 的中点，看一看，数一数，在整个图形中，有多少个三角形？多少个平行四边形？多少个菱形？多少个等腰梯形？（本题只要求观察，说出你数得的个数） 1．请你用不同的方法将一个矩形分成面积相等的两部分。

（1） 观察一下所分成的两部分图形之间的位置关系；（2） 如果你用的是直线，那么这样的直线有多少条？它们之间又有什么联系呢？若将矩形分成面积相等的四部分，你又能发现什么？二、矩形，菱形，正方形, 等腰梯形的识别方法从矩形，菱形，正方形的基本特征，我们可以得出矩形，菱形，正方形, 等腰梯形的识别方法，试分析判断:1.下面是矩形的一些识别方法，请分析判断是否可行？(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形 ( ) (从定义)(2)有三个角是直角的四边形是矩形 ( ) (从角的特征)(3)对角线相等且互相平分的四边形是矩形 ( ) (从对角线的特征)一．矩形，菱形，正方形, 等腰梯形的识别方法1.矩形的识别方法(1)＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿平行四边形是矩形 (从定义)(2)＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿四边形是矩形 (从角的特征)(3)＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿的四边形是矩形（对角线的特征）2.菱形的识别方法(1)_______________________________ 的平行四边形是菱形 (从定义)(2)_________________________________的四边形是菱形 (从边的特征)(3)_______________________________ 的四边形是菱形 (从对角线的特征) 3.正方形的识别方法?(1)______________________________的矩形是正方形 (从定义)(2)_______________________________的菱形是正方形(从定义)(3)_____________________________ 的四边形是正方形(从对角线的特征)4.等腰梯形的识别方法?(1)______________________________的梯形是等腰梯形(从定义)(2)_____________________________ 的梯形是等腰梯形(从角的特征)＊＊(3)_____________________________ 的梯形是等腰梯形(从对角线的特征)二．矩形，菱形，正方形, 等腰梯形的识别方法应用1.根据条件判定它是什么图形，并在括号内填出四边形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ和ＢＤ相交于点Ｏ：（１）∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝90°（）（２）ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ（）（３）∠Ａ＝90°，四边形ＡＢＣＤ是平行四边形（）（４）ＡＢ＝ＢＣ，四边形ＡＢＣＤ是平行四边形（）（5）ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ（）（6）ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ（）（7）ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ，ＡＣ⊥ＢＤ（）（8）ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ，ＡＣ＝ＢＤ（）（9）ＯＡ＝ＯＣ＝ＯＢ＝ＯＤ，ＡＣ⊥ＢＤ（）２．在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O。