八年级数学相似三角形练习题2
八年级数学相似三角形的识别练习题2-初中二年级数学试题练习、期中期末试卷-初中数学试卷
八年级数学相似三角形的识别练习题2-初中二年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、
复习资料-初中数学试卷-试卷下载
第3课时
相似三角形的识别（二）
课前导学：
1、如图，中，点P在AB上，在下列四个条件中：
①；②；③；
④。
能满足和相似的条件是
A、①②④
B、①③④
C、②③④
D、①②③
2、如图，在中，点D在AB上，请再添加一个适当的条件，使∽，那么要添加的条件是。
（只需填写满足要求的一个条件即可）
随堂检测：
3、给出以下条件：
①的两个角分别是和，的两个角分别是、；
②的两边长分别是4cm和cm，夹角为，的两边长分别是、，夹角为；
③的边长分别是5cm、6cm、8cm，的边长分别是cm、3cm、4cm;
④中，，
中，；
其中能判定∽的条件有()
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
4、如图，要使∽，已具备条件，还需补充的条件是或或。
5、已知：如图，AE=AD·AB，且，求证: ∽
提高题:
1）、中，AB=6，CB=8，中，，则∽,这个结论对吗？
2）、如图，线段AC、BD相交于点O，要使∽，
已具备条件
，还需补充的条件是
，
或
或。
3）、已知：如图，中，点D、E分别在AB、AC上，FG∽AD，分别交DE、AE于点F 、G，3AE=2AB，AD：AC=2：3。
那么与相似吗？
若相似，请说明理由。
欢迎下载使用，分享让人快乐。
经典相似三角形练习题(附参考答案)
类似三角形一．解答题（共30小题）1．如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证：△ADE∽△EFC．2．如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延伸线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF;（2）当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长．3．如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试解释：△ABF∽△EAD．5．已知：如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,衔接BE,CD,M,N分离为BE,CD的中点．（1）求证：①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;（2）在图①的基本上,将△ADE绕点A按顺时针偏向扭转180°,其他前提不变,得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立;（3）在（2）的前提下,请你在图②中延伸ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图,E是▱ABCD的边BA延伸线上一点,衔接EC,交AD于点F．在不添加帮助线的情形下,请你写出图中所有的类似三角形,并任选一对类似三角形赐与证实．7．如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的极点都在边长为1的小正方形的极点上．（1）填空：∠ABC=_________°,BC=_________;（2）断定△ABC与△DEC是否类似,并证实你的结论．8．如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm．某一时刻,动点M从A点动身沿AB偏向以1cm/s的速度向B点匀速活动;同时,动点N从D点动身沿DA偏向以2cm/s的速度向A点匀速活动,问：（1）经由若干时光,△AMN的面积等于矩形ABCD 面积的？（2）是否消失时刻t,使以A,M,N为极点的三角形与△ACD类似？若消失,求t的值;若不消失,请解释来由．9．如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD.AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情形,并求出拔取到的两个三角形是类似三角形的概率是若干;（留意：全等算作类似的特例）（2）请你任选一组类似三角形,并给出证实．10．如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,衔接AE．（1）写出图中所有相等的线段,并加以证实;（2）图中有无类似三角形？如有,请写出一对;若没有,请解释来由;（3）求△BEC与△BEA的面积之比．11．如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的随意率性一点,过点M分离作AB.AC的平行线交AC于P,交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长;（2）写出图中的两对类似三角形（不需证实）;（3）M位于BC的什么地位时,四边形AQMP为菱形并证实你的结论．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试解释：△ADM∽△MCP．13．如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S;（2）动点P从点B动身,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C偏向,向点C活动;动点Q从点C动身,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A偏向,向点A活动,过点Q作QE⊥BC于点E．若P.Q 两点同时动身,当个中一点到达目标地时全部活动随之停止,设活动时光为t秒．问：①当点P在B⇒A上活动时,是否消失如许的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长等分？若消失,请求出t的值;若不消失,请解释来由;②在活动进程中,是否消失如许的t,使得以P.A.D为极点的三角形与△CQE类似？若消失,请求出所有相符前提的t的值;若不消失,请解释来由;③在活动进程中,是否消失如许的t,使得以P.D.Q为极点的三角形正好是以DQ为一腰的等腰三角形？若消失,请求出所有相符前提的t的值;若不消失,请解释来由．14．已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P.Q分离是AB.BC 上活动的两点．若P自点A动身,以1cm/s的速度沿AB偏向活动,同时,Q自点B动身以2cm/s的速度沿BC偏向活动,问经由几秒,以P.B.Q为极点的三角形与△BDC类似？15．如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开端沿AB边向B点以2cm/s的速度移动,点Q从点B开端沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,假如P.Q分离从A.B同时动身,问经由几秒钟,△PBQ与△ABC类似．16．如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2．问当AB的长为若干时,这两个直角三角形类似．17．已知,如图,在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点,可否在边AB上找一点N（不含A.B）,使得△CDM与△MAN类似？若能,请给出证实,若不克不及,请解释来由．18．如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B动身,沿BC偏向以2cm/s的速度移动,点P从C动身,沿CA偏向以1cm/s的速度移动．若Q.P分离同时从B.C动身,试探讨经由若干秒后,以点C.P.Q为极点的三角形与△CBA类似？19．如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上肯定点P 的地位,使得以P,A,D为极点的三角形与以P,B,C为极点的三角形类似．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的极点E位于边BC的中点上．（1）如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证：△BEM∽△CNE;（2）如图2,将△DEF绕点E扭转,使得DE与BA的延伸线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除（1）中的一对类似三角形外,可否再找出一对类似三角形并证实你的结论．21．如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开端向B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开端向点A以1cm/s的速度移动．假如P.Q同时动身,用t （秒）暗示移动的时光,那么当t为何值时,以点Q.A.P为极点的三角形与△ABC类似．22．如图,路灯（P点）距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点,沿OA地点的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了照样变短了？变长或变短了若干米？23．阳光亮媚的一天,数学兴致小组的同窗们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达,顶部不轻易到达）,他们带了以下测量对象：皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜．请你在他们供给的测量对象中选出所需对象,设计一种测量计划．（1）所需的测量对象是：_________;（2）请鄙人图中画出测量示意图;（3）设树高AB的长度为x,请用所测数据（用小写字母暗示）求出x．24．问题布景在某次活动课中,甲.乙.丙三个进修小组于统一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们经由过程测量得到的一些信息：甲组：如图1,测得一根竖立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2,测得黉舍旗杆的影长为900cm．丙组：如图3,测得校园景灯（灯罩视为球体,灯杆为圆柱体其粗细疏忽不计）的高度为200cm,影长为156cm．义务请求：（1）请依据甲.乙两组得到的信息盘算出黉舍旗杆的高度;（2）如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请依据甲.丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径．（友谊提醒：如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;须要时可采取等式1562+2082=2602）25．阳光经由过程窗口照耀到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示）,已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC．26．如图,李华晚上在路灯下漫步．已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的程度距离OA=a,求他影子AC的长;（2）若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请解释来由;（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的偏向以v1匀速行走,试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．27．如图①,分离以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分离用S1,S2,S3暗示,则不难证实S1=S2+S3．（1）如图②,分离以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分离用S1,S2,S3暗示,那么S1,S2,S3之间有什么关系;（不必证实）（2）如图③,分离以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分离用S1.S2.S3暗示,请你肯定S1,S2,S3之间的关系并加以证实;（3）若分离以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分离用S1,S2,S3暗示,为使S1,S2,S3之间仍具有与（2）雷同的关系,所作三角形应知足什么前提证实你的结论;（4）类比（1）,（2）,（3）的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论．28．已知：如图,△ABC∽△ADE,AB=15,AC=9,BD=5．求AE．29．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC,若AB=3,AC=4．（1）求BD.CD的长;（2）过B作BE⊥DC于E,求BE的长．30．（1）已知,且3x+4z﹣2y=40,求x,y,z的值;（2）已知：两类似三角形对应高的比为3：10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长．一．解答题（共30小题）1．如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证：△ADE∽△EFC．解答：证实：∵DE∥BC,∴DE∥FC,∴∠AED=∠C．又∵EF∥AB,∴EF∥AD,∴∠A=∠FEC．∴△ADE∽△EFC．点评：本题考核的是平行线的性质及类似三角形的剖断定理．2．如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延伸线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF;（2）当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长．解答：（1）证实：∵梯形ABCD,AB∥CD,∴∠CDF=∠FGB,∠DCF=∠GBF,（2分）∴△CDF∽△BGF．（3分）（2）解：由（1）△CDF∽△BGF,又F是BC的中点,BF=FC,∴△CDF≌△BGF,∴DF=GF,CD=BG,（6分）∵AB∥DC∥EF,F为BC中点,∴E为AD中点,∴EF是△DAG的中位线,∴2EF=AG=AB+BG．∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2,∴CD=BG=2cm．（8分）3．如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．解答：证实：∵FD∥AB,FE∥AC,∴∠B=∠FDE,∠C=∠FED,∴△ABC∽△FDE．4．如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试解释：△ABF∽△EAD．解答：证实：∵矩形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,（2分）∴∠BAF=∠AED．（4分）∵BF⊥AE,∴∠AFB=90°．∴∠AFB=∠D．（5分）∴△ABF∽△EAD．（6分）点评：考核类似三角形的剖断定理,症结是找准对应的角．5．已知：如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,衔接BE,CD,M,N分离为BE,CD的中点．（1）求证：①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;（2）在图①的基本上,将△ADE绕点A按顺时针偏向扭转180°,其他前提不变,得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立;（3）在（2）的前提下,请你在图②中延伸ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．解答：（1）证实：①∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAE=∠CAD,∵AB=AC,AD=AE,∴△ABE≌△ACD,∴BE=CD．②由△ABE≌△ACD,得∠ABE=∠ACD,BE=CD,∵M.N分离是BE,CD的中点,∴BM=CN．又∵AB=AC,∴△ABM≌△ACN．∴AM=AN,即△AMN为等腰三角形．（2）解：（1）中的两个结论仍然成立．（3）证实：在图②中准确画出线段PD,由（1）同理可证△ABM≌△ACN,∴∠CAN=∠BAM∴∠BAC=∠MAN．又∵∠BAC=∠DAE,∴∠MAN=∠DAE=∠BAC．∴△AMN,△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形．∴△PBD和△AMN 都为顶角相等的等腰三角形,∴∠PBD=∠AMN,∠PDB=∠ANM,∴△PBD∽△AMN．6．如图,E是▱ABCD的边BA延伸线上一点,衔接EC,交AD于点F．在不添加帮助线的情形下,请你写出图中所有的类似三角形,并任选一对类似三角形赐与证实．剖析：依据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形类似这一剖断定理可证实图中类似三角形有：△AEF∽△BEC;△AEF∽△DCF;△BEC∽△DCF．解答：解：类似三角形有△AEF∽△BEC;△AEF∽△DCF;△BEC∽△DCF．（3分）如：△AEF∽△BEC．在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠3．（6分）∴△AEF∽△BEC．（7分）7．如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的极点都在边长为1的小正方形的极点上．（1）填空：∠ABC=135°°,BC=;（2）断定△ABC与△DEC是否类似,并证实你的结论．解答：解：（1）∠ABC=135°,BC=;（2）类似;∵BC=,EC==;∴,;∴;又∠ABC=∠CED=135°,∴△ABC∽△DEC．8．如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm．某一时刻,动点M从A点动身沿AB偏向以1cm/s的速度向B点匀速活动;同时,动点N从D点动身沿DA偏向以2cm/s的速度向A点匀速活动,问：（1）经由若干时光,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否消失时刻t,使以A,M,N为极点的三角形与△ACD类似？若消失,求t的值;若不消失,请解释来由解：（1）设经由x秒后,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的,则有：（6﹣2x）x=×3×6,即x2﹣3x+2=0,（2分）解方程,得x1=1,x2=2,（3分）经磨练,可知x1=1,x2=2相符题意,所以经由1秒或2秒后,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的．（4分）（2）假设经由t秒时,以A,M,N为极点的三角形与△ACD类似,由矩形ABCD,可得∠CDA=∠MAN=90°,是以有或（5分）即①,或②（6分）解①,得t=;解②,得t=（7分）经磨练,t=或t=都相符题意,所以动点M,N同时动身后,经由秒或秒时,以A,M,N为极点的三角形与△ACD类似．（8分）9．如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD.AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情形,并求出拔取到的两个三角形是类似三角形的概率是若干;（留意：全等算作类似的特例）（2）请你任选一组类似三角形,并给出证实．解答：解：（1）任选两个三角形的所有可能情形如下六种情形：①②,①③,①④,②③,②④,③④（2分）个中有两组（①③,②④）是类似的．∴拔取到的二个三角形是类似三角形的概率是P=（4分）证实：（2）选择①.③证实．在△AOB与△COD中,∵AB∥CD,∴∠CDB=∠DBA,∠DCA=∠CAB,∴△AOB∽△COD（8分）选择②.④证实．∵四边形ABCD是等腰梯形,∴∠DAB=∠CBA,∴在△DAB与△CBA中有AD=BC,∠DAB=∠CAB,AB=AB,∴△DAB≌△CBA,（6分）∴∠ADO=∠BCO．又∠DOA=∠COB,∴△DOA∽△COB（8分）．点评：此题考核概率的求法：假如一个事宜有n种可能,并且这些事宜的可能性雷同,个中事宜A消失m种成果,那么事宜A的概率P（A）=,即类似三角形的证实．还考核了类似三角形的剖断．10．附加题：如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,衔接AE．（1）写出图中所有相等的线段,并加以证实;（2）图中有无类似三角形？如有,请写出一对;若没有,请解释来由;（3）求△BEC与△BEA的面积之比．解答：解：（1）AD=DE,AE=CE．∵CE⊥BD,∠BDC=60°,∴在Rt△CED中,∠ECD=30°．∴CD=2ED．∵CD=2DA,∴AD=DE,∴∠DAE=∠DEA=30°=∠ECD．∴AE=CE．（2）图中有三角形类似,△ADE∽△AEC;∵∠CAE=∠CAE,∠ADE=∠AEC,∴△ADE∽△AEC;（3）作AF⊥BD的延伸线于F,设AD=DE=x,在Rt△CED中,可得CE=,故AE=．∠ECD=30°．在Rt△AEF中,AE=,∠AED=∠DAE=30°,∴sin∠AEF=,∴AF=AE•sin∠AEF=．∴．点评：本题重要考核了直角三角形的性质,类似三角形的剖断及三角形面积的求法等,规模较广．11．如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的随意率性一点,过点M分离作AB.AC的平行线交AC于P,交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长;（2）写出图中的两对类似三角形（不需证实）;（3）M位于BC的什么地位时,四边形AQMP为菱形并证实你的结论．解答：解：（1）∵AB∥MP,QM∥AC,∴四边形APMQ是平行四边形,∠B=∠PMC,∠C=∠QMB．∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠PMC=∠QMB．∴BQ=QM,PM=PC．∴四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a．（2）∵PM∥AB,∴△PCM∽△ACB,∵QM∥AC,∴△BMQ∽△BCA;（3）当点M中BC的中点时,四边形APMQ是菱形,∵点M是BC的中点,AB∥MP,QM∥AC,∴QM,PM是三角形ABC的中位线．∵AB=AC,∴QM=PM=AB=AC．又由（1）知四边形APMQ是平行四边形,∴平行四边形APMQ是菱形．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试解释：△ADM∽△MCP．解答：证实：∵正方形ABCD,M为CD中点,∴CM=MD=AD．∵BP=3PC,∴PC=BC=AD=CM．∴．∵∠PCM=∠ADM=90°,∴△MCP∽△ADM．13．如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S;（2）动点P从点B动身,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C偏向,向点C活动;动点Q从点C动身,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A偏向,向点A活动,过点Q作QE⊥BC于点E．若P.Q 两点同时动身,当个中一点到达目标地时全部活动随之停止,设活动时光为t秒．问：①当点P在B⇒A上活动时,是否消失如许的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长等分？若消失,请求出t的值;若不消失,请解释来由;②在活动进程中,是否消失如许的t,使得以P.A.D为极点的三角形与△CQE类似？若消失,请求出所有相符前提的t的值;若不消失,请解释来由;③在活动进程中,是否消失如许的t,使得以P.D.Q为极点的三角形正好是以DQ为一腰的等腰三角形？若消失,请求出所有相符前提的t的值;若不消失,请解释来由．解答：解：（1）过D 作DH ∥AB交BC于H 点,∵AD∥BH,DH∥AB,∴四边形ABHD是平行四边形．∴DH=AB=8;BH=AD=2．∴CH=8﹣2=6．∵CD=10,∴DH2+CH2=CD2∴∠DHC=90°．∠B=∠DHC=90°．∴梯形ABCD是直角梯形．∴SABCD=（AD+BC）AB=×（2+8）×8=40．（2）①∵BP=CQ=t,∴AP=8﹣t,DQ=10﹣t,∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ,∴8﹣t+2+10﹣t=t+8+t．∴t=3＜8．∴当t=3秒时,PQ将梯形ABCD周长等分．②第一种情形：0＜t≤8若△PAD∽△QEC则∠ADP=∠C∴tan∠ADP=tan∠C==∴=,∴t=若△PAD∽△CEQ则∠APD=∠C∴tan∠APD=tan∠C==,∴=∴t=第二种情形：8＜t≤10,P.A.D三点不克不及构成三角形;第三种情形：10＜t≤12△ADP为钝角三角形与Rt△CQE不类似;∴t=或t=时,△PAD与△CQE类似．③第一种情形：当0≤t≤8时．过Q点作QE⊥BC,QH⊥AB,垂足为E.H．∵AP=8﹣t,AD=2,∴PD==．∵CE=t,QE=t,∴QH=BE=8﹣t,BH=QE=t．∴PH=t﹣t=t．∴PQ==,DQ=10﹣t．Ⅰ：DQ=DP,10﹣t=,解得t=8秒．Ⅱ：DQ=PQ,10﹣t=,化简得：3t2﹣52t+180=0解得：t=,t=＞8（不合题意舍去）∴t=第二种情形：8≤t≤10时．DP=DQ=10﹣t．∴当8≤t＜10时,以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．第三种情形：10＜t≤12时．DP=DQ=t﹣10．∴当10＜t≤12时,以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．综上所述,t=或8≤t＜10或10＜t≤12时,以DQ为腰的等腰△DPQ成立．14．已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P.Q分离是AB.BC 上活动的两点．若P自点A动身,以1cm/s的速度沿AB偏向活动,同时,Q自点B动身以2cm/s的速度沿BC偏向活动,问经由几秒,以P.B.Q为极点的三角形与△BDC类似？解答：解：设经x秒后,△PBQ∽△BCD,因为∠PBQ=∠BCD=90°,（1）当∠1=∠2时,有：,即;（2）当∠1=∠3时,有：,即,∴经由秒或2秒,△PBQ∽△BCD．15．如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开端沿AB边向B点以2cm/s的速度移动,点Q从点B开端沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,假如P.Q分离从A.B同时动身,问经由几秒钟,△PBQ与△ABC类似．解答：设经由秒后t秒后,△PBQ与△ABC类似,则有AP=2t,BQ=4t,BP=10﹣2t,当△PBQ∽△ABC时,有BP：AB=BQ：BC,即（10﹣2t）：10=4t：20,解得t=2.5（s）（6分）当△QBP∽△ABC时,有BQ：AB=BP：BC,即4t：10=（10﹣2t）：20,解得t=1．所以,经由2.5s或1s时,△PBQ与△ABC类似（10分）．解法二：设ts后,△PBQ与△ABC类似,则有,AP=2t,BQ=4t,BP=10﹣2t分两种情形：（1）当BP与AB对应时,有=,即=（2）当BP与BC对应时,有=,即=,解得t=1s所以经由1s或2.5s时,以P.B.Q三点为极点的三角形与△ABC类似．16．如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2．问当AB的长为若干时,这两个直角三角形类似．解答：解：∵AC=,AD=2,∴CD==．要使这两个直角三角形类似,有两种情形：1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时,2）有=,∴AB==3;3）当Rt△ACB∽Rt△CDA时,4）有=,∴AB==3．故当AB的长为3或3时,这两个直角三角形类似．17．已知,如图,在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点,可否在边AB上找一点N（不含A.B）,使得△CDM与△MAN类似？若能,请给出证实,若不克不及,请解释来由．解答：证实：分两种情形评论辩论：①若△CDM∽△MAN,则=．∵边长为a,M是AD的中点,∴AN=a．②若△CDM∽△NAM,则．∵边长为a,M是AD的中点,∴AN=a,即N点与B重合,不合题意．所以,能在边AB上找一点N（不含A.B）,使得△CDM与△MAN类似．当AN=a时,N点的地位知足前提．18．如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B动身,沿BC偏向以2cm/s的速度移动,点P从C动身,沿CA偏向以1cm/s的速度移动．若Q.P分离同时从B.C动身,试探讨经由若干秒后,以点C.P.Q为极点的三角形与△CBA类似？解答：解：设经由x秒后,两三角形类似,则CQ=（8﹣2x）cm,CP=xcm,（1分）∵∠C=∠C=90°,∴当或时,两三角形类似．（3分）（1）当时,,∴x=;（4分）（2）当时,,∴x=．（5分）所以,经由秒或秒后,两三角形类似．（6分）点评：本题分解考核了旅程问题,类似三角形的性质及一元一次方程的解法．19．如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上肯定点P 的地位,使得以P,A,D为极点的三角形与以P,B,C为极点的三角形类似．解答：解：（1）若点A,P,D分离与点B,C,P对应,即△APD∽△BCP,∴=,∴=,∴AP2﹣7AP+6=0,∴AP=1或AP=6,检测：当AP=1时,由BC=3,AD=2,BP=6,∴=,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BCP．当AP=6时,由BC=3,AD=2,BP=1,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BCP．（2）若点A,P,D分离与点B,P,C对应,即△APD∽△BPC．∴=,∴=,∴AP=．磨练：当AP=时,由BP=,AD=2,BC=3,∴=,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BPC．是以,点P的地位有三处,即在线段AB距离点A的1..6处．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的极点E位于边BC的中点上．（1）如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证：△BEM∽△CNE;（2）如图2,将△DEF绕点E扭转,使得DE与BA的延伸线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除（1）中的一对类似三角形外,可否再找出一对类似三角形并证实你的结论．解答：证实：（1）∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠MBE=45°,∴∠BME+∠MEB=135°又∵△DEF是等腰直角三角形,∴∠DEF=45°∴∠NEC+∠MEB=135°∴∠BEM=∠NEC,（4分）而∠MBE=∠ECN=45°,∴△BEM∽△CNE．（6分）（2）与（1）同理△BEM∽△CNE,∴．（8分）又∵BE=EC,∴,（10分）则△ECN与△MEN中有,又∠ECN=∠MEN=45°,∴△ECN∽△MEN．（12分）21．如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开端向B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开端向点A以1cm/s的速度移动．假如P.Q同时动身,用t（秒）暗示移动的时光,那么当t为何值时,以点Q.A.P为极点的三角形与△ABC类似．解答：解：以点Q.A.P为极点的三角形与△ABC类似,所以△ABC∽△PAQ或△ABC∽△QAP,①当△ABC∽△PAQ时,,所以,解得：t=6;②当△ABC∽△QAP时,,所以,解得：t=;③当△AQP∽△BAC时,=,即=,所以t=;④当△AQP∽△BCA时,=,即=,所以t=30（舍去）．故当t=6或t=时,以点Q.A.P为极点的三角形与△ABC类似．22．如图,路灯（P点）距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点,沿OA地点的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了照样变短了？变长或变短了若干米？解答：解：∵∠MAC=∠MOP=90°,∠AMC=∠OMP,∴△MAC∽△MOP．∴,即,解得,MA=5米;同理,由△NBD∽△NOP,可求得NB=1.5米,∴小明的身影变短了5﹣1.5=3.5米．23．阳光亮媚的一天,数学兴致小组的同窗们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达,顶部不轻易到达）,他们带了以下测量对象：皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜．请你在他们供给的测量对象中选出所需对象,设计一种测量计划．（1）所需的测量对象是：;（2）请鄙人图中画出测量示意图;（3）设树高AB的长度为x,请用所测数据（用小写字母暗示）求出x．解答：解：（1）皮尺,标杆;（2）测量示意图如图所示;（3）如图,测得标杆DE=a,树和标杆的影长分离为AC=b,EF=c,∵△DEF∽△BAC,∴,∴,∴．（7分）24．问题布景在某次活动课中,甲.乙.丙三个进修小组于统一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们经由过程测量得到的一些信息：甲组：如图1,测得一根竖立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2,测得黉舍旗杆的影长为900cm．丙组：如图3,测得校园景灯（灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细疏忽不计）的高度为200cm,影长为156cm．义务请求：（1）请依据甲.乙两组得到的信息盘算出黉舍旗杆的高度;（2）如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请依据甲.丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径．（友谊提醒：如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;须要时可采取等式1562+2082=2602）解答：解：（1）由题意可知：∠BAC=∠EDF=90°,∠BCA=∠EFD．∴△ABC∽△DEF．∴,即,（2分）∴DE=1200（cm）．所以,黉舍旗杆的高度是12m．（3分）（2）解法一：与①类似得：,即,∴GN=208．（4分）在Rt△NGH中,依据勾股定理得：NH2=1562+2082=2602,∴NH=260．（5分）设⊙O的半径为rcm,衔接OM,∵NH切⊙O于M,∴OM⊥NH．（6分）则∠OMN=∠HGN=90°,又∵∠ONM=∠HNG,∴△OMN∽△HGN,∴（7分）,又ON=OK+KN=OK+（GN﹣GK）=r+8,∴,解得：r=12．∴景灯灯罩的半径是12cm．（8分）解法二：与①类似得：,即,∴GN=208．（4分）设⊙O的半径为rcm,衔接OM,∵NH切⊙O于M,∴OM⊥NH．（5分）则∠OMN=∠HGN=90°,又∵∠ONM=∠HNG,∴△OMN∽△HGN．∴,即,（6分）∴MN=r,又∵ON=OK+KN=OK+（GN﹣GK）=r+8．（7分）在Rt△OMN中,依据勾股定理得：r2+（r）2=（r+8）2即r2﹣9r﹣36=0,解得：r1=12,r2=﹣3（不合题意,舍去）,∴景灯灯罩的半径是12cm．（8分）25．（2007•白银）阳光经由过程窗口照耀到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示）,已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC．解答：解：∵AE∥BD,∴△ECA∽△DCB,∴．∵EC=8.7m,ED=2.7m,∴CD=6m．∵AB=1.8m,∴AC=BC+1.8m,∴,∴BC=4,即窗口底边离地面的高为4m．点评：此题根本上难度不大,应用类似比即可求出窗口底边离地面的高．26．如图,李华晚上在路灯下漫步．已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的程度距离OA=a,求他影子AC的长;（2）若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请解释来由;（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的偏向以v1匀速行走,试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．解答：解：（1）由已知：AB∥OP,∴△ABC∽△OPC．∵,∵OP=l,AB=h,OA=a,∴,∴解得：．（2）∵AB∥OP,∴△ABC∽△OPC,∴,即,即．∴．同理可得：,∴=是定值．（3）依据题意设李华由A到A',身高为A'B',A'C'代表其影长（如图）．由（1）可知,即,∴,同理可得：,∴,由等比性质得：,当李华从A走到A'的时刻,他的影子也从C移到C',是以速度与旅程成正比∴,所以人影顶端在地面上移动的速度为．27．如图①,分离以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分离用S1,S2,S3暗示,则不难证实S1=S2+S3．（1）如图②,分离以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分离用S1,S2,S3暗示,那么S1,S2,S3之间有什么关系;（不必证实）（2）如图③,分离以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分离用S1.S2.S3暗示,请你肯定S1,S2,S3之间的关系并加以证实;（3）若分离以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分离用S1,S2,S3暗示,为使S1,S2,S3之间仍具有与（2）雷同的关系,所作三角形应知足什么前提证实你的结论;（4）类比（1）,（2）,（3）的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论．解：设直角三角形ABC的三边BC.CA.AB的长分离为a.b.c,则c2=a2+b2（1）S1=S2+S3;（2）S1=S2+S3．证实如下：显然,S1=,S2=,S3=∴S2+S3==S1;（3）当所作的三个三角形类似时,S1=S2+S3．证实如下：∵所作三个三角形类似∴∴=1∴S1=S2+S3;（4）分离以直角三角形ABC三边为一边向外作类似图形,其面积分离用S1.S2.S3暗示,则S1=S2+S3．28．已知：如图,△ABC∽△ADE,AB=15,AC=9,BD=5．求AE．解答：解：∵△ABC∽△ADE,∴AE：AC=AD：AB．∵AE：AC=（AB+BD）：AB,∴AE：9=（15+5）：15．∴AE=12．29．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC,若AB=3,AC=4．（1）求BD.CD的长;（2）过B作BE⊥DC于E,求BE的长．解答：解：（1）Rt△ABC中,依据勾股定理得：BC==5,∵Rt△ABC∽Rt△BDC,∴==,==,∴BD=,CD=;（2）在Rt△BDC中,S△BDC=BE•CD=BD•BC,∴BE===3．30．（1）已知,且3x+4z﹣2y=40,求x,y,z的值;（2）已知：两类似三角形对应高的比为3：10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长．解：（1）设=k,那么x=2k,y=3k,z=5k,因为3x+4z﹣2y=40,∴6k+20k﹣6k=40,∴k=2,∴x=4,y=6,z=10．（2）设一个三角形周长为Ccm,则另一个三角形周长为（C+560）cm,则,∴C=240,C+560=800,即它们的周长分离为240cm,800cm。
几何推理练习题相似三角形
几何推理练习题相似三角形几何推理练习题：相似三角形几何推理是数学中的一种重要思维方式，通过观察、分析和推理几何图形的属性来解决问题。
相似三角形是几何推理中常见的一种情况，它们具有相等的夹角，并且对应边的比例相等。
本文将介绍一些相似三角形的练习题，帮助读者巩固几何推理的能力。
1. 练习题一已知△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，AB=5 cm。
连接点A和点D，使得∠BCD=90°。
如果AD=4 cm，求BC的长度。
解析：根据题目可以得知，△ABC和△BCD为相似三角形，因为∠A=∠BCD。
根据相似三角形的性质，可以列出比例关系式：AB/BC = BC/BD代入已知数值，可得：5/BC = BC/4通过交叉相乘求解，得到：BC^2 = 20因此，BC = √20 = 2√5 cm。
2. 练习题二已知△ABC和△ADE相似，且BC=8 cm，AC=10 cm，DE=12 cm。
如果BD=9 cm，求AE的长度。
解析：根据题目可以得知，△ABC和△ADE为相似三角形，因此可以列出比例关系式：AB/AE = BC/DE代入已知数值，可得：AB/AE = 8/12 = 2/3通过交叉相乘求解，得到：AB * 3 = AE * 2已知BD=9 cm，根据△ABD的相似比例关系，可以得到：AB/BD = AE/DE代入已知数值，可得：AB/9 = AE/12将AB的值代入上述等式，可得：(2/3) * 9 = AE/12通过简单的计算，可以得到：AE = 2 * 9 / 3 = 6 cm因此，AE的长度为6 cm。
3. 练习题三已知两个相似三角形，它们的周长比为7:4，面积比为49:16。
求这两个三角形的边长比和面积比。
解析：设两个相似三角形的边长比为a:b，面积比为c:d。
根据题目可得以下比例关系：(a+b)/(c+d) = 7/4 --（1）(a^2+b^2)/(c^2+d^2) = 49/16 --（2）将（1）式两边同乘4(c+d)，可得：4(a+b) = 7(c+d)化简后得：4a + 4b = 7c + 7d --（3）将（2）式两边同乘16(c^2+d^2)，可得：16(a^2+b^2) = 49(c^2+d^2)化简后得：16a^2 + 16b^2 = 49c^2 + 49d^2 --（4）由（3）式可得：4(a+b) - 7(c+d) = 0化简后得：4a + 4b - 7c - 7d = 0 --（5）由（4）式可得：16(a^2 + b^2) - 49(c^2 + d^2) = 0化简后得：16a^2 + 16b^2 - 49c^2 - 49d^2 = 0 --（6）通过求解方程组（5）和（6），可以得到a:b的值为7:4，c:d的值为49:16。
初中数学相似三角形题型归类——成比例线段专项练习2(附答案详解)
初中数学相似三角形题型归类——成比例线段专项练习 2（附答案详解）
1．已知线段 a 2cm ， b 8cm ，它们的比例中项 c 是（ ）
A． 4cm
B． 4cm
C．16cm
D． 16cm
2．下列各组线段（单位：cm）中，成比例线段的是（ ）
A．1、2、2、3
B．1、2、3、4
C．1、2、2、4 D．3、5、9、13
金分割点( AP2 P1P2 ),点 P3 是线段 AP2 的黄金分割点( AP3 P2P3 ),..,依此类推,则线段
AP2020 的长度是（
）
A． (3 5 )2020 2
B． ( 5 1)2020 2
C． ( 1)2020 2
D． ( 5 2)1010
11．爱好骑行的小明想知道从淮北到首都北京的距离大约是多少，因此他从一张比例尺
AB AC AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比．请
计算黄金比．
22．已知 x y z ，且 2x+3y﹣z＝18，求 4x+y﹣3z 的值． 234
23．阅读理解：
如图①，点 C 将线段 AB 分成两部分，若 AC = BC ，则点 C 为线段 AB 的黄金分割点． AB AC
相似三角形经典题(含答案)
相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，如果2cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似． （3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似．例5 如图，D 点是ABC ∆的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ∆的边上，并且点D 、点E 和ABC ∆的一个顶点组成的小三角形与ABC ∆相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法．例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．例9 根据下列各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ． （2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．例11 已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2．例12 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13，与其相似的C B A '''∆的最大边长为26，求C B A '''∆的面积S ．例13 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．例14．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使BC AB ⊥，然后再选点E ，使BC EC ⊥，确定BC 与AE 的交点为D ，测得120=BD 米，60=DC 米，50=EC 米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB 的高度，在D 和F 处树立标杆DC 和FE ，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB 、CD 和EF 在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G 处，可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上，从标杆FE 退后127步的H 处，可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上．求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少？（古代问题）例16 如图，已知△ABC 的边AB ＝32，AC ＝2，BC 边上的高AD ＝3．（1）求BC 的长；（2）如果有一个正方形的边在AB 上，另外两个顶点分别在AC ，BC 上，求这个正方形的面积．相似三角形经典习题答案例1． 解 ①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似例2． 解 ABCD 是平行四边形，∴CD AB CD AB =,//，∴AEF ∆∽CDF ∆，又2:1:=EB AE ，∴3:1:=CD AE ，∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1：3． 又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDF AEF S S S ，∴)cm (542=∆CDF S ． 例3 分析 由于ABD ∆∽ACE ∆，则CAE BAD ∠=∠，因此DAE BAC ∠=∠，如果再进一步证明AECAAD BA =，则问题得证．证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆，∴CAE BAD ∠=∠．又DAC BAD BAC ∠+∠=∠ ，∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠， ∴DAE BAC ∠=∠．∵ABD ∆∽ACE ∆，∴AEACAD AB =． 在ABC ∆和ADE ∆中，∵AEACAD AB ADE BAC =∠=∠,，∴ABC ∆∽ADE ∆ 例4．分析 （1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同． （3）正确．设有等腰直角三角形ABC 和C B A '''，其中︒='∠=∠90C C ，则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ，设ABC ∆的三边为a 、b 、c ，C B A '''∆的边为c b a '''、、， 则a c b a a c b a '=''='==2,,2,，∴a ac c b b a a '=''=',，∴ABC ∆∽C B A '''∆． （4）也正确，如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此ABC ∆∽C B A '''∆．答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确． 例5．解：画法略．例6．分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=CE 米，求BC ．由于ADF ∆∽ACAF EC DF AEC =∆,，又ACF ∆∽ABC ∆，∴BC GFEC DF =，从而可以求出BC 的长． 解 EC DF EC AE //,⊥ ，∴EAC DAF AEC ADF ∠=∠∠=∠,，∴ADF ∆∽AEC ∆．∴ACAFEC DF =． 又EC BC EC GF ⊥⊥,，∴ABC AGF ACB AFG BC GF ∠=∠∠=∠,,//，∴AGF ∆∽ABC ∆，∴BC GF AC AF =，∴BCGFEC DF =． 又60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=EC 米，∴6=BC 米．即电线杆的高为6米． 例7．分析 根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，BCA ∆与MNA ∆的相似关系就明确了．解 因为MAN BAC AN MN CA BC ∠=∠⊥⊥,,，所以BCA ∆∽MNA ∆．所以AC AN BC MN ::=，即5.1:206.1:=MN ．所以3.215.1206.1≈÷⨯=MN （m ）． 说明 这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦．例8．分析 这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度．解 在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,，所以︒=∠=∠90B E ， 又4,2,2,1====AB BC DE EF ．所以21==BC EF AB DE ．所以DEF ∆∽ABC ∆． 说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏．例9．解 （1）因为7128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ，所以ABC ∆∽C B A '''∆； （2）因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ，两个三角形中只有A A '∠=∠，另外两个角都不相等，所以ABC ∆与C B A '''∆不相似；（3）因为12,=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ，所以ABC ∆相似于C B A '''∆．例10．解 （1）ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等； （2）ADE ∆∽ACB ∆ 两角相等；（3）CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等； （4）EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等； （5）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等； （6）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等．例11．分析 有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线，∴︒=∠36CBD ，则可推出ABC ∆∽BCD ∆，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．证明 AC AB A =︒=∠,36 ，∴︒=∠=∠72C ABC ． 又BD 平分ABC ∠，∴︒=∠=∠36CBD ABD ．∴BC BD AD ==，且ABC ∆∽BCD ∆，∴BC CD AB BC ::=，∴CD AB BC ⋅=2，∴CD AC AD ⋅=2． 说明 （1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．（2）要说明线段的乘积式cd ab =，或平方式bc a =2，一般都是证明比例式，b dc a =，或caa b =，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．例12分析 由ABC ∆的三边长可以判断出ABC ∆为直角三角形，又因为ABC ∆∽C B A '''∆，所以C B A '''∆也是直角三角形，那么由C B A '''∆的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出C B A '''∆的两条直角边长，再求得C B A '''∆的面积．解 设ABC ∆的三边依次为，13,12,5===AB AC BC ，则222AC BC AB += ，∴︒=∠90C ．又∵ABC ∆∽C B A '''∆，∴︒=∠='∠90C C ．212613==''=''=''B A AB C A AC C B BC ， 又12,5==AC BC ，∴24,10=''=''C A C B ． ∴12010242121=⨯⨯=''⨯''=C B C A S ．例13．分析 判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高．按这种测量方法，过F作AB FG ⊥于G ，交CE 于H ，可知AGF ∆∽EHF ∆，且GF 、HF 、EH 可求，这样可求得AG ，故旗杆AB 可求．解 这种测量方法可行．理由如下：设旗杆高x AB =．过F 作AB FG ⊥于G ，交CE 于H （如图）．所以AGF ∆∽EHF ∆．因为3,30327,5.1==+==HF GF FD ，所以5.1,25.15.3-==-=x AG EH ． 由AGF ∆∽EHF ∆，得HF GF EH AG =，即33025.1=-x ，所以205.1=-x ，解得5.21=x （米） 所以旗杆的高为21.5米．说明 在具体测量时，方法要现实、切实可行．例14. 解：︒=∠=∠∠=∠90,ECD ABC EDC ADB ，∴ABD ∆∽ECD ∆，1006050120,=⨯=⨯==CD EC BD AB CD BD EC AB （米），答：两岸间AB 大致相距100米． 例15. 答案：1506=AB 米，30750=BD 步，（注意：AK FEFHKE AK CD DG KC ⋅=⋅=,．） 例16. 分析：要求BC 的长，需画图来解，因AB 、AC 都大于高AD ，那么有两种情况存在，即点D 在BC 上或点D 在BC的延长线上，所以求BC 的长时要分两种情况讨论．求正方形的面积，关键是求正方形的边长． 解：（1）如上图，由AD ⊥BC ，由勾股定理得BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD ＋DC ＝3＋1＝4． 如下图，同理可求BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD －CD ＝3－1＝2．（2）如下图，由题目中的图知BC ＝4，且162)32(2222=+=+AC AB ，162=BC ，∴222BC AC AB =+．所以△ABC 是直角三角形．由AE G F 是正方形，设G F ＝x ，则FC ＝2－x ， ∵G F ∥AB ，∴AC FCAB GF =，即2232x x -=． ∴33-=x ，∴3612)33(2-=-=AEGF S 正方形． 如下图，当BC ＝2，AC ＝2，△ABC 是等腰三角形，作CP ⊥AB 于P ，∴AP ＝321=AB ，在Rt △APC 中，由勾股定理得CP ＝1， ∵GH ∥AB ，∴△C GH ∽△CBA ，∵x x x -=132，32132+=x ∴121348156)32132(2-=+=GFEH S 正方形 因此，正方形的面积为3612-或121348156-．Welcome !!! 欢迎您的下载，资料仅供参考！。
初二数学相似三角形习题
相似三角形1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．4．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s 的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．5．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△B EC与△BEA的面积之比．6．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC 的平行线交AC于P，交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．7．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．8．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．10．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？11．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．（1）求BD、CD的长；（2）过B作BE⊥DC于E，求BE的长．12．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．。
初中数学相似三角形试卷
一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列图形中，一定存在相似三角形的是（）A. 等腰三角形和等边三角形B. 直角三角形和钝角三角形C. 等腰梯形和矩形D. 正方形和等腰三角形2. 下列各对三角形中，一定相似的是（）A. 两边对应成比例，夹角相等的三角形B. 三边对应成比例的三角形C. 两角对应相等的三角形D. 两边对应成比例，夹角不相等的三角形3. 已知在相似三角形ABC和DEF中，∠BAC = ∠DEF，∠ABC = ∠DEF，则下列结论正确的是（）A. AB = DEB. AC = DFC. BC = EFD. AB/DE = AC/DF4. 在下列三角形中，能构成相似三角形的是（）A. ∠A = 40°，∠B = 70°，∠C = 70°的三角形B. ∠A = 45°，∠B = 45°，∠C = 90°的三角形C. ∠A = 30°，∠B = 60°，∠C = 90°的三角形D. ∠A = 50°，∠B = 60°，∠C = 70°的三角形5. 在下列各对三角形中，一定不相似的是（）A. 两边对应成比例，夹角相等的三角形B. 三边对应成比例的三角形C. 两角对应相等的三角形D. 两边对应成比例，夹角不相等且对应角不等的三角形二、填空题（每题5分，共25分）6. 在相似三角形ABC和DEF中，∠A = 50°，∠B = 40°，则∠C的度数是________°。
7. 已知在相似三角形ABC和DEF中，AB = 6cm，BC = 8cm，DE = 4cm，则EF的长度是________cm。
8. 在相似三角形ABC和DEF中，∠A = 30°，∠B = 60°，则∠C的度数是________°。
9. 已知在相似三角形ABC和DEF中，∠A = 45°，∠B = 90°，则∠C的度数是________°。
相似三角形与比例计算练习题
相似三角形与比例计算练习题相似三角形是初中数学中的一个重要概念，通过相似三角形的性质进行比例计算也是解决实际问题中常用的方法。
本文将提供一些相似三角形与比例计算的练习题，帮助读者巩固相关的知识和技巧。
练习题一：已知两个三角形ABC和DEF，已知∠A=∠D，∠ABC=75°，∠DEF=45°，AB=12 cm，EF=8 cm，求BC和EF的比例。
解析：根据题目中给出的条件可知，三角形ABC与三角形DEF相似，且∠A=∠D。
由于相似三角形的对应角相等，所以∠C=(180°-75°-∠ABC)=105°，∠E=(180°-45°-∠DEF)=90°。
我们可以使用相似三角形的边比例定理来求解题目中的比例。
根据边比例定理可得：BC/EF=AB/DEBC/8=12/DEBC=(12/DE)*8练习题二：在平面直角坐标系中，已知三角形ABC的顶点坐标A(1,2)，B(3,5)，C(4,4)，三角形DEF的顶点坐标D(5,6)，E(7,9)，F(8,8)，判断两个三角形是否相似，并证明你的结论。
解析：首先可以通过计算两个三角形的边长来判断它们是否相似。
计算得到：AB=sqrt((3-1)^2+(5-2)^2)=sqrt(10)BC=sqrt((4-3)^2+(4-5)^2)=sqrt(2)AC=sqrt((4-1)^2+(4-2)^2)=sqrt(13)DE=sqrt((7-5)^2+(9-6)^2)=sqrt(13)EF=sqrt((8-7)^2+(8-9)^2)=sqrt(2)DF=sqrt((8-5)^2+(8-6)^2)=sqrt(13)可以发现，AB/DE=BC/EF=AC/DF，即它们的边长比例相等。
根据边比例定理可知，两个三角形ABC和DEF相似。
要证明两个三角形相似，还需要证明它们的对应角相等。
由于三角形ABC和DEF的顶点坐标已知，我们可以求出它们的角度。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
相似三角形2
A卷
窗体顶端
1、如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k (k≠1)，则k的值是（）
A．∠A：∠A′B．A′B′：AB C．∠B：∠B′D．BC：B′C′
2、若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠C=110°，则∠B′等于（）
A．30°B．50°C．40°D．70°
3、三角形三边之比3：5：7，与它相似的三角形最长边是21cm，另两边之和是（）
A．15cm B．18cm C．21cm D．24cm
4、如图AB∥CD∥EF，则图中相似三角形的对数为（）
A．1对B．2对C．3对D．4对
5、△ABC∽△A1B1C1，相似比为2：3，△A1B1C1∽△A2B2C2，相似比为5：4，则△ABC与△A2B2C2的相似比为（）
A．B．C．D．
6、在比例尺1：10000的地图上，相距2cm的两地的实际距离是（）
A．200cm B．200dm C．200m D．200km
7、已知线段a=10，线段b是线段a上黄金分割的较长部分，则线段b的长是（）
A．B．C．D．
8、若则下列各式中不正确的是（）
A．B．C．D．
9、已知△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且AE=1.2，EC=0.8，AD=1.5，DB=1，则下列式子正确的是（）
A．B．C．D．
10、如图：在△ABC中，DE∥AC，则DE：AC=（）
A．8：3B．3：8 C．8：5D．5：8
B卷
1、计算
（1）若求的值.
（2）已知：且2a－b＋3c=21，求a，b，c的值.
2、如图：AD∥BC∥EF，则图中有多少对相似的三角形并写出来.
3、在等边△ABC中，P是BC上一点，AP的垂直平分线分别交AB、AC于M、N，求证：△MBP∽△PCN.
4、如图：某出版社一位编辑在设计一本书的封面时，想把封面划分为四个矩形，以给人一种和谐的感觉，这样的四个矩形怎样画出来？
窗体底端。