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人教版九年级数学圆与相似三角形综合专题练习

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中考数学总复习《相似与圆综合》专项提升练习题及答案(人教版)

中考数学总复习《相似与圆综合》专项提升练习题及答案(人教版)

中考数学总复习《相似与圆综合》专项提升练习题及答案（人教版)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，在Rt ABC △中90C ∠=︒，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，点O 在边AB 上，以O 为圆心的圆经过A ，D 两点，O 交AB 于点E ，连接DE ．(1)求证：BC 是O 的切线；(2)若:8:3AC DE =，O 的半径为3，求线段BE 的长．2．如图，在ABC 中AB AC =，以AB 为直径的圆交BC 于点D ，交AC 于点E ，连接OD ．(1)求证：OD AC ∥；(2)若8AE =，CE=2，求BD 的长．3．如图，已知ABC 是O 的圆内接三角形，AD 为O 的直径，DE 为O 的切线，AE 交⊙O 于点F C E =．(1)求证：AB AF =；(2)若255,4AB AD ==，求线段AE 的长． 4．如图，ABC 是O 的内接三角形，D 是圆外一点，连接,DA DAC ABC ∠∠=，连接DC 交O 于点E ．是O的切线；是CD的中点，求ABC中，点∠=∠CAD是O的切线；2，AC=求O的半径．是半圆O的直径，过点O作弦为O的直径，(1)求证：AC CD=；(2)连接AC，若1EB=求AC的长．CE=，38．已知如图四边形ABCD内接于圆延长AD BC相交于点E 点F是BD的延长线上的点且DE平分⊙CDF．（1）求证：AB=AC；（2）若AC=3cm AD=2cm 求DE的长．9．如图已知⊙ABC内接于⊙O AD AE分别平分⊙BAC和⊙BAC的外角⊙BAF且分别交圆于点D F连接DE CD DE与BC相交于点G．(1)求证：DE是⊙ABC的外接圆的直径；(2)设OG=3 CD=25求⊙O的半径．10．如图⊙O是Rt⊙ABC的外接圆⊙ABC=90° 点P是圆外一点P A切⊙O于点A且P A=PB．（1）试说明：PB是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径为3AB=22求P A的长．11．如图⊙O是Rt⊙ABC的外接圆⊙ABC=90° 点P是圆外一点P A切⊙O于点A且P A=PB．15．如图 已知ABC 以BC 为直径 O 为圆心的半圆交AC 于点F 点E 为弧CF 的中点 连接BE 交AC 于点M AD 为ABC 的角平分线 且AD BE ⊥ 垂足为点H ．()1判断直线AB 与O 的位置关系 并说明理由；()2若3AB = 4BC = 求BE 的长．16．如图 在ABC 中 O 为AC 上一点 以O 为圆心 OC 长为半径作圆与BC 相切于点C 过点A 作D BO ⊥交BO 的延长线于点D ,且AOD BAD ∠∠=.（1）求证：AB 为O 的切线；（2）若6BC = 43tan ABC ∠= ,求AD 的长.17．如图 已知圆O 是ABC 的外接圆 AB 是圆O 的直径 C 是圆上的一点D 是AB 延长线上的一点 AE CD ⊥交DC 的延长线于点E 且AC 平分EAB ∠．（1）求证：DE 是圆O 的切线．（2）若6AB = 4.8AE = 求BD 和BC 的长．18．如图在四边形ABCD 中AB=CD ⊙C=90° 以AB 为直径的圆O交AD 于点E CD=ED 连接BD 交圆O于点 F.（1）求证：BC 与圆O相切.（2）若BD=10 AB=13 求AE 的长.参考答案： 1．(1)证明见解析；(2)67．【分析】（1）连接OD 利用角平分线的定义 同圆的半径相等 等腰三角形的性质 平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可；（2）利用相似三角形的判定与性质得到26AD AE AC AC =⋅= 利用勾股定理求得AC 的长再利用相似三角形的判定与性质 列出比例式即可得出结论．【详解】（1）证明：连接OD 如图⊙AD 平分BAC ∠⊙CAD BAD ∠=∠⊙OA OD =⊙BAD ODA ∠=∠⊙ODA CAD ∠=∠⊙AC OD ∥⊙180ODC C ∠+∠=︒⊙90C ∠=︒⊙90ODC ∠=︒⊙OD BC ⊥⊙OD 为O 的半径⊙BC 是O 的切线；（2）⊙AE 为O 的直径⊙90ADE ∠=︒⊙90C ∠=︒⊙ADE C ∠=∠⊙O 的半径为6AE =2AD AE =:AC DE =38DE AC =⊙BOD BAC ∽AOD AC BO B = 331663BE BE +=+67BE =． 由CED CBA ∽ 得到由等腰三角形的性质得到,CAD BAD BAD ∠=∠∠B 即可证明CED CBA ∽ 得到CE CD BC CA= 代入有关数据即可求出BD 的长． 【详解】（1）⊙AB 为直径 ⊙AD BC ⊥．⊙AB AC =⊙BAD CAD ∠=∠．⊙OA OD =⊙BAD ADO ∠=∠⊙CAD ADO ∠=∠．⊙OD AC ∥．（2）解：连接DE,,AD BC AB AC ⊥=⊙CD BD =⊙四边形ABDE 是圆内接四边形 ⊙180B AED ∠+∠=︒⊙180CED AED ∠+∠=︒⊙CED B ∠=∠⊙ECD ACB ∠=∠⊙CED CBA ∽⊙CECDBC CA =⊙8210,AC AE CE CD BD =+=+== ⊙2210BDBD =⊙10BD =．3．(1)见解析为O的切线为O的直径DEBF垂直平分BFAF．）解：如图2⊙AD 为O 的直径⊙90ABD ．⊙ABD ADE ∠=∠⊙ABD ADE ∽△△⊙AB AD AD AE=． ⊙255,4AB AD ==⊙12516AE =． 【点睛】本题考查圆周角定理 直径所对的圆周角是直角 垂径定理 切线的性质 相似三角形的判定和性质；添加辅助线 构造相似三角形是解题的关键．4．(1)见解析(2)22CE =【分析】（1）作圆的直径AF 连接CF 由圆周角定理得到ABC AFC ∠=∠ 90ACF ∠=︒ 由条件推出90DAC CAF ∠+∠=︒ 即可证明AD 是O 的切线．（2）由圆内接四边形的性质推出DAE DCA △∽△ 得到DA DE DC DA= 代入有关数据 即可求出CE 的长． 【详解】（1）证明：作圆的直径AF 连接CF⊙,DAC ABC ABC AFC ∠∠∠∠==⊙DAC AFC ∠∠=⊙AF 是O 的直径⊙90ACF ∠=︒⊙90CAF AFC ∠+∠=︒⊙90DAC CAF ∠+∠=︒是O的切线；）解：连接AE(2)O的半径为【分析】（1）如图所示 连接OD 在Rt ACD △中 1290∠+∠=︒ 根据OB OD = 可证13∠=∠ 可得90ADO ∠=︒ 由此即可求证；（2）根据题意 在Rt ACD △中求出AD 的长 根据ADE ABD ∽可求出AB 的长 由此即可求解．【详解】（1）证明：如图所示 连接OD⊙OB OD =⊙3B ∠=∠⊙1B ∠=∠⊙13∠=∠在Rt ACD △中 1290∠+∠=︒⊙4180239()0∠=︒-∠+∠=︒⊙OD AD ⊥⊙AD 为O 的切线．（2）解：⊙223CD AE AC ===，⊙在Rt ACD △中 2222(23)24AD AC CD =+=+=⊙AD 为O 的切线 如图所示 连接DE BE 是直径⊙90BDE C ∠=∠=︒⊙∥DE AC⊙CAD ADE ∠=∠⊙CAD B ∠=∠⊙ADE B ∠=∠ 且DAE BAD ∠=∠⊙ADE ABD ∽=AD AE AB AD2•AD AE AB = 即24AE AB ==216AB =8AB =6BE AB AE =-=⊙O 的半径为【点睛】本题主要考查圆与直角三角形的综合相似三角形的判定和性质的知识是解题的关键．．(1)直线AC (2)203 理由：BED ∠与BED DAB =∠BED C ∠=∠DAB C ∴∠=∠OC AD ⊥90AFO ∴∠=︒DAB ∴∠+∠C ∴∠+∠OAC ∴∠AB 是O 直径90ADB ∴∠=︒22221086BD AB AD ∴=-=-=OC AD ⊥90AFO ∴∠=︒又OAF BAD ∠=∠AFO ADB ∴∽AOC FOA ∠=∠ 90CAO AFO ∠=∠=︒CAO AFO ∴∽CAO ADB ∴∽OA AC BD AD ∴= 即568AC = 203AC ∴=． 【点睛】本题考查了直线与圆的关系 圆周角定理 垂径定理 切线的判定 相似三角形的判定和性质 熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．7．(1)证明见解析(2)2【分析】（1）由圆周角定理 平行线的性质可得OC AD ⊥ 再由垂径定理即可证明；（2）由条件可以证明ACE BCA ∽可得2•AC CE BC = 于是可求AC 的长．【详解】（1）证明：⊙AB 为O 的直径⊙90ADB ∠=︒⊙DB AD ⊥⊙OC BD ∥∽⊙ACE BCA＝AC BC CE AC::2•=AC CE BC()21134 AC=⨯+=2AC=．⊙AE=292 ABAD=．⊙DE=95222-=（cm）．【点睛】本题综合考查了角平分线相似三角形圆内接四边形的性质是中学阶段的常规题目．9．(1)见解析(2)5【分析】（1）根据条件AD AE分别平分⊙BAC和⊙BAC的外角⊙BAF证明⊙2+⊙3=90°即可；（2）由⊙1=⊙2得出点D为弧BC的中点从而得出DE垂直平分BC连接BE设圆的半径为r然后证明⊙CDG⊙⊙EBG利用相似三角形的性质和勾股定理可求出r的值．【详解】（1）解：因为AD AE分别是⊙BAC和⊙BAF的平分线所以⊙1=⊙2＝12⊙BAC⊙3=⊙EAF＝12⊙BAF所以⊙2＋⊙3＝12（⊙BAC＋⊙BAF）因为⊙BAC＋⊙BAF＝180°所以⊙2＋⊙3＝90°所以⊙EAD＝90°所以DE是圆O的直径；（2）因为⊙1=⊙2 所以BD CD=又DE是⊙ABC的外接圆的直径所以DE垂直平分BC连接BE则⊙BEG=⊙DCG又⊙BGE=⊙DGC所以⊙CDG⊙⊙EBG所以DG CG BG EG=设圆的半径为r所以33r CGBG r-=+又BG=CG⊙BC=2 ⊙P A=6．点睛：本题考查了相似三角形的性质和判定全等三角形的性质和判定切线的判定勾股定理等知识点的运用主要培养学生的推理能力题目具有一定的代表性难度也适中．11．(1)证明见解析；（2）1.【分析】（1）要证PB是⊙O的切线只要连接OB求证⊙OBP=90°即可；（2）连接OP交AB于点D求半径时可以证明△APO⊙⊙DP A还可证明△P AO⊙⊙ABC在Rt△OAP中利用勾股定理．【详解】（1）证明：连接OB⊙OA=OB⊙⊙OAB=⊙OBA⊙P A=PB⊙⊙P AB=⊙PBA⊙⊙OAB+⊙P AB=⊙OBA+⊙PBA⊙⊙P AO=⊙PBO．又⊙P A是⊙O的切线⊙⊙P AO=90°⊙⊙PBO=90°⊙OB⊙PB．又⊙OB是⊙O半径⊙PB是⊙O的切线（2）连接OP交AB于点D⊙⊙ACB=⊙OPB=90° ⊙B=⊙B,⊙⊙ACB⊙⊙OPB⊙AC CB OP PB=,⊙342 r=⊙r=3 2.（2）如图当点P与点B重合时⊙O的半径最大此时点O在BC的垂直平分线上过点O作OD⊙BC于点D 则BD=12BC⊙AB是切线⊙⊙ABO=90°⊙⊙ABC+⊙OBD=⊙BOD+⊙OBD=90°⊙⊙ABC=⊙BOD,⊙sin⊙BOD= sin⊙ABC=BDOB=ACAB=35,⊙OB=10 3即半径的最大值为10 3.【点睛】本题考查了圆的切线及相似三角形的性质与判定熟练掌握相关知识是解题关键.13．(1) 圆的半径为4.5；(2) EF=32．【分析】（1）连接OD根据垂径定理得：DH=25设圆O的半径为r根据勾股定理列方程可得结论；（2）过O作OG⊙AE于G证明⊙AGO⊙⊙AHF列比例式可得AF的长从而得EF的长．【详解】（1）连接OD⊙直径AB⊙弦CD CD=4⊙DH=CH=CD=2在Rt⊙ODH中AH=5⊙AG=AE=×6=3⊙⊙⊙AF=⊙EF=AF﹣AE=﹣6=．又⊙ACD=⊙ABD ⊙⊙BAD=⊙ABD ⊙AD=BD；（2）解：⊙BD=AD BC=AF ⊙==⊙=⊙CD=DF ⊙BC=AF ⊙⊙BDC=⊙ADF ⊙⊙CDA=⊙BDF=⊙EAF由（1）可知⊙DCA=⊙DBA 且⊙EFA=⊙DBA⊙⊙DCA=⊙EFA ⊙⊙AEF⊙⊙DAC ⊙=⊙==⊙EF•DF=30 ⊙DF：FE=3：2⊙设DF=3x 则FE=2x ⊙6x2=30 解得x=⊙DE=DF+FE=5x=5．【点睛】本题主要考查了圆中的计算问题以及相似三角形的应用.BE=．15．()1直线AB与O的位置关系是相切理由见解析；()2855【分析】（1）连接CE推出AD⊙CE得出⊙ECM=⊙DAC=⊙DAB=⊙EBC根据⊙AHB=90°推出⊙DAB+⊙AB E=90°．代入推出⊙ABE+⊙EBC=90° 根据切线的判定推出即可；（2）求出AC长求出AM=AB=3 求出CM=2 证⊙ECM⊙⊙EBC得出比例式推出BE=2EC在⊙BEC中根据勾股定理即可求出BE．【详解】()1直线AB与O的位置关系是相切理由是：连接CE∵BC为直径∴90∠=BEC∵AD BE⊥AD EC∴//∠=∠∴ACE CAD∵弧EF=弧CE∠=∠∴FCE CBE∠=∠∴CAD CBE909090经过直径的外端的切线．ABC 是直角三角形在ABM 中 平分BAC ∠AM AB ==2CM =E E ∠=∠ ∴CME BCE ∽12EC MC EB CB == 2EB EC =在Rt BEC 中 由勾股定理得：855BE =． 【点睛】本题考查了切线的判定圆周角定理等知识的应用 有一定的难度． ⊙O 切BC⊙OC⊙BC ⊙ACB=90°⊙ AD⊙BD ⊙⊙D=90°⊙⊙ABD＋⊙BAD =90° ⊙CBD＋⊙BOC=90°⊙⊙BOC=⊙AOD ⊙AOD=⊙BAD⊙⊙BOC=⊙BAD⊙⊙ABD=⊙CBD在⊙OBC和⊙OBE中OEA OCBABD CBDOB OB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⊙⊙OBC⊙⊙OBE⊙OE=OC ⊙OE是⊙O的半径⊙OE⊙AB ⊙AB为⊙O的切线；（2）⊙tan⊙ABC=AC4BC3=BC=6⊙AC=8 ⊙AB=226810+=⊙BE=BC=6 ⊙AE=4⊙⊙AOE=⊙ABC ⊙tan⊙AOE=AE4EO3=⊙EO=3⊙AO=5 OC=3 ⊙BO=226335+=在⊙AOD和⊙BOC中AOD BOCADO BCO∠=∠⎧⎨∠=∠⎩⊙⊙AOD⊙⊙BOC ⊙AO ADBO BC=即5AD635=⊙AD=25.【点睛】本题考查了切线的判定与性质相似三角形的判定与性质等熟练掌握相关的判定与性质定理是解题的关键.是O 的切线求其它边的长）证明：如图 连接OCAC 平分EAC ∴∠=又在圆中ACO ∴∠=EAC ∴∠=OC AE ∴∥是O 的切线．,D D ∠=∠⊙DCO DEA ∽DOCOAD AE =DB BO COAB BD AE +=+336 4.8DB BD +=+2BD =；Rt Rt EAC CAB ∽EAACAC AB =4.86ACAC =21445AC =由勾股定理得：2265 5BC AB AC=-=．【点睛】本题考查了切线的判定相似三角形的性质和勾股定理的运用．解决问题的关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．18．（1）见解析；（2）119 3【详解】分析：(1)连接BE 可证明Rt⊙BCD⊙Rt⊙BED 结合条件可证明⊙BDC＝⊙ABD 可证得AB⊙CD,最后看单词结果;(2)连接EF 根据圆周角定理得出⊙AFB＝90° 在Rt⊙ABF中根据勾股定理得出BF＝5 然后由Rt⊙ABF⊙Rt⊙BDC ED＝从而求出AE的长.详解：（1）证明：连接BE．⊙AB是直径⊙⊙AEB＝90°．在Rt⊙BCD和Rt⊙BED 中⊙Rt⊙BCD⊙Rt⊙BED．⊙⊙ADB＝⊙BDC．又AD＝AB⊙⊙ADB＝⊙ABD．⊙⊙BDC＝⊙ABD．⊙AB⊙CD．⊙⊙ABC＋⊙C＝180°．⊙⊙ABC＝180°－⊙C＝180°―90°＝90°．即BC⊙AB．又B在⊙O上⊙BD与⊙O相切．（2）解：连接AF．⊙AB是直径⊙⊙AFB＝90° 即AF⊙BD．⊙AD＝AB BC＝10⊙BF＝5．在Rt⊙ABF和Rt⊙BDC中⊙Rt⊙ABF⊙Rt⊙BDC．⊙＝．⊙＝．⊙DC＝．⊙ED＝．⊙AE＝AD―ED＝13―＝．点睛：本题考查了切线的判定定理勾股定理及相似三角形的判定与性质根据题意正确的作出辅助线是解答本题的关键.。

九年级数学_相似三角形圆综合考试题

九年级数学_相似三角形圆综合考试题

挑战中考题（总分75分）一、选择题（3⨯5）1．已知⊙O 的半径为35厘米，⊙O '的半径为5厘米．⊙O 与⊙O '相交于点D 、E ．若两圆的公共弦DE 的长是6厘米（圆心O 、O '在公共弦DE 的两侧），则两圆的圆心距O O '的长为 （ ） （A ）2厘米 （B ）10厘米 （C ）2厘米或10厘米 （D ）4厘米2．如图，两个等圆⊙O 和⊙O '的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB 等于 （ ） （A ）30 （B ）45 （C ）60 （D ）903．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90，AB ＝AC ＝2，以AB 为直径的圆交BC 于D ，则图中阴影部分的面积为 （ ）（A ）1 （B ）2 （C ）1+4π （D ）2－4π4．已知圆的内接正六边形的周长为18，那么圆的面积为 （ ）（A ）18π （B ）9π （C ）6π （D ）3π 5、如图△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截被截成三等分则图中阴影部分的面积是△ABC 的面积的 （ ）6．（10分）已知，如图，以△ABC 的边AB 作直径的⊙O ，分别并AC 、BC 于点D 、E ，弦FG ∥AB ，S △CDE ︰S △ABC ＝1︰4，DE ＝5cm ，FG ＝8cm ，求梯形AFGB 的面积．7．（10分）如图，在两个半圆中，大圆的弦MN 与小圆相切，D 为切点，且MN ∥AB ，MN ＝a ，ON 、CD 分别为两圆的半径，求阴影部分的面积．8．（12分）如图，在Rt ABC △中，斜边1230BC C =∠=，°，D 为BC 的中点，ABD △的外接圆O ⊙与AC 交于F 点，过A 作O ⊙的切线AE 交DF 的延长线于E 点． （1）求证：AE DE ⊥； （2）计算：ACAF ·的值．9．（12分）如图，在直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，90B ∠=，AB =AD ，∠BAD 的平分线交BC 于E ，连接DE ． （1）说明点D 在△ABE 的外接圆上；（6分）（2）若∠AED =∠CED ，试判断直线CD 与△ABE 外接圆的位置关系，并说明理由．（6分）10、 （16分）如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =． （1）求点D 到BC 的距离DH 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．A EFOD B CA BCD ER PH Q（第1题图）答案 1．B 2．A 3．C 4．C 5.C6．解：∵ ∠CDE ＝∠CBA ，∠DCE ＝∠BCA ，∴ △CDE ∽△ABC ．∴ 2⎪⎭⎫⎝⎛=∆∆AB DE S S ABC CDE∴AB DE ＝ABC CDE S S ∆∆＝41＝21， 即215=AB ，解得 AB ＝10（cm ）， 作OM ⊥FG ，垂足为M ， 则FM ＝21FG ＝21×8＝4（cm ）， 连结OF ， ∵ OA ＝21AB ＝21×10＝5（cm ）． ∴ OF ＝OA ＝5（cm ）． 在Rt △OMF 中，由勾股定理，得OM ＝22FM OF -＝2245-＝3（cm ）． ∴ 梯形AFGB 的面积＝2FG AB +·OM ＝2810⨯×3＝27（cm 2）． 7．解：如图取MN 的中点E ，连结OE ， ∴ OE ⊥MN ，EN ＝21MN ＝21a ． 在四边形EOCD 中，∵ CO ⊥DE ，OE ⊥DE ，DE ∥CO ， ∴ 四边形EOCD 为矩形． ∴ OE ＝CD ，在Rt △NOE 中，NO 2－OE 2＝EN 2＝22⎪⎭⎫⎝⎛a ．∴ S 阴影＝21π（NO 2－OE 2）＝21π·22⎪⎭⎫⎝⎛a ＝28πa ．8.解：（1）证法一：∵∠B =90°， ∴AE 是△ABE 外接圆的直径． 取AE 的中点O ，则O 为圆心，连接OB 、OD ． ∵AB =AD ，∠BAO =∠DAO ，AO =AO ，∴△AOB ≌△AOD ． ∴OD =OB ．∴点D 在△ABE 的外接圆上．证法二：∵∠B =90°，∴AE 是△ABE 外接圆的直径． ∵AB =AD ，∠BAE =∠DAE ，AE =AE ， ∴△ABE ≌△ADE ． ∴∠ADE =∠B =90°．取AE 的中点O ， 则O 为圆心，连接OD ，则OD =21AE ． ∴点D 在△ABE 的外接圆上．（2）证法一：直线CD 与△ABE 的外接圆相切． 理由：∵AB ∥CD ， ∠B =90°． ∴∠C =90°． ∴∠CED +∠CDE =90°． 又∵OE =OD ， ∴∠ODE =∠OED ． 又∠AED =∠CED ， ∴∠ODE =∠DEC ． ∴∠ODC=∠CDE +∠ODE =∠CDE +∠CED =90°． ∴CD 与△ABE 的外接圆相切．证法二： 直线CD 与△ABE 的外接圆相切． 理由：∵AB ∥CD ， ∠B =90°． ∴∠C =90°． 又∵OE =OD ， ∴∠ODE =∠OED ． 又∠AED =∠CED ，∴∠ODE =∠DEC ． ∴OD ∥BC ． ∴∠ODC=900． ∴CD 与△ABE 的外接圆相切．11、解：（1）Rt A ∠=∠，6AB =，8AC =，10BC ∴=．点D 为AB 中点，132BD AB ∴==．90DHB A ∠=∠=，B B ∠=∠．BHD BAC ∴△∽△， DH BD AC BC ∴=，3128105BD DH AC BC ∴==⨯=． （2）QR AB ∥，90QRC A ∴∠=∠=． C C ∠=∠，RQC ABC ∴△∽△，RQ QC AB BC ∴=，10610y x -∴=， 即y 关于x 的函数关系式为：365y x =-+．（3）存在，分三种情况：①当PQ PR =时，过点P 作PM QR ⊥于M ，则QM RM =．1290∠+∠=，290C ∠+∠=， 1C ∴∠=∠．84cos 1cos 105C ∴∠===，45QM QP ∴=， 1364251255x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴=，185x ∴=． ②当PQ RQ =时，312655x -+=， 6x ∴=．③当PR QR =时，则R 为PQ 中垂线上的点， 于是点R 为EC 的中点，11224CR CE AC ∴===．tan QR BAC CR CA ==，366528x -+∴=，152x ∴=．A BCD ER P H QM2 1 A BCD E RP HQA BCD E R PHQ18 5或6或152时，PQR△为等腰三角形．综上所述，当x为。

人教版九年级下册： 圆与相似三角形综合练习(无答案)(1)

人教版九年级下册： 圆与相似三角形综合练习(无答案)(1)

圆与相似三角形1．如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F.(1)求证：∠FEB=∠ECF；(2)若BC=6，DE=4，求EF的长。

3. 如图，AB 是O 的直径，点D 是弧AE 上一点，且∠BDE =∠CBE ，BD 与AE 交于点F.(1)求证：BC 是圆O 的切线；(2)若BD 平分∠ABE ，求证： DB DF DE ⋅=2；(3)在(2)的条件下，延长ED 、BA 交于点P ，若PA =AO ，DE =2，求PD 的长。

4．如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．（1）求证：AE为⊙O的切线．（2）当BC=8，AC=12时，求⊙O的半径．（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．5．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O 于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB：PC=1：2．（1）求证：AC平分∠BAD；（2）探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；（3）若AD=3，求△ABC的面积．6．如图，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且AC=CG，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA 的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若，求∠E的度数．（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD=，求AD的长．7．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠BPC=60°，过点A作⊙O的切线交BP的延长线于点D．（1）求证：△ADP∽△BDA；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若AD=2，PD=1，求线段BC的长．8．如图1，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AB=4，B为OE的中点，CF⊥AB，垂足为点F，求CF的长；（3）如图2，连接OD交AC于点G，若=，求sin∠E的值．9．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF 为直径作⊙O，交DC于D，G两点，AD分别于EF，GF交于I，H两点．（1）求∠FDE的度数；（2）试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；（3）当G为线段DC的中点时，①求证：FD=FI；②设AC=2m，BD=2n，求⊙O的面积与菱形ABCD的面积之比．10．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC=∠B，AD为⊙O的直径，过C 作CG⊥AD交AD于E，交AB于F，交⊙O于G．（1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：AG2=AF•AB；（3）若⊙O的直径为10，AC=2，AB=4，求△AFG的面积．11．如图，AB为⊙O的直径，BF切⊙O于点B，AF交⊙O于点D，点C在DF上，BC交⊙O于点E，且∠BAF=2∠CBF，CG⊥BF于点G，连接AE．（1）直接写出AE与BC的位置关系；（2）求证：△BCG∽△ACE；（3）若∠F=60°，GF=1，求⊙O的半径长．12．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，且∠CBD=∠BAC，OD交⊙O于点E．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若点E为线段OD的中点，证明：以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形；（3）作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G（如图2），求的值．13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD、FH．（1）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）当AB=BE=1时，求⊙O的面积；（3）在（2）的条件下，求HG•HB的值．14．如图，AB为△ABC外接圆⊙O的直径，点P是线段CA延长线上一点，点E在圆上且满足PE2=PA•PC，连接CE，AE，OE，OE交CA于点D．（1）求证：△PAE∽△PEC；（2）求证：PE为⊙O的切线；（3）若∠B=30°，AP=AC，求证：DO=DP．15．如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD=90°，AC为直径，过点A作圆O的切线交CB的延长线于点E，过AC的三等分点F（靠近点C）作CE的平行线交AB于点G，连结CG．（1）求证：AB=CD；（2）求证：CD2=BE•BC；（3）当CG=，BE=时，求CD的长．16．已知：⊙O上两个定点A，B和两个动点C，D，AC与BD交于点E.（1）如图1，求证：EA•EC=EB•ED；（2）如图2，若=，AD是⊙O的直径，求证：AD•AC=2BD•BC；（3）如图3，若AC⊥BD，点O到AD的距离为2，求BC的长．17. 如图1，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE＞EC），且BD=2．过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若∠BAC=60°，DE=，求图中阴影部分的面积；（3）若=，DF+BF=8，如图2，求BF的长．18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相较于点D，E，F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．（1）求证：△ABC≌△EBF；（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若AB=1，求HG•HB的值．19.如图，AB是⊙O的直径，点D是上一点，且∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD平分∠ABE，求证：DE2=DF•DB；（3）在（2）的条件下，延长ED、BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长．20．如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A=∠EBC．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）已知CG∥EB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G，若BG•BA=48，FG=，DF=2BF，求AH 的值．。

人教九下数学 第27章 相似三角形的判定及有关性质综合测试(含答案)

人教九下数学 第27章 相似三角形的判定及有关性质综合测试(含答案)

人教九下数学 第27章 相似三角形的判定及有关性质综合测试（含答案）一、选择题（每小题6分，共48分）1．在△ABC 中，D 、F 是AB 上的点，E 、H 是AC 上的点，直线DE//FH//BC ，且DE 、FH 将△ABC 分成面积相等的三部分，若线段FH=65，则BC 的长为（ ） A ．15 B ．10 C.6215 D ．15322．在△ABC 中，DE//BC ，DE 交AB 于D ，交AC 于E ，且S △ADE ：S 四边形DBCE=1：2，则梯形的高与三角形的边BC 上的高的比为（ ）A ．1：2B ．1：)12(-C ．1：)13(-D ．)13(-：33．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD 是斜边AB 上的高，AC=5，BC=8，则S △ACD ：S △CBD 为（ ） A ．85B ．6425 C ．3925 D ．8925 4．如图1—5—1，D 、E 、F 是△ABC 的三边中点，设△DEF 的面积为4，△ABC 的周长为9，则△DEF 的周长与△ABC 的面积分别是（ ）A.29，16 B. 9，4 C. 29，8 D. 49，165．如图1—5—2，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，下列条件：（1）∠B+∠DAC=90°；（2）∠B=∠DAC ； （3）ABAC AD CD =；（4）AB 2=BD ·BC 。

其中一定能够判定△ABC 是直角三角形的共有（ ） A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个6．如图1—5—3，在正三角形ABC 中，D ，E 分别在AC ，AB 上，且31AC AD =，AE=BE ，则有（ ）A. △AED ∽△BED B ．△AED ∽△CBD C. △AED ∽△ABD D ．△BAD ∽△BCD7．如图1—5—4，PQ//RS//AC ，RS=6，PQ=9，SC 31QC =，则AB 等于（ ） A. 415B. 436C. 217D. 58．如图1—5—5，平行四边形ABCD 中，O 1、O 2、O 3是BD 的四等分点，连接AO 1，并延长交BC 于E ，连接EO 2，并延长交AD 于F ，则FDAD等于（ ）A ．3：1B ．3：1C ．3：2 D. 7：39．如果一个三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，那么这个三角形必是（ ） A ．等腰三角形 B. 任意三角形C ．直角三角形D ．直角三角形或等腰三角形10．在△ABC 和△A'B'C'中，AB ： AC=A'B'：A'C'，∠B=∠B'，则这两个三角形（ ） A ．相似，但不全等 B ．全等C ．一定相似D ．无法判断是否相似11．如图1—6—1，正方形ABCD 中，E 是AB 上的任一点，作EF ⊥BD 于F ，则BEEF为（ ）A ．22B ．21C ．36D ．2图1—6—112．如图1—6—2，把△ABC 沿边AB 平移到△A'B'C'的位置，它们的重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC 的面积的一半，若2AB =，则此三角形移动的距离AA'是（ ）A ．12-B ．22C ．1D ．21 图1—6—213．如图1—6—3，在四边形ABCD 中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=32，AD=2，则四边形ABCD 的面积是（ ）A ．24B ．34C ．4D ．6 图1—6—314．如图1—6—4，平行四边形ABCD 中，G 是BC 延长线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中相似三角形共有（ ）A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对15．在直角三角形中，斜边上的高为6cm ，且把斜边分成3：2两段，则斜边上的中线的长为（ ）A.265cm B ．64cm C ．65cmD ．325cm16．AD 为Rt △ABC 斜边BC 上的高，作DE ⊥AC 于E ，45AC AB =，则EACE=（ ） A ．2516 B ．54C ．45D ．162517．如图1—6—5，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC ，已知AB=m ，BC=n ，求CD 的长。

【精编版】数学中考专题训练——相似三角形与圆的综合

【精编版】数学中考专题训练——相似三角形与圆的综合

中考专题训练——相似三角形与圆的综合1．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径10，，求线段DH的长．2．如图，AD是⊙O的弦，PO交⊙O于点B，∠ABP＝∠ABD，且AB2＝PB•BD，连接P A．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若P A＝2PB＝4，求BD的长．3．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点H，点B是弧CD的中点，过点A作AE∥CD，交射线DO于点E，DE与⊙O交于点F，BF与CD交于点G．（1）求证：AE是⊙O的切线．（2）已知AO＝5，AE＝，求BG的长．4．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且，过点D的直线DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接AD、OE交于点G．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．5．某数学小组在研究三角形的内切圆时，遇到了如下问题：如图①，已知等腰△ABC的底边AB为12，底边上的高CD为8，如何在这个等腰三角形中画出其内切圆？小红同学经过计算，在高CD上截取DO＝3，以点O为圆心，以3为半径作的圆即为所求．（1）小红的方法是否正确？如果正确，给出理由；如果不正确，请给出你的方法．（2）如图②，在图①的基础上，以AB为边作一个正方形ABEF，连接FC并延长与BE 交于点G，则BG：GE的值为．6．如图，AB是⊙O的直径，CD是一条弦．过点A作DC延长线的垂线，垂足为点E．连接AC，AD．（1）证明：△ABD∽△ACE．（2）若，BD＝5，CD＝9．①求EC的长．②延长CD，AB交于点F，点G是弦CD上一点，且∠CAG＝∠F，求CG的长．7．如图，△ABC内接于⊙O，BC是直径，AD平分∠BAC交于点D，EF切⊙O于D，BF ⊥AB交EF于F．（1）求证：四边形BCEF为平行四边形．（2）若BF＝，AB＝4，求AE的长．8．如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O．点D为的中点，对角线AC，BD 交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，切点为A．（1）求证：AE＝AF；（2）若AB＝4，BF＝5，求sin∠BDC的值．9．如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在上取点F，使＝，连接BF，DF．（1）求证：DF与半圆相切；（2）如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积．10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P在OE延长线上，且满足∠PCA＝∠ABC，连接P A，PC，AF．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）证明：PE•OD＝DE•OE．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为直径作⊙O，过点B的切线交AC延长线于点D，点E为上一点，且BC＝EC，连接BE交AC于点F．（1）求证：BC平分∠DBE；（2）若AB＝2，tan E＝，求EF的长．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，∠F AC＝∠BDC．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若BC＝6，sin B＝，求⊙O的半径及OD的长．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．（1）求证：∠D＝∠EBC；（2）若CD＝2BC，AE＝3，求⊙O的半径．14．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC的角平分线AF交BC于点D，交⊙O于点E，连接BE和BF，∠F＝∠ABE．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若AC＝5，AB＝13，求CD的长．15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，以AD为直径作⊙O交AC于点F，点B恰好落在⊙O上，过D点作⊙O的切线DE交AC于点E，连接DF．（1）求证：∠FDE＝∠CDE；（2）若AB＝12，tan∠C＝，求线段DE的长．16．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，点D为BE的中点．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若直线l切⨀O于点D，与AC及AB的延长线分别交于点F、点G．∠BAC＝45°，求的值．17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．求证：（1）BC是⊙O的切线；（2）CD2＝CE•CA．18．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且弧CD＝弧CB，过点C作CE∥BD，交AB的延长线于点E，连接AC交BD于F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）过点C作CH⊥AE于H点，CH交BD于M，若CA＝CE＝6，求CH和BF的长．19．如图，⊙O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上且FC＝FE．（1）若∠A＝40°，求∠DCB的度数；（2）求证：CF是⊙O的切线；（3）若，BE＝6，求⊙O的半径长．20．已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，AB＝AC，点M、N分别在弦AB、AC上，且AM＝CN，AM＜AN，联结OM、ON．（1）求证：OM＝ON；（2）当∠BAC为锐角时，如果AO2＝AM•AC，求证：四边形AMON为等腰梯形．21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：BF＝BD；（2）若CF＝1，tan∠EDB＝2，求⊙O的直径．22．如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．（1）求证：△CED∽△BAD；（2）当DC＝2AD时，求CE的长．23．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AE＝12，，求⊙O的半径和EF的长．参考答案与试题解析1．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径10，，求线段DH的长．【分析】（1）由垂径定理得出OD⊥AC，进而得出∠F AO+∠AOF＝90°，由圆周角定理结合已知条件得出∠AOF＝∠CAE，得出∠F AO+∠CAE＝90°，即∠OAE＝90°，即可证明AE是⊙O的切线；（2）连接AD，利用解直角三角形得出tan B＝＝，设AD＝3x，则BD＝4x，AB＝5x，由⊙O的半径10，得出AB＝5x＝20，求出x＝4，求出AD＝12，BD＝16，继而证明△ADH∽△BDA，利用相似三角形的性质即可求出DH的长．【解答】（1）证明：如图1，∵D是的中点，∴OD⊥AC，∴∠AFO＝90°，∴∠F AO+∠AOF＝90°，∵∠AOF＝2∠C，∠CAE＝2∠C，∴∠AOF＝∠CAE，∴∠F AO+∠CAE＝90°，即∠OAE＝90°，∵OA是半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接AD，∵∠C＝∠B，，tan B＝，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴tan B＝＝，设AD＝3x，则BD＝4x，AB＝5x，∵⊙O的半径10，∴AB＝5x＝20，∴x＝4，∴AD＝3×4＝12，BD＝4×4＝16，∵D是的中点，∴AD＝CD＝12，∴∠DAC＝∠C，∵∠B＝∠C，∴∠DAC＝∠B，∵∠ADH＝∠BDA∴△ADH∽△BDA，∴，即，∴DH＝9．2．如图，AD是⊙O的弦，PO交⊙O于点B，∠ABP＝∠ABD，且AB2＝PB•BD，连接P A．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若P A＝2PB＝4，求BD的长．【分析】（1）延长BO交⊙O于点E，连接AE，先证明△PBA∽△ABD，得出∠P AB＝∠ADB，由圆周角定理得出∠P AB＝∠E，由等腰三角形的性质得出∠OAE＝∠E，进而得出∠P AB＝∠OAE，由圆周角定理得出∠BAE＝∠BAO+∠OAE＝90°，进而得出∠BAO+∠P AB＝∠P AO＝90°，即可证明P A是⊙O的切线；（2）延长BO交⊙O于点E，连接AE，DE，利用勾股定理列方程求出⊙O的半径为3，进而得出OA＝3，OP＝5，BE＝6，再证明△P AO∽△EDB，利用相似三角形的性质即可求出BD的长度．【解答】（1）证明：如图1，延长BO交⊙O于点E，连接AE，∵AB2＝PB•BD，∴，∵∠ABP＝∠ABD，∴△PBA∽△ABD，∴∠P AB＝∠ADB，∵∠ADB＝∠E，∴∠P AB＝∠E，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠E，∴∠P AB＝∠OAE，∵BE为直径，∴∠BAE＝∠BAO+∠OAE＝90°，∴∠BAO+∠P AB＝∠P AO＝90°，∵OA是半径，∴P A是⊙O的切线；（2）解：如图2，延长BO交⊙O于点E，连接AE，DE，∵P A＝2PB＝4，∴PB＝2，设OA＝OB＝x，则OP＝x+2，∵∠P AO＝90°，∴P A2+AO2＝OP2，即42+x2＝（x+2）2，解得：x＝3，∴OA＝3，OP＝2+3＝5，BE＝3+3＝6，∵△PBA∽△ABD，∴∠P＝∠BAD，∵∠BAD＝∠BED，∴∠P＝∠BED，∵BE为直径，∴∠BDE＝90°，∴∠P AO＝∠EDB＝90°，∴△P AO∽△EDB，∴，即，∴BD＝．3．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点H，点B是弧CD的中点，过点A作AE∥CD，交射线DO于点E，DE与⊙O交于点F，BF与CD交于点G．（1）求证：AE是⊙O的切线．（2）已知AO＝5，AE＝，求BG的长．【分析】（1）利用垂径定理的推论得到AB⊥CD，利用平行线的性质和圆的切线的判定定理解答即可；（2）过点F作FM⊥AB于点M，利用勾股定理和相似三角形的判定与性质求出线段OE，OM，MF的长，利用全等三角形的判定与性质求得线段BH的长，利用勾股定理和相似三角形的判定与性质得出比例式即可求得结论．【解答】（1）证明：∵点B是弧CD的中点，AB为⊙O的直径，∴AB⊥CD，∵AE∥CD，∴AE⊥OA．∵OA为⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：过点F作FM⊥AB于点M，如图，∵AO＝5，AE＝，AE⊥OA，∴OE＝＝．∵AE⊥AB，FM⊥AB，∴FM∥AE，∴△OMF∽△OAE，∴，∴，∴OM＝3，MF＝4．∴BM＝OB+OM＝5+3＝8，∴BF＝＝4．在△OFM和△ODH中，，∴△OFM≌△ODH（AAS），∴OM＝OH＝3，∴BH＝OB﹣OH＝2．∵FM⊥AB，AB⊥CD，∴CD∥FM，∴△BGH∽△BFM，∴，∴，∴BG＝．4．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且，过点D的直线DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接AD、OE交于点G．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．【分析】（1）连接OD，证明DE是⊙O的切线，关键是证明OD⊥DE；（2）连接BD，根据（1）中OD∥AE得△OGD∽△AEG，从而求出AE的长，再根据△AED∽△ADB求出AD的长，再利用三角函数求出DF的长，利用S阴影＝S△DOF﹣S扇形DOB求出阴影部分的面积．【解答】（1）证明：如图所示，连接OD，∵，∴∠CAD＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD//AE，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图所示，连接BD，∵OD//AE，∴△OGD∽△EGA，∴，∵，⊙O的半径为2，∴，∴AE＝3．∵AB是⊙O的直径，DE⊥AE，∴∠AED＝∠ADB＝90°，∵∠CAD＝∠DAB，∴△AED∽△ADB，∴，即，∴，在Rt△ADB中，，∴∠DAB＝30°，∴∠EAF＝60°，∠DOB＝60°，∴∠F＝30°，∵OD＝2，∴，∴．5．某数学小组在研究三角形的内切圆时，遇到了如下问题：如图①，已知等腰△ABC的底边AB为12，底边上的高CD为8，如何在这个等腰三角形中画出其内切圆？小红同学经过计算，在高CD上截取DO＝3，以点O为圆心，以3为半径作的圆即为所求．（1）小红的方法是否正确？如果正确，给出理由；如果不正确，请给出你的方法．（2）如图②，在图①的基础上，以AB为边作一个正方形ABEF，连接FC并延长与BE 交于点G，则BG：GE的值为．【分析】（1）过点O作OH⊥AC于点H，由等腰三角形的性质得出AD＝BD＝6，OC＝5，由勾股定理得出AC＝10，证明△CHO∽△CDA，，由相似三角形的性质得出OH＝3，继而得出AC是⊙O的切线，同理，BC是⊙O的切线，AB是⊙O的切线，即可得出⊙O是等腰△ABC的内切圆；（2）延长DC交FE于点M，由正方形的性质得出BE＝AB＝12，EF∥AB，由CA＝CB，CD⊥AB，得出AD＝BD＝6，DM⊥EF，继而得出FM＝ME＝6，DM＝BE＝12，由三角形中位线的性质得出GE＝8，进而得出BG＝4，即可求出BG：GE的值．【解答】解：（1）小红的方法正确，理由如下：如图①，过点O作OH⊥AC于点H，∵等腰△ABC的底边AB为12，底边上的高CD为8，OD＝3，∴AD＝BD＝6，OC＝CD﹣OD＝8﹣3＝5，∴AC＝＝＝10，∵∠CHO＝∠CDA＝90°，∠HCO＝∠DCA，∴△CHO∽△CDA，∴，即，∴OH＝3，∵OH⊥AC，∴AC是⊙O的切线，同理，BC是⊙O的切线，∵OD⊥AB，OD＝3，∴AB是⊙O的切线，∴⊙O是等腰△ABC的内切圆；（2）如图②，延长DC交FE于点M，∵四边形ABEF是正方形，AB＝12，∴BE＝AB＝12，EF∥AB，∵CA＝CB，CD⊥AB，∴AD＝BD＝6，DM⊥EF，∴FM＝ME＝6，DM＝BE＝12，∴MC是△EFG的中位线，MC＝DM﹣CD＝12﹣8＝4，∴GE＝2CM＝2×4＝8，∴BG＝BE﹣GE＝12﹣8＝4，∴，故答案为：．6．如图，AB是⊙O的直径，CD是一条弦．过点A作DC延长线的垂线，垂足为点E．连接AC，AD．（1）证明：△ABD∽△ACE．（2）若，BD＝5，CD＝9．①求EC的长．②延长CD，AB交于点F，点G是弦CD上一点，且∠CAG＝∠F，求CG的长．【分析】（1）利用圆内接四边形的性质求得∠ACD+∠ABD＝180°，推出∠ABD＝∠ACE，即可证明；（2）①由△ABD∽△ACE，推出AE＝3CE，在Rt△ADE中，利用勾股定理求解即可；②证明△EAG∽△EDA，利用三角形的性质求解即可．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，AE⊥CE，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠ACD+∠ABD＝180°，又∠ACE+∠ACD＝180°，∴∠ABD＝∠ACE，∴△ABD∽△ACE；（2）解：①在Rt△BDA中，AB＝5，BD＝5，∴AD＝＝15，∵△ABD∽△ACE，∴，即，∴AE＝3CE，在Rt△ADE中，AD2＝AE2+DE2，∴152＝（3CE）2+（9+CE）2，解得：CE＝﹣（舍去）或CE＝3；∴EC的长为3；②∵△ABD∽△ACE，∴∠BAD＝∠CAE，∵∠CAG＝∠F，∠EAG＝∠CAE+∠CAG，∠EDA＝∠BAD+∠F，∴∠EAG＝∠EDA，∴△EAG∽△EDA，∴，∴AE2＝GE•ED，即AE2＝（EC+CG）•ED，∵CE＝3，∴AE＝3CE＝9，∴92＝（3+CG）×12，∴CG＝．7．如图，△ABC内接于⊙O，BC是直径，AD平分∠BAC交于点D，EF切⊙O于D，BF ⊥AB交EF于F．（1）求证：四边形BCEF为平行四边形．（2）若BF＝，AB＝4，求AE的长．【分析】（1）连接OD，证明BF∥AE，BC∥EF，可得结论；（2）根据平行四边形的性质可得CE＝BF＝，如图，连接OD，过点C作CG⊥EF于G，证明四边形CODG是正方形，△ABC∽△GCE，列比例式可得AE的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵BF⊥AB，∴∠ABF＝90°，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠BAC+∠ABF＝180°，∴BF∥AE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴BC⊥OD，∵EF切⊙O于D，∴EF⊥OD，∴BC∥EF，∴四边形BCEF为平行四边形；（2）解：由（1）知：四边形BCEF为平行四边形，∴CE＝BF＝，如图，连接OD，过点C作CG⊥EF于G，∴∠COD＝∠ODG＝∠CGD＝90°，∵OC＝OD，∴四边形CODG是正方形，∴CG＝OC，∠BCG＝90°，∴∠ACB+∠ECG＝90°，∵∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠ECG＝∠ABC，∵∠CGE＝∠BAC＝90°，∴△ABC∽△GCE，∴＝，设⊙O的半径是r，则BC＝2r，∴＝，∴r＝（负值舍），∴BC＝2，∴AC＝＝＝2，∴AE＝AC+CE＝2+＝．8．如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O．点D为的中点，对角线AC，BD 交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，切点为A．（1）求证：AE＝AF；（2）若AB＝4，BF＝5，求sin∠BDC的值．【分析】（1）由点D为的中点，可得∠CBD＝∠ABD，根据AB为⊙O的直径，有∠AEF＝∠BEC＝90°﹣∠CBD，又AF是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，有∠F＝90°﹣∠ABD，即得∠AEF＝∠F，AE＝AF；（2）证明△ADF≌△ADE，得AE＝AF，DE＝DF，由勾股定理求得AF，由三角形面积公式求得AD，进而求得DE，BE，再证明△BEC∽△AED，得BC，进而求得sin∠BAC 便可．【解答】（1）证明：∵点D为的中点，∴＝，∴∠CBD＝∠ABD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠AEF＝∠BEC＝90°﹣∠CBD，∵AF是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴∠BAF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠ABD，∴∠AEF＝∠F，∴AE＝AF；（2）∵AF是⊙O的切线，∴∠F AB＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝∠ADF＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝∠BAD+∠F AD＝90°，∴∠ABD＝∠F AD，∵∠ABD＝∠CAD，∴∠F AD＝∠EAD，∵AD＝AD，∴△ADF≌△ADE（ASA），∴AF＝AE，DF＝DE，在Rt△ADE中，AB＝4，BF＝5，∴AF＝＝3，∴AE＝AF＝3，∵S△ABF＝AB•AF＝BF•AD，∴AD＝＝＝，∴DE＝＝＝，∴BE＝BF﹣2DE＝，∵∠AED＝∠BEC，∠ADE＝∠BCE＝90°，∴△BEC∽△AED，∴＝，∴BC＝＝，∴sin∠BAC＝＝，∵∠BDC＝∠BAC，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°∴sin∠BDC＝．9．如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在上取点F，使＝，连接BF，DF．（1）求证：DF与半圆相切；（2）如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积．【分析】（1）连接OF，证明△DAO≌△DFO（SAS），可得∠DAO＝90°＝∠DFO，即可得DF与半圆O相切；（2）连接AF，证明△AOD∽△FBA，可得＝，DO＝，在Rt△AOD中，AD＝＝，即可得矩形ABCD的面积是．【解答】（1）证明：连接OF，如图：∵＝，∴∠DOA＝∠FOD，∵OA＝OF，OD＝OD，∴△DAO≌△DFO（SAS），∴∠DAO＝∠DFO，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAO＝90°＝∠DFO，∴OF⊥DF，又OF是半圆O的半径，∴DF与半圆O相切；（2）解：连接AF，如图：∵AO＝FO，∠DOA＝∠DOF，∴DO⊥AF，∵AB为半圆直径，∴∠AFB＝90°，∴BF⊥AF，∴DO∥BF，∴∠AOD＝∠ABF，∵∠OAD＝∠AFB＝90°，∴△AOD∽△FBA，∴＝，即＝，∴DO＝，在Rt△AOD中，AD＝＝＝，∴矩形ABCD的面积为AD•AB＝×10＝，答：矩形ABCD的面积是．10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P在OE延长线上，且满足∠PCA＝∠ABC，连接P A，PC，AF．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）证明：PE•OD＝DE•OE．【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形性质及圆周角定理可得∠PCO＝90°，然后由切线的判定定理可得结论；（2）连接EC，FC，OC，证明Rt△ECD∽Rt△CFD，得出CD2＝DE•DF，继而得出CD2＝DE•OD+DE•OE，同理得出CD2＝OD•DE+OD•PE，进而得出DE•OD+DE•OE＝OD•DE+OD•PE，即可证明PE•OD＝DE•OE．【解答】证明：（1）如图1，连接OC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠PCA＝∠ABC，∴∠PCA＝∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠OCB＝90°，∴∠ACO+∠PCA＝90°，即∠PCO＝90°，∵OC是圆O的半径，∴PC是圆O的切线；（2）如图2，连接EC，FC，OC，∵EF是直径，∴∠ECF＝90°，∴∠CEF+∠CFE＝90°，∵D是AC的中点，EF是直径，∴AC⊥EF，∴∠CEF+∠ECD＝90°，∠EDC＝∠CDF＝90°，∴∠ECD＝∠CFD，∴Rt△ECD∽Rt△CFD，∴，∴CD2＝DE•DF，∴CD2＝DE（OD+OF）＝DE（OD+OE）＝DE•OD+DE•OE，同理Rt△PCD∽Rt△COD，∴，∴CD2＝OD•PD＝OD（PE+DE）＝OD•DE+OD•PE，∴DE•OD+DE•OE＝OD•DE+OD•PE，∴PE•OD＝DE•OE．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为直径作⊙O，过点B的切线交AC延长线于点D，点E为上一点，且BC＝EC，连接BE交AC于点F．（1）求证：BC平分∠DBE；（2）若AB＝2，tan E＝，求EF的长．【分析】（1）因为BD是⊙O的切线，所以∠∠CBD＝∠A，因为BC＝EC，所以∠E＝∠EBC，由同弧所对的圆周角相等可得，∠A＝∠E，所以∠EBC＝∠CBD，即BC平分∠DBE．（2）由（1）可知，tan E＝tan A＝tan∠EBC＝，因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB＝90°，所以tan A＝＝，即AC＝2BC，由AB＝2结合勾股定理可得，BC2+AC2＝AB2，即BC2+4BC2＝AB2，解得BC＝2，AC＝4，又因为tan∠EBC＝＝，所以CF＝1，AF＝3，BF＝，易证△ABF∽△ECF，所以AF：EF＝BF：CF，即3：EF＝：1，解之即可．【解答】（1）证明：∵BD是⊙O的切线，∴∠∠CBD＝∠A，∵BC＝EC，∴∠E＝∠EBC，∵∠A＝∠E，∴∠EBC＝∠CBD，即BC平分∠DBE．（2）解：由（1）知，∠A＝∠E＝∠EBC，∴tan E＝tan A＝tan∠EBC＝，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴tan A＝＝，即AC＝2BC，∵AB＝2，∴BC2+AC2＝AB2，即BC2+4BC2＝AB2，∴BC＝2，AC＝4，∵tan∠EBC＝＝，∴CF＝1，AF＝3，BF＝，∵∠A＝∠E，∠ABF＝∠ECF，∴△ABF∽△ECF，∴AF：EF＝BF：CF，即3：EF＝：1，解得EF＝．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，∠F AC＝∠BDC．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若BC＝6，sin B＝，求⊙O的半径及OD的长．【分析】（1）作OH⊥F A，垂足为H，连接OE，利用直角三角形斜边上中线的性质得AD ＝CD，再通过导角得出AC是∠F AB的平分线，再利用角平分线的性质可得OH＝OE，从而证明结论；（2）根据BC＝6，sin B＝，可得AC＝8，AB＝10，设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，利用Rt△AOE∽Rt△ABC，可得r的值，再利用勾股定理求出OD的长．【解答】（1）证明：如图，作OH⊥F A，垂足为H，连接OE，∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝AD＝，∴∠CAD＝∠ACD，∵∠BDC＝∠CAD+∠ACD＝2∠CAD，又∵∠F AC＝，∴∠F AC＝∠CAB，即AC是∠F AB的平分线，∵点O在AC上，⊙O与AB相切于点E，∴OE⊥AB，且OE是⊙O的半径，∴OH＝OE，OH是⊙O的半径，∴AF是⊙O的切线；（2）解：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，sin B＝，∴可设AC＝4x，AB＝5x，∴（5x）2﹣（4x）2＝62，∴x＝2，则AC＝8，AB＝10，设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，∵Rt△AOE∽Rt△ABC，∴，即，∴r＝3，∴AE＝4，又∵AD＝5，∴DE＝1，在Rt△ODE中，由勾股定理得：OD＝．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．（1）求证：∠D＝∠EBC；（2）若CD＝2BC，AE＝3，求⊙O的半径．【分析】（1）根据切线的性质可得∠DAO＝90°，从而可得∠D+∠ABD＝90°，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BEC＝90°，从而可得∠ACB+∠EBC＝90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC，从而利用等角的余角相等即可解答；（2）根据已知可得BD＝3BC，然后利用（1）的结论可得△DAB∽△BEC，从而利用相似三角形的性质可得AB＝3EC，然后根据AB＝AC，进行计算即可解答．【解答】（1）证明：∵AD与⊙O相切于点A，∴∠DAO＝90°，∴∠D+∠ABD＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠BEC＝180°﹣∠AEB＝90°，∴∠ACB+∠EBC＝90°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∴∠D＝∠EBC；（2）解：∵CD＝2BC，∴BD＝3BC，∵∠DAB＝∠CEB＝90°，∠D＝∠EBC，∴△DAB∽△BEC，∴＝＝3，∴AB＝3EC，∵AB＝AC，AE＝3，∴AE+EC＝AB，∴3+EC＝3EC，∴EC＝1.5，∴AB＝3EC＝4.5，∴⊙O的半径为2.25．14．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC的角平分线AF交BC于点D，交⊙O于点E，连接BE和BF，∠F＝∠ABE．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若AC＝5，AB＝13，求CD的长．【分析】（1）由圆周角定理得出∠ACB＝∠AEB＝90°，进而得出∠F+∠FBE＝90°，由∠F＝∠ABE，得出∠ABE+∠FBE＝90°，即∠ABF＝90°，即可证明BF是⊙O的切线；（2）连接OE交BC于点G，由∠ACB＝∠AEB＝90°，AC＝5，AB＝13，得出BC＝12，，由圆周角定理得出，进而得出OE垂直平分BC，即可求出，OG是△ABC的中位线，得出，求出EG＝4，由∠CAE＝∠CBE，得出tan∠CAD＝tan∠EBG，得出，即可求出．【解答】（1）证明：如图1，∵AB是直径，∴∠ACB＝∠AEB＝90°，∴∠F+∠FBE＝90°，∵∠F＝∠ABE，∴∠ABE+∠FBE＝90°，即∠ABF＝90°，∴AB⊥BF，∵AB是⊙O的直径，∴BF是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接OE交BC于点G，∵∠ACB＝∠AEB＝90°，AC＝5，AB＝13，∴BC＝＝＝12，，∵AF平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE，∴，∴OE垂直平分BC，∴，OG是△ABC的中位线，∴，∴EG＝OE﹣OG＝﹣＝4，∵∠CAE＝∠CBE，∴tan∠CAD＝tan∠EBG，∴，即，∴．15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，以AD为直径作⊙O交AC于点F，点B恰好落在⊙O上，过D点作⊙O的切线DE交AC于点E，连接DF．（1）求证：∠FDE＝∠CDE；（2）若AB＝12，tan∠C＝，求线段DE的长．【分析】（1）由切线的性质及圆周角定理得出∠ADF+∠FDE＝90°，∠ADB+∠CDE＝90°，证明△F AD≌△BAD，得出∠ADF＝∠ADB，即可证明∠FDE＝∠CDE；（2）由解直角三角形得出BC＝16，由勾股定理得出AC＝20，由全等三角形的性质得出AF＝AB＝12，进而得出CF＝8，由解直角三角形得出DF＝6，进而得出BD＝DF＝6，由勾股定理得出AD＝6，证明△EAD∽△DAB，由相似三角形的性质得出AE＝15，再利用勾股定理即可求出DE＝3．【解答】（1）证明：∵DE是⊙O的切线，AD为直径，∴AD⊥DE，∴∠ADF+∠FDE＝90°，∠ADB+∠CDE＝90°，∵AD是直径，∴∠AFD＝∠ABD＝90°∵AD平分∠BAC，∴∠F AD＝∠BAD，在△F AD和△BAD中，，∴△F AD≌△BAD（AAS），∴∠ADF＝∠ADB，∴∠FDE＝∠CDE；（2）解：在Rt△ABC中，AB＝12，tan∠C＝，∴BC＝＝＝16，∴AC＝＝＝20，∵△F AD≌△BAD，∴AF＝AB＝12，∴CF＝AC﹣AF＝20﹣12＝8，在Rt△CDF中，DF＝CF•tan∠C＝8×＝6，∴BD＝DF＝6，∴AD＝＝＝6，∵∠ABD＝∠ADE＝90°，∠EAD＝∠DAB，∴△EAD∽△DAB，∴，即，∴AE＝15，∴DE＝＝＝3．16．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，点D为BE的中点．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若直线l切⨀O于点D，与AC及AB的延长线分别交于点F、点G．∠BAC＝45°，求的值．【分析】（1）连接AD，由AB为⊙O的直径可得出AD⊥BC，由点D为弧BE的中点利用圆周角定理可得出∠BAD＝∠DAC，利用等角的余角相等可得出∠ABD＝∠ACD，进而可证出△ABC为等腰三角形；（2）连接OD，则OD⊥GF，由OA＝OD可得出∠ODA＝∠BAD＝∠DAC，利用“内错角相等，两直线平行”可得出OD∥AC，根据平行线的性质可得出＝、∠GOD ＝∠BAC＝45°，根据等腰直角三角形的性质可得出GO＝DO＝BO，进而可得出＝＝＝．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由如下：连接AD，如图1所示．∵AB为⊙O的直径，∴AD⊥BC．∵点D为弧BE的中点，∴＝，∴∠BAD＝∠DAC，∴∠ABD＝∠ACD，∴△ABC为等腰三角形．（2）连接OD，如图2所示．∵直线l是⊙O的切线，点D是切点，∴OD⊥GF．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠BAD＝∠DAC，∴OD∥AC，∴＝，∠GOD＝∠BAC＝45°，∴△GOD为等腰直角三角形，∴GO＝DO＝BO，∴＝＝＝．∴＝．17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．求证：（1）BC是⊙O的切线；（2）CD2＝CE•CA．【分析】（1）连接OD，证DO∥AB，得出∠ODB＝90°即可得出结论；（2）连接DE，证△CDE∽△CAD，根据线段比例关系即可得出结论．【解答】证明：（1）连接OD，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠DAO，∵OD＝OA，∴∠DAO＝∠ODA，∴∠DAO＝∠ADO，∴DO∥AB，而∠B＝90°，∴∠ODB＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；（2）连接DE，∵BC是⊙O的切线，∴∠CDE＝∠DAC，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD，∴，∴CD2＝CE•CA．18．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且弧CD＝弧CB，过点C作CE∥BD，交AB的延长线于点E，连接AC交BD于F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）过点C作CH⊥AE于H点，CH交BD于M，若CA＝CE＝6，求CH和BF的长．【分析】（1）连接OC，由垂径定理的推论得出OC⊥BD，由CE∥BD，得出OC⊥CE，即可证明CE是⊙O的切线；（2）连接OC，BC，由等腰三角形的性质得出∠CAB＝∠E，由圆周角定理得出∠BOC ＝2∠E，由OC⊥CE，得出∠BOC+∠E＝90°，求出∠E＝30°，进而求出CH＝3，EH ＝3，由等腰三角形的性质得出∠CAB＝30°，AE＝6，由圆周角定理得出∠ACB ＝90°，由解直角三角形求出AB＝4，由CE∥BD，得出，代入计算即可求出BF＝4，得出答案．【解答】（1）证明：如图1，连接OC，∵弧CD＝弧CB，OC是半径，∴OC⊥BD，∵CE∥BD，∴OC⊥CE，∵OC是半径，∴CE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接OC，BC，∵CA＝CE＝6，∴∠CAB＝∠E，∵∠BOC＝2∠BAC，∴∠BOC＝2∠E，∵OC⊥CE，∴∠BOC+∠E＝90°，∴2∠E+∠E＝90°，∴∠E＝30°，∵CH⊥AE，∴CH＝CE＝×6＝3，EH＝＝＝3，∵CA＝CE＝6，CH⊥AE，∴∠CAB＝∠E＝30°，AE＝2EH＝6，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴cos∠CAB＝，∴AB＝＝＝＝4，∵CE∥BD，∴，即，∴BF＝4，∴CH的长为3，BF的长为4．19．如图，⊙O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上且FC＝FE．（1）若∠A＝40°，求∠DCB的度数；（2）求证：CF是⊙O的切线；（3）若，BE＝6，求⊙O的半径长．【分析】（1）由圆周角定理得出∠ABC＝90°，由∠A＝40°，得出∠ACB＝50°，由点D是的中点，即可求出∠DCB＝∠ACB＝25°；（2）由圆周角定理得出∠BCD+∠CEF＝90°，由点D是的中点，得出∠DCB＝∠DCA，由等腰三角形的性质得出∠FCE＝∠FEC，进而得出∠ACF＝90°，即可证明CF 是⊙O的切线；（3）由解直角三角形得出＝，设BC＝4x，则CF＝5x，BF＝5x﹣6，由勾股定理得出方程（4x）2+（5x﹣6）2＝（5x）2，解方程求出x＝3，得出BC＝12，CF＝15，BF＝9，再证明△CFB∽△AFC，利用相似三角形的性质求出AC＝20，即可求出⊙O的半径长为10．【解答】（1）解：∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∵∠A＝40°，∴∠ACB＝90°﹣∠A＝90°﹣40°＝50°，∵点D是的中点，∴∠DCB＝∠DCA＝∠ACB＝×50°＝25°；（2）证明：∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴∠BCD+∠CEF＝90°，∵点D是的中点，∴∠DCB＝∠DCA，∵FC＝FE，∴∠FCE＝∠FEC，∴∠DCA+∠FCE＝90°，即∠ACF＝90°，∴AC⊥CF，∵AC是直径，∴CF是⊙O的切线；（3）解：在Rt△CBF中，sin∠F＝，∵，BE＝6，∴＝，∴设BC＝4x，则CF＝5x，BF＝5x﹣6，∵BC2+BF2＝CF2，∴（4x）2+（5x﹣6）2＝（5x）2，解得：x＝3或（不符合题意，舍去），∴BC＝12，CF＝15，BF＝9，∵∠CBF＝∠ACF＝90°，∠CFB＝∠AFC，∴△CFB∽△AFC，∴，即，∴AC＝20，∴OA＝AC＝×20＝10，∴⊙O的半径长为10．20．已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，AB＝AC，点M、N分别在弦AB、AC上，且AM＝CN，AM＜AN，联结OM、ON．（1）求证：OM＝ON；（2）当∠BAC为锐角时，如果AO2＝AM•AC，求证：四边形AMON为等腰梯形．【分析】（1）过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，利用圆心角，弦，弧，弦心距之间的关系定理可得OE＝OF，AE＝CF＝AB，利用等式的性质可得EM＝FN，再利用全等三角形的判定与性质解答即可；（2）连接OB，利用相似三角形的判定与性质得到∠AOM＝∠B，利用同圆的半径线段，等腰三角形的性质和角平分线性质定理的逆定理得到∠AOM＝∠OAC，则得OM∥ON，利用等腰梯形的定义即可得出结论．【解答】证明：（1）过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，如图，∵AB＝AC，OE⊥AB，OF⊥AC，∴OE＝OF，AE＝CF＝AB．∵AM＝CN，∴AE﹣AM＝FC﹣CN，即：EM＝FN．在△OEM和△OFN中，，∴△OEM≌△OFN（SAS）．∴OM＝ON；（2）连接OB，如图，∵AO2＝AM•AC，AC＝AB，∴AO2＝AM•AB，∴．∵∠MAO＝∠OAB，∴△OAM∽△BAO，∴∠AOM＝∠B．∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B，∴∠OAB＝∠AOM，∴OM＝AM．∵OM＝ON，∴AM＝ON．∵OE＝OF，OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠OAB＝∠OAC，∴∠AOM＝∠OAC，∴OM∥AN．∵AM＜AN，∴OM＜AN，∴四边形AMON为梯形，∵AM＝ON，∴四边形AMON为等腰梯形．21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：BF＝BD；（2）若CF＝1，tan∠EDB＝2，求⊙O的直径．【分析】（1）连接OE，利用圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，同圆的半径相等和等腰三角形的判定定理解答即可；（2）连接BE，利用直径所对的圆周角为直角，直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】（1）证明：连接OE，如图，∵AC是⊙O的切线，∴OE⊥AC．∵AC⊥BC，∴OE∥BC，∴∠OED＝∠F．∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∴∠BDE＝∠F，∴BD＝BF；（2）解：连接BE，如图，∵∠BDE＝∠F，∴tan∠BDE＝tan∠F＝2，∵CF＝1，tan∠F＝，∴CE＝2．∵BD是⊙O直径，∴∠BED＝90°，∴BE⊥EF．∵EC⊥BF，∴△ECF∽△BCE，∴，∴EC2＝BC•CF．∴BC＝4．∴BF＝BC+CF＝5．∴BD＝BF＝5，即⊙O的直径为5．22．如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．（1）求证：△CED∽△BAD；（2）当DC＝2AD时，求CE的长．【分析】（1）由对顶角的性质，圆周角定理得出∠CDE＝∠BDA，∠A＝∠E，即可证明△CED∽△BAD；（2）过点D作DF⊥EC于点F，由等边三角形的性质得出∠A＝60°，AC＝AB＝6，由DC＝2AD，得出AD＝2，DC＝4，由相似三角形的性质得，得出EC＝3DE，由含30°角的直角三角形的性质得出DE＝2EF，设EF＝x，则DE＝2x，DF＝x，EC＝6x，进而得出FC＝5x，利用勾股定理得出一元二次方程（x）2+（5x）2＝42，解方程求出x的值，即可求出EC的长度．【解答】（1）证明：如图1，∵∠CDE＝∠BDA，∠A＝∠E，∴△CED∽△BAD；（2）解：如图2，过点D作DF⊥EC于点F，∵△ABC是边长为6等边三角形，∴∠A＝60°，AC＝AB＝6，∵DC＝2AD，∴AD＝2，DC＝4，∵△CED∽△BAD，∴，∴EC＝3DE，∵∠E＝∠A＝60°，DF⊥EC，∴∠EDF＝90°﹣60°＝30°，∴DE＝2EF，设EF＝x，则DE＝2x，DF＝x，EC＝6x，∴FC＝5x，在Rt△DFC中，DF2+FC2＝DC2，∴（x）2+（5x）2＝42，解得：x＝或﹣（不符合题意，舍去），∴EC＝6x＝．23．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AE＝12，，求⊙O的半径和EF的长．【分析】（1）连接OE，根据直径所对的圆周角是直角可得∠AEB＝90°，从而可得∠AEO+∠OEB＝90°，再利用角平分线和等腰三角形的性质可得∠CAE＝∠AEO，从而可得∠BEF＝∠AEO，然后可得∠BEF+∠OEB＝90°，从而求出∠OEF＝90°，即可解答；（2）利用（1）的结论可得∠BEF＝∠EAO，从而可证△FEB∽△F AE，然后利用相似三角形的性质可求出BE的长，再在Rt△ABE中利用勾股定理求出AB的长，从而求出EF 的长，即可解答．【解答】（1）证明：连接OE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠AEO+∠OEB＝90°，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，∵AE平分∠CAB，∴∠EAO＝∠CAE，∴∠CAE＝∠AEO，∵∠BEF＝∠CAE，∴∠BEF＝∠AEO，∴∠BEF+∠OEB＝90°，∴∠OEF＝90°，∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵∠BEF＝∠AEO，∠EAO＝∠AEO，∴∠BEF＝∠EAO，∵∠F＝∠F，∴△FEB∽△F AE，∴＝＝，∴＝＝，∴BE＝6，∴AB＝＝＝30，∴＝，∴EF＝20，∴⊙O的半径为15，EF的长为20．。

完整版)九年级数学相似三角形综合练习题及答案

完整版)九年级数学相似三角形综合练习题及答案

完整版)九年级数学相似三角形综合练习题及答案1.填空题：1) 若$a=8$cm，$b=6$cm，$c=4$cm，则$a$、$b$、$c$的第四比例项$d=\underline{12}$；$a$、$c$的比例中项$x=\underline{5}$。

2) $(2-x):x=x:(1-x)$。

则$x=\underline{1}$。

3) 在比例尺为1：的地图上，距离为3cm的两地实际距离为\underline{30}公里。

4) 圆的周长与其直径的比为\underline{$\pi$}。

5) $\frac{a^5-ab}{b^3}=\frac{a^4}{b^2}$，则$\frac{a}{b}=\underline{a^2}$。

6) 若$a:b:c=1:2:3$，且$a-b+c=6$，则$a=\underline{2}$，$b=\underline{1}$，$c=\underline{3}$。

7) 如图1，则$\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CE}=\underline{\frac{3}{2}}$；若$BD=10$cm，则$AD=\underline{6}$cm；若$\triangle ADE$的周长为16cm，则$\triangle ABC$的周长为\underline{24}cm。

8) 若点$c$是线段$AB$的黄金分割点，且$AC>CB$，则$\frac{AC}{AB}=\underline{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$，$\frac{CB}{AB}=\underline{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$。

2.选择题：1) 根据$ab=cd$，共可写出以$a$为第四比例项的比例式的个数是（）A．$1$，B．$2$，C．$3$，D．$4$。

答案：B。

2) 若线段$a$、$b$、$c$、$d$成比例，则下列各式中一定能成立的是（）A．$abcd=1$，B．$a+b=c+d$，C．$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，D．$a^2+b^2=c^2+d^2$。

初三圆与相似三角形练习题汇编

初三圆与相似三角形练习题汇编

《相似形》练习题1．如图，已知AB是⊙O的弦，OB=4，∠OBC=30°，点C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD、DB．（1）当∠ADC=18°时，求∠DOB的度数；（2）若AC=2，求证：△ACD∽△OCB．2．如图，已知四边形ABCD是平行四边形．（1）求证：△MEF∽△MBA；（2）若AF、BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，求证：DF=EC．3．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B （1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．4．如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．（1）求证：PA为⊙O的切线；（2）若OB=5，OP=，求AC的长．5．如图，点C是以AB为直径的⊙O上的一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D．（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若CD=1，AC=，求⊙O的半径长．6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O直径，作∠CAD=∠B，且点D在BC的延长线上，CE⊥AD于点E．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为8，CE=2，求CD的长．7．如图，四边形ABCD是平行四边形，以对角线BD为直径作⊙O，分别与BC，AD相交于点E，F．（1）求证：四边形BEDF为矩形；（2）BD2=BE•BC，试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．8．如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若DE=2BC，求AD：OC的值．9．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径作⊙O交AC于点E，连结DE并延长，与BC 的延长线交于点F．且BD=BF．（1）求证：AC与⊙O相切．（2）若BC=6，AB=12，求⊙O的面积．10．如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC．（1）求证：BC平分∠PBD；（2）求证：BC2=AB•BD；BC=．11．如图，⊙O的直径AB=6，AD、BC是⊙O的两条切线，AD=2，（1）求OD、OC的长；（2）求证：△DOC∽△OBC；（3）求证：CD是⊙O切线．12．如图，AB是⊙O的直径，经过圆上点D的直线CD恰使∠ADC=∠B．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）过点A作直线AB的垂线交BD的延长线于点E．且AB=，BD=2．求线段AE的长．13．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于D，过点D作DE⊥AD交AB于E，以AE为直径作⊙O．（1）求证：点D在⊙O上；（2）求证：BC是⊙O的切线；（3）若AC=6，BC=8，求△BDE的面积．14．已知：如图，AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB（1）求证：DE为⊙O的切线．（2）求证：AB：AC=BF：DF．15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知AB=10，BC=6，求⊙O的半径r．16．如图：AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DAB=22.5°，延长AB到点C，使得∠ACD=45°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB=2，求BC的长．17．如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）求证：BD2=AB•BE．18．如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，AD=10，DC=8．以AD为直径的⊙O与边BC切于点E，且AB=BE．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）过D点作DF∥BC交⊙O于点F，求线段DF的长．19．如图，BD是⊙O的直径，A、C是⊙O上的两点，且AB=AC，AD与BC的延长线交于点E．（1）求证：△ABD∽△AEB；（2）若AD=1，DE=3，求BD的长．20已知AB是⊙O的直径，弦AC平分∠BAD，AD⊥CD于D，BE⊥CD于E．求证：（1）CD是⊙O的切线；（2）CD2=AD•BE．21、如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．求证：（1）∠AOC=2∠ACD；（2）AC2=AB•AD．22．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，切点为A，D为⊙O上一点，AD与OC相交于点E，且∠DAB=∠C（1）求证：OC∥BD；（2）若AO=5，AD=8，求线段CE的长．23．如图，AB为⊙O的直径，劣=弧BD∥CE，连接AE并延长交BD于D．求证：（1）BD是⊙O的切线；（2）AB2=AC•AD．24．如图，圆O是△ABC的外接圆，AB=AC，过点A作AP∥BC，交BO的延长线于点P．（1）求证：AP是圆O的切线；（2）若圆O的半径R=5，BC=8，求线段AP的长．25．如图，在⊙O中，M是弦AB定的中点，过点B作⊙O的切线，与OM延长线交于点C．（1）求证：∠A=∠C；（2）若OA=5，AB=8，求线段OC的长．26．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连接DE．（1）DE与半圆0是否相切？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；（2）若AD、AB的长是方程x2﹣16x+60=0的两个根，求直角边BC的长．。

圆和相似三角形专项练习2022-2023学年人教版九年级数学上册

圆和相似三角形专项练习2022-2023学年人教版九年级数学上册

圆1.已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=42°，点D是⊙O上一点．(1)如图①，若BD为⊙O的直径，连接CD，求∠DBC和∠ACD的度数；(2)如图②，若CD//BA，连接AD，过点D作⊙O的切线，与OC的延长线交于点E，求∠E的度数．2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以直角边BC为直径的⊙O交斜边AB于点D.点E为边AC的中点，连接DE并延长交BC的延长线于点F．(1)求证：直线DE为⊙O的切线；(2)若∠B=30°，AC=4，求阴影部分的面积．3.如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE⊥PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．(1)求证：AB=BE；(2)如果PD=2√3，∠ABC=60°，求BC的长．4.如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分∠BAC，DC⊥AC，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．(1)求证：直线CD是⊙O的切线．(2)求证：CD⋅BE=AD⋅DE．5.如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，过点A作AD//BC，与∠ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F．(1)求∠DAF的度数；(2)求证：AE2=EF⋅ED；(3)求证：AD是⊙O的切线．6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D.以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AC=3，∠B=30°．①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．(结果保留根号和π)7.如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．(1)求证：AE为⊙O的切线；(2)当BC=4，AC=6时，求⊙O的半径；(3)在(2)的条件下，求线段BG的长．相似三角形8.如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是( )A. ∠ADC=∠ACBB. ABBC =ACCDC. ∠ACD=∠BD. AC2=AD⋅AB9.如图，∠1=∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB，可添加的条件是_____．10.如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF=∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．求证：△BDE∽△CEF．11.如图，P是△ABC的边AB上的一点．(1)如果∠ACP=∠B，△ACP与△ABC是否相似？为什么？(2)如果APAC =ACAB，△ACP与△ABC是否相似？为什么？如果ACCP=BCAC呢？12.如图，已知：∠BAC=∠EAD，AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40．求证：△ABC∽△AED．13.如图，AB⋅AE=AD⋅AC，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△ADE．14.如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF=3FD，△ABE与△DEF相似吗？为什么？15.如图，DB过⊙O的圆心，交⊙O于点A、B，DC是⊙O的切线，点C是切点，已知∠D=30°，DC=√3．(1)求证：△BOC∽△BCD；(2)求△BCD的周长．16.如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B.(1)求证：△ADF∽△DEC;(2)若AB=8，AD=6√3，AF=4√3，求DE的长．。

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相似三角形与圆1．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，连结BC，AC，过点C 作直线CD⊥AB 于点D，点E 是AB 上一点，直线CE 交⊙O 于点F，连结BF，与直线CD 交于点G．求证：BC2 =BG BF2、如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为点B，点D 是⊙O 上的一点，且AD∥OC.求证：AD·BC=OB·BD3．如图，A C 是圆O的直径，AC =10 厘米，PA，PB 是圆O的切线，A，B 为切点．过A作A D ⊥BP ，交B P 于D点，连结A B，BC ．（1）求证△ABC ∽△ADB ；（2）若切线AP 的长为12 厘米，求弦AB 的长．4、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AB＝6，延长AB 到点C，使BC＝AB，D 是⊙O 上一点，DC＝6 2 ．求证：(1)△CDB∽△CAD；(2)CD 是⊙O 的切线．5．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC 是⊙O 的直径，D 是劣弧AC 的中点，BD 交AC 于点E.⑴求证：A D2 = DE ⋅D B5A⑵若B C =，CD DE 的长2C6．如图10，直线D E 经过⊙O上的点C，并且O E =O D，EC =D C，⊙O交直线O D 于A、B两点，连接BC ，AC ，O C ．求证：（1）O C ⊥ DE ；（2）△ACD ∽△CBD ．7、如图，BD 为⊙O 的直径，点A 是弧BC 的中点，AD 交BC 于E 点，AE=2，ED=4.（1）求证:∆ABE ～∆ABD ；（2）延长B C 至F，连接F D使∆BDF 的，求∠EDF 的8．如图，在R t△ABC 中，斜边B C =12，∠C =30°，D 为B C 的中点，△ABD 的外接圆⊙O 与AC 交于F 点，过A 作⊙O 的切线AE 交DF 的延长线于（1）求证：AE ⊥DE ；（2）计算：AC·AF 的值．C EH9．如图， A B 为⊙O 的直径， C D ⊥ A B 于点 E ，交⊙O 于点 D ， O F ⊥ A C 于点 F ．（1）试说明△ ABC ∽△DBE ；（2）当∠A=30°，AF= 3 时，求⊙O 中劣弧的长．AB10．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，OC 垂直 AD 于 F 交⊙O 于 E ，连结 DE 、BE ，且∠C =∠BED ．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若 OA =10，AD =16，求 AC 的长．C DE FBOA11、AB 是⊙O 的直径，点 E 是半圆上一动点（点 E 与点 A 、B 都不重合），点 C 是 BE 延长线上的一点，且 CD ⊥AB ，垂足为 D ，CD 与 AE 交于点 H ，点 H 与点 A 不重合。

（1）求证：△AHD ∽△CBD（2）连 HB ，若 CD=AB=2，求 HD+HO 的值。

AO D B12.如图，Rt △BDE 中，∠BDE =90°，BC 平分∠DBE 交 DE 于点 C ，AC ⊥CB 交 BE 于点 A ，△ABC 的外接 圆的半径为 r .(1)求证： BC ⋅ BD = r ⋅ ED ；(2)若 BD =3，DE =4，求 AE 的长.BFE·OCA13．如图，等腰三角形 ABC 中，AC ＝BC ＝6，AB ＝8．以 BC 为直径作⊙O 交 AB 于点 D ，交 AC 于点 G ，DF ⊥AC ，垂足为 F ，交 CB 的延长线于点 E ．(1)求证：直线 EF 是⊙O 的切线；(2)求 sin ∠E 的值．14.如图，AB 是⊙O 的直径，AD 与⊙O 相切于点 A ，过 B 点作 BC ∥OD 交⊙O 于点 C ，连接 OC 、AC ，AC 交 OD 于点 E .（1）求证：△COE ∽△ABC ；B（2）若 AB =2，AD = 3 ，求图中阴影部分的面积.D15、如图，已知⊙O 的弦 AB 垂直于直径 CD ，垂足为 F ，点 E 在 AB 上，且 EA = EC 。

⑴ 求证：AC 2 = AE ·AB ；⑵ 延长 EC 到点 P ，连结 PB ，若 PB = PE ，试判断 PB 与⊙O 的位置关系，并说明理由。

PD16．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，PD 切⊙O 于点 C ，BD ⊥PD ，垂足为 D ，连 接 BC 。

求证：（1）BC 平分∠PBD ；D（2） BC 2＝AB BD 。

CP A OBO 17.将一个量角器和一个含 30 度角的直角三角板如图（1）放置，图（2）是由他抽象出的几何图形，其中点B 在半圆 O 的直径 DE 的延长线上，AB 切半圆 O 于点 F ，且 BC=OD 。

（1） 求证：DB ∥CF 。

（2） 当 OD=2 时，若以 O 、B 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似，求 OB。

18． 如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB ，垂足为点 M ，AE 切⊙O 于点 A ，交 BC 的延长线于点 E ，连接 AC ．（1）若∠B ＝30°，AB ＝2，求 CD 的长；（2）求证：AE 2＝EB ·EC ．ECAM ∙BD19．如图， PAB ，PCD 是O 的两条割线， AB 是O 的直径， AC ∥OD ．（1）求证： C D =（先填后证）．PA（2）若PC = 5 ，试求6AB的值．AD PB20. 如图， AB 为⊙ O 的直径， AD 平分 ∠BAC 交⊙ O 于点 D ， DE ⊥ AC 交AC 的延长线于点 E ，BF ⊥ A B 交 A D 的延长线于点 F ，（1）求证： DE 是⊙ O 的切线；（2）若 D E = 3, ⊙ O 的半径为 5，求 B F 的长．F AB21．已知：如图， AB 为⊙ O 的直径，弦 AC // OD ,BD 切⊙ O 于 B ,联结 CD ．（1）判断 CD 是否为⊙ O 的切线，若是请证明；若不是请说明理由．（2）若 AC = 2 , O D = 6 ,求⊙O 的半径．B22．如图，A 、P 、B 、C 是⊙O 上的四点，∠APC =∠BPC = 60︒，AB 与 PC 交于 Q 点．（1）判断△ABC 的形状，并证明你的结论；AP （2）求证：PB= AQ；QB（3）若∠ABP = 15︒，△ABC 的面积为 4 3 ，求 PC 的长．23．如图， A ，B ，C ，D 四点在O 上， A D ，BC 的延长线相交于点 E ，直径 A D = 10，OE = 13 ，且∠EDC = ∠ABC .CE DE（1）求证：=AE BE（2）计算 CE BE 的值A（3）探究： BE 的取值范围24．如图，半径为 O 内有互相垂直的两条弦 AB 、CD 相交于 P 点．(1)求证：P A ·PB =PC ·PD ；(2)设 BC 的中点为 F ，连结 FP 并延长交 AD 于 E ，求证：EF ⊥AD ：(3)若 AB =8，CD =6，求 OP 的长．25.如图，点 T 在⊙O 上，延长⊙O 的直径 AB 交 TP 于 P,若 PA=18,PT=12,PB=8. (1)求证：△PTB ∽△PA T ；(2)求证：PT 为⊙O 的切线；︵(3)在A T 上是否存在一点 C,使得 BT 2=8TC ?若存在，请证明；若不存在，请说明理由.26．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，过点 C 的直线与 AB 的延长线交于点 P ， A C = PC ，∠C O B = 2∠PC B ．（1）求证： PC 是⊙O 的切线；1（2）求证： BC =AB ；2（3）点 M 是 AB 的中点， C M 交 AB 于点 N ，若 AB = 4 ，求 M N MC 的值．CAO N B PM27.如图，AB 为⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于点 C ，且 OD ⊥BC ，垂足为 F ，OD 交⊙O 于点 E ．（1）证明：BE ＝CEA（2）证明：∠D ＝∠AEC ；（3）若⊙O 的半径为 5，BC ＝8，求△CDE 的面积．（第25题图）E28．如图， AB 是⊙O 的直径， A C 切⊙O 于点 A ，且 AC=AB ，CO 交⊙O 于点 P ，CO 的延长线交⊙O 于点 F ，BP 的延长线交 AC 于点 E ，连接 AP 、AF ．C求证：（1）AF ∥BE ；（2）△ACP ∽△FCA ；P（3）CP=AE ．B·AOF29．如图，圆 O 的直径为 5，在圆 O 上位于直径 AB 的异侧有定点 C 和动点 P ，已知 BC ∶CA ＝4∶3，点 P 在半圆弧 AB 上运动(不与 A 、B 重合)，过 C 作 CP 的垂线 CD 交 PB 的延长线于 D 点(1)求证：AC ·CD ＝PC ·BC ；(2)当点 P 运动到 AB 弧中点时，求 CD 的长；(3)当点 P 运动到什么位置时，△PCD 的面积最大？并求这个最大面积 S ．D30、已知，AB 是⊙O 的直径, P 是⊙O 上一点,作 PC ⊥AB 于 C,PB 交⊙O 于 D,DC 交⊙O 于 E,EB 与 PC 的 延长线交于 F,连结 AE,弧 DB 上有一动点 M,连结 PM 、AM （1）∠AEB 的度数是，根据是 如果弧 DE=弧 AE ，弦 ED=3cm ，⊙O 的半径为 2cm ，则 cos ∠MAB=。

（2）求证：PC ·CF=EC ·CD(3)若 AM 交 PC 与 G, △PGM 满足什么条件时,PM 与⊙O 相切?说明理由PD MGAC OBEF31．已知点P 在线段AB 上，点O 在线段AB 延长线上．以点O 为圆心，O P 为半径作圆，点C 是圆O 上的一点．（1）如图，如果A P =2PB ，P B =B O ．求证：△CAO ∽△BCO ；BP =1，O P 是O A ，O B 的比例中项．当点C在圆O上运（2）如果AP =m（m是常数，且m>1），动时，求AC : BC 的值（结果用含m 的式子表示）；（3）在（2）的条件下，讨论以BC 为半径的圆B 和以CA 为半径的圆C 的位置关系，并写出相应m 的取值范围．COA P BFA B33．图 12-1 所示，在△ABC 中， AB = AC = 2 ，∠A = 90 ， O 为 B C 的中点，动点 E 在 B A 边上自由 移动，动点 F 在 A C 边上自由移动．（1）点 E ，F 的移动过程中， △OEF 是否能成为∠EOF =45等腰三角形时动点 E ，F 的位置．若不能，请说明理由．的等腰三角形？若能，请指出 △OEF 为（2）当∠EOF = 45时，设 B E = x ， C F = y ，求 y 与 x 之间的函数解析式，写出 x 的取值范围．（3）在满足（2）中的条件时，若以 O 为圆心的圆与 AB 相切（如图 12-2），试探究直线 EF 与O 的位置关系，并证明你的结论．BCB图 12-1图 12-234.如图，以 BC 为直径的⊙O 交△CFB 的边 CF 于点 A ，BM 平分∠ABC 交 AC 于点 M ，AD ⊥BC 于点 D ，AD 交 BM于点 N ，ME ⊥BC 于点 E ，AB 2=AF·AC ，cos ∠ABD= 3，AD=12．5⑴求证：△ANM ≌△ENM ；⑵求证：FB 是⊙O 的切线；⑶证明四边形 AMEN 是菱形，并求该菱形的面积 S ．1035．如图，在△ABC 中 ∠ACB = 90 ， D 是 A B 的中点，以 D C为直径的O 交△ABC 的三边，交点分别是 G ，F ，E 点． G E ，CD 的交点为 M ，且 ME ， MD : C O = 2 : 5 ．（1）求证： ∠GEF = ∠A ．（2）求O 的直径 CD 的长．（3）若 c os ∠B = 0.6 ，以 C 为坐标原点，CA ，CB 所在的直线分别为 X 轴和Y 轴，建立平面直角坐标系， 求直线 AB 的函数表达式．BGFDMOC E A。

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