2020年全国高考理科数学试题及答案-全国

2020年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ卷)

理科数学(必修+选修II)

参考公式：

如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式

()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=

如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 33

4

V R π=

n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径

()(1)(0,1,2,)k k

n k n n P k C p p k n -=-=…

一、选择题 (1)复数

3223i

i

+=- (A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i (2)记cos(80)k -?=,那么tan100?=

A.21k k -

B. -21k k

- C.

2

1k k

- D. -

2

1k k

-

(3)若变量,x y 满足约束条件1,

0,20,y x y x y ≤??

+≥??--≤?

则2z x y =-的最大值为

(A)4 (B)3 (C)2 (D)1

（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则

456a a a =

(A) 52 (B) 7 (C) 6 (D) 42

(5)35

3(12)(1)x x +-的展开式中x 的系数是

(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4

(6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程

中各至少选一门，则不同的选法共有

(A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种

（7）正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为

A

23 B 33 C 2

3

D 63

（8）设a=3log 2,b=In2,c=1

2

5

-,则

A a

(9)已知1F 、2F 为双曲线C:2

2

1x y -=的左、右焦点，点p 在C 上，∠1F p 2F =0

60，则P

到x 轴的距离为

(A)

32 (B)62

(C) 3 (D) 6

（10）已知函数()|lg |f x x =,若0

(A)(22,)+∞ (B)[22,)+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞

（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ?的最小值为

(A) 42-+ (B)32- (C) 422-+ (D)322-+

（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为

(A) 23 43 (C) 3 (D) 83

绝密★启用前

2020年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(必修+选修II)

第Ⅱ卷

注意事项：

1．答题前，考生先在答题卡上用直径毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2．第Ⅱ卷共2页，请用直径毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。 3。第Ⅱ卷共l0小题，共90分。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． (注意：在试题卷上作答无效)

(13)不等式2211x x +-≤的解集是 . (14)已知α为第三象限的角，3cos 25α=-

,则tan(2)4

π

α+= . (15)直线1y =与曲线2

y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 . (16)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，

cot cot a b a A b B +=+且BF 2FD =，则C 的离心率为 .

三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分10分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．) 已知ABC 的内角A ，B 及其对边a ，b

满足cot cot a b a A b B +=+，求内角C ．

(18)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．)．

投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审， 则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评 审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录 用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3． 各专家独立评审．

(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；

(II)记X 表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X 的分布列及期望．

（19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB ⊥⊥（Ⅰ）证明：SE=2EB ； （Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .

(20)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.

（Ⅰ）若2

'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围； （Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥ .

（21）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D . （Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上； （Ⅱ）设8

9

FA FB =，求BDK ?的内切圆M 的方程 .

（22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知数列{}n a 中，111

1,n n

a a c a +==-

.[来源:学*科*网] （Ⅰ）设51,22

n n c b a =

=-，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围

2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）

理科数学试题(必修+选修Ⅱ)参考答案

一、选择题

1. A

2. B

3. B

4. A

5. C

6. A

7. D

8. C

9. B 10. C 11. D 12. B 二、填空题

13. {|02}x x ≤≤ 14. 17- 15. 5

(1,)4

16. 3

三、解答题 17. 解：

由cot cot a b a A b B +=+及正弦定理得

sin sin cos cos sin cos cos sin A B A B

A A

B B

+=+-=-

从而sin cos

cos sin

cos sin

sin cos

4

4

4

4

A A

B B π

π

π

π

-=-

sin()sin()44

A B ππ

-=-

又0A B π<+< 故4

4

A B π

π

-

=

-

2

A B π+=

所以2

C π

=

18. 解：

(Ⅰ)记 A 表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审； B 表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审； C 表示事件：稿件能通过复审专家的评审； D 表示事件：稿件被录用.

则 D=A+B·C,

()0.50.50.25,()20.50.50.5,()0.3,P A P B P C =?==??==

()()P D P A B C =+ =()()P A P B C + =()()()P A P B P C + =+× =.

(Ⅱ)~(4,0.4)X B ，其分布列为： 4

(0)(10.4)0.1296,P X ==-=

13

4(1)0.4(10.4)0.3456,P X C ==??-= 222

4(2)0.4(10.4)0.3456,P X C ==??-=

33

4(3)0.4(10.4)0.1536,P X C ==??-=

4

(4)0.40.0256.P X === 期望40.4 1.6EX =?=. 19. 解法一：

(Ⅰ)连接BD,取DC 的中点G ，连接BG,

由此知 1,DG GC BG ===即ABC ?为直角三角形，故

BC BD ⊥.

又ABCD,BC SD SD ⊥⊥平面故,

所以，BC ⊥⊥平面BDS,BC DE .

作BK ⊥EC,EDC SBC K ⊥为垂足，因平面平面，

故,BK EDC BK DE DE ⊥⊥平面，与平面SBC 内的两条相交直线BK 、BC 都垂直 DE ⊥平面SBC ，DE ⊥EC,DE ⊥SB

226SB SD DB =+=

3

SD DB DE SB =

=

22626-,-33

EB DB DE SE SB EB ==

== 所以，SE=2EB (Ⅱ) 由225,1,2,,SA SD AD AB SE EB AB SA =

+===⊥知

2

2

121,AD=133AE SA AB ????

=+= ? ?????

又.

故ADE ?为等腰三角形.

取ED 中点F,连接AF ,则226

,3

AF DE AF AD DF ⊥=-=

. 连接FG ，则//,FG EC FG DE ⊥.

所以，AFG ∠是二面角A DE C --的平面角. 连接AG,A G=2,2263

FG DG DF =

-=

, 2221

cos 22

AF FG AG AFG AF FG +-∠==-,

所以，二面角A DE C --的大小为120°. 解法二：

以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系D xyz -， 设A(1,0,0)，则B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2) （Ⅰ）(0,2,-2),(-1,1,0)SC BC ==

设平面SBC 的法向量为n=(a,b,c)

由,n SC n BC ⊥⊥，得0,0n SC n BC == 故2b-2c=0,-a+b=0

令a=1，则b=c,c=1,n=(1,1,1) 又设SE EB λ= (0)λ>，则

2

(,,)111E λλλλλ

+++

2

(,,),(0,2,0)111DE DC λλλλλ

==+++

设平面CDE 的法向量m=(x,y,z) 由,m DE m DC ⊥⊥,得

0m DE ⊥=，0m DC ⊥= 故

20,20111x y z

y λλλλλ

++==+++. 令2x =，则(2,0,)m λ=-.

由平面DEC ⊥平面SBC 得m ⊥n,0,20,2m n λλ=-== 故SE=2EB

（Ⅱ）由（Ⅰ）知222(,,)333E ，取DE 的中点F ，则111211(,,),(,,)333333

F FA =--，

故0FA DE =，由此得FA DE ⊥ 又242

(,,)333

EC =-

-，故0EC DE =，由此得EC DE ⊥， 向量FA 与EC 的夹角等于二面角A DE C --的平面角 于是 1

cos(,)2||||

FA EC FA EC FA EC =

=-

所以，二面角A DE C --的大小为120

20.解： （Ⅰ）11

()ln 1ln x f x x x x λ

+'=

+-=+， ()ln 1xf x x x '=+,

题设2

()1xf x x ax '≤++等价于ln x x a -≤. 令()ln g x x x =-，则1

()1g x x

'=

- 当01x ＜＜，'()0g x ＞；当1x ≥时，'()0g x ≤，1x =是()g x 的最大值点， ()(1)1g x g =-≤ 综上，a 的取值范围是[)1,-+∞.

(Ⅱ)由（Ⅰ）知，()(1)1g x g =-≤即ln 10x x -+≤.

当01x ＜＜时，()(1)ln 1ln (ln 1)0f x x x x x x x x =+-+=+-+≤； 当1x ≥时，

()ln (ln 1)f x x x x x =+-+

1

ln (ln 1)x x x x =++- 11

ln (ln 1)x x x x

=--+

0≥ 所以(1)()0x f x -≥ 21. 解：

设11(,)A x y ，22(,)B x y ，11(,)D x y -，l 的方程为1(0)x my m =-≠. （Ⅰ）将1x my =-代入2

4y x =并整理得

2440y my -+= 从而12124,4y y m y y +== 直线BD 的方程为

21

2221

()y y y y x x x x +-=

--

即222214

()4

y y y x y y -=--

令0y =，得12

14

y y x =

= 所以点F(1,0)在直线BD 上 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，

2

1212(1)(1)42x x my my m +=-+-=-

1212(1)(1) 1.x x my my =--=

因为 11(1,),FA x y =-22(1,)FB x y =-，

212121212(1)(1)()1484FA FB x x y y x x x x m ?=--+=-+++=-

故 2

8849

m -=

， 解得 43

m =±

所以l 的方程为

3430,3430x y x y ++=-+= 又由（Ⅰ）知

21y y -==故直线BD

的斜率

214y y =-

因而直线BD

的方程为330,330.x x +-=-=

因为KF 为BKD ∠的平分线，故可设圆心(,0)(11)M t t -<<，(,0)M t 到l 及BD 的

距离分别为3131,54

t t +-. 由

313154t t +-=得19

t =，或9t =（舍去）， 故 圆M 的半径312

53

t r +==. 所以圆M 的方程为22

14()9

9

x y -+=

. {