计数原理(总结+习题)

一、 教学目标：
（1）理解分类计数原理与分步计数原理，并能利用它们解决简单的实际问题
（2）体会等价转化的数学思想、分类讨论的数学思想、列举数数法、字典排序法、模型法等数学思想方法的应用.

二、 知识要点分析：
1. 分类计数原理
做一件事情，完成它可以用n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的办法…，在n类办法中有mn种不同的办法，那么完成这件事共有N类不同的方法.N= .
注：（1）从集合观点理解：如果完成一件事情有A，B两类办法，集合A，B的交集是空集，在A中有m1个元素（m1种方法）在B中有m2个元素（m2种方法），则完成这件事情不同方法的种数即集合 元素的个数.

（2）在分类计数原理中，n类办法中相互独立，无论哪一类办法中的哪一种方法都能独立完成这件事.
2. 分步计数原理
做一件事情，完成它需要n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的办法……，做第n步有mn种不同的办法，那么完成这件事共有N种不同的方法.N=
注：（1）集合观点的理解：做一件事情需要A，B两个步骤.在完成A步骤时有m1种方法，完成B步骤时有m2种方法，则完成这件事情的不同方法种数是：
（2）分步计数原理各步骤相互依存，只有各步骤都完成才能做完这件事.
3. 两个原理综合应用的方法：
（1）列举数数法：就是完成一件事方法不是很多，一一列举出来，然后一种一种地数，这种方法适用于：数目较少的问题.
（2）字典排序法：把所有的字母或数字或其它，按照顺序依次排出来，所有的字母或数字或其它排完后结束.
（3）模型法：根据题意构建相关的图形，利用图形构建两个原理的模型.

【典型例题】
知识点一：分类计数原理
例1. 一个书包内有7本不同的小说，另一个书包内有5本不同的教科书，从两个书包中任取一本书的取法有（ ）
A. 7 B. 5 C. 12 D. 35
题意分析：要完成的一件事是：“从两个书包中任取一本书”，完成它有两类办法.这两类办法都可以完成这件事，显然利用分类计数原理.
思路分析：根据题意分析知：完成：“从两个书包中任取一本书”这件事，有两类办法：（一）：从小说中取，（二）：从教科书中取.
解题步骤：完成：“从两个书包中任取一本书”这件事，有两类办法.第一类是从7本小说中任取一本有7种不同的取法，第二类是从5本教科书中任取一本有5种不同的取法.根据分类计数原理知：从两个书包中任取一本书的取法是：7＋5=12种，选（C）
解题后的思考：本题主要分清完成这件事是什么？其次要明白完

成它有几类办法？每一类办法又有几种方法？易错点是：不能弄清楚完成这件事有几类办法.

例2. 在所有的两位数中个位数字比十位数字大的两位数有多少个？
题意分析：把从10到99中所有个位数字大于十位数字的两位数的个数相加，利用分类计数原理
思路分析：分析个位数字进行分类：个位数字是9，个位数字是8，个位数字是7，等等，把各种情形下满足条件的个数相加.
解题步骤：对个位数字分类：
（1）当个位数字是9时，十位数字可以是：1的数有6，5，4，3，2，1个，故满足条件的数有1+2+3+4+5+636个.
解题后的思考：本题考查分类计数原理，解题的关键是合理的分类，把个位数字分为8种情形，把每一类中满足条件的数找出来，然后相加.体现分类讨论的数学思想和列举的数数方法的应用.易错点：分类不清楚或每一类中满足条件的数的个数找不全.

例3. 已知直线ax+by+c=0倾斜角是锐角，这样的直线有多少条？
题意分析：由已知直线的倾斜角是锐角知：ab<0，（不妨设a>0，b<0），根据此条件把倾斜角是锐角的直线找出来，相加即得答案，利用分类计数原理.
思路分析：由已知：ab<0，（不妨设a>0，b<0），在此条件下有两种情形（1）c=0，（2） ，在a>0，b<0，c=0的情形下直线的条数加上a>0，b<0， 条件下的直线条数.
解题步骤：因为直线ax+by+c=0的倾斜角是锐角，故ab<0，不妨设a>0，b<0，（1）当c=0时，a有3种取法，b有3种取法，两个步骤完成即可确定直线，此时有3 条直线，但要去掉重复的2条（3x－3y=0，2x－2y=0，x－y=0为同一条直线），此时满足条件的直线有：9－2=7（条）
（2）当 时，a有3种取法，b有3种取法，c有4种取法.这三个步骤完成才能确定直线，并且任意两条直线均不相同.此时满足条件的直线条数是3 条，由分类计数原理知：共有36＋7=43条直线.
解题后的思考：本题从总体看利用分类计数原理，但在每一类中利用了分步计数原理，本题的关键是分类要合理，体现分类讨论的数学思想的应用，易错点是（1）分类不清，（2）没有去掉重复的直线.
小结：本组例题主要是分类计数原理的应用，在应用时要注意如何分类才能合理，在每一类中有多少种方法，做到不重不漏.

知识点二：分步计数原理
例1. 用0，1，2，3，4排成可以重复的5位数，若中间的三位数字各不相同，首末两位数字相同，这样的5位数共有（ ）个
A. 480 B. 240 C. 96 D. 48
题意分析：本题考查分步计数原理，分步排各位上的数字.
思路分析：第一步先排首末两位相同的数字，第二步排十位数字，第三步排百位数字，第四步排千位数字.不能选0，共

有4种选法
第二步：排十位数字有5种排法（因数字可以重复）
第三步：排百位数字，除去十位选过后有4种选法.（数字可重复）
第四步：排千位数字，除去十位、百位选过的数字还有3种选法（数字可重复），根据分步计数原理知：共有 ，选（B）
解题后的思考：本题是分步计数原理的应用，逐步完成每一步骤才能确定满足题设条件的5位数，体现了字典排序法的应用，易错点是：在每一步中出现错误.

例2. （1）8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本有多少种不同的分法？
（2）将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？
（3）3位旅客到4个旅馆住宿，有多少种住宿方法？
题意分析：（1）假设甲、乙、丙三同学从8本书中依次取，（2）分四步进行，每一步投一封信.（3）分三步进行，每一步安排一位旅客.以上三题均利用分步计数原理.
思路分析：（1）三位同学依次从8本书中选取（选取不放回），故分三步进行，第一位同学有8种选法，第二位同学有7种选法，第三位同学有6种选法.
（2）4封信投入三个邮筒分四步实施，每一封信都有3种投法.
（3）每一位旅客都有4种选择住宿的方法.
解题步骤：（1）第一位同学从8本书中任选一本有8种选法，第二位同学从余下的7本书中任选一本有7种选法，第三位同学还剩下6本书供选择有6种选法.由分步计数原理知：共有 种选法.
（2）完成这件事分四步进行，每一步投一封信，每一封信都有3种选择，即每一封信都有3种投法.由分步计数原理知：共有 种.
（3）完成这件事分三步进行，每一步安排一名旅客，每一位旅客都有4种不同的住宿方法.由分步计数原理知：共有64种方法.
解题后的思考：本题中的三个题都是分步计数原理的应用，关键是掌握如何分步的问题，特别是（2）（3）两题都是重复选取的问题，要注意其区别，关键是谁选择谁，易错点是： 的混淆.

例3. 将红、黄、绿、黑四种颜色涂入图中的五个区域，要求相邻的区域不同色，问有多少种不同的涂色方法？
题意分析：本题是涂色问题，把五个区域依次记为：A，B，C，D，E（如图）

对各个区域的涂色方法要注意相邻的区域不能同色，对于区域E的涂色方法种数取决于区域B，D是否同色，故要对区域B，D是否同色讨论.
思路分析：先涂区域A有4种涂色方法，对B有3种涂色方法，区域C、D分别有2种涂色方法，对区域E涂色方法的种数取决于B、D区域是否同色.
解题步骤：区域A有4种涂色方法.区域B有3种涂色方法，区域C有2种，区域D有2种，但区域E的颜色依赖于B，D所涂的颜色，故应先分类后分步：
（1）当B，D同色时，区域E有2种涂色

方法，此时有 种
（2）当B，D不同色时，区域E有1种涂色方法，此时有 种，故共有48＋24=72种.
解题后的思考：像这类区域涂色问题应该给区域依次标上符号，以便分析问题，在给各区域涂色时，要注意不同的涂色顺序其解题就有繁简之分，本题若按A，B，E，D，C顺序涂色时，在最后给C区域涂色时，要考虑A，E是否同色，B，D是否同色两种情况.这体现了分类讨论的数学思想方法 的应用.因此在分析解决问题时，应按不同的涂色顺序多尝试一下，看哪种方法简单.本题的易错点：没有考虑B，D是否同色.
小结：本题组主要考查分步计数原理，解题的关键是合理的分步，对两个原理综合应用的题目要注意分类与分步的综合应用，一般先分类后分步.分类要根据题目的特点合理的分类.

【本题涉及的数学思想、方法】：
本讲主要讲述分类计数原理和分步计数原理的应用，在应用这两个原理解决实际问题过程中体现了分类讨论的数学思想及列举数数法、字典排序法等数学思想方法的应用.


【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一、填空题（每题5分，计30分）
1. 一个学生从3本不同的科技书、4本不同的文艺书、5本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有_________________种.
2. 一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有_________________种不同的选法.
3. 一商场有3个大门，商场内有2个楼梯，顾客从商场外到二楼的走法有__________种.
4. 从分别写有1，2，3，……，9的九张数字卡片中，抽出两张数字和为奇数的卡片，共有_________________种不同的抽法.
5. 3个元素的集合到4个元素的集合的不同的映射有_________个.
6. 从0，1，2，……，9这十个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法有_________________种.

二、计算题（每题10分，计30分）
7. 如图是广场中心的一个大花坛，国庆期间要在A、B、C、D四个区域摆放鲜花，有4种不同颜色的鲜花可供选择，规定每个区域只准摆放一种颜色的鲜花，相邻区域鲜花颜色不同，问共有多少种不同的摆花方案？

8 .书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？
9. 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码?


【试题答案】
一、填空题
1. 12 解析：利用分类计数原理，N=3+4+5=12.
2. 20 解析:分步计数原理:N=4
3. 6 解析：N=3
4. 20 解析：把1

到9数字分类，设A={1，3，5，7，9}， B={2，4，6，8}，第一步从集合A中选一个数字是奇数有5种选法，第二步从集合B中选一个偶数有4种选法，故N=4 .
5. 64 解析：N=4 .
6. 20 解析：把0到9这10个数字分类：集合A={0，2，4 6，8}，B={1，3，5，7，9}，两个数字和是偶数有两种情形：（1）奇数＋奇数，（2）偶数＋偶数，每种情形各有10种方法，共有20种方法.

二、计算题
7. 解：给图中四个区域摆放鲜花，有4类办法：

第1类四个区域鲜花颜色全不相同，依A、B、C、D的顺序依次摆放，
共有4×3×2×1=24种；
第2类AC同色，BD不同色，共有4×3×2=24种；
第3类BD同色，AC不同色，共有4×3×2=24种；
第4类AC同色，BD同色，共有4×3=12种.
依据分类计数原理，共有不同的摆花方案种数为：N=24+24+24+12=84
答：共有84种不同的摆花方案.
8. 解：（1）从书架上任取1本书，有3类办法：
第1类办法是从第1层取1本计算，有3种取法；
第3类办法是从第3层取1本体育书，有2种取法.
根据分类计数原理，不同取法的种数是：N=m1＋m2＋m3=4+3+2=9
答：从书架上取1本书有9种不同的取法.
（2）从书架的1、2、3层各取1本书，分3个步骤完成：
第1步从第1层取1本计算机书，有4种取法；
第2步从第2层取1本文艺书，有3种取法；
第3步从第3层取1本体育书，有2种取法.
根据分步计数原理，不同取法的种数是：N=m1×m2×m3=4×3×2=24
答：从书架的第1、2、3层各取1本书，有24种不同的取法.
9. 解：由于号码锁的每个拨号盘有从0到9这10个数字，每个拨号盘的数字有10种取法.根据分步计数原理，4个拨号盘上各取1个数