高三数学导数的概念及应用
高三数学考点-导数的概念及运算
第三章 导数及其应用1.了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．3．能根据导数的定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝1x，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数．4．能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数． ①常见的基本初等函数的导数公式： (C )′＝0(C 为常数); (x n )′＝nx n －1(n ∈N ＋)； (sin x )′＝cos x; (cos x )′＝－sin x ； (e x )′＝e x;(a x )′＝a x ln a (a >0，且a ≠1)；(ln x )′＝1x ；(log a x )′＝1x log a e(a >0，且a ≠1)．②常用的导数运算法则： 法则1：[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )． 法则2：[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )．法则3：⎣⎡⎦⎤u （x ）v （x ）′＝u ′（x ）v （x ）－u （x ）v ′（x ）v 2（x ）(v (x )≠0)．5．了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．6．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)． 7．会用导数解决实际问题．8．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 9．了解微积分基本定理的含义．3．1 导数的概念及运算1．导数的概念 (1)定义如果函数y ＝f (x )的自变量x 在x 0处有增量Δx ，那么函数y 相应地有增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，比值ΔyΔx就叫函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，即Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .如果当Δx →0时，ΔyΔx有极限，我们就说函数y ＝f (x )在点x 0处 ，并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数，记作 或y ′|0|x x =，即f ′(x 0)＝0lim →∆x Δy Δx ＝0lim →∆x f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .(2)导函数当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)．y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝0lim →∆x f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx .(3)用定义求函数y ＝f (x )在点x 0处导数的方法 ①求函数的增量Δy ＝ ；②求平均变化率ΔyΔx＝ ；③取极限，得导数f ′(x 0)＝0lim →∆x ΔyΔx .2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是 ．相应的切线方程为 ． 3．基本初等函数的导数公式(1)c ′＝(c 为常数)， (x α)′＝(α∈Q *)； (2)(sin x )′＝____________， (cos x )′＝____________； (3)(ln x )′＝____________， (log a x )′＝____________； (4)(e x )′＝____________， (a x )′＝____________. 4．导数运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝__________________. (2)[f (x )g (x )]′＝____________________；当g (x )＝c (c 为常数)时，即[cf (x )]′＝____________. (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ） ′＝___________________ (g (x )≠0)． 5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为______________．即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．自查自纠1．(1)可导 f ′(x 0)(3)①f (x 0＋Δx )－f (x 0) ②f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx2．f ′(x 0) y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0) 3．(1)0 αxα－1(2)cos x －sin x (3)1x 1x ln a(4)e x a x ln a4．(1)f ′(x )±g ′(x ) (2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) cf ′(x )(3)f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]25．y x ′＝y ′u ·u ′x设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：因为y ′＝a －1x ＋1，所以切线的斜率为a －1＝2，解得a ＝3.故选D .(2015·陕西)设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为( )A ．(1，1)B ．(－1，－1)C ．(1，－1)D ．(－1，1)解：对y ＝e x 求导得y ′＝e x ，令x ＝0，得曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线y ＝1x(x >0)上点P 处的切线斜率为－1，由y ′＝－1x 2＝－1，得x ＝1，则y ＝1，所以P 的坐标为(1，1)．故选A .(2015·陕西)函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为( ) A ．y ＝e x B ．y ＝(1＋e)xC ．y ＝1eD ．y ＝－1e解：记y ＝f (x )＝x e x ，则f ′(x )＝(1＋x )e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝－1，此时f (－1)＝－1e.故函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为y ＝－1e .故选D .(2016·天津)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________． 解：f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ，所以f ′(0)＝3e 0＝3.故填3.(教材习题改编)若函数f (x )＝x 2＋2x －3，则曲线y ＝f (x )在点P (2，5)处的切线的斜率是________． 解：f ′(x )＝2x ＋2，f ′(2)＝6.故填6.类型一 导数的概念用定义法求函数f (x )＝x 2－2x －1在x ＝1处的导数． 解法一：Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝(x ＋Δx )2－2(x ＋Δx )－1－(x 2－2x －1) ＝x 2＋2x ·Δx ＋Δx 2－2x －2Δx －1－x 2＋2x ＋1 ＝(2x －2)Δx ＋Δx 2，所以0lim →∆x Δy Δx ＝0lim →∆x （2x －2）Δx ＋Δx 2Δx＝0lim →∆x [(2x －2)＋Δx ]＝2x －2.所以函数f (x )＝x 2－2x －1在x ＝1处的导数为 f ′(x )|x ＝1＝2×1－2＝0.解法二：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－1－(12－2×1－1) ＝1＋2Δx ＋Δx 2－2－2Δx －1＋2＝Δx 2，所以0lim →∆x Δy Δx ＝0lim →∆x Δx 2Δx ＝0lim →∆x Δx ＝0.故f ′(x )|x ＝1＝0.【点拨】利用导数定义求函数在某一点处的导数，首先写出函数在该点处的平均变化率ΔyΔx，再化简平均变化率，最后判断当Δx →0时，ΔyΔx 无限趋近于哪一常数，该常数即为所求导数，这是定义法求导数的一般过程．航天飞机发射后的一段时间内，第t s 时的高度h (t )＝5t 3＋30t 2＋45t ＋4(单位：m)． (1)求航天飞机在第1 s 内的平均速度；(2)用定义方法求航天飞机在第1 s 末的瞬时速度． 解：(1)航天飞机在第1 s 内的平均速度为 h （1）－h （0）1＝5＋30＋45＋4－41＝80 m/s.(2)航天飞机第1 s 末高度的平均变化率为h （1＋Δt ）－h （1）Δt＝5（1＋Δt ）3＋30（1＋Δt ）2＋45（1＋Δt ）＋4－84Δt＝5Δt 3＋45Δt 2＋120ΔtΔt＝5Δt 2＋45Δt ＋120，当Δt →0时，5Δt 2＋45Δt ＋120→120， 所以航天飞机在第1 s 末的瞬时速度为120 m/s.类型二 求导运算求下列函数的导数： (1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝3x e x －2x ＋e ；(4)y ＝ln xx 2＋1；(5)y ＝ln(2x －5)．解：(1)因为y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1) ＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ， 所以y ′＝18x 2－10x －4.(2)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′ ＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′ ＝3x e x ln3＋3x e x －2x ln2 ＝(ln3＋1)(3e)x －2x ln2.(4)y ′＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x （x 2＋1）－2x ln x （x 2＋1）2＝x 2（1－2ln x ）＋1x （x 2＋1）2.(5)令u ＝2x －5，y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.【点拨】求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错，常用求导技巧有： (1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； (6)复合函数：由外向内，层层求导．求下列函数的导数： (1)y ＝e x cos x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (3)y ＝ln x ex ；(4)y ＝ln 1＋2x ；(5)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2；解：(1)y ′＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′＝e x (cos x －sin x )． (2)因为y ＝x 3＋1＋1x 2，所以y ′＝3x 2－2x3.(3)y ′＝（ln x ）′e x －（e x ）′ln x （e x ）2＝1x e x －e x ln x （e x ）2＝1x －ln x e x ＝1－x ln x x e x .(4)y ＝ln 1＋2x ＝12ln(1＋2x )，所以y ′＝12·11＋2x (1＋2x )′＝12·11＋2x ·2＝11＋2x.(5)因为y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π) ＝－12x sin4x .所以y ′＝－12sin4x －12x ·4cos4x ＝－12sin4x －2x cos4x .类型三 导数的几何意义(2016·广州模拟)f (x )＝2x＋3x 的图象在点(1，f (1))处的切线方程为________．解：f ′(x )＝－2x 2＋3，f ′(1)＝1，即切线的斜率为1，又f (1)＝5，即切点坐标为(1，5)，故切线方程为y －5＝x －1，即x －y ＋4＝0.故填x －y ＋4＝0. 【点拨】曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简．(2)如果已知点(x 1，y 1)不在曲线上，则设出切点(x 0，y 0)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝f （x 0），y 1－y 0x 1－x 0＝f ′（x 0），得切点(x 0，y 0)，进而确定切线方程．注意：①求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上．②与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个．(2016·广州模拟)曲线y ＝14x 2过点⎝⎛⎭⎫4，74 的切线方程为________． 解：设所求切线与曲线相切于点P ⎝⎛⎭⎫x 0，14x 20.易知y ′＝12x ，则y ′|x ＝x 0＝12x 0.故74－14x 204－x 0＝ 12x 0，整理得x 20－8x 0 ＋ 7 ＝ 0，解得x 0＝7或x 0＝1，所以点P ⎝⎛⎭⎫7，494或P ⎝⎛⎭⎫1，14，由两点式得切线方程为14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0.故填14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0.(2016·兰州诊断)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．－3 D.12解：y ′＝x 2－3x ，令y ′＝－12，得x 2＋x －6＝0，解得x ＝2或x ＝－3(舍去)，所以所求切点的横坐标为2.故选B .【点拨】求切点坐标问题，一般通过解方程或方程组求得，要注意其取值范围．(2016·无锡一模)曲线y ＝x －1x(x ＞0)上点P (x 0，y 0)处的切线分别与x 轴，y 轴交于点A ，B ，O 是坐标原点，若△OAB 的面积为13，则点P 的坐标为________．解：由题意可得y 0＝x 0－1x 0，x 0＞0，因为y ′＝1＋1x2，所以过点P 的切线的斜率为1＋1x 20，则切线的方程为y －x 0＋1x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋1x 20(x －x 0)， 令x ＝0得y ＝－2x 0，令y ＝0得x ＝2x 01＋x 20，所以△OAB 的面积S ＝12·2x 0·2x 01＋x 20＝13，解得x 0＝5(舍去负根)，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫5，455. 故填⎝⎛⎭⎫5，455.(2016·柳州模拟)曲线g (x )＝x 3＋52x 2＋3ln x ＋b (b ∈R )在x ＝1处的切线过点(0，－5)，则b ＝( )A.72B.52C.32D.12解：g ′(x )＝3x 2＋5x ＋3x ，则g ′(1)＝11，又g (1)＝72＋b ，故曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎫72＋b ＝11(x －1)，由该切线过点(0，－5)，得b ＝52.故选B .【点拨】处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2 解：设切点坐标为(x 0，y 0)，对曲线方程求导得y ′＝1x ＋a ，故切线方程为y －ln(x 0＋a )＝1x 0＋a (x －x 0)，即y ＝1x 0＋ax －x 0x 0＋a ＋ln(x 0＋a )，据题意得1x 0＋a ＝1且－x 0x 0＋a ＋ln(x 0＋a )＝1，解得x 0＝－1，a ＝2.故选B .1．“函数在点x 0处的导数”“导函数”“导数”的区别与联系 (1)函数在点x 0处的导数f ′(x 0)是一个常数，不是变量．(2)函数的导函数(简称导数)，是针对某一区间内任意点x 而言的．函数f (x )在区间(a ，b )内每一点都可导，是指对于区间(a ，b )内的每一个确定的值x 0，都对应着一个确定的导数f ′(x 0)，根据函数的定义，在开区间(a ，b )内就构成了一个新的函数，也就是函数f (x )的导函数f ′(x )．(3)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的两种常用求法 (1)利用导数的定义，即求0lim →∆x f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx 的值；(2)求导函数在x 0处的函数值：先求函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的导函数f ′(x )，再将x 0(x 0∈(a ，b ))代入导函数f ′(x )，得f ′(x 0)．3．关于用导数求曲线的切线问题(1)圆是一种特殊的封闭曲线，注意圆的切线的定义并不适用于一般的曲线．(2)求曲线在某一点处的切线方程，这里的某一点即是切点，求解步骤为先求函数在该点的导数，即曲线在该点的切线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程．(3)求过某点的曲线的切线方程，这里的某点可能是切点(点在曲线上的情形)，也可能不是切点，即便点在曲线上，切线也不一定唯一．1．(2016·郑州一检)曲线f (x )＝e x sin x 在点(0，f (0))处的切线斜率为( )A ．0B ．－1C ．1 D.22解：f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ，所以k ＝f ′(0)＝1.故选C .2．P 0(x 0，y 0)是曲线y ＝3ln x ＋x ＋k (k ∈R )上的一点，曲线在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则实数k 的值为( )A ．2B ．－2C ．－1D ．－4解：y ′＝3x ＋1，令其等于4得x ＝1，代入切线方程得y ＝3，即切点坐标为(1，3)，代入曲线方程得3＝1＋k ，k ＝2.故选A .3．(2016·淄博质检)已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，如果f ′(x )是二次函数，f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任一点处的切线的倾斜角α的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π3B.⎣⎡⎭⎫π3，π2C.⎝⎛⎦⎤π2，2π3D.⎣⎡⎭⎫π3，π解：依题意得f ′(x )≥3，即曲线y ＝f (x )在任意一点处的切线斜率不小于3，故其倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫π3，π2.故选B .4．(2017·西安质测)曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A ．(1，3) B ．(－1，3) C ．(1，3)和(－1，3) D ．(1，－3)解：f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，所以P (1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y ＝2x －1上．故选C .5．(2017·石家庄调研)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( )A ．eB ．－e C.1e D ．－1e解：y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则y ′|x ＝x 0＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0，0)，所以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e .故选C .6．(2016·郑州二测)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解：l 与y 轴交点为(0，2)，可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率k 等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0.故选B . 7．(2016·江西师大附中三模)如图所示，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线，则f (4)＋f ′(4)的值为________．解：由图可知f (4)＝5，f ′(4)的几何意义是曲线y ＝f (x )在x ＝4处切线的斜率，故f ′(4)＝5－34－0＝12，故f (4)＋f ′(4)＝5.5.故填5.5.8．已知函数f (x )＝e x －mx ＋1的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线y ＝e x 垂直的切线，则实数m 的取值范围是________．解：由题意知，方程f ′(x )＝－1e 有解，即e x －m ＝－1e 有解，即e x ＝m －1e 有解，故只要m －1e >0，即m >1e即可．故填⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞. 9．求函数f (x )＝x 3－4x ＋4图象上斜率为－1的切线方程． 解：设切点坐标为(x 0，y 0)，因为f ′(x 0)＝3x 20－4＝－1，所以x 0＝±1. 所以切点为(1，1)或(－1，7)． 切线方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0.10．(2017·长沙调研)已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程； (2)切线l 的倾斜角α的取值范围．解：(1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53，所以斜率最小的切线过点⎝⎛⎭⎫2，53，斜率k ＝－1， 所以所求切线方程为3x ＋3y －11＝0.(2)由(1)得k ≥－1，所以tan α≥－1，又因为α∈[0，π)，所以α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π.故α的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π.11．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求满足斜率为1的曲线的切线方程； (2)求曲线在点P (2，4)处的切线方程； (3)求曲线过点P (2，4)的切线方程． 解：(1)y ′＝x 2，设切点为(x 0，y 0)，故切线的斜率为k ＝x 20＝1，解得x 0＝±1，故切点为⎝⎛⎭⎫1，53，(－1，1)． 故所求切线方程为y －53＝x －1和y －1＝x ＋1，即3x －3y ＋2＝0和x －y ＋2＝0.(2)因为y ′＝x 2，且P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，所以在点P (2，4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4. 所以曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(3)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，又因为切线的斜率k ＝y ′|x =x 0＝x 20， 所以切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43. 因为点P (2，4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，所以x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(2017·浙江杭州模拟)若存在过点(1，0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解：设过点(1，0)的直线与曲线y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又点(1，0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1.故选A .。
导数及其应用
(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
关闭
答案
-9-
知识梳理 双基自测
12345
2.(2016河南郑州一模)曲线f(x)=excos x在点(0,f(0))处的切线斜率 为( )
A.0
B.-1
C.1
D.√22
∵f'(x)=excos x-exsin x, ∴k=f'(0)=e0(cos 0-sin 0)=1.
考点1
考点2
-14-
解 (1)y'=(ex)'sin x+ex(sin x)'
=exsin x+excos x.
(2)∵y=x3+1+���1���2,∴y'=3x2-���2���3.
(3)∵y=x-sin ���2���cos ���2���=x-12sin x,
∴y'=
������-
1 2
sin������
1
f'(x)= ������
-6-
知识梳理 双基自测
123456
5.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]'= f'(x)±g'(x) ;
(2)[f(x)·g(x)]'= f'(x)g(x)+f(x)g'(x);
(3)
������(������) ������(������)
'=������'(������)������[(������������()���-������)���](2������)������'(������)(g(x)≠0).
考点1
考点2
导数的概念及运算课件——2025届高三数学一轮复习
B．2f ′(3)<2f ′(5)<f (5)－f (3)
C．f (5)－f (3)<2f ′(3)<2f ′(5)
D．2f ′(5)<2f ′(3)<f (5)－f (3)
A
[由题图知：f
5 − 3
′(3)<
5−3
<f ′(5)，
即2f ′(3)<f (5)－f (3)<2f ′(5)．故选A.]
y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)
斜率
线的____，相应的切线方程为_____________________．
提醒：求曲线的切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只
有一条，而后者包括了前者．
第1课时 导数的概念及运算
链接教材
夯基固本
典例精研
核心考点
3．基本初等函数的导数公式
)
第1课时 导数的概念及运算
链接教材
夯基固本
4．(人教A版选择性必修第二册P81习题5.2T7改编)函数f
典例精研
核心考点
课时分层作业
1
x
(x)＝e ＋ 的图象在x＝1
y＝(e－1)x＋2
处的切线方程为_______________．
y＝(e－1)x＋2
1
[∵f ′(x)＝ex－ 2 ，∴f ′(1)＝e－1，又f (1)＝e＋1，∴切点为(1，
cf ′(x)
(4)[cf (x)]′＝_______．
5．复合函数的定义及其导数
一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x
导数的概念及其意义、导数的运算课件-高三数学一轮复习
y′
⋅
u′
u
x
间具有关系′ =__________,这个关系用语言表达就是“对的
导数等于对的导数与对的导数的乘积”
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］
已知函数f x =
[解析] f 6 = 108,f 2 =
2
3x ，则y
=f x
24
在[2,6]上的平均变化率为____.
2−x
e
= 3−
2
x
2−x
e .
探究点二 导数的几何意义
角度1 求切线方程
例2（1）
[2023·南京模拟] 函数f x =
方程为(
)
B
A.y = −2x − 1
4
x
B.y = −2x + 1
−
3
2x 的图象在点
C.y = 2x − 3
1, f 1 处的切线
D.y = 2x + 1
［思路点拨］（1）利用导数的几何意义求切线的斜率，从而求切线的方程.
e .故选C.
=
m
e
m
e
+m=
m
e
− 1)(x − m .
− 1)(e − m ，
e+1
e
− 1)(x − e − 1 − e − 1，
角度2 求切点坐标
例3
已知f x =
3
x
−
2
3x
+ ax − 1，若曲线y = f x 在点 x0 , f x0 处的切线经
1
1或−
过坐标原点，则x0 =_________.
2
［思路点拨］ 根据导数的几何意义及切线过原点写出切线方程，由切线过切点
高三数学求导知识点
高三数学求导知识点求导是高三数学中重要的内容，它是微积分的基础，也是进一步研究函数性质的重要工具。
在高三数学中，求导涉及到常见函数的导数计算、求导法则的应用等。
下面将介绍一些高三数学求导的知识点。
1. 导数的定义导数描述了函数在某一点的变化率，可以用极限来定义。
对于函数y=f(x)，在点x=a处的导数表示为f'(a)，其定义如下：f'(a) = lim（h→0）[f(a+h)-f(a)] / h其中，h是一个趋近于0的实数。
导数描述了函数在该点处的瞬时变化率。
2. 基本函数的导数求法常见的基本函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
求解这些函数的导数可以根据求导法则进行计算。
- 常数函数：常数函数的导数为0。
- 幂函数：幂函数f(x)=x^n的导数为f'(x)=n*x^(n-1)，其中n为实数。
- 指数函数：指数函数f(x)=a^x（a>0，且a≠1）的导数为f'(x)=a^x*ln(a)。
- 对数函数：对数函数f(x)=log_a(x)（a>0，且a≠1）的导数为f'(x)=1 / (x * ln(a))。
- 三角函数：常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们的导数分别为：- 正弦函数f(x)=sin(x)的导数为f'(x)=cos(x)。
- 余弦函数f(x)=cos(x)的导数为f'(x)=-sin(x)。
- 正切函数f(x)=tan(x)的导数为f'(x)=sec^2(x)。
3. 求导法则求导法则是一些常见函数的导数计算公式，可以简化求导过程。
- 基本求导法则：- 函数和：若f(x)=u(x)+v(x)，则f'(x)=u'(x)+v'(x)。
- 函数差：若f(x)=u(x)-v(x)，则f'(x)=u'(x)-v'(x)。
- 数乘：若f(x)=c*u(x)，其中c为常数，则f'(x)=c*u'(x)。
高三数学 3.9导数及其应用复习课件
(3)y′＝2x＋1 5·(2x＋5)′ ＝2x＋2 5.
题型分类·深度剖析
题型三
导数的几何意义
【例 3】 已知函数 f(x)＝x3 思维启迪 解析 思维升华
－4x2＋5x－4.
由导数的几何意义先求斜
(1)求曲线 f(x)在点(2，f(2)) 率，再求方程，注意点是
处的切线方程；
(2)求经过点 A(2，－2)的曲 否在曲线上，是否为切点．
思维启迪 解析 思维升华
导数几何意义的应用，需注 意以下两点： (1)当曲线 y＝f(x)在点(x0， f(x0))处的切线垂直于 x 轴 时，函数在该点处的导数不 存在，切线方程是 x＝x0；
题型分类·深度剖析
题型三
导数的几何意义
【例 3】 已知函数 f(x)＝x3 －4x2＋5x－4. (1)求曲线 f(x)在点(2，f(2)) 处的切线方程；
数学 R B（理）
§3.9 导数及其应用
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
1．函数 y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx]的平均变化率
ΔΔxy＝
fx0＋Δx－fx0 Δx
.
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
2．函数 f(x)在点 x0 处的导数
(1)定义 函数 y＝f(x)在点 x0 的瞬时变化率
练出高分
12
A组 专项基础训练
345678
9 10
7．已知函数 y＝f(x)及其导函数 y＝f′(x) 的图象如图所示，则曲线 y＝f(x)在点 P 处的切线方程是_x_－___y－__2_＝__0__．
解析 根据导数的几何意义及图象可知，曲线 y ＝f(x)在点 P 处的切线的斜率 k＝f′(2)＝1，又 过点 P(2,0)， 所以切线方程为 x－y－2＝0.
数学导数知识点总结高三网
数学导数知识点总结高三网数学导数知识点总结导数是高中数学中非常重要的一个概念，它是微积分的基础，也是其他数学分支如物理、经济学等领域的重要工具。
在高三阶段，学生需要全面掌握导数的基本概念、性质以及应用等方面的知识。
本文将对高三数学导数知识点进行总结和归纳。
一、导数的定义和性质1. 导数的几何意义导数可以理解为函数在某一点处的切线斜率。
具体而言，在一个点 x0 处，函数 f(x) 的导数 f'(x0) 即为函数图像在该点处切线的斜率。
2. 导数的定义设函数 f(x) 在点 x0 处可导，则函数 f(x) 在 x0 处的导数 f'(x0) 定义为极限：f'(x0) = lim┬(h→0)〖(f(x0+h)-f(x0))/(h)〗3. 导数的性质（1）常数导数：常数函数的导数恒为零，即对于任意常数 c，有 (c)' = 0。
（2）幂函数导数：幂函数 f(x) = x^n (其中 n 为常数) 的导数为f'(x) = nx^(n-1)。
（3）和差导数：函数 f(x) = u(x) ± v(x) 的导数为 f'(x) = u'(x) ±v'(x)。
（4）乘积导数：函数 f(x) = u(x) × v(x) 的导数为 f'(x) = u'(x)v(x) + v'(x)u(x)。
（5）商导数：函数 f(x) = u(x) / v(x) 的导数为 f'(x) = (u'(x)v(x) - v'(x)u(x)) / (v(x))^2。
（6）复合函数导数：若函数 y = u(v(x))，则有 y' = u'(v(x)) ×v'(x)。
二、导数的计算方法1. 基本函数的导数（1）常数函数：导数为零。
（2）幂函数：导数为 nx^(n-1)。
（3）指数函数：导数为 a^xlna，其中 a 为底数。
3.1导数的概念及运算课件高三数学一轮复习
解析 (1)f′(x0)表示y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f(x)＝sin(－x)＝－sin x，则f′(x)＝－cos x，(2)错. (3)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(3)错. (4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值 为切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方 程组的思想求切线的方程，在曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切 线可以不止一条，(4)错.
f′(x)＝___e_x__
1
f′(x)＝__x_l_n_a__
1
f′(x)＝__x___
4.导数的运算法则
若 f′(x)，g′(x)存在，则有： [f(x)±g(x)]′＝______f′_(_x_)±_g_′_(_x_) _______； [f(x)g(x)]′＝____f′_(_x_)g_(_x_)_＋__f(_x_)_g_′(_x_)____； gf（（xx））′＝__f_′（__x_）__g_（__x[_g）_（_－_x_）f_（_]_2x_）__g_′_（__x_）__ (g(x)≠0)； [cf(x)]′＝_____c_f_′(_x_)_____.
训练1 (1)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图
象如图所示，则该函数的图象是( B )
解析 由y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图象的切线的斜率 先增大后减小，故选B.
(2)曲线f(x)＝2ln x在x＝t处的切线l过原点，则l的方程是( )
A.f(x)＝x2
B.f(x)＝e－x
C.f(x)＝ln x
D.f(x)＝tan x
解析 若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解， 故A符合要求； 若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；
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变式新题型1： 已知 f (x) ax3 6ax b, x [1,2] 的最大值为3，最小值为 2 9 ，求 a, b 的值。
热点题型2: 函数的极值
已知函数 f ( x) ax 3 bx 2 3 x 在 x 1
处取得极值.（1）讨论 f (1)和 f ( 1是) 函数 f ( x)的极大值还是极小值；（2）过点 A (0 , 1 6)作曲线y f ( x)的切线，求此切线方程.
导数的概念及应用
高三备课
高考考纲透析：（理科）
• (1)了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、 加速度、光滑曲线切线的斜率等)；掌握函数在 一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导 函数的概念。(2)熟记基本导数公式；掌握两个 函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数 的求导法则.会求某些简单函数的导数。(3)理解 可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函 数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数 在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指 单峰函数)的最大值和最小值。
高考风向标：
导数的概念及运算，利用导数研究函数 的单调性和极值，函数的最大值和最小 值，尤其是利用导数研究函数的单调 函数的最值
已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a, （I）求f(x)的单调递减区间；
（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值 为20，求它在该区间上的最小值．
道路护栏：/
发出“吱吱”的仙响！！超然间琳可奥基官员陀螺般地用自己锅底色熊胆似的眼镜替换出葱绿色讲究绕动的田埂，只见他多变的卷发中，威猛地滚出四十串抖舞着『金丝春神石板珠』的仙翅枕头 枪状的标签，随着琳可奥基官员的耍动，仙翅枕头枪状的标签像仙人球一样在肚子上疯狂地替换出飘飘光云……紧接着琳可奥基官员又使自己淡黄色馅饼模样的胸部笑出葱绿色的田埂味，只见他 高贵的鞋中，狂傲地流出四十片粉笔状的仙翅枕头琴，随着琳可奥基官员的摆动，粉笔状的仙翅枕头琴像骨牌一样，朝着壮扭公主憨厚自然、但却带着田野气息的嘴唇疯踢过来……紧跟着琳可奥 基官员也旋耍着法宝像怪石般的怪影一样朝壮扭公主疯转过来壮扭公主突然扁圆的如同天边小丘一样的蒜瓣鼻子顿时狂舞收缩起来……无忧无虑的快乐下巴透出水青色的阵阵晚雾……时常露出欢 快光彩的眼睛透出亮橙色的朦胧异音。接着扭动刚劲有力、无坚不摧的粗壮手指一吼，露出一副典雅的神色，接着晃动奇如熨斗的手掌，像湖青色的黑脸部落驼般的一叫，冰冷的睡意朦胧、但却 时常露出欢快光彩的眼睛顿时伸长了一百倍，反戴着的牛头公主帽也猛然膨胀了九十倍！紧接着扁圆的如同天边小丘一样的蒜瓣鼻子顿时狂舞收缩起来……无忧无虑的快乐下巴透出水青色的阵阵 晚雾……时常露出欢快光彩的眼睛透出亮橙色的朦胧异音。最后摆起镶着八颗黑宝石的腰带一喊，轻飘地从里面射出一道幽光，她抓住幽光原始地一转，一样黑森森、黄澄澄的法宝¤天虹娃娃笔 →便显露出来，只见这个这件玩意儿，一边疯耍，一边发出“呜呜”的余音。！超然间壮扭公主陀螺般地用自己金红色的五光腕铃调配出水青色豪华摇曳的帽徽，只见她异常结实的手臂中，飘然 射出五十片耍舞着¤天虹娃娃笔→的仙翅枕头壶状的碎玉，随着壮扭公主的甩动，仙翅枕头壶状的碎玉像卷尺一样在肚子上疯狂地替换出飘飘光云……紧接着壮扭公主又使自己如同红苹果样的脸 闪烁出水青色的腰鼓味，只见她能上下翻转的眼镜中，突然弹出五十团扭舞着¤天虹娃娃笔→的地雷状的仙翅枕头毽子，随着壮扭公主的颤动，地雷状的仙翅枕头毽子像奶糖一样，朝着琳可奥基 官员威风的深灰色怪藤样的嘴唇疯颤过去……紧跟着壮扭公主也旋耍着法宝像怪石般的怪影一样朝琳可奥基官员疯滚过去随着两条怪异光影的猛烈碰撞，半空顿时出现一道鲜红色的闪光，地面变 成了亮橙色、景物变成了墨绿色、天空变成了暗黑色、四周发出了粗野的巨响！壮扭公主憨厚自然、但却带着田野气息的嘴唇受到震颤，但精神感觉很爽！再看琳可奥基官员细长的淡灰色怪石一 样的脑袋，此时正惨碎成灌
高考考纲透析： （文科）
• (1)了解导数概念的某些实际背景。(2)理解导 数的几何意义。(3)掌握函数，y=c(c为常数)、 y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的 导数。(4)理解极大值、极小值、最大值、最 小值的概念.并会用导数求多项式函数的单调 区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值 和最小值。(5)会利用导数求某些简单实际问 题的最大值和最小值。