2010数学建模A题答案论文 储油罐的变位识别与罐容表标定
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛A
储油罐的变位识别与罐容表标定的积分方程模型摘要：本文通过建立积分方程组模型：()()()()()()()()()()()()()1110022010313120444235454334,0,0,,cos ,,cos ,,cos ,,x d H C V x h x x H x H C V x h x H x H x H C V H S A x B x dx h x H x H x H C C V H x h x H x H C C V H x h x h H H x H ααα==≤≤⎧⎪-⎪==≤≤⎪⎪-⎪=+--=≤≤⎨⎪⎪-=--=≤≤⎪⎪=--=≤≤⎪⎩⎰刻画、描述和揭示了储油罐由于地基变化而引起的罐体变位时储油罐内油面高度i H 与罐容表标定刻度()i h x 之间的关系。
合理的假设当储油罐在软土地基所加荷载不大时，地基变形小；当荷载增大到一定程度后．油罐地基沉降速率变快，由于地基内孔隙水来不及消散，地基变形保持体积不变，导致土体侧向移动，从而引起远罐地表土隆起，近罐地表土沉降，随着荷载的增加和时间的延续，地基内孔隙水压力逐渐消散，土体固结而产生沉降，使得隆起的地表又逐渐下沉，经过一段时间后，趋于稳定，即储油罐内油面高度i H 与罐容表标定刻度()i h x 之间的关系曲线就是先是有坡度的，然后有一个平缓的部分，还有一个有坡度的部分。
再利用非线性回归分析的方法通过附表中的数据将α与β非线性拟合出来 ，且拟合效果高度逼近理论结果，从而在模型中任意给出重要参数()S x (油面横切面的面积)，1l (倾斜时油箱左下顶点到油位探针底部的距离)，2l (倾斜时油位探针底部距油箱右下顶点的距离), 3l (倾斜时油箱右上顶点到油面的距离)的值，便可以描述出储油罐内油面高度i H 与罐容表标定刻度()i h x 之间的关系。
以此为基础，给出了两个问题较完备的答案。
关键词：积分方程；非线性回归分析；非线性拟合；油面高度；罐容表标定刻度一 问题的重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
2010“高教社杯”全国大学生数学建模大赛A题论文
基于微元法的变位储油罐罐容表标定问题摘要加油站当地下储油罐发生一定程度变位时，需要重新标定其罐容表，优化“油位计量管理系统”，目的是得到地下储油罐内油量的真实值，所以研究该问题对加油站具有重要意义。
本文主要利用微元法建立积分模型，解决了储油罐的变位识别与罐容表标定的问题，得到了实验储油罐变位后罐容表新的标定值，实际储油罐变位后储油量与油位高度及变位参数之间的关系，以及实际储油罐变位后罐容表新的标定值。
问题一中，首先对纵向倾斜的小椭圆油罐进行分析，将油罐从罐中无油到加满油的过程分为7个部分来分析，分别是：（1）从罐中无油到将油加到刚好不接触油浮子；（2）从油开始接触油浮子到油灌满倾斜角但刚好不接触罐右侧壁；（3）从罐中油开始接触右侧壁到油灌到左侧壁中点水平线；（4）油从左侧壁中点灌到左侧壁终点水平线；（5）油从左侧壁终点灌到右侧壁中点水平线；（6）油从右侧壁中点灌到油浮子刚好显示油满；（7）从油浮子刚好显示油满到将油罐灌满。
分别分析这7个加油的过程，建立模型，用微元法求解每个部分罐中油体积的变化，根据体积的变化得到油面高度的变化，将变位后的油面高度与无变位时的油面高度作比较，分析得出变位对罐容表的影响。
最后由变位后油面的高度，用Matlab编程序得到变位后罐容表新的标定值。
问题二中，经过对实际储油罐的形状与倾斜及偏转角度情况的分析，我们利用割补法建立罐体变位后的数学模型，先分别分析储油罐只纵向倾斜和只横向偏转的情况，用h的函数关系式，再分析储油罐同时纵向倾微元法得到罐中油体积与变位后罐容表刻度斜和横向偏转的情况，我们将模型转变为先将储油罐横向偏转，然后在横向偏转的基础上再纵向倾斜，由所给的实际储油罐的数据，分别结合只进行纵向倾斜和只进行横向偏转的情况，用拟合的方法，利用Simpson公式，近似得到了倾斜角α=4.5230,偏转角β=1.220。
在α和β确定之后，罐内储油量与油位高度及倾斜角α、偏转角β的关系式即转化为油体积与油位高度的关系式，进而计算得到变位后油位间隔为10cm的罐容表新标定值。
全国数学建模大赛题目
附件2：实际储油罐的检测数据
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）
B题 2010年上海世博会影响力的定量评估
2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。请你们选择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。
（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
2010储油罐问题参考
储油罐的变位识别与罐容表标定摘要：本文利用油罐截面为椭圆一部分，我们利用小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体）对无变位和有变位的情况分别用元素法微积分来对h V 与的关系进行了探讨和研究。
分别算出了无变位和有变位体积V 与油浮子高度h 的关系式，其中无变位⎪⎭⎫⎝⎛+--+-=26.06.0arcsincos 6.06.06.06.0arcsin3083.1πh h h V 以及（变位后的关系见第5页）。
并给出了罐体变位后油浮子高度间隔为1cm 的罐容表标定值（见第6页）。
在求解变位后储油罐的罐容表时，将分为五种情况，但仅作三种情况讨论（因另两种情况V 与油浮子高度h 无关），求出几个分界线的油浮子高及容器容积见表一：积V 与‘及、h βα的关系（见13页）。
并用搜索比较法求出07.0=α()0013.4即，091.0=β()0243.5即。
建立容积变化量与高度变化量的散点图来评价模型的优劣性。
求得罐体变位后的油位高度间隔为cm 10的灌容表的标定值见表二。
1.问题的提出加油站是一个地区在机动车辆运行系统中必不可少的元素。
而通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，且采用流量计和油位计来测量进与出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
但实际情况是：由于储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，会使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化，从而导致罐容表发生改变。
所以需要对罐容表进行重新标定。
其中，给出了图1 一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。
图2 其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3 罐体横向偏转变位的截面示意图。
图4 小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体）。
（1）为了掌握罐体变位对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。
全国大学生数学建模竞赛A题获奖—储油罐的变位识别与罐容表标定
全国大学生数学建模竞赛A题获奖—储油罐的变位识别与罐容表标定2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是：A题储油罐的变位识别与罐容表标定我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员（打印并签名）：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：日期：2010年9月12日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文通过对储油罐中油位高度及变位参数之间的不同情形的储油量进行分析并建立相应的数学模型，在该过程中先利用投影法、截面法及微元法得出储油量与油位高度及变位参数的函数关系。
再由Matlab编程可知各高度储油量的理论数据，最后分析误差及评价模型的合理性。
对于问题一的任一种情形，我们均建立笛卡尔坐标系，当储油罐无变位时，利用微元法得到体积关于h的公式，当储油罐发生变位时，根据储油罐中油量的多少分成三种情形，就每一类利用微元法得到体积关于h的公式。
代人附件1实验数据中的高度得到储油罐中的理论油量V。
根据理论油量及实际油量得出误差，判断误差所服从的分布，再利用相对误差进行误差分析并评价模型的合理性。
2010全国赛A题
12010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）A 题 储油罐的变位识别与罐容表标定通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。
按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。
图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。
请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。
（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β ）之间的一般关系。
请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数， 并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值。
进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
（先检测误差补偿的可靠性，然后进行计算0-10,10-20…..）附件1：小椭圆储油罐的实验数据附件2：实际储油罐的检测数据地平线 图1 储油罐正面示意图油位探针2误差补偿公式：油位探针地平线 图2 储油罐纵向倾斜变位后示意图(b) 小椭圆油罐截面示意图水平线1.2m(a) 小椭圆油罐正面示意图图4 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图图3 储油罐截面示意图（b ）横向偏转倾斜后正截面图地平线油位探针（a ）无偏转倾斜的正截面图。
2010A(国家一等奖)解析
题目： 储油罐的变位识别与罐容表标定【摘 要】本文根据题目要求，针对具体问题建立相应的数学模型，并对问题进行精确求解，逐层深入比较题给数据与理论求解值同时分析它们之间的关系，据此得出合理的结论。
对于问题一,首先，采用截面法建立数学模型对无变位及有变位的理论油容量与油位高度之间的关系表达式。
然后，根据附件1所给的无变位进油时油高求出对应理论油量并与所给实际油量值相比较，发现两者的相对偏差σ基本成一稳定值3.371%，并根据两者之间的关系求出理论油量的修正函数，同时将偏差函数运用于无变位出油中，通过比较相邻两时刻绝对出油量的相对误差（均值为41021.3-⨯）检验修正函数的正确性。
接着，根据对应倾斜变位进油油高的校正理论油量与实际油量相比较，分析得出纵向变位时液位较小时罐容表读数偏小，液位较高时读数偏大的结论。
最后运用MATLAB 编写程序对变位后罐容按油位高度间隔为1cm 的进行标定，结果见附表1。
对于问题二，由于横向倾斜不影响体积的计算，只影响油面高度实际值h 与罐容表测量值*h 之间的关系。
于是，先根据三重积分与截面法计算只有纵向倾斜的情况下罐容与倾斜角度α和h 的关系),(h f V y α=。
然后，根据油面高度与横向偏转角度β及*h 关系),(*h f h β=得罐内储油量与油位高度及纵向倾斜角度α和横向偏转角度β之间的一般关系),,(*h f V y βα=。
取0,0==βα（无变位时），根据附件2中油位高度计算出相应油量，发现与附件所给油量容积几乎完全一致。
接着利用附件2中实际出油量与理论出油量的差值的平方和最小的条根据误差最小原则选取)244.4,129.2(==βα，求得罐容表标定值部分数据量与理论出油量近似相等，验证模型的正确性和可靠性。
并进行了模型推广，进行了基于MATLAB 的GUI 设计。
关键词：截面法，三重积分，遍历法，NDEPSO 算法，GUI 设计一问题的重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛储油罐的变位识别与罐容表标定答案解析
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：J0901所属学校（请填写完整的全名）：西北工业大学参赛队员(打印并签名) ：1. 王艺霖2. 卜千3. 孟阅然指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：彭国华日期： 2009 年 9 月 10 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别与罐容表标定摘要解决储油罐的变位识别与罐容表标定问题的核心是寻求在不同状态下油位高度与对应罐容的函数关系。
针对问题一，利用椭圆柱体的对称特征，在确定变位后油位高度与不变位的油位高度的内在关系基础上，将变位后的罐容的求解转化为对应的不变位的罐容的求解，大大简化了其计算难度，并且得到了罐容与油位高度的解析表达式；进一步得到罐体变位后使罐容表整体往上或往下移动这一结论，同时给出了相应变位角的罐容表标定值。
在进行了误差数值和原因多方面分析后，使用修正补差方法，顺利地减小了误差。
针对问题二，通过计算分析，发现球冠体的积分很难得到一个显式解析式，因此，采用数字积分的方法解决本问题。
首先，根据油位高度及附近的几何关系，及体积变化速率/V h ∆∆最大处的角度关系，建立起α、β与进/出油量、显示油量容积之间的等式，进而解出 2.1α≈︒和 4.3β≈︒的结果；然后，将其代入罐容模型，采用复合Simpson 算法近似计算体积积分，得到修正罐容表，并与进/出油量进行比较，得出相对误差，检验模型的正确性与可靠性。
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摘要
储油罐作为加油站常用的贮存设施，对油品在不同液面高度时的贮油量进行精确的 计量变得尤为重要，本文讨论了，加油站卧式储油罐的变位识别与罐容表标定问题。其 主要方法是参考卧式储油罐罐内油品体积标定测量技术，结合几何关系及积分计算，建 立储油罐内储油量，油位高度及变位参数（纵向倾斜角 与横向倾斜角 ）之间的关系 模型。然后分析模型，在油位高度一定时，由储油量确定变位参数 与 的值，即为对 储油罐进行变位识别；在变位参数 与 一定时，根据油位高度可确定储油量，即为对 罐容表（罐内油位高度与储油量之间对应的函数关系表达式）进行标定。
地平线
油位探针
油位探测装置
注检 油查 口口
出油管
油浮子
3m
油位
油
高度
1m 2m
6m
1m
图 1 储油罐正面示意图
-2-
地平线 油位探测装置
油位探针
油浮子
注检 油查 口口
出油管
油
α
图 2 储油罐纵向倾斜变位后示意图
水平线
地平线
油位探针
油位探测装置
地平线 油位探针
油 油
β
3m
地平线垂直线
（a）无偏转倾斜的正截面图
-6-
S ' a2 / 2 (a h' )a sin( / 2)
公式（2）
从而求得所求截面面积： S ( a2 / 2 (a h')a sin( / 2)) cos
公式（3）
将式（3）带入式（1）求得： V ( a2 / 2 (a h' )a sin( / 2))l cos
首先，结合上述因素及汽油热膨胀系数，建立模型并对模型进行修正，修正热膨胀 所带来的计算误差。代入附表实际测量数据验证模型。
然后，根据模型对储油罐进行变位识别即为对地下储油罐的横向或是纵向变位进行 识别认证。可利用模型，得出横向变位 ，纵向变位 。
最后，根据模型所算数据重新标定罐容值，构建新的罐容表（罐内油位高度与储油 量之间对应的函数关系表达式）。
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图 4 的小椭圆型储油罐（两端平 头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10 的纵向变位两种情况做了实验， 实验数据如附件 1 所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体 变位后油位高度间隔为 1cm 的罐容表标定值。 （2）对于图 1 所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐 内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度 ）之间的一般关 系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件 2），根据你们所建立的 数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为 10cm 的罐容表标定值。进 一步利用附件 2 中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。 附件 1：小椭圆储油罐的实验数据 附件 2：实际储油罐的检测数据
针对问题一，关键在于寻找储油量与油位高度之间的一般关系。根据实验要求，在 小椭圆型储油罐罐体无变位时，通过圆在以一定角度下射影可转化成椭圆的原理。可得 出储油量与油位高度之间的函数关系式，易知，此关系式即为预先标定的罐容表标定表 达式。在小椭圆罐发生纵向倾斜角为 4.10 时，根据储油罐几何形状，结合汽油热膨胀， 采用双重积分，确定储油量与油位高度函数表达式，继而求出变位后的罐容表标定表达 式；并对变位后油位高度间隔为 1cm 的罐容表标定值。然后，根据油面高度用 matlab 编程实现实验测量数据与理论计算数值的对比，进行误差分析。
（b）横向偏转倾斜后正截面
图 3 储油罐截面示意图
油 注油口
位 出油
探
1.2m
油浮子
1.2m
油
α
0.4m
2.05m
(a) 小椭圆油罐正面示意图
水平线
1.78m
(b) 小椭圆油罐截面示意图
图 4 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图
-3-
二、问题分析
通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计 量管理系统”，通过对加油站地下储油罐的实地考察以及对地下储油罐相关资料的搜索 整理，对埋卧式储油罐的构造和工作情况有了较全面的了解。就一般地埋卧式储油罐而 言，出油管由于有阀门和电机的压力造成一定的气阻，基本都是单向流动，故一直为油 满状态。配带油浮子的管子与注油管均为空心，故进油与油罐液面相一致。对于体积不 大的储油罐，进油管、出油管的半径一般为 3-8cm，油浮子的半径为 0.5-1.5cm，但边 缘厚度均薄，因此，本模型建立中，不予以考虑其体积对储油量的影响。由于汽油存在 热膨胀的情况，所以，温度对罐内油的体积有较大的影响。
公式（4）
对问题 A 附件 1 数据进行处理，将出油数据表倒序排列，转化成注入油的数据表， 并求得无变位时的高度与油罐内油的体积的对应关系得到附表 1，将附表 1 中的高度代 入公式（4）计算得到油罐中油的体积，算出每次实际加入油量与每次计算加入油量。 发现计算值每次比实际值大，并求得其差值和差值与实际值的比例，将差值和差值与实 际值的比例列入到附表 1 中。
五、模型的建立
问题一 （1）当小椭圆型储油罐无变位时，油罐中液面高度与体积的关系求解：
先求液面截面积与液面高度的关系。由于截面是椭圆的一部分，在计算液面截面面 积时，可采用积分法，建立坐标系，对椭圆上被油侵过的椭圆部分积分，再与圆柱体的 母线相乘（椭圆柱立体示意图，如图 5 所示。）既可得到油的体积。但积分过程比较繁 琐。在这里，我们采用比较简单投影法来求椭圆上截面的面积，其方法是利用圆的投影 为椭圆，将一个半径为 a 圆以一定角度 放置在水平面上，光线由上向下投下垂直投下， 在水平面上将得到一个长轴长为 2a 短轴长为 2a cos 的椭圆，如下图 6 所示。
-4-
6、假设卧式储油罐的钢板壁较薄，壁厚对储油罐体积影响极小，可以忽略不计。
四、符号说明
S 油罐垂直截面中油所占的截面面积 V 油罐中油的体积 h 截面中液面到底部的距离 l 油罐垂直截面到右端罐底的截面积 纵向偏离角度 横向偏离角度 R 圆柱体的半径 a 椭圆长轴长 b 椭圆短轴长 K 油的膨胀系数 hc 由探针测量出的高度 L 柱体长度
图 6 中 c 图是沿光线方向看去，圆所形成的投影。再在椭圆上的截面积则可在圆上 找到其形成投影的部分，在圆上计算出这部分面积 So ，再乘以 cos ， So cos 即为所求 的椭圆截面积。如图 7 所示。
-5-
z
2
1.5
1
0.5
0
1
3
02Leabharlann -101y
x
图 5 椭圆柱立体示意图
图 6 圆成 角投影成椭圆过程图
关键词
拟合对比 变位参数 热膨胀系数 投影法 重积分 蒙特卡洛算法 搜 索
-1-
一、问题重述
通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计 量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先 标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位 高度和储油量的变化情况。
三、模型假设
1、假设石油在储油罐里挥发程度极小，可忽略不计； 2、油位高度是指油面到底的距离并不考虑油浮子厚度，油浮子直径贴紧油面； 3、假设进油管，出油管的体积对储油罐内油的体积的影响均不予以考虑。 4、假设收集数据当天温度及地埋储油罐温度稳定，且保持不变。 5、假设石油在收集数据当天温度下的热膨胀系数为 0.035。
因此需要对公式（4）进行修改，加入油的体膨胀系数 K [1]（其值求解见附表 1 数 据）后得：
( a2 / 2 (a h' )a sin( / 2))l cos V
1 K
公式（7）
（2）当小椭圆型储油罐纵向变位（ =4.10 ）时，油罐中液面高度与体积的关系：
液面高度 h 反投影到圆上的长度为 h' h / cos ，油截面高度 h hc (dc l) tan ， 圆上截面面积所占的扇形角度为 ， / 2 arccos((a h') / a) ，类似于公式（2）、（3）求
针对问题一: 首先，在罐体无变位情形下从椭圆罐几何关系入手，建立储油量与油位高度之间的 关系。避过过程较繁琐的积分求法，采用比较简单的投影原理来求椭圆上石油截面的面 积，利用柱体体积公式即可求得储油量与油位高度关系。然后，用 matlab 编程实现实 验测量数据与理论计算数值的拟合对比，结合汽油热膨胀系数，对模型进行修正，修正 热膨胀所带来的计算误差，代入附表实际测量数据验证模型并重新拟合对比，进行误差 分析。误差为 0.0655% ，所以模型正确，具有高精度等特点。在罐体发生纵向倾斜角 4.10 的位变时，根据储油罐几何形状，采用双重积分，结合几何关系及积分计算，确定储油 量与油位高度函数表达式，同样，通过拟合对比，进行误差分析。并得到误差大约为 0.88% ，其误差也在允许的范围内。最后，设定初始测得油面高度，给出罐体变位后油 位高度间隔为 1cm 的罐容表标定值。 针对问题二: 此问关键在于寻找储油量与油位高度及变位参数之间的关系。当储油罐分别发生横 向或纵向变化时，罐内所储油品容积可分解为装载石油的圆柱体罐身和球冠体封头两部 分的体积之和。利用问题一同样的方法可以求得圆柱体内油量；再利用几何关系和积分 计算可求得罐球冠体内油的体积。因此，可得出储油量与油位高度及变位参数之间的关 系即罐体发生变位后罐容表标定模型。在利用数据求解 、 时，我们利用 matlab 采 用蒙特卡罗法，搜索附件 2 提供的任意数据组合进行求解和检验。并找到最适合的 、 数值（本模型求解为： = 3.610 、 = 2.410 ），最后，根据模型所算数据重新标定罐容 值，构建新的罐容表。