樊昌信《通信原理》课后答案
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第二章
2-1 试证明图 P2-1 中周期性信号可以展开为 （图略）
(- 1n )
s(t )= ∑
c o sn + π t1 )(2
π n = 0 2n + 1 4 ∞ 证明：因为 s(- t )= s( t )
所以
2π kt ∞2π kt ∞
s(t ) = ∑ c k cos = ∑ c k cos = ∑ c k cos π kt
T 02k =0k =0k =0
∞ ⎰ 1
-1 1
-1 s( t ) d = 0⇒ 0 c = 0t
1
2 -1 - 1 1 2
1- 2 c k = ⎰ s(t ) cos k π tdt = -( ⎰ + ⎰1 ) cos k π tdt + ⎰ cos k π tdt = 2 4k π
sin
k π2
0,k = 2n ⎧
⎪
=⎨4
(-1)n k = 2n + 1
⎪
(2n + 1)π
⎩ 所以 (-1)n
s(t ) = ∑
cos(2n + 1)π t
π n = 0 2n + 1
4 ∞ 2-2 设一个信号 s(t ) 可以表示成
s( t )= 2 c o s ( 2 θπt + 解：功率信号。
) < <∞-∞t
试问它是功率信号还是能量信号，并求出其功率谱密度或能量谱密度。 s τ ( f ) = ⎰ τ2
-τ 2 cos(2π t + θ )e - j 2π ft
dt
τsin π ( f - 1)τsin π ( f + 1)τ
= [e j θ+ e - j θ]
2π ( f - 1)τπ ( f + 1)τ
12
P( f ) = lim s τ
τ →∞ τ τ sin 2 π ( f - 1)τ sin 2 π ( f + 1)τsin π ( f - 1)τ sin π ( f + 1)τ
= lim +2+2cos 2θ
τ →∞ 4 π 2 ( f - 1) 2τ 2π ( f + 1)2τ 2π 2 ( f - 1)( f + 1)τ 2 由公式
sin 2 xt lim = δ ( x) t →∞ π tx 2 有 和 sinxt lim =δ x )(
t →∞ π x
P( f ) = π 44
1
= [δ ( f + 1) + δ ( f - 1)]
4
π δ [π ( f - 1)] + δ [π ( f + 1)] 或者
1
P( f ) = [δ ( f - f 0 ) + δ ( f + f 0 )]
4
2-3 设有一信号如下：
-t ⎧2 exp(
x(t ) = ⎨
⎩0 ) t ≥ t <0 0
试问它是功率信号还是能量信号，并求出其功率谱密度或能量谱密度。 解：
⎰ 是能量信号。
∞
-∞ x(t )2 dx = 4⎰ e -2t dt = 2 0 ∞
∞ S ( f ) = ⎰ x(t )e j 2π ft dt -∞
= 2⎰ e - (1- j 2π f )t dt
0 ∞
= 2
1 - j 2π f
2 2
G( f ) =
1 - j 2π f = 4 1 + 4π
2 f 2
2-4 试问下列函数中哪一些满足功率谱密度的性质：
（1） δ ( f ) + cos 2π f
2 （2） a + δ ( f - a)
（3） exp(a - f )
解：
功率谱密度 P( f ) 满足条件： ⎰ ∞
-∞ P( f )df 为有限值 （3）满足功率谱密度条件，（1）和（2）不满足。
2-5 试求出 s(t ) = A cos ωt 的自相关函数，并从其自相关函数求出其功率。 解：该信号是功率信号，自相关函数为
1 2 T2R(τ )= l i m A ⎰-T 2T →∞ T
A 2
=cos ωτ
2
P = R 0)(= 12
A
2 c ω sot ⋅ c o + τ(ωst )
2-6 设信号 s(t ) 的傅里叶变换为 S ( f ) = sin π f 解：
试求此信号的自相关函数 R s (τ ) 。πf ， R s (τ ) = ⎰ P( f )e j 2π f τ df -∞
∞
sin 2 π f j 2π f τ =⎰
edf -∞ π 2 f 2
∞ = 1 - τ , -1 < τ < 1 2-7 已知一信号 s(t ) 的自相关函数为
R s (τ ) = k -k τ e ，
2
k 为常数 （1）试求其功率谱密度 P s ( f ) 和功率 P ；
（2）试画出 R s (τ ) 和 P s ( f ) 的曲线。
解：（1）
P s ( f ) = ⎰ R s (τ )e - j 2π f τ d τ
-∞ ∞
k ∞ - ( k + j 2π f )τk 0
e d τ + ⎰ e ( k - j 2π
f )τ d τ2 ⎰02 -∞
k 2
=2
k + 4π 2 f 2 = k 2
P =⎰ 2
df
-∞ k + 4π 2 f 2
k
=
2 ∞ （2）略