实用数学公式解析
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
实用数学公式解析
如下:
1. 欧拉恒等式
这是一个非常著名的恒等式。它给出了3个看似随机的量之间的联系:π、e和-1的
平方根。许多人认为这是数学中最漂亮的公式。
一个更一般的公式是e^ix =cosx+isinx a^b表示a的b次方,下同。当x=π,cosx
取值为-1,而isinx取值为0。由-1+1=0,我们得到了欧拉恒等式。
2. 欧拉乘积公式
等式左边的符号是无穷求和,而右边的符号则是无穷乘积。这个公式也是欧拉首先发
现的。它联系了出现在等式左边的自然数如n=1,2,3,4,5等等与出现在等式右边的素
数如p=2,3,5,7,11等等。而且我们可以选取s为任意大于1的数,并保证等式成立。
欧拉乘积公式的左边是黎曼ζ函数最常见的一种表示形式。
3. 高斯积分
函数e^-x?2;本身在积分中是很难对付的。可是当我们对它在整个实数轴上积分,也
就是说从负无穷到正无穷时,我们却得到了一个十分干净的答案。至于为什么曲线下面
的面积是π的平方根,这可不是一眼就能看出来的。
由于这个公式代表了正态分布,它在统计中也十分重要。
4. 连续统的基数
上面的公式说明了实数集的基数与自然数全体子集的基数相同。这首先是被集合论的
建立者康托尔证明的。值得注意的是,这也说明了连续统是不可数,因为2^N > N。
一个相关的假设是连续统假设。这个假设是说,在N和R之间不存在其它的基数。有
趣的是,这个假设有一个奇怪的性质:它既不能被证明也不能被证伪。
5. 阶乘函数的解析延拓
阶乘函数通常被定义为n!=nn-1n-2……1。但是这个定义只对n是正整数时有效,而
上面积分方程则对分数和小数也有效,而且还可以用于负数、复数等等……
同样的积分式中我们把n换成n-1就定义了伽马函数。
6. 勾股定理
勾股定理恐怕是这个清单中最熟悉的公式了。它给出了直角三角形三边的联系,其中
a和b是直角边长,而c是斜边长。这个公式还将三角形和正方形联系了起来。
7. 斐波那契数列的通项
这里,注意到φ这个数字是黄金分割比例。很多人可能听说过斐波那契数列0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55…,数列中每一项是前两项的和,却很少人知道有一个公式
能够计算出任意某一项斐波那契数:这就是上面我们给出的公式,公式里面Fn代表第n
个斐波那契数。也就是说,为了得到第100个斐波那契数,你不需要去计算前99个,而
只需要把100代入公式。
值得注意的是,即便在计算过程中出现了许多根号和除法,最后的答案总是一个精确
的正整数。
8. 巴塞尔问题
这个公式告诉我们,如果你取所有完全平方数并将它们的倒数和相加,你将会得到
\pi^2/6。这是欧拉首先证明的。注意到这个式子只是在前面的第二个方程欧拉乘积公式
中令s=2。后者是黎曼ζ方程,因此我们可以说ζ2的值是π?2;/6。
9. 调和级数
这个公式有点反直觉,因为它告诉我们,如果你把一些不断变小的数最终趋向0加起来,最后将会得到无穷。可是如果你是取它们的平方,和却是一个有限的值答案是
π?2;/6。如果仔细观察调和级数,你会发现它正是ζ1。
10. 素数计数公式的显式表达
这个方程的重要性体现在:
素数是那些除了1和它本身以外没有其它因子的数。小于100的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97 。由此可知,素数的出现没有显然的规律:对于一串连续正整数,有时候你会找到许
多素数,有时候你会一个也找不到。找到很多或一个找不到似乎是完全随机的。
很长时间以来,数学家都在尝试给出素数分布的规律。上面的公式正是不大于一个给
定数素数个数的显式表达。
以下是各个符号的意义:
πx: 素数计数函数。它给出了不大于一个给定数的素数个数。例如,π6=3,因为有
3个素数不大于6:2,3,5。
μn: 莫比乌斯函数。它依据n的质因数分解而取值为0, -1或1。
Lix: 对数积分函数。它被定义为函数1/lnt从2到x的积分。
ρ: 黎曼ζ函数的任意非平凡零点。
令人吃惊的是,整个公式的结果总是一个精确的正整数!这说明,给定一个实数,我们可以把它代入公式并得到不大于它的素数个数。存在着这样一个公式的事实说明,素数的分布存在某些规律,只是我们现在还不能理解罢了。
感谢您的阅读,祝您生活愉快。