第六章 方差分析-
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第六章 方差分析
6.2 单因素方差分析
• 解决的问题类型
设有k个教学方案，各个方案的效果如表6.1所示。 问：怎样判断这k个方案的效果是否有显著区别 （均值是否相同）？
所谓的单因素是指只有“方案”这个变量（因素）。 不同方案就是“方案”这个变量的不同取值。这 些不同的“取值”又称为“方案”这个因素的不 同“水平”。
受不同因素的影响，研究所得数据会不同。造成 差异的原因可分为两类：1）随机误差，如测量误差 造成的差异或个体间的差异，称为组内差异；2）实 验条件，即不同的处理造成的差异，称为组间差异。 方差分析的目的是分析分组的平均数是否相等。 如果相等，说明组间没有差别；如果不相等，说明组 间平均数有差异，这时分组（或处理）是有效的。
但其独特的地方是，它并不直接利用平均数来比 较，而是利用与方差有关的统计指标总变差（SST）、 组间变差（SSB）、组内变差（SSW）的关系来进行 判别。
收 入Biblioteka 男 女Y总=800元
Y女=800元
Y男=800元
收 Y男=1000元 入
男 女
Y总=800元
Y女=600元
收 入 Yi－
男 女
y
Yi－
表 单因素方差分析的已知条件
方案1 方案2 X11 X21 X12 X22 „ „ X1n X2n
„
方案k
„
Xk1
„
Xk2
„
„
„
Xkn
注：表中ni表示方案i的实验个数。
6.2 单因素方差分析实例
P120 研究3个组（分别接受了3种不同的教学方法）在 英语成绩上是否有显著差异，如表6.3所示。 方法1/group1 99 88 79 方法2/group2 70 72 87 方法3/group3 79 56 89
教育与心理统计学 第六章 方差分析考研笔记-精品
第六章方差分析第一节方差分析概述一.方差分析的定义［用途］定义:用途方差分析也称为变异数分析，是在教育与心理研究中最常用的变量分析方法，其主要功能在于分析测量或实验数据中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定测量或实验中因素对反应变量是否存在显著影响。
即用于置信度不变情况下的多组平均数之间的差异检验。
它既可以比较两个以上的样本平均数的差异检验，也可以应用于一个因素多种水平以及多个因素有多种水平的数据分析。
二.方差分析的作用方差分析主要应用于两种以上实验处理的数据分析，同时匕徽两个以上的样本平均数，推断多组资料的总体均数是否相同，也即检验多组数据之间的均数差异是否有统计意义。
在这个意义，也可以将其理解为平均数差异显著性检验的扩展。
当我们用多个t检验来完成这一过程时，相当于从t分布中随机抽取多个t值，这样落在临界范围之外的可能大大增加，从而增加了I型错误的概率，我们可以把方差分析看作t检验的增强版。
方差分析一次检验多组平均数的差异，降低了多次进行两组平均数检验所带来的误差。
在进行方差分析时，设定的假设是综合虚无假设，即假设样本所归属的所有总体的平均数都相等。
如果检验的结果是存在显著性差异，只能说明多组平均数之间存在显著性差异，但是无法确定究竟哪些组之间存在显著性差异，此时需要运用事后检验的方法来确定。
三.方差分析的相关概念一（一）数据的变异（1）变异:统计中的变异是普遍存在的7一般意义上的变异是指标志（包括品质标志和数量标志）在总体单位之间的不同表现。
可变标志的属性或数值表现在总体各单位之间存在的差异，统计上称之为变异,这是广义上的变异，即包括了品质标志和数量标志，有时仅指品质标志和在总体单位之间的不同表现。
注：随机性，即变异性。
（2）组间变异［组间差异］:组间变异表示处理间变异，主要指由于接受不同的实验处理（实验处理效应）而造成的各组之间的变异，可以用两个平均数之间的离差来表示，可将组间离差平方和记为SS AO组间差异可用组间方差来表征，用符号MS B表示。
第六章方差分析一
因此 当样本平均数的个数k≥3时，采用以往的方 法进行差异显著性测验，工作量是相当大的。
2. 推断的可靠性降低，犯错误的概率增大
两个样本平均数比较采用 t 或 u 检验，α=0.05时犯第 一类错误的概率为0.05, 推断的可靠性为1-α =0.95。
若对5个处理采用t 或 u 检验进行比较，α=0.05, 需进 行10次两两比较，每次比较的可靠性为1-α=0.95 , 要求 10次都正确的概率为(1-α)10=0.9510=0.5987, 因此推断 的可靠性由0.95降到0.5987, 犯第一类错误的概率则由 0.05上升到(1-0.5987)=0.4013。
由英国著名统计学家 R. A. FISHER在1923年提 出来的，也叫F检验。
一、方差分析的概念：
对两个或多个样本平均数差异显著性检验的方 法。
对观测值变异原因的数量分析
将试验数据的总变异分解为不同来源的变 异，从而评定不同变异来源的相对重要性的一 种统计方法。
二、方差分析的基本原理
方差分析是将k个处理的观测值作为一个整体 看待，把观测值总变异的平方和及自由度分解为相 应于不同变异来源的平方和及自由度，进而获得不 同变异来源总体方差估计值；通过计算这些总体方 差的估计值的适当比值，就能检验各样本所属总体 平均数是否相等。
我们的目的不在于研究供试处理本身的效应， 而在于研究处理效应的变异度，所以我们的推断也 不是关于某些供试处理，而是关于抽出这些处理的 整个总体。
特点：
a. 抽样方式是随机的，没有固定的标准 b. 试验的目的是估计样本所在总体的变异 c. 推断关于样本所在总体的变异 d. 检验后，不进行均数的多重比较，而
方差分析法是一种在若干能相互比较的资料组中， 把产生变异的原因加以区分开来的方法与技术。
2. 推断的可靠性降低，犯错误的概率增大
两个样本平均数比较采用 t 或 u 检验，α=0.05时犯第 一类错误的概率为0.05, 推断的可靠性为1-α =0.95。
若对5个处理采用t 或 u 检验进行比较，α=0.05, 需进 行10次两两比较，每次比较的可靠性为1-α=0.95 , 要求 10次都正确的概率为(1-α)10=0.9510=0.5987, 因此推断 的可靠性由0.95降到0.5987, 犯第一类错误的概率则由 0.05上升到(1-0.5987)=0.4013。
由英国著名统计学家 R. A. FISHER在1923年提 出来的，也叫F检验。
一、方差分析的概念：
对两个或多个样本平均数差异显著性检验的方 法。
对观测值变异原因的数量分析
将试验数据的总变异分解为不同来源的变 异，从而评定不同变异来源的相对重要性的一 种统计方法。
二、方差分析的基本原理
方差分析是将k个处理的观测值作为一个整体 看待，把观测值总变异的平方和及自由度分解为相 应于不同变异来源的平方和及自由度，进而获得不 同变异来源总体方差估计值；通过计算这些总体方 差的估计值的适当比值，就能检验各样本所属总体 平均数是否相等。
我们的目的不在于研究供试处理本身的效应， 而在于研究处理效应的变异度，所以我们的推断也 不是关于某些供试处理，而是关于抽出这些处理的 整个总体。
特点：
a. 抽样方式是随机的，没有固定的标准 b. 试验的目的是估计样本所在总体的变异 c. 推断关于样本所在总体的变异 d. 检验后，不进行均数的多重比较，而
方差分析法是一种在若干能相互比较的资料组中， 把产生变异的原因加以区分开来的方法与技术。
5第六章方差分析
练习
• 以小鼠研究正常肝核糖核酸（RNA）对癌细 胞的生物学作用，试验分为对照组（生理 盐水）、水层 RNA组和酚层RNA组，分别用 此三种不同处理诱导肝细胞的FDP酶活力， 得数据如下。该三组资料均服从正态分布， 试比较三组均数有无差别?
ex_36.sas
表 6.1 对照组
2.79 2.69 3.11 3.47 1.77 2.44 2.83 2.52
复相关系数（确定系数），变异系数，均方根，总均数
对自变量的检验
R-Square:等于模型的平方和除以总 平方和，用于度量在因变量的变差 里能够由模型决定的比例有多少， 越接近1，效果越好。
检验的显著水平、自由度、 误差均方
具有相同字母的组间 均值差异没有统计学意义。
第2组具有A和B两个字母，所以 第二组和第三组，第一组均没有差异。
单因素方差分析
假设某单因素试验有k个处理，每个处理有n次重 复，共有nk个观测值。这类试验资料的数据模式
如下表所示。
（一）总平方和的分解 在上表中，反映全部观测值总变异的总平方和
是各观测值xij与总平均数的离均差平方和，记 为SST。即
kn
SST
( xij x.. ) 2
i1 j 1
nj 组内样本容量j 1,2,,n ki 组数，即水平数i 1,2,,k x.. 总平均数 xij i水平下第 j个样样本
变 差
组间 变差
总 变 差 组内 变差
组数（水平数）
（二）总自由度的剖分
在计算总平方和时，资料中的各个观测值要
kn
受 (xij x这..) 一0 条件的约束，故总自由度等于 i1 j1
资料中观测值的总个数减1，即kn-1。
dfT kn 1 df t k 1 df e dfT df t
方差分析()专题知识讲座
FB
MSB MSE
~
F (n
1, rnm
rn)
FAB
MSAB MSE
~
F[(r
1)(n
1), rnm
rn]
29
SST ( X ijl X )2
SSA nm ( X i X )2
SSB rm ( X . j. X )2
SSAB m ( X ij. X i.. X . j. X )2
SSE ( X ijl X ij. ) 2
26
离差平方和SST、SSA、SSB、SSAB和SSE 旳自由度分别是rnm-1、r-1、n-1、(r1)(n-1)和rn(m-1)。
SSE ( X ij X i. X . j X )2
20
SSA表达旳是原因A旳组间方差总和，SSB是 原因B旳组间方差总和，都是各原因在不同水 平下各自均值差别引起旳；SSE仍是组内方 差部分，由随机误差产生。各个方差旳自由 度是：SST旳自由度为nr-1，SSA旳自由度 为r-1，SSB旳自由度为n-1，SSE旳自由度 为nr-r-n-1=（r-1）(n-1)。
10
检验因子影响是否明显旳统计量是一种F统计 量：
组间均方差 F 组内均方差
F统计量越大，越阐明组间方差是主要方差起 源，因子影响越明显；F越小，越阐明随机方 差是主要旳方差起源，因子旳影响越不明显。
11
第二节 单原因方差分析
一、单原因条件下离差平方和旳分解 数据构造如下：
12
总离差平方和 SST=SSE+SSA
7
三、方差分析旳原理 （一）方差旳分解。样本数据波动就有二个
起源：一种是随机波动，一种是因子影响。 样本数据旳波动，可经过离差平方和来反应， 这个离差平方和可分解为组间方差与组内方 差两部分。组间方差反应出不同旳因子对样 本波动旳影响；组内方差则是不考虑组间方 差旳纯随机影响。
方差分析I单向分类资料
合计 平均
X1. X1. X 2. X 2. X i. X i.
Xk. Xk. X .. X
平方和与自由度旳计算
k ni
总平方和：SST
i1 j1
X ij X
2
k i 1
ni j 1
X ij 2
X
2 ..
N
校正项(correction
factor)：CF
X
2 ..
N
k
组间平方和 : SSA＝
8
II 10.8 11.6 12.3 12.7 13.5 13.5 14.8
7
III 9.3 10.3 11.1 11.7 11.7 12.0 12.3 12.4 13.6 9
IV 9.5 10.3 10.5 10.5 10.5 10.9 11.0 11.5
8
32
–零假设：1= 2= 3= 4
sum 119.80
单向分类资料旳数据构造
组别 • 观察值
A1 A2
X 11 X 12 X X 21 X 22 X
1 2
j j
X X
1n1 2 n２
Ai X i1 X i2 X ij X ini
Ak X i.XXik总1jn i1X总和n1Xik平2：ijj ni1均XX ..：＝ijXXikkj1＝ XN1i.XXkn.k.
组间（处理） 85.8563
3
28.6188 16.855
Treatment
**
组内（误差） 47.5408
28
1.6979
error
总变异
133.3972 31
total F F (3,28) 否定H0 ,
F0.01(3,28) 4.57
第6章 方差分析
２.Dunnett-t检验
它适用于k－１个试验组与一个对照组均数差 别的多重比较。 公式为：
t
Xi X0
1 1 MS 误差 （ ) ni n0
照组的均数，MS误差为方差分析中所计算的误差均 方，ni和n0分别为第i个试验组和对照组的例数。 v＝v误差
X 为第i个（i=1,2,…k-1)试验组的均数， 0 为对 X i
两两比较计算表
对比组 两均数 之差
XA XB
A与B (1) （2）
q值
(3) (2) 0.3899
组 数
a (4)
q界值
P
（3）
α=0.05 (5)
α=0.01 (6)
(7)
1与2 1与3 2与3
1.0323 2.7543 1.7220
2.65 7.06 4.42
2 3 2
2.83 3.40 2.83
方差分析
Analysis of Variance
本章内容
方差分析的基本思想 完全随机设计的单因素方差分析 随机区组设计的两因素方差分析 多个样本均数间的多重比较 变量变换
例1.某研究者为研究核黄素缺乏对尿中氨基氮的 影响，将60只Wistar大白鼠随机分为核黄素缺乏、 限食量、不限食量三组不同饲料组。每组20只 大白鼠。一周后测尿中氨基氮的三天排出量， 结果如表1。
一、方差分析的基本思想
4. 方差分析的基本思想： 根据变异的不同来源将全部观察值总的 离均差平方和与自由度分解为两个或多 个部分，除随机误差外，其余每个部分 的变异可由某个因素的作用（或某几个 因素的交互作用）加以解释，通过比较 不同变异来源的均方，借助F分布作出 统计推断，从而了解该因素对观测指标 有无影响。
生物统计学 第六章 方差分析
（1）LSD法
该法是最小显著差数（Least significant difference） 法的简称，是Fisher 1935年提出的，多用于检验某一对 或某几对在专业上有特殊探索价值的均数间的两两比 较，并且在多组均数的方差分析没有推翻无效假设H0 时也可以应用。该方法实质上就是t检验，检验水准无 需作任何修正，只是在标准误的计算上充分利用了样 本信息，为所有的均数统一估计出一个更为稳健的标 准误，因此它一般用于事先就已经明确所要实施对比 的具体组别的多重比较。
xij i ij
它是方差分析的基础。
6.2 方差分析的原理
方差分析的基本原理是认为不同处理组的均数间 的差别基本来源有两个： (1) 随机误差，如测量误差造成的差异或个体间的差 异，称为组内差异，用变量在各组的均值与该组内变 量值之偏差平方和的总和表示，记作 SS e ，组内自由度 df e 。 (2) 实验条件，即不同的处理造成的差异，称为组间 差异。用变量在各组的均值与总均值之偏差平方和表 示，记作 SSt ，组间自由度 df t 。 总偏差平方和 SST SSt SSe 。
6.1 方差分析的相关术语
研究马氏珠母贝三亚、印度品系在不同地区的生 长差异，选择同一批繁殖的两品系马氏珠母贝的稚贝， 分别在海南黎安港、广东流沙港、广西防城港三个海 区进行养殖，每个地区每个品系养殖1000个，1年后 测定马氏珠母贝壳高与总重，比较生长差异。 这里壳高与总重称为试验指标，在试验中常会测定 日增重、产仔数、产奶量、产蛋率、瘦肉率、某些生 理生化和体型指标(如血糖含量、体高、体重)等，这些 都是试验指标，就是我们需要测量的数据。
6.4 均值间的两两比较
对完全随机设计多组平均水平进行比较时，当资料满 足正态性和方差齐性，就可以尝试方差分析，若得到 P>α的结果，不拒绝零假设，认为各组样本来自均数相 等的总体，即不同的处理产生的效应居于同一水平， 分析到此结束; 若方差分析结果P≤α，则拒绝零假设， 接受备择假设，认为各处理组的总体均数不等或不全 相等，即各个处理组中至少有两组的总体均数居于不 同水平。这是一个概括性的结论，研究者往往希望进 一步了解具体是哪两组的总体均数居于不同水平，哪 两组的总体均数相等，这就需要进一步作两两比较来 考察各个组别之间的差别。
该法是最小显著差数（Least significant difference） 法的简称，是Fisher 1935年提出的，多用于检验某一对 或某几对在专业上有特殊探索价值的均数间的两两比 较，并且在多组均数的方差分析没有推翻无效假设H0 时也可以应用。该方法实质上就是t检验，检验水准无 需作任何修正，只是在标准误的计算上充分利用了样 本信息，为所有的均数统一估计出一个更为稳健的标 准误，因此它一般用于事先就已经明确所要实施对比 的具体组别的多重比较。
xij i ij
它是方差分析的基础。
6.2 方差分析的原理
方差分析的基本原理是认为不同处理组的均数间 的差别基本来源有两个： (1) 随机误差，如测量误差造成的差异或个体间的差 异，称为组内差异，用变量在各组的均值与该组内变 量值之偏差平方和的总和表示，记作 SS e ，组内自由度 df e 。 (2) 实验条件，即不同的处理造成的差异，称为组间 差异。用变量在各组的均值与总均值之偏差平方和表 示，记作 SSt ，组间自由度 df t 。 总偏差平方和 SST SSt SSe 。
6.1 方差分析的相关术语
研究马氏珠母贝三亚、印度品系在不同地区的生 长差异，选择同一批繁殖的两品系马氏珠母贝的稚贝， 分别在海南黎安港、广东流沙港、广西防城港三个海 区进行养殖，每个地区每个品系养殖1000个，1年后 测定马氏珠母贝壳高与总重，比较生长差异。 这里壳高与总重称为试验指标，在试验中常会测定 日增重、产仔数、产奶量、产蛋率、瘦肉率、某些生 理生化和体型指标(如血糖含量、体高、体重)等，这些 都是试验指标，就是我们需要测量的数据。
6.4 均值间的两两比较
对完全随机设计多组平均水平进行比较时，当资料满 足正态性和方差齐性，就可以尝试方差分析，若得到 P>α的结果，不拒绝零假设，认为各组样本来自均数相 等的总体，即不同的处理产生的效应居于同一水平， 分析到此结束; 若方差分析结果P≤α，则拒绝零假设， 接受备择假设，认为各处理组的总体均数不等或不全 相等，即各个处理组中至少有两组的总体均数居于不 同水平。这是一个概括性的结论，研究者往往希望进 一步了解具体是哪两组的总体均数居于不同水平，哪 两组的总体均数相等，这就需要进一步作两两比较来 考察各个组别之间的差别。
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用离均差平方和(sum of squares of deviations from mean，SS)表示变异的大小
自由度和平方和的分解
总自由度DFT＝组间自由度DFt＋组内自由度DFe
总平方和SST＝组间平方和SSt+组内平方和SSe 总的均方： MST
sT
2
(x
ij
x)
2
nk 1
处理 D B A C
平均数 xi 29 23 18 14
2. 新复极差测验(SSR法)
P SSR 0.05
3.08 3.23 3.33
SSR 0.01
4.32 4.55 4.68
LSR 0.05
4.40 4.62 4.76
LSR 0.01
6.18 6.51 6.69
A. 计算LSRα
B. 排序
C. 比较
（ between group variation ）变异平方和与处理内（within group variation )变异平方和两部分；
总自由度：分解为处理间自由度与处理内自由度
两部分来。
试验数据有三个不同的变异（表 5.1）
总变异： 26 只家兔的血清 ACE 浓度不尽相同， 称为总变异； 组间变异：4 组家兔血清 ACE 浓度的均数各不 相同，称为组间变异； 组内变异：即使同组内的家兔血清 ACE 浓度也 不相同，称为组内变异。
进一步的分析
由 SPSS 软件的运行输出结果还可得：
x1 x3
101.875，
158.175
x2 x4
106.95
129.775
• 由 SPSS 软件的运行输出结果还直接可得 到对各 i 的 t 检验结果如下（ =0.05）： • 1 2 4 • (广告宣传) 1 • (有奖销售) 2 • (买一送一) 4 * * • (特价销售) 3 * * *
组别 １
观察值(xij, i=1,2,„,k; j=1,2,„,n)
x11 x12 „ x1j „ x1n
总和 平均 均方 T1
x1
x2
s12
２
„ i „ k
x21
„ xi1 „ xk1
x22
„ xi2 „ xk2
„
„ „ „ „
x2j
„
„
x2n
„ xin „ xkn
T2
„ Ti „ Tk
s22
„ si2 „ sk2
促销方式 A1(广告宣传) A2(有奖销售) A3(特价销售) A4(买一送一) 104.8 112.3 143.2 145.6 与上年同期相比(%) 95.5 104.2 107.1 109.2 150.3 184.7 111.0 139.8 103.0 99.2 154.5 122.7
超市管理部门希望了解： ⑴不同促销方式对销售量是否有显著影响？ ⑵哪种促销方式的效果最好？
了k个处理的平均值有显著差异，但是并不
能说明两两平均数间的显著差异，这就需要
进行多个平均数间的两两比较，即多重比较
3. 多重比较的优点
• 比较的精确度增大了
• 所得到的结论更全面，更可靠了
二、怎样进行多重比较
常用的有： 最小显著差数法(Least significant difference, LSD法) LSD－t检验 （有专业意义的均数间比较） 最小显著极差法(Least significant ranges, LSR法):这个方法是不 同平均数间的比较采用不同的显著差数标准，克服了LSD法的 局限性，用于平均数间的所有相互比较） ☆ 新复极差测验(SSR法)又称Duncan法 （new multiple range method) ☆ SNK－q检验(student Newman Keuls) （多个均数间全面比较）又 q检验 Dunnett检验 （多个实验组与对照组比较） Tukey(真正显著差法HSD: 用单一值作为判断的标准) 、 • 还有Scheffe、 Waller 、BON等比较方法
总和Ti 平均 xi 72 18 92 23 56 14 116 29 T=336
=21
自由度和平方和的分解
总变异自由度：
药剂间自由度：
DFT=(nk-1)=(44)-1=15
DFt=(k-1)=4-1=3
药剂内自由度：
矫正数
DFe=k(n-1)=4(4-1)=12
T2 3362 C 7056 nk 4 4
各部分偏差平方和除以各自的自由度便可得 到总均方、处理间均方和处理内均方， 分别
2 记为 MST（或 S T ）、MSt（或 S t2）和MSe
2 ）。 e
（或 S 即
2 MST ST SST / df T 2 MSt S t SSt / df t
MSe
2 Se
SS e / df e
案例 1 分析 • 可用 SPSS 软件的【工具】 →“analyze”→campare mean“One-Way ANOVA”
Dependent Factor：% Contrasts选项: Post
List：促销方式
多项式比较
Hoc选项: Options选项:Descriptive描述统计量， Homogeneity-of-variance方差齐次性检验， Means plot均值分布图 结果除了方差分析表，还有很多选项相应的结 果 求解单因素方差分析问题。
注意：总均方不等于处理间均方加处理内均方。
自由度和平方和的分解
以Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种药剂处理水稻种子，其 中Ａ为对照，每处理各得４个苗高观察值(cm)，其 结果列于下表，试分解其平方和与自由度
药剂 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
x
18 20 10 28
苗高观察值 21 20 24 26 15 17 27 29
13 22 14 32
药剂处理间 药剂处理内（误差）
总
3 12
15
504 98
602
168.00 8.17
20.56* *
F 0.05(3,12)=3.49 F 0.01(3,12)=5.92
2. 什么叫多重比较
多重比较就是指在 F 测验的前提下，
如果否定了无效假设，只是表明试验的总变
异主要来源于处理间的变异，这也仅仅说明
第六章 方差分析ANOVA
（Analysis of Variance)
方差分析的基本原理
多重比较Biblioteka 单向分组资料的方差分析
两向分组资料的方差分析 数据转换
• t 检 验 法 只 适用于两个处理平均数 • 间差异显著性检验。 • 1、计算工作量大 2、无统一的试验误差，误差估计的精确性和 检验的灵敏度降低
Y C＝(N 1) S
i, j 2 ij
N
2
总 N 1
2
校正系数： C
( Yij )
i 1 j 1
a ni
N
( Yij )
i, j
N
2
N
SS组间 ni (Yi Y )
2 i 1 i 1
a ni
a
a
( Yij )
j 1
ni
2
ni
C
•
• 其中：P-value —— P 值，为检验中达到的显著性水平， • 其含义与 t 检验中“P(T<=t)单尾”相同。 • F crit —— 在水平 （默认0.05）下拒绝域的临界值 F。 • ∵ P-value = 0.00014 < 0.001 • 故不同的促销方式对商品销售额有极高度显著影响。 •
2 3 4
凡两极差≥LSRa，则为在a水平上差异显著； 反之，不显著。
处理 D B A C 平均数 29 23 18 14 P=2 D-B=6* B-A=5* A-C=4 P=3 D-A=11** B-C= 9** P=4 D-C=15**
3. q测验
• 与SSR法相似，唯一区别仅在计算LSRa 时，不是查SSRa，而是查qa（附表7）， 查qa后 LSRa=SE· qa 所以不再详述。
SS组内 (Yij Yi )
i 1 j 1
2
( ni 1) S
i 1
a
2 i
S,为大方差， 处理间方差； S2为小方差， 处理内方差
二、F分布与F测验
s1 F ( 1 , 2 ) 2 s2
DF 3 SS 504 MS 168 F 20.56** F临界值 F0.05(3,1 2)=3.49 F0.01(3,1 2)=5.95
氏t值表可得到
(3)将平均数多重比较表中两两平均数的差 数与 LSD0.05 、LSD0.01 比较，作出统计推断。
2. 新复极差测验(SSR法) A. 计算LSRα B. 排序 C. 比较
LSRa=SE· SSRa
SE
2 se 或 n
MSe n
SSR通过查附表8求得 查表时：列为误差自由度
方差分析结论：
特价销售的效果最好， 买一送一次之，广告宣传 和有奖销售的效果最差， 两者间无显著差异。
第六章
第二节 多重比较
为什么要进行多重比较 怎样进行多重比较 如何表示多重比较的结果 如何选择多重比较的方法
一、为什么要进行多重比较
为什么要进行多重比较
什么叫多重比较
多重比较的优点
1. 为什么要进行多重比较？
例：水稻不同药剂处理的苗高(cm) 药剂 苗高观察值 总和Ti A 18 21 20 13 72 B 20 24 26 22 92 C 10 15 17 14 56 D 28 27 29 32 116 经方差分析得下表：
变异来源 DF SS MS F 显著F值
自由度和平方和的分解
总自由度DFT＝组间自由度DFt＋组内自由度DFe
总平方和SST＝组间平方和SSt+组内平方和SSe 总的均方： MST
sT
2
(x
ij
x)
2
nk 1
处理 D B A C
平均数 xi 29 23 18 14
2. 新复极差测验(SSR法)
P SSR 0.05
3.08 3.23 3.33
SSR 0.01
4.32 4.55 4.68
LSR 0.05
4.40 4.62 4.76
LSR 0.01
6.18 6.51 6.69
A. 计算LSRα
B. 排序
C. 比较
（ between group variation ）变异平方和与处理内（within group variation )变异平方和两部分；
总自由度：分解为处理间自由度与处理内自由度
两部分来。
试验数据有三个不同的变异（表 5.1）
总变异： 26 只家兔的血清 ACE 浓度不尽相同， 称为总变异； 组间变异：4 组家兔血清 ACE 浓度的均数各不 相同，称为组间变异； 组内变异：即使同组内的家兔血清 ACE 浓度也 不相同，称为组内变异。
进一步的分析
由 SPSS 软件的运行输出结果还可得：
x1 x3
101.875，
158.175
x2 x4
106.95
129.775
• 由 SPSS 软件的运行输出结果还直接可得 到对各 i 的 t 检验结果如下（ =0.05）： • 1 2 4 • (广告宣传) 1 • (有奖销售) 2 • (买一送一) 4 * * • (特价销售) 3 * * *
组别 １
观察值(xij, i=1,2,„,k; j=1,2,„,n)
x11 x12 „ x1j „ x1n
总和 平均 均方 T1
x1
x2
s12
２
„ i „ k
x21
„ xi1 „ xk1
x22
„ xi2 „ xk2
„
„ „ „ „
x2j
„
„
x2n
„ xin „ xkn
T2
„ Ti „ Tk
s22
„ si2 „ sk2
促销方式 A1(广告宣传) A2(有奖销售) A3(特价销售) A4(买一送一) 104.8 112.3 143.2 145.6 与上年同期相比(%) 95.5 104.2 107.1 109.2 150.3 184.7 111.0 139.8 103.0 99.2 154.5 122.7
超市管理部门希望了解： ⑴不同促销方式对销售量是否有显著影响？ ⑵哪种促销方式的效果最好？
了k个处理的平均值有显著差异，但是并不
能说明两两平均数间的显著差异，这就需要
进行多个平均数间的两两比较，即多重比较
3. 多重比较的优点
• 比较的精确度增大了
• 所得到的结论更全面，更可靠了
二、怎样进行多重比较
常用的有： 最小显著差数法(Least significant difference, LSD法) LSD－t检验 （有专业意义的均数间比较） 最小显著极差法(Least significant ranges, LSR法):这个方法是不 同平均数间的比较采用不同的显著差数标准，克服了LSD法的 局限性，用于平均数间的所有相互比较） ☆ 新复极差测验(SSR法)又称Duncan法 （new multiple range method) ☆ SNK－q检验(student Newman Keuls) （多个均数间全面比较）又 q检验 Dunnett检验 （多个实验组与对照组比较） Tukey(真正显著差法HSD: 用单一值作为判断的标准) 、 • 还有Scheffe、 Waller 、BON等比较方法
总和Ti 平均 xi 72 18 92 23 56 14 116 29 T=336
=21
自由度和平方和的分解
总变异自由度：
药剂间自由度：
DFT=(nk-1)=(44)-1=15
DFt=(k-1)=4-1=3
药剂内自由度：
矫正数
DFe=k(n-1)=4(4-1)=12
T2 3362 C 7056 nk 4 4
各部分偏差平方和除以各自的自由度便可得 到总均方、处理间均方和处理内均方， 分别
2 记为 MST（或 S T ）、MSt（或 S t2）和MSe
2 ）。 e
（或 S 即
2 MST ST SST / df T 2 MSt S t SSt / df t
MSe
2 Se
SS e / df e
案例 1 分析 • 可用 SPSS 软件的【工具】 →“analyze”→campare mean“One-Way ANOVA”
Dependent Factor：% Contrasts选项: Post
List：促销方式
多项式比较
Hoc选项: Options选项:Descriptive描述统计量， Homogeneity-of-variance方差齐次性检验， Means plot均值分布图 结果除了方差分析表，还有很多选项相应的结 果 求解单因素方差分析问题。
注意：总均方不等于处理间均方加处理内均方。
自由度和平方和的分解
以Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种药剂处理水稻种子，其 中Ａ为对照，每处理各得４个苗高观察值(cm)，其 结果列于下表，试分解其平方和与自由度
药剂 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
x
18 20 10 28
苗高观察值 21 20 24 26 15 17 27 29
13 22 14 32
药剂处理间 药剂处理内（误差）
总
3 12
15
504 98
602
168.00 8.17
20.56* *
F 0.05(3,12)=3.49 F 0.01(3,12)=5.92
2. 什么叫多重比较
多重比较就是指在 F 测验的前提下，
如果否定了无效假设，只是表明试验的总变
异主要来源于处理间的变异，这也仅仅说明
第六章 方差分析ANOVA
（Analysis of Variance)
方差分析的基本原理
多重比较Biblioteka 单向分组资料的方差分析
两向分组资料的方差分析 数据转换
• t 检 验 法 只 适用于两个处理平均数 • 间差异显著性检验。 • 1、计算工作量大 2、无统一的试验误差，误差估计的精确性和 检验的灵敏度降低
Y C＝(N 1) S
i, j 2 ij
N
2
总 N 1
2
校正系数： C
( Yij )
i 1 j 1
a ni
N
( Yij )
i, j
N
2
N
SS组间 ni (Yi Y )
2 i 1 i 1
a ni
a
a
( Yij )
j 1
ni
2
ni
C
•
• 其中：P-value —— P 值，为检验中达到的显著性水平， • 其含义与 t 检验中“P(T<=t)单尾”相同。 • F crit —— 在水平 （默认0.05）下拒绝域的临界值 F。 • ∵ P-value = 0.00014 < 0.001 • 故不同的促销方式对商品销售额有极高度显著影响。 •
2 3 4
凡两极差≥LSRa，则为在a水平上差异显著； 反之，不显著。
处理 D B A C 平均数 29 23 18 14 P=2 D-B=6* B-A=5* A-C=4 P=3 D-A=11** B-C= 9** P=4 D-C=15**
3. q测验
• 与SSR法相似，唯一区别仅在计算LSRa 时，不是查SSRa，而是查qa（附表7）， 查qa后 LSRa=SE· qa 所以不再详述。
SS组内 (Yij Yi )
i 1 j 1
2
( ni 1) S
i 1
a
2 i
S,为大方差， 处理间方差； S2为小方差， 处理内方差
二、F分布与F测验
s1 F ( 1 , 2 ) 2 s2
DF 3 SS 504 MS 168 F 20.56** F临界值 F0.05(3,1 2)=3.49 F0.01(3,1 2)=5.95
氏t值表可得到
(3)将平均数多重比较表中两两平均数的差 数与 LSD0.05 、LSD0.01 比较，作出统计推断。
2. 新复极差测验(SSR法) A. 计算LSRα B. 排序 C. 比较
LSRa=SE· SSRa
SE
2 se 或 n
MSe n
SSR通过查附表8求得 查表时：列为误差自由度
方差分析结论：
特价销售的效果最好， 买一送一次之，广告宣传 和有奖销售的效果最差， 两者间无显著差异。
第六章
第二节 多重比较
为什么要进行多重比较 怎样进行多重比较 如何表示多重比较的结果 如何选择多重比较的方法
一、为什么要进行多重比较
为什么要进行多重比较
什么叫多重比较
多重比较的优点
1. 为什么要进行多重比较？
例：水稻不同药剂处理的苗高(cm) 药剂 苗高观察值 总和Ti A 18 21 20 13 72 B 20 24 26 22 92 C 10 15 17 14 56 D 28 27 29 32 116 经方差分析得下表：
变异来源 DF SS MS F 显著F值