统计学作业第六章方差分析
教育与心理统计学 第六章 方差分析五 重复测量实验设计的方差分析考研笔记-精品
第六章方差分析（五）［测量实验设计的方差分析一、重复测量的方差分析（一）重复测量实验设计的相关含义⑴重复测量实验设计的定义又叫：被试内设计、受试者内设计、单组实验设计、相关样本设计。
是每个被试或每组被试必须接受自变量的所有情况的处理（每个被试接受所有的实验处理水平或处理水平的结合）。
由于被试的行为是重复测量的，所以被试内实验设计也称重复测量实验设计。
（2）重复测量设计的基本原理每个被试者参与所有的实验处理，然后比较相同被试者在不同处理下的行为变化。
这种实验设计下的同一被试者既为实验组提供数据，也为控制组提供数据。
因此，被试者内设计无需另找控制组的被试者。
被试内设计不但节省了被试人数，而且不同组的被试个体差异也得到了最好的控制，被试内设计比被试间设计更有力，能更好的考察实验组和控制组之间的差异，这个优点使得许多研究者更倾向于使用被试内设计。
和被试间设计相反，被试内设计不会受到来自被试个体差异的困扰但却必需面对实验处理之间相互污染的问题。
可以采用平衡技术来控制这些差异。
（3）使用重复测量设计的主要目的重复测量实验设计的目的是所有被试自已做控制，使被试的各方面特点在该因素所有水平上保持恒定，克服被试间设计中存在的被试不同质的问题，以最大限度地控制由被试的个体差异带来的变异。
如果实验者主要想研究一个被试者对实验处理所引起的行为上的变化，一般可以考虑采用被试者内设计。
（二）重复测量实验设计的方差分析的条件重复测量实验设计方差分析是一般方差分析的深化，也具有正态性、变异的可加性和方差齐性等先决条件，还要求各重复测量数据组成的协方差矩阵满足球形性假设。
博克斯指出,若球状性假设得不到满足,则方差分析的F值是有偏的,会增加犯I类错误的可能。
（三）重复测量实验设计的方差分析的过程①建立检验假设；②计算离差平方和与均方；③进行F检验；④列出方差分析表。
二、单因素重复测量的方差分析（一）重复测量实验设计的基本方法实验中每个被试接受所有的处理水平。
统计学方差分析
（1）平方和的计算
C = T2/nk (T为总和，n为处理数，k为重复数) 总平方和SS T = ∑x2–C
处理间平方和SS t= ∑ Ti2– C
处理内平方和SSe ＝SST - SSt
(2)自由度的计算
dfT = nk-1 总自由度dfT
dft = k-1 处理间自由度(dft)
dfe = dfT - dft = k(n-1) 处理内自由度(dfe)
(3) 方差的计算
处理间方差st2 = SSt/ dft
处理内方差se2 = Sse/dfe
(4) 显著性F检验
F = st2 /se2
F ＜ F0.05 P ＞0.05 接受Ho 处理间差异不显著 F ＞ F0.05 P ＜0.05 否定Ho 处理间差异显著 F ＞ F0.01 P ＜0.01 否定Ho 处理间差异极显著
多重比较
最小显著差数法（LSD 法，实质是成组t 检验。
）
在F 检验显著的前提下，先计算出显著水平为α的最小显著差数 LSD α，然后将任意两个处理平均数的差数的绝对值与其比较。
若 |X1-X2| >LSD α 时，则 X1 与 X2在α水平上差异显著；反之，则在α水平上差异不显著。
组内观察次数不等 ()()()1022--∑∑∑=k n n n i i i n 02022 21n s s n s s e x x e x ==-或。
第五章 统计学习题集 假设检验 第六章 方差分析
第五章 假设检验 第六章 方差分析1、某厂生产一种产品，原月产量服从)14,75(N 。
设备更新后，为了考察产量是否提高，抽查了6个月的产量，其平均产量为78。
问在显著水平5%条件下，设备是否值得更新？2、某工厂对所生产的产品进行质量检验，规定：次品率不得超过0.01，方可出厂。
现从一批产品中随机抽查80件，发现次品2件。
试问在0.05的显著水平下，这批产品是否可以出厂？3、已知某种电子元件的使用寿命服从标准差为100小时的正态分布，要求平均寿命不得低于1000小时。
现在从一批这种电子元件中随机抽取25件，测得平均寿命为950小时。
试在0.02 的显著性水平下,检验这批元件是否合格.4、在正常生产情况下，某厂生产的无缝钢管的内径服从均值为54mm 、 标准差为0.9mm 的正态分布。
某日从当天生产的产品中随机抽取10根，测得内径分别为：53.8，54.0，55.1，54.2，52.1，54.2，55.0，55.8，55.4，55.5（单位：mm ）。
试检验该日产品生产是否正常(α=5%)。
5、某专家认为A 地男孩入学率明显高于女孩,小学男女学生比例至少是6:4。
从A 地小学中随机抽取400个学生的调查结果是:男生258人,女生142人.问当α=5%时,调查结果是否支持该专家的观点?6、某饮料厂生产一种新型饮料，其颜色有四种分别为：橘黃色、粉色、绿色、和无色透明。
随机从5家商场收集了前一期其销售量，数据如下表：数据计算结果如下：组间平方和为76.8445，组内平方和为39.084。
问饮料的颜色是否对产品的销售量产生显著的影响？{66.8)3,16(05.0=F ，24.3)16,3(05.0=F ，29.5)16,3(01.0=F ，69.26)3,16(01.0=F }。
生物统计学-单因素方差分析
三、数学模型
根据对处理效应 i的不同假定，数学模型 可分为： 固定模型、随机模型和 混合模型
固定模型：各个处理的 效应 i是固定的一个常量， 是由固定因素引起的效 应，且 i 0 分析的目的是 i的估计和比较
随机模型：各个处理的 效应 i不是一个常量，由随机 因素所引起的效应。
i是一个随机变量，是从 N (0, 2)的正态总体中得到一个 随机变量
研究的目的不仅是处理 效应 i，还有 i的变异程度 即侧重在效应的方差的 估计和检验
混合模型：在多因素试 验中，若既包括固定效 应的试验因素， 又包括随机效应的试验 因素，则该试验对应于 混合模型
四、平方和与自由度的分解
a i 1 j 1 a a n
x
i 1 j 1
ij x n xi x xij xi 2 2 i 1 i 1 j 1
2
方差分析的意义
方差分析基本思想： 1、把k个总体当作一个整体看待 2、把观察值的总变异的平方和及自由度分 解为不同来源的平方和及自由度 3、计算不同方差估计值的比值 4、检验各样本所属的平均数是否相等 • 实际上是观察值变异原因的数量分析
验方法，是将总变异按照来源分为处理效应和试验
误差，并做出其数量估计。
发现各变异原因在总变异中相对重要程度的一
种统计分析方法。
二、方差分析的基本原理
总变异分解为组间变异和组内变异。 组内变异是个体差异所致，是抽样误差。 组间变异可能由两种原因所致， 一是抽样误差； 二是处理不同。 在抽样研究中抽样误差是不可避免的，故 导致组间变异的第一种原因肯定存在；第二种原因 是否存在，需通过假设检验作出推断
方差即均方是离均差平方和除以自由度
教育与心理统计学 第六章 方差分析考研笔记-精品
第六章方差分析第一节方差分析概述一.方差分析的定义［用途］定义:用途方差分析也称为变异数分析，是在教育与心理研究中最常用的变量分析方法，其主要功能在于分析测量或实验数据中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定测量或实验中因素对反应变量是否存在显著影响。
即用于置信度不变情况下的多组平均数之间的差异检验。
它既可以比较两个以上的样本平均数的差异检验，也可以应用于一个因素多种水平以及多个因素有多种水平的数据分析。
二.方差分析的作用方差分析主要应用于两种以上实验处理的数据分析，同时匕徽两个以上的样本平均数，推断多组资料的总体均数是否相同，也即检验多组数据之间的均数差异是否有统计意义。
在这个意义，也可以将其理解为平均数差异显著性检验的扩展。
当我们用多个t检验来完成这一过程时，相当于从t分布中随机抽取多个t值，这样落在临界范围之外的可能大大增加，从而增加了I型错误的概率，我们可以把方差分析看作t检验的增强版。
方差分析一次检验多组平均数的差异，降低了多次进行两组平均数检验所带来的误差。
在进行方差分析时，设定的假设是综合虚无假设，即假设样本所归属的所有总体的平均数都相等。
如果检验的结果是存在显著性差异，只能说明多组平均数之间存在显著性差异，但是无法确定究竟哪些组之间存在显著性差异，此时需要运用事后检验的方法来确定。
三.方差分析的相关概念一（一）数据的变异（1）变异:统计中的变异是普遍存在的7一般意义上的变异是指标志（包括品质标志和数量标志）在总体单位之间的不同表现。
可变标志的属性或数值表现在总体各单位之间存在的差异，统计上称之为变异,这是广义上的变异，即包括了品质标志和数量标志，有时仅指品质标志和在总体单位之间的不同表现。
注：随机性，即变异性。
（2）组间变异［组间差异］:组间变异表示处理间变异，主要指由于接受不同的实验处理（实验处理效应）而造成的各组之间的变异，可以用两个平均数之间的离差来表示，可将组间离差平方和记为SS AO组间差异可用组间方差来表征，用符号MS B表示。
大学统计学 第6章 假设检验与方差分析
35%
16
30%
14
12
25%
10
20%
8
`
15%
6
10%
4
2
5%
0
0%
50-60
70-80
90-100
统计学导论
第六章 假设检验与方差分析
第一节 假设检验的基本原理 第二节 总体均值的假设检验 第三节 总体比例的假设检验 第四节 单因子方差分析 第五节 双因子方差分析 第六节 Excel在假设检验与方差分析
记为 H1:。150
整理课件
6-7
三、检验统计量
所谓检验统计量，就是根据所抽取的样本计 算的用于检验原假设是否成立的随机变量。
检验统计量中应当含有所要检验的总体参数， 以便在“总体参数等于某数值”的假定下研 究样本统计量的观测结果。
检验统计量还应该在“H0成立”的前提下有 已知的分布，从而便于计算出现某种特定的 观测结果的概率。
为 =x 149.8克，样本标准差s=0.872克。问该
生产线的装袋净重的期望值是否为150克（即 问生产线是否处于控制状态）?
整理课件
6-4
所谓假设检验，就是事先对总体的参数 或总体分布形式做出一个假设，然后利用抽 取的样本信息来判断这个假设（原假设）是 否合理，即判断总体的真实情况与原假设是 否存在显著的系统性差异，所以假设检验又 被称为显著性检验。
量所得结果落入接受域的概率。
问题，对于 和 大小的选择有
不同的考虑。例如，在例 6-1 中，如果检验者站在卖方 的立场上，他较为关心的是不要犯第一类错误，即不 要发生产品本来合格却被错误地拒收这样的事情，这
时， 要较小。反之，如果检验者站在买者的立场上，
第六章方差分析
2se（ 2 LSD检验）
x
n0
x1 x2
n0
第三节双因素方差分析
1、试验指标：衡量试验结果的标准 2、因素(factor)：也叫因子，是指对试验指标有影响，在研究中加以（控制）考虑的试验
4
条件。 3、可控因子：在试验中可以人为地加以调控的因子浓度、温度等 4、非控因子：不能人为调控的因素（气象、环境等） 5、固定因素：指因素的水平是经过特意选择的 6、随机因素：指因素的水平是从该因素水平总体中随机抽出的样本 7、水平(level)：每个因素的不同状态（从质或量方面分成不同的等级） （因素是一个抽象的概念，水平则是一个较为具体的概念） 8、处理：指对试验对象施以不同的措施（对单因素试验而言，水平和处理是一致的，一个 水平就是一个处理；对多因素试验而言，处理就是指水平与水平的组合） 9、固定效应(fixed effect)：由固定因素所引起的效应。 10、随机效应(random effect)：由随机因素引起的效应。 11、二因素方差分析：是指对试验指标同时受到两个试验因素作用的试验资料的方差分析。 12、固定模型:二因素都是固定因素 13、随机模型:二因素均为随机因素 14、混合模型:一个因素是固定因素，一个因素是随机因素 15、主效应（main effect）：各试验因素的相对独立作用 16、互作（interaction）：某一因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不同。 17、因素间的交互作用显著与否关系到主效应的利用价值 如果交互作用不显著，则各因素的效应可以累加，各因素的最优水平组合起来，即为最优的 处理组合。 如果交互作用显著，则各因素的效应就不能累加，最优处理组合的选定应根据各处理组合的 直接表现选定。有时交互作用相当大，甚至可以忽略主效应。 二因素间是否存在交互作用有专门的统计判断方法，有时也可根据专业知识判断。 （一）无重复观测值的二因素方差分析 依据经验或专业知识，判断二因素无交互作用时，每个处理可只设一个观测值，即假定 A 因素有 a 各水平，B 因素有 b 个水平，每个处理组合只有一个观测值。
生物统计学 第六章 方差分析
该法是最小显著差数（Least significant difference） 法的简称，是Fisher 1935年提出的，多用于检验某一对 或某几对在专业上有特殊探索价值的均数间的两两比 较，并且在多组均数的方差分析没有推翻无效假设H0 时也可以应用。该方法实质上就是t检验，检验水准无 需作任何修正，只是在标准误的计算上充分利用了样 本信息，为所有的均数统一估计出一个更为稳健的标 准误，因此它一般用于事先就已经明确所要实施对比 的具体组别的多重比较。
xij i ij
它是方差分析的基础。
6.2 方差分析的原理
方差分析的基本原理是认为不同处理组的均数间 的差别基本来源有两个： (1) 随机误差，如测量误差造成的差异或个体间的差 异，称为组内差异，用变量在各组的均值与该组内变 量值之偏差平方和的总和表示，记作 SS e ，组内自由度 df e 。 (2) 实验条件，即不同的处理造成的差异，称为组间 差异。用变量在各组的均值与总均值之偏差平方和表 示，记作 SSt ，组间自由度 df t 。 总偏差平方和 SST SSt SSe 。
6.1 方差分析的相关术语
研究马氏珠母贝三亚、印度品系在不同地区的生 长差异，选择同一批繁殖的两品系马氏珠母贝的稚贝， 分别在海南黎安港、广东流沙港、广西防城港三个海 区进行养殖，每个地区每个品系养殖1000个，1年后 测定马氏珠母贝壳高与总重，比较生长差异。 这里壳高与总重称为试验指标，在试验中常会测定 日增重、产仔数、产奶量、产蛋率、瘦肉率、某些生 理生化和体型指标(如血糖含量、体高、体重)等，这些 都是试验指标，就是我们需要测量的数据。
6.4 均值间的两两比较
对完全随机设计多组平均水平进行比较时，当资料满 足正态性和方差齐性，就可以尝试方差分析，若得到 P>α的结果，不拒绝零假设，认为各组样本来自均数相 等的总体，即不同的处理产生的效应居于同一水平， 分析到此结束; 若方差分析结果P≤α，则拒绝零假设， 接受备择假设，认为各处理组的总体均数不等或不全 相等，即各个处理组中至少有两组的总体均数居于不 同水平。这是一个概括性的结论，研究者往往希望进 一步了解具体是哪两组的总体均数居于不同水平，哪 两组的总体均数相等，这就需要进一步作两两比较来 考察各个组别之间的差别。
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统计学作业第六章方差分析
习题6.4 为研究氟对种子发芽的影响，分别用0μg/g（对照）、10μg/g、50μg/g、100μg/g、4种不同浓度的氟化钠溶液处理种子（浸种），每一种浓度处理的种子用培养皿进行发芽实验（每盆50粒，每处理重复三次）。
观察它们的发芽情况，测得芽长（cm）资料如下表。
试作方差分析，并用LSD法、SSR法和q法分别进行多重比较。
解：1、假设H0：不同处理浓度对种子发芽情况没有显著性差异。
对H1：不同处理浓度对种子发芽情况有显著性差异。
2、取显著水平α=0.05
3、用SPSS软件进行方差检验计算如下：
（1）打开SPSS软件，输入数据，如图：
（2）在主菜单栏中选择“分析”选项的“比较均值”，在下拉菜单中选择“单因素ANOVA”，如图：
（3）将左边方框里的“芽长”放到右边的“因变量列表”方框中，“处理浓度”放到右边的“因子”中。
如图：
（4）点击“对比”，打开对话框，选中“多项式”。
在“度”中选
择“线性”，点击“继续”如图：
（5）点击“选项”，在“统计量”中选中“描述性”和“方差同质性检验”，点击“继续”。
再点击“继续”即得到结果。
如图：
从检验结果可知sig显著性概率0.224>0.05，说明方差具有齐次性。
（6）经过方差同质性检验，再进行两两比较，前面步骤同上，然后点击“两两比较”，在假定方差齐次性中选中“LSD”、“S-N-K”、“Duncan”，点击“继续”，然后点击“确定”，即得到结果。
如图：
4、结果分析：
（1）根据方差分析表得到的sig.显著概率0.001<0.05，所以否定H0，接受H1，即不同处理浓度对种子发芽情况有显著性差异。
（2）LSD法多重比较表明：
处理浓度0μg/g与50μg/g、100μg/g之间存在显著性差异；
处理浓度10μg/g与50μg/g、100μg/g之间存在显著性差异；
处理浓度50μg/g与0μg/g、10μg/g之间存在显著性差异；
处理浓度100μg/g与0μg/g、10μg/g之间存在显著性差异；
（3）SSR法多重比较表明：
处理浓度0μg/g与50μg/g、100μg/g之间存在显著性差异；
处理浓度10μg/g与50μg/g、100μg/g之间存在显著性差异；
处理浓度50μg/g与0μg/g、10μg/g之间存在显著性差异；
处理浓度100μg/g与0μg/g、10μg/g之间存在显著性差异；习题6.6 选取4个品种的家兔，每一品种用兔7只，测定其不同室温下血糖值，以每100mg血中含葡萄糖的mg数表示，问各种家兔血糖值间有无差异？室温对家兔的血糖值有无影响？试验资料见下表。
解：1、假设H0：各种家兔血糖值间无显著差异；室温对家兔的血糖值无显著差异；对H1：各种家兔血糖值间有显著差异；室温对家兔的血糖值有显著差异；
2、取显著水平为α=0.05
3、用SPSS软件进行方差检验计算如下：
（1）打开SPSS软件，输入数据，如图：
（2）在主菜单栏中选择“分析”选项的“一般线性模型”，在下拉菜单中选择“单变量”，如图：
（3）将左边方框里的“血糖值”放到右边的“因变量”方框中，“室温”“品种”放到右边的“固定因子”中。
如图：
（4）单击模型，选中“设定”，在“类型”中选择“主效应”，
然后将左边方框里的“室温”和“品种”放到右边方框中，点击“继续”。
然后点击“确定”，即可得到检验结果。
如图：
4、结果分析
由SPSS“单变量”检验结果可知：
（1）不同室温对家兔血糖值的偏差均方为1755.036，F值为
19.119，显著概率是0.000<0.05,所以否定H0，接受假设H1，
即不同室温对家兔血糖值有显著性差异。
（2）不同品种对家兔血糖值的偏差均方为919.464，F值为
10.016，显著概率是0.000<0.05,所以否定H0，接受假设H1，
即不同品种对家兔血糖值有显著性差异。
习题6.8药物处理大豆种子试验中，使用了大、中、小粒三种类型种子，分别用五种浓度、两种处理时间进行试验处理，播种后45d对每种处理各取两个样本，每个样本取10株测定其干物重(g)，求其平均数，结果如下表。
试进行方差分析。
解：1、假设H0：不同处理时间对种子干重没有显著性差异；
不同种子类型对种子干重没有显著性差异；
不同处理浓度对种子干重没有显著性差异；
不同处理时间与不同种子类型共同对种子干重没有显著性差异；
不同种子类型与不同处理浓度共同对种子干重没有显著性差异；
不同处理时间与不同浓度共同对种子干重没有显著性差异；
不同处理时间、不同种子类型与不同浓度共同对种子干重没有显著性差异。
则对H1：不同处理时间对种子干重有显著性差异；
不同种子类型对种子干重有显著性差异；
不同处理浓度对种子干重有显著性差异；
不同处理时间与不同种子类型共同对种子干重有显著性差异；
不同种子类型与不同浓度共同对种子干重有显著性差异；
不同处理时间与不同浓度共同对种子干重有显著性差异；
不同处理时间、不同种子类型与不同浓度共同对种子干重有显著性差异。
2、取显著水平为α=0.05
3、用SPSS软件进行方差检验计算如下：
（1）打开SPSS软件，输入数据，如图：
（2）在主菜单栏中选择“分析”选项的“一般线性模型”，在下拉菜单中选择“单变量”，如图：
（3）将左边方框里的“干重”放到右边的“因变量”方框中，“A”“B”“C”放到右边的“固定因子”中。
如图：
（4）单击模型，选中“全因子”，点击“继续”。
然后点击“确定”，
即可得到检验结果。
如图：
4、结果分析
由SPSS“单变量”检验结果可知：
（1）不同处理时间对种子干重的偏差均方为1189.04，F值为2239.95，显著概率是0.000<0.05,所以否定H0，接受假设H1，即不同处理时间对种子干重有显著性差异。
（2）不同处理浓度对种子干重的偏差均方为228.881，F值为431.173，显著概率是0.000<0.05,所以否定H0，接受假设H1，即不同处理浓度对种子干重有显著性差异。
（3）不同种子类型对种子干重的偏差均方为10.186，F值为19.188，显著概率是0.000<0.05,所以否定H0，接受假设H1，即不同种子类型对种子干重有显著性差异。
（4）不同处理时间、浓度对种子干重的偏差均方为100.805，F值为189.899，显著概率是0.000<0.05,所以否定H0，接受假设H1，即不同处理时间、浓度共同对种子干重有显著性差异。
（5）不同处理时间、种子类型对种子干重的偏差均方为0.707，F值为1.332，显著概率是0.279>0.05,所以接受假设H0，即不同处理时间、种子类型共同对种子干重没有显著性差异。
（6）不同处理浓度、种子类型对种子干重的偏差均方为5.987，F值为11.279，显著概率是0.000<0.05,所以否定H0，接受假设H1，即不同处理浓度、种子类型共同对种子干重有显著性差异。
（7）不同处理时间、处理浓度、种子类型对种子干重的偏差均方为
3.720，F值为7.008，显著概率是0.000<0.05,所以否定H0，接
受假设H1，即不同处理时间、处理浓度、种子类型共同对种子干重有显著性差异。