统计学之方差分析
统计学方差分析
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例 子
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例 子
数据结构—无交互作用的双元素方差分析
分析步骤—无交互作用的双元素方差分析
01
02
03
构造F统计量
判断与结论
例题
Excel操作
数据结构—有交互作用的双元素方差分析
分析步骤—有交互作用的双元素方差分析
建立假设 构造检验F统计量 判断与结论
例题
Excel操作
构造F统计量
判断与结论
例题
Excel操作
方差分析概述
单因素方差分析
平方和分解: 若 ，则拒绝原假设 多重比较 因素A的第i个水平的效应
两因素方差分析 数据、模型、要检验的假设
无交互作用 对因素A 对因素B： 不全为零 不全为零
两因素方差分析 分析表与检验统计量 平方和分解: 判断
判断与结论
例7.2
两因素方差分析 数据、模型、要检验的假设
有交互作用
两因素方差分析 分析表与检验统计量
平方和分解: 判断
判断与结论
例7.3
例 子
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【解】设这四种方式的销售量的均值分别用 表示，则要检验的假设为
【解】设这四种方式的销售量的均值分别用 表示，四个销售地点的平均销售量用 表示；则要检验的假设为 对销售方式: 对销售地点:
如果方差分析只针对一个因素进行，称为单因素方差分析。如果同时针对多个因素进行，称为多因素方差分析。本章介绍单因素方差分析和双因素方差，它们是方差分析中最常用的。
水平指因素的具体表现，如销售的四种方式就是因素的不同取值等级。有时水平是人为划分的，比如质量被评定为好、中、差。
水平
单元
统计学中的方差分析
统计学中的方差分析统计学中的方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种用于比较不同样本均值之间差异的方法。
它是通过对观察数据的方差进行分解来实现的。
方差分析在实际应用中具有广泛的应用领域，既可以用于科学研究的数据分析，也适用于质量管理、市场调查等应用场景。
一、什么是方差分析方差分析是一种用于对不同组之间差异进行比较的统计方法。
它的基本原理是通过将总体方差分解为组内方差和组间方差，来检验不同组均值之间是否存在显著差异。
方差分析可以用于比较两个以上组的均值差异，且可以同时考虑多个自变量对因变量的影响。
方差分析的基本假设包括：1. 总体是正态分布的；2. 不同组的方差相等（方差齐性）；3. 不同组之间相互独立。
二、单因素方差分析单因素方差分析是指只考虑一个自变量对因变量的影响。
它适用于比较一个因素（如不同调查方法、不同药物剂量等）对某个指标的影响是否存在显著差异。
单因素方差分析的结果主要包括组间均方（MSB）、组内均方（MSW）和F值。
组间均方（MSB）是各组均值与总体均值之间的差异的平方和除以自由度的比值；而组内均方（MSW）是各组内部个体与各组均值之间的差异的平方和除以自由度的比值。
F值则是组间均方与组内均方的比值。
当F值显著时，表明不同组均值之间存在显著差异。
三、多因素方差分析多因素方差分析是指考虑多个自变量对因变量的影响。
多因素方差分析通常会考虑两个以上的自变量，以及它们之间是否存在交互作用。
通过多因素方差分析，可以更全面地了解多个因素对研究对象的影响。
多因素方差分析的结果不仅包括组间均方、组内均方和F值，还包括每个自变量的主效应和交互效应。
主效应指的是每个自变量对因变量的独立影响，而交互效应则是不同自变量之间相互作用产生的影响。
四、方差分析的应用领域方差分析在实际应用中具有广泛的应用领域。
在科学研究中，方差分析可以用于比较不同实验条件下的实验结果，验证研究假设的有效性。
统计学之方差分析
使用Python的方差分析库（如SciPy）进行方差分析，如 “scipy.stats.f_oneway()”。
查看结果
Python将输出方差分析的结果，包括F值、p值、效应量等。
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详细描述
独立性检验可以通过卡方检验、相关性检验 等方法进行。如果数据不独立，需要考虑数 据的相关性和因果关系等因素，以避免误导 的分析结果。
06 方差分析的软件实现
SPSS软件实现
导入数据
将数据导入SPSS软件中，选择正确的数 据类型和格式。
查看结果
SPSS将输出方差分析的结果，包括F值、 p值、效应量等。
03 方差分析的步骤
数据准备
01
02
03
收集数据
收集实验或调查所需的数 据，确保数据来源可靠、 准确。
数据筛选
对异常值、缺失值等进行 处理，确保数据质量。
数据分组
根据研究目的，将数据分 成不同的组或处理水平。
建立模型
确定因子
确定影响因变量的自变量或因子。
建立模型
根据因子和因变量的关系，建立合适的方差分析模型。
统计学之方差分析
目 录
• 方差分析简介 • 方差分析的数学原理 • 方差分析的步骤 • 方差分析的应用场景 • 方差分析的注意事项 • 方差分析的软件实现
01 方差分析简介
方差分析的定义
• 方差分析（ANOVA）是一种统计技术，用于比较两个或多个 组（或类别）的平均值差异是否显著。它通过对总体平均值的 假设检验来进行数据分析，以确定不同条件或处理对观测结果 是否有显著影响。
执行方差分析
在SPSS的“分析”菜单中选择“比较均值” 或“一般线性模型”中的“单变量”，然 后选择需要进行方差分析的变量。
统计学中的方差分析与回归分析比较
统计学中的方差分析与回归分析比较统计学是以搜集、整理、分析数据的方法为研究对象的一门学科，随着现代科技的不断进步，统计学在许多领域中都扮演着至关重要的角色。
在统计学的研究中，方差分析和回归分析都是两种常见的方法。
然而，这两种方法之间的区别是什么？它们各自的优缺点又是什么呢？本文将就这些问题进行探讨。
一、方差分析是什么？方差分析，也称为ANOVA (analysis of variance)，是一种用于分析各个因素对于某一变量影响力大小的方法。
在统计数据分析中，可能有多个自变量（影响因素），这时我们需要检验这些因素中哪些是显著的，即在该因素下所得的计算值与总计算值之间是否存在显著性差异。
因此，方差分析的基本思想是对总体方差进行分析，检验各个因素是否会对总体造成显著影响。
二、回归分析是什么？回归分析则是研究两个变量之间关系的一种方法。
一个自变量（independent variable）是已知的、独立的变量，一个因变量（dependent variable）是需要预测或解释的变量。
回归分析的主要目的是利用自变量对因变量进行预测，或者解释自变量与因变量之间的关系。
回归分析一般有两种，即简单线性回归和多元回归。
三、方差分析与回归分析的比较1. 适用范围方差分析适用于多个自变量之间的比较；回归分析则适用于对单个因变量的预测。
2. 关心的变量在方差分析中，我们关心的是各个自变量对总体造成的显著影响程度；在回归分析中，我们关心的是自变量与因变量之间的相关性。
3. 变量类型方差分析和回归分析处理的数据类型也不相同。
在方差分析中，自变量通常为分类变量（catogorical variable），而因变量通常为连续量（continuous variable）。
而在回归分析中，自变量和因变量都为连续量。
4. 独立性假设方差分析的独立性假设要求各组之间是相互独立、没有相关的，而回归分析的独立性假设要求各个观测或实验之间是独立的。
统计学方差分析
统计学方差分析方差分析（Analysis of Variance，缩写为ANOVA）是一种常用的统计学方法，广泛应用于数据分析中。
它的主要目的是用于比较多个样本群体之间的均值是否存在显著差异。
通过方差分析，可以确定因素对于不同组之间的差异程度有无显著影响。
方差分析的基本原理是将数据进行分解，并据此计算各部分之间的均方差（mean square），然后通过比较这些均方差的比值，得出各部分对总体的贡献程度，并进行显著性检验。
在方差分析中，数据通常被分为几个不同的组别，每个组别称为一个因素（factor）。
每个因素可以有不同的水平（level），例如性别因素可以有男和女两个水平。
而一个水平下的所有观测值构成一个处理（treatment）或条件（condition）。
方差分析的基本模型是一种线性模型，假设因变量与自变量之间存在线性关系。
对于单因素方差分析，它的模型可以表示为：Y=μ+α+ε其中，Y表示因变量，μ表示总体的平均值，α表示组别之间的差异，ε表示组内误差。
方差分析的目标是判断组别之间的差异（α）与组内误差（ε）的比值是否显著。
方差分析的核心思想是通过计算均方差，评估不同因素水平之间的差异是否显著。
均方差是方差与其自由度的比值，用于度量数据的离散程度。
通过计算组间均方差（MSTr）和组内均方差（MSE），我们可以得出F值，进而进行显著性检验。
F值是组间均方差与组内均方差的比值F = (MSTr / dfTr) / (MSE / dfE)其中，dfTr表示组间自由度，dfE表示组内自由度。
在统计学中，F值与显著性水平相关。
当F值大于显著性水平对应的临界值时，我们可以拒绝原假设，认为组别之间存在显著差异。
否则，我们不能拒绝原假设，即组别之间的差异不显著。
方差分析不仅可以应用于单因素情况，还可以扩展到多因素情况。
多因素方差分析可以用于研究多个自变量对因变量的影响，并评估这些自变量之间是否存在交互作用。
统计学-方差分析
第5章 方差分析 5.4 有交互作用的双因素方差分析
[例]研究人员从某省十五期间结项的自然科学基金 项目中随机抽取部分项目进行绩效评估。采用设 计的综合评价体系，获得有关项目的“相对绩效 分值”（满分为100分）。研究人员认为，学校 类型、项目类型等有可能会影响到科研项目绩效， 请你在5%的显著水平下分析这两个因素对科研项 目绩效的影响。
MSA SSA k 1
（2）SSE的均方MSE ： MSE SSE
nk
第5章 方差分析 5.2 单因素方差分析
5.2.2 分析步骤
5．计算F检验统计量
F MSA ~ F(k 1, n k) MSE
第5章 方差分析 5.2 单因素方差分析
5.2.2 分析步骤
6．统计判断 在计算出F检验统计量的具体数值之后，将F检验统计值与 给定的显著性水平的F分布临界数值相比较，作出接受还 是拒绝原假设的统计判断。若F检验统计值落在由F分布临 界数值界定的接受域内，则接受原假设；反之，便拒绝原 假设。
第5章 方差分析 5.3 无交互作用的双因素方差分析
误差 来源
行因素
无交互作用的双因素方差分析表
误差 自由度 均方 F统 F临 P值（Sig）
平方和
差 计量 界值
SSR
k-1 MSR FR
列因素 SSC
r-1 MSC FC
随机误差 SSE (k-1)(r-1) MSE
总和 SST kr-1
第5章 方差分析 5.3 无交互作用的双因素方差分析
第5章 方差分析 5.2 单因素方差分析
[例]试对下表数据进行方差分析，回答三种不同包装方式对 “酷酷爽”销售量的差异是否显著。
产品包装 类型
123
方差分析与组间差异的检验
方差分析与组间差异的检验在统计学中，方差分析（ANOVA）是用于比较两个或多个组之间差异的一种常用方法。
它可以帮助我们确定不同组之间的均值是否存在显著差异。
本文将介绍方差分析的基本原理和步骤，以及如何进行组间差异的检验。
1. 方差分析的基本原理方差分析是基于总体均值之间的差异进行推断的一种统计方法。
它主要分为单因素方差分析和多因素方差分析两种类型。
单因素方差分析适用于只有一个自变量（因素）的情况，而多因素方差分析适用于有两个或以上自变量的情况。
在进行方差分析时，我们需要将观察数据分为若干个组，然后计算每个组的平均值。
之后，我们需要计算总体均值和组内均值，以及组间均值的平方和组内均值的平方。
通过比较组间均值与组内均值的差异，我们可以推断不同组之间是否存在显著差异。
2. 方差分析的步骤方差分析通常包括以下步骤：（1）建立假设：首先，我们需要明确研究的问题，并提出相应的原假设（H0）和备择假设（H1）。
原假设通常是指不同组之间不存在显著差异，备择假设则相反。
（2）计算统计量：接下来，我们需要计算方差分析的统计量，称为F统计量。
F统计量是组间均值方差与组内均值方差之比。
（3）确定显著性水平：我们还需要确定显著性水平，通常以α表示。
常用的显著性水平有0.05和0.01，分别对应于5%和1%的显著性水平。
（４）做出判断：根据计算得到的F统计量和设定的显著性水平，我们可以判断是否拒绝原假设。
如果计算得到的F值大于临界值，我们可以拒绝原假设，认为组间存在显著差异；反之，如果计算得到的F 值小于临界值，我们则不能拒绝原假设。
3. 组间差异的检验一旦我们判断出组间存在显著差异，接下来可以进一步进行组间差异的检验，以确定具体哪些组之间存在差异。
常用的方法包括事后比较、配对比较和多重比较。
事后比较即对全部组进行两两比较，从而找到具体存在显著差异的组合；配对比较用于比较两个相关的变量之间的差异；多重比较适用于同时进行多个比较的情况，可以帮助我们找到全局的显著差异。
统计学中的方差分析和多元统计方法
统计学中的方差分析和多元统计方法统计学是一门研究数据收集、处理和分析的学科，它在各个领域都有着广泛的应用。
方差分析和多元统计方法是统计学中两个重要的技术工具，它们在数据分析和研究中发挥着重要的作用。
本文将分别介绍方差分析和多元统计方法的基本概念和应用，并对其在实际研究中的意义进行讨论。
一、方差分析方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种用于比较两个或更多个样本平均值差异的统计方法。
它的基本思想是通过比较组间方差和组内方差来判断不同样本之间的平均值是否有显著差异。
方差分析通常用于分析实验数据和观察数据，常见的有单因素方差分析和多因素方差分析。
在单因素方差分析中，我们只考虑一个因素对观测结果的影响，例如研究不同教育水平对学生成绩的影响。
我们将样本按照教育水平分组，并通过计算组间方差和组内方差来判断教育水平对学生成绩的影响是否显著。
而在多因素方差分析中，我们考虑多个因素对观测结果的影响，例如研究不同教育水平和不同性别对学生成绩的综合影响。
我们除了计算组间方差和组内方差外，还需要考虑不同因素之间的交互作用，以综合判断各个因素对学生成绩的影响程度。
方差分析的结果通常通过计算F值和p值进行判断，其中F值表示组间方差与组内方差之比，而p值则表示差异的显著性程度。
通过方差分析，我们可以得出结论，确定不同因素对观测结果的影响是否具有统计学意义。
二、多元统计方法多元统计方法是一种处理多个变量间相互关系的统计方法，它能够同时考虑多个变量对观测结果的综合影响。
多元统计方法包括相关分析、回归分析、主成分分析等多种技术手段，它们在统计学和实际研究中被广泛应用。
相关分析是研究变量间线性相关关系的方法，通过计算相关系数来描述变量之间的相关性强度和方向。
例如，我们可以通过相关分析来探究身高和体重之间的关系，以及年龄和工作经验之间的关系。
回归分析是一种用于建立变量之间数学关系的方法，它能够通过一组自变量预测因变量的数值。
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第六章 方差分析
单因素方 差分析
多因素方 差分析
在实验中变化的因素 只有一个。本例中只 涉及一个因素，因此 称为单因素方差分析
在实验中变化的因素 不只有一个。
水平
第六章 方差分析
因子在实验中的不同状 态或因素的具体表现称 为水平。上例中A1、A2、 A3、 A4四种颜色就是 因素的水平。
f(X)
第六章 方差分析
X
1 2 3 4
第六章 方差分析
如果备择假设成立，即H1: i (i=1，2，3，
日营业额。如果检验结果接受原假设，
则有充分证据表明地点因素对分店的日
营业额没有实质性影响；如果拒绝原假
设，则有充分证据说明地点因素对日营
业额有显著影响。
第六章 方差分析
例
某饮料生产企业研制出一种新型饮料。饮料 的颜色共有四种，分别为橘黄色、粉色、 绿色和无色透明。这四种饮料的营养含量、 味道、价格、包装等可能影响销售量的因 素全部相同。现从地理位置相似、经营规 模相仿的五家超级市场上收集了前一时期 该饮料的销售情况，见下表，试分析饮料 的颜色是否对销售量产生影响。
的总体中抽取的。
▪比如，四种颜色饮料的销售量的方差都
相同。 观察值是独立的。
▪比如，每个超市的销售量都与其他超市
的销售量独立。
方差分析的原理
第六章 方差分析
在上述假定条件下，判断颜色对销售量 是否有显著影响，实际上也就是检验具 有同方差的四个正态总体的均值是否相 等的问题。
如果四个总体的均值相等，可以期望四 个样本的均值也会很接近。
第六章 方差分析
上面的数据可以看作是从 样本数据 这四个总体中抽取的样本
数据。
第六章 方差分析
方差分析的基本思想
比较两类误差 以检验均值是否相等
比较的基础是方差比 如果系统(处理)误差显著地不同于随机误
差，则均值就是不相等的；反之，均值就是 相等的 误差是由各部分的误差占总误差的比例 来测度的
两类误差
随机 误差
第六章 方差分析
在因素的同一水平(同一个总体) 下，样本的各观察值之间的差异。 比如，同一种颜色的饮料在不同 超市上的销售量是不同的。不同 超市销售量的差异可以看成是随 机因素的影响，或者说是由于抽 样的随机性所造成的，称为随机 误差 。
系统 误差
第六章 方差分析
在因素的不同水平(不同总体)下， 各观察值之间的差异。比如， 同一家超市，不同颜色饮料的 销售量也是不同的。这种差异 可能是由于抽样的随机性所造 成的，也可能是由于颜色本身 所造成的，后者所形成的误差 是由系统性因素造成的，称为 系统误差。
▪当这个比值大到某种程度时，就可
以说不同水平之间存在着显著差异。
第六章 方差分析
基本假定
每个总体都应服从正态分布
▪对于因素的每一个水平，其观察
值是来自服从正态分布总体的简 单随机样本
▪比如，每种颜色饮料的销售量必
须服从正态分布
第六章 方差分析
基本假有相同方差
第六章 方差分析
该饮料在五家超市的销售情况
超市
无色 粉色 橘黄色
绿色
1
26.5
31.2
27.9
30.8
2
28.7
28.3
25.1
29.6
3
25.1
30.8
28.5
32.4
4
29.1
27.9
24.2
31.7
5
27.2
29.6
26.5
32.8
第六章 方差分析
方差分析的基本概念
因素
因素又称因子，指所要检 验的对象。是在实验中或 在抽样时发生的“量”， 通常用A、B、C……表 示。
方差分析
第六章 方差分析
该方法能一次性地检验多个总 体均值是否存在显著差异。
分析
如果把每一个分店的日 营业额看成一个总体， 以上问题的实质是检验 这三个总体的均值是否 相等。
第六章 方差分析
❖提出如下假设：
❖
三者不完全相等
H :
0
1
2
3
H
1
:
1
,
2
,
3
❖其中，
1
,
2
,
3
分别为三分店的平均
两类方差
第六章 方差分析
组内方差
因素的同一水平(同一个 总体)下样本数据的方差。 比如，无色饮料A1在5家 超市销售数量的方差。
组内方差只包含随机误差
两类方差
第六章 方差分析
组间方差
因素的不同水平(不同总 体)下各样本之间的方差 比如，A1、A2、A3、A4 四种颜色饮料销售量之间
的方差。组间方差既包括
交互影响
如果因子间存在相互作用， 称之为“交互影响”；如 果因子间是相互独立的， 则称为无交互影响。
观察值
第六章 方差分析
在每个因素水平下得到的样 本值。 上例中每种颜色饮料的销售 量就是观察值。
总体
因素的每一个水平可以看作 是一个总体。 上例中A1、A2、A3、 A4 四种颜色可以看作是四个总 体。
第六章 方差分析
第六章 方差分析
❖ 第一节 方差分析的基本问题
❖ 第二节 单因素方差分析
第六章 方差分析
学习目标
1、掌握方差分析的基本概念 2、掌握方差分解的思想 3、能针对单因素方差分析， 构造出对原假设进行检验的F统 计量。
第六章 方差分析
第一节 方差分析的基本问题
一、问题的提出
方差分析简称ANOV，该统计分析方法能 一次性地检验多个总体均值是否存在显著 差异。假设检验主要是检验两总体的均值 是否差异显著。对于多个总体均值是否差 异显著的问题，如果按照每一对总体进行 一次检验，显然要花费较多的时间。因此 ，方差分析所提供的处理方法比两两比较 的处理方法要方便得多。
方差分析的原理
第六章 方差分析
四个样本的均值越接近，我 们推断四个总体均值相等的证 据也就越充分。
样本均值越不同，我们推断 总体均值不同的证据就越充分。
第六章 方差分析
❖如果原假设成立，即H0: 1 = 2 = 3 = 4
▪四种颜色饮料销售的均值都相等 ▪没有系统误差 ❖ 这意味着每个样本都来自均值为 、方差为2的同一正态总体
随机误差，也包括系统误 差。
第六章 方差分析
方差的比较
▪如果不同颜色(水平)对销售量(结果)
没有影响，那么在组间方差中只包 含有随机误差，而没有系统误差。 这时，组间方差与组内方差就应该 很接近，两个方差的比值就会接近 1
第六章 方差分析
方差的比较
❖如果不同的水平对结果有影响，在 组间方差中除了包含随机误差外， 还会包含有系统误差，这时组间方 差就会大于组内方差，组间方差与 组内方差的比值就会大于1。