应用统计学第 7 章 方差分析
梁前德《统计学》(第二版)学习指导与习题训练答案：07第七章 假设检验与方差分析 习题答案
旗开得胜1第七章 假设检验与方差分析 习题答案一、名词解释用规范性的语言解释统计学中的名词。
1. 假设检验：对总体分布或参数做出某种假设，然后再依据抽取的样本信息，对假设是否正确做出统计判断，即是否拒绝这种假设。
2. 原假设：又叫零假设或无效假设，是待检验的假设，表示为 H 0，总是含有等号。
3. 备择假设：是零假设的对立，表示为 H 1，总是含有不等号。
4. 单侧检验：备择假设符号为大于或小于时的假设检验。
5. 显著性水平：原假设为真时，拒绝原假设的概率。
6. 方差分析：是检验多个总体均值是否相等的一种统计分析方法。
二、填空题根据下面提示的内容，将适宜的名词、词组或短语填入相应的空格之中。
1. u ，nx σμ0-，标准正态； ),(),(2/2/+∞--∞nz nz σσααY2. 参数检验，非参数检验3. 弃真，存伪4. 方差旗开得胜25. 卡方， F6. 方差分析7. t ，u8. nsx 0μ-，不拒绝9. 单侧，双侧10．新产品的废品率为5% ，0.01 11．相关，总变异，组间变异，组内变异12．总变差平方和=组间变差平方和+组内变差平方和 13．连续，离散 14．总体均值 15．因子，水平 16．组间，组内 17．r-1，n-r18. 正态，独立，方差齐三、单项选择从各题给出的四个备选答案中，选择一个最佳答案，填入相应的括号中。
1．B 2．B 3. B 4．A 5．C 6．B 7．C 8．A 9．D 10．A 11．D 12．C四、多项选择从各题给出的四个备选答案中，选择一个或多个正确的答案，填入相应的括号中。
1.AC 2．A 3.B 4.BD 5. AD五、判断改错对下列命题进行判断，在正确命题的括号内打“√”；在错误命题的括号内打“×”，并在错误的地方下划一横线，将改正后的内容写入题下空白处。
1. 在任何情况下，假设检验中的两类错误都不可能同时降低。
( ×)样本量一定时2. 对于两样本的均值检验问题，若方差均未知，则方差分析和t检验均可使用，且两者检验结果一致。
方差分析
第七章方差分析●了解方差分析的概念和作用；●掌握方差分析的基本原理和步骤；●掌握单向分组资料的方差分析；●掌握两向分组和系统分组资料的方差分析。
能力目标：●学会完全随机试验资料进行方差分析；●学会单向分组资料进行方差分析；●学会两向分组和系统分组资料进行方差分析。
对一个或两个样本进行平均数的假设测验，可以采用u测验或t测验来测定它们之间的差异显著性。
而当试验的样本数k≥3时，上述方法已不宜应用。
其原因是当k≥3时，就要进行k(k-1)/2次测验比较，不仅工作量大，而且精确度降低。
因此，对多个样本平均数的假设测验，需要采用一种更加适宜的统计方法，即方差分析法。
方差分析法是科学研究工作的一个十分重要的工具。
第一节方差分析基本原理方差分析（analysis of variance，ANOV A）就是将试验数据的总变异分解为来源于不同因素的相应变异，并作出数量估计，从而发现各个因素在总变异中所占的重要程度。
即将试验的总变异方差分解成各变因方差，并以其中误差方差作为和其他变因方差比较的标准，以推断其他变因所引起变异量是否真实的一种统计分析方法。
一、自由度与平方和分解方差是平方和除以自由度的商。
要将一个试验资料的总变异分解为各个变异来源的相应变异，首先将总平方和与总自由度分解为各个变异来源的相应部分。
因此，平方和与自由度的分解是方差分析的第一步骤。
下面以单因素完全随机试验设计的资料为例说起。
假设有k 个处理，每个处理有n 个观察值，则该试验资料共有nk 个观察值，其观察值的组成如表7-1。
表7-1中，i 代表资料中任一样本；j 代表样本中任一观测值；x ij 代表任一样本的任一观测值；T t 代表处理总和；t x 代表处理平均数；T 代表全部观测值总和；x 代表总平均数。
表7-1 每处理具n 个观测值的k 组数据的符号表处理观察值处理总和T t 处理平均t x 12 … j … n 1 x 11 x i 2 … x 1j … x 1n T t1 1t x 2 x 21 x i 2 … x 2j … x 2n T t2 2t x… … … … … … … … …i x i1 x i 2 … x ij … x in T ti ti x… … … … … … … … …kx k 1x k 2… x kj…x k nT tk tk xT =∑xx在表7-1中，总变异是nk 个观测值的变异，故其自由度v =nk -1，而其平方和SS T 则为： =T SS 221()nk ij x x x C -=-∑∑ (7-1)（7-1）式中的C 称为矫正数：22()x T C nknk==∑ (7-2) 产生总变异的原因可从两方面来分析：一是同一处理不同重复观测值的差异是由偶然因素影响造成的，即试验误差，又称组内变异；二是不同处理之间平均数的差异主要是由处理的不同效应所造成，称处理间变异，又称组间变异。
应用统计学方差分析
对收集到的数据进行整理，包括数据筛选、缺失 值处理、异常值处理等。
4. 计算统计量
根据方差分析的要求，计算样本均值、总体均值、 样本方差、自由度和误差方差等统计量。
5. 检验假设
利用统计量进行假设检验，判断原假设是否成立 。
6. 解读结果
根据检验结果解读方差分析的意义，并给出结论和建议 。
方差分析的定义与重要性
方差分析的定义
通过比较不同组的均值，确定它们之间是否存在显著差异。它是一种有效的统 计工具，用于处理多组数据，并确定这些数据组之间是否存在显著差异。
方差分析的重要性
在许多领域中，如社会科学、医学、生物学和经济学等，需要进行多组数据的 比较。通过方差分析，可以更准确地评估这些数据组之间的差异，从而做出更 可靠的决策和结论。
05 方差分析的局限性及注意 事项
方差分析的局限性
样本量要求
方差分析要求样本量足够大，以便能够准确地估计总体参 数。在样本量较小的情况下，方差分析的结果可能不准确 。
异常值的影响
方差分析对异常值较为敏感，异常值的存在可能会对分析 结果产生较大影响。在进行方差分析前需要进行数据清洗 ，剔除或处理异常值。
方差分析的假设条件
独立性
各组数据相互独立，即各组数据之间没有相互影响或关联。
正态性
各组数据的分布应符合正态分布，即数据的概率分布应呈现出钟 形曲线。
同方差性
各组数据的方差应相等，即各组数据的离散程度应相似。
方差分析的统计推断
统计量计算
在方差分析中，需要计算各组数据的均值、方差 和自由度等统计量。
独立性假设
方差分析基于独立观察值的假设，即各组数据之间相互独 立。如果数据之间存在相关性，则会影响分析结果的准确 性。
第7章：方差分析
15.75
k
x
njxj
j 1
K
nj
811.5 88.625 815.75 888
11.9583
kr
SST
(xij - x)2
i1 j1
8
8
8
(x1 j - x)2 (x2 j - x)2 (x3 j - x)2
j 1
2.水平 水平是指因子在实验中所处的不同状态。如，例7.1中三个分 店处于三个不同的位置，每个位置被看作是一种水平。
3.观察值 观察值是指在具体的因素水平下，实验样本的观察数据。如， 例7.1中每个分店在8个观察日的销售额。
4.交互影响 当方差分析的影响因素不唯一时，需要关注各因素之间是否独 立。如果因素之间存在相互作用，我们称之为“交互影响”， 实际中这个交互影响可以看成是试验结果产生作用的一个新因 素，需要单独分离出来进行分析。
17
3
10
9
13
4
13
12
14
5
11
7
18
6
9
9
14
7
8
6
16
8
15
8
19
试分析这三家分店的平均日营业额是否相同，从而确定营业 地点这个位置因素是否对营业额有显著影响(α=5%)
相应的假设为：
H0 : 1 2 3 1，2，3三者不全相等
如果原假设成立，意味着营业位置对销售没有显著影响；如 果原假设不成立说明至少有两个地点的营业额是有显著差异的 ，即承认营业位置对销售存在显著影响。
方差分析是20世纪20年代发展起来的一种统计方法，是由 英国统计学家费舍尔在进行试验设计时为解释试验数据而首先 引入的。
第七章方差分析基础《卫生统计学》课件
方差分析简述方差分析也是统计检验的一种。
由英国著名统计学家：R.A.FISHER推导出来的，也叫F检验。
190240290340分组正常钙组中剂量钙(1.0%)高剂量钙(1.5%)1X 2X 3X X(2) 计算检验统计量可根据表7-5的公式来计算出离均差平方和、自由度、均方和F值。
从已知正态总体N(10,52)进行随机抽样，共抽取了k=10组样本，每组样本的样本含量n i=20，可算出各组的均数和标准差，得表7-7的结果。
如果采用t检验作两两比较，其比较次数为(1)10(101)45 222k k km⎛⎫--====⎪⎝⎭从理论上讲10个样本均来自同一正态总体N(10,52)，应当无差异，但我们用两样本t检验时，已经规定犯第一类错误的概率不超过α=0.05，本次实验实际犯第一类错误的频率为5/45≈0.11，显然比所要控制的0.05要大。
因此不能直接用前面学过的两样本t检验对多样本均数作两两比较，而应采用专用的两两比较的方法。
(2) 计算检验统计量首先将三个样本均数由大到小排列，并编组次：, =11()2A B A B A B X X A BX X X X q S MS n n νν---==+误差误差(3) 确定值并作出推断结论自由度ν误差和对比组内包含组数a查附表4的q界值表得q界值，将算得的q值与相应q界值进行比较得各组的p值。
(3) 确定P值并作出推断结论自由度ν误差和实验组数 (不含对照组)查附表5.2的Dunnett –t(q， )界值表,得q，临界值，用计算得到的q，与临界值进行比较，得P值 。
(2) 计算检验统计量=11()A B A B A B X X A BX X X X t S MS n n νν---==+误差误差。
统计学原理第七章 方差分析
三、方差分析的基本假定
1.观测值是来自于服从正态分布总体的随 机样本 2.各总体的方差相同。 3.各总体相互独立。
四、方差分析的基本步骤
• 第一步：提出假设 • 第二步：构造检验统计量F • 第三步：查表得Fα，进行统计决策（右侧 检验）
• 若F>F，则拒绝原假设 • 若F<F，则不能拒绝原假设
2.构造并计算检验统计量
• • • • SSR：行因素误差平方和 SSC：列因素误差平方和 SSE：随机因素误差平方和 SST：总因素误差平方和 SST=SSR+SSC+SSE
计算方差
平方和 自由度 方差
行因素
列因素 随机因素 总和
SSR
SSC SSE SST
K-1
r-1
（K-1）（r-1）
• 方差分析中涉及两个分类型自变量时， 称为双因素方差分析。
• 例如，在分析空调销售额的影响因素时， 除了品牌因素之外，还需考虑地区、价 格、质量等因素。
方差分析
单因素方差分析 双因素方差分析
无交互作用
有交互作用
• 1.无交互作用的双因素分析（无重复双 因素分析）
• 因素间的影响是相互独立的
• 2.有交互作用的双因素分析（可重复双 因素方差分析）
万元
1.提出假设：
• 原假设H0： μ1=μ2=μ3=μ4
• 品牌对空调销售额没有显著影响 • 品牌对空调销售额有显著影响
• 备择假设H1： μ1、μ2、μ3、μ4不完全相等
2.计算检验统计量
各水平的均值与方差 观测数
品牌A
品牌B 品牌C 品牌D
求和
2121
1746 1634 1408
平均
353.5
方差分析
变异间的相互关系
SST =∑∑( Xij −X )2 = ∑ni ( Xi − X )2 + ∑∑ ( Xij − Xi )2
i=1 j =1 i=1 i=1 j =1 k ni k k ni
SSTR = ∑ni (Xi − X )
组内均值 Xi 与总均值 X 之差的平方和
1
X
2
X
3
X4
X
n1 ( X 1 − X )
2
n4 ( X 4 − X ) 2
2
n2 ( X
− X )
2
n3( X
3
− X )2
12
Analysis of Variance的基本思想 的基本思想
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
四组资料的肝重占体重比值(%) 四组资料的肝重占体重比值(%)的测定结果 (%)的测定结果
饲料
A 2.62 2.23 2.36 2.40 B 2.82 2.76 2.43 2.73 4 2.6825 0.17 C 2.91 3.02 3.28 3.18 4 3.0975 0.16 D 3.92 3.00 3.32 3.04 4 3.3200 0.42 16 (
4
几个基本概念
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
2、因素水平(level of factor):
试验因素所处的某种特定状
态或数量等级称为因素水平，简称水平。 态或数量等级称为因素水平，简称水平。 例如： 例如： （1）比较3个品种奶牛产奶量的高低，这3个品种就是奶牛品种这 比较3个品种奶牛产奶量的高低， 个试验因素的3 个试验因素的3个水平 （2）研究某种饲料中4种不同能量水平对培育猪瘦肉率的影响，这 研究某种饲料中4种不同能量水平对培育猪瘦肉率的影响， 4种特定的能量水平就是饲料能量这一试验因素的4个水平。 种特定的能量水平就是饲料能量这一试验因素的4个水平。
第七章方差分析法
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单因素方差分析的数据结构
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试验数据变异原因（误差来源）分析
同一试验条件下的数据变异-----随机因素影响 不同试验条件下，试验数据变异-----随机因素
和可能存在的系统性因素即试验因素共同影响
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学习内容
第一节 方差分析简介
常用术语 基本假定
第二节 单因素方差分析 分析模型 基本思想
分析步骤 多重比较
第三节 双因素方差分析 无交互作用双因素方差分析
有交互作用双因素方差分析
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7.1 方差分析简介
7.1.1 方差分析中的基本概念 7.1.2 方差分析中的基本假设与检验
i= 1 j= 1
邋k
=
n 轾 犏 臌(xi.- x..)2 + 2(xi.- x..)(xij - xi.) + (xij - xi.)2
i= 1 j= 1
邋 邋 ? k
k
n
kn
= n (xi.- x..)2 + 2 [(xi.- x..) (xij - xi.)] +
(xij - xi.)2
i= 1
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7.2. 单因素方差分析
7.2.1 单因素方差分析模型 7.2.2 方差分析的基本原理 7.2.3 单因素方差分析的步骤 7.2.4 方差分析中的多重比较
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2
前例的计算结果
SST = SSA + SSE
4164.608696=1456.608696+2708
构造检验的统计量 (计算均方MS)
1. 各误差平方和的大小与观察值的多少有关， 为消除观察值多少对误差平方和大小的影响， 需要将其平均，这就是均方，也称为方差 2. 由误差平方和除以相应的自由度求得 3. 三个平方和对应的自由度分别是
k ni i 1 j 1
2
前例的计算结果 SSE = 2708
构造检验的统计量 (三个平方和的关系)
总离差平方和(SST)、误差项离差平方和
(SSE)、水平项离差平方和 (SSA) 之间的关 系
x
k ni i 1 j 1
ij
x ni xi x xij x
f(X)
m1 m2 m3 m4
X
方差分析中的基本假定
• 若备择假设成立，即H1 ： mi (i=1,2,3,4)不全 相等
– 至少有一个总体的均值是不同的 – 4个样本分别来自均值不同的4个正态总体
f(X)
m3 m1 m2 m4
X
问题的一般提法
问题的一般提法
1. 设因素有k个水平，每个水平的均值分别用m1 , m2, , mk 表示 2. 要检验k个水平(总体)的均值是否相等，需要提出 如下假设： H0 ： m1 m2 … mk H1 ： m1 , m2 , ，mk 不全相等 3. 设 m1为零售业被投诉次数的均值，m2 为旅游业被 投诉次数的均值，m3为航空公司被投诉次数的均 值，m4为家电制造业被投诉次数的均值，提出的 假设为 H0 ： m1 m2 m3 m4 H1 ： m1 , m2 , m3 , m4 不全相等
SST 的自由度为n-1，其中n为全部观察值的个数 SSA的自由度为k-1，其中k为因素水平(总体)的个数 SSE 的自由度为n-k
诉次数的差异主要是由于什么原因所引起的。如果这种 差异主要是系统误差，说明不同行业对投诉次数有显著 影响
方差分析的基本假定
方差分析的基本假定
1. 每个总体都应服从正态分布
对于因素的每一个水平，其观察值是来自服
从正态分布总体的简单随机样本 比如，每个行业被投诉的次数必须服从正态 分布
2. 各个总体的方差必须相同
1. 试验
这里只涉及一个因素，因此称为单因素4水
平的试验
2. 总体
因素的每一个水平可以看作是一个总体
•
零售业、旅游业、航空公司、家电制造业是4个 总体
3. 样本数据
被投诉次数可以看作是从这4个总体中抽取
的样本数据
方差分析的基本思想和原理
方差分析的基本思想和原理 (图形分析—散点图)
80 60
x21 x22 : : x2n
… … : : …
xk1 xk2 : : xkn
分析步骤 • 提出假设 • 构造检验统计量 • 统计决策
提出假设
1. 一般提法 H0 ：m1 = m2 =…= mk
• •
自变量对因变量没有显著影响 自变量对因变量有显著影响
H1 ：m1 ，m2 ，… ，mk不全相等
n x
i 1
k
i i
构造检验的统计量 (例题分析)
构造检验的统计量 (计算总误差平方和 SST)
1. 全部观察值 x ij与总平均值 x的离差平方和 2. 反映全部观察值的离散状况 3. 其计算公式为
SST xij x
k ni i 1 j 1
2
前例的计算结果
SST = (57-47.869565)2+…+(58-47.869565)2 =115.9295
各组观察数据是从具有相同方差的总体中抽
取的 比如，4个行业被投诉次数的方差都相等
3. 观察值是独立的
比如，每个行业被投诉的次数与其他行业被
投诉的次数独立
方差分析中的基本假定
1. 在上述假定条件下，判断行业对投诉次数是 否有显著影响，实际上也就是检验具有同方 差的4个正态总体的均值是否相等 2. 如果4个总体的均值相等，可以期望4个样本 的均值也会很接近
– 这种差异可能是由于抽样的随机性造成的
2. 需要有更准确的方法来检验这种差异是否显 著，也就是进行方差分析
– 所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均 值，但在判断均值之间是否有差异时则需要借 助于方差 – 这个名字也表示：它是通过对数据误差来源的 分析判断不同总体的均值是否相等。因此，进 行方差分析时，需要考察数据误差的来源
方差分析及其有关术语
什么是方差分析(ANOVA)? (analysis of variance)
1. 检验多个总体均值是否相等
通过分析数据的误差判断各总体均值是否相
等
2. 研究分类型自变量对数值型因变量的影响
– 一个或多个分类型自变量
• 两个或多个 (k 个) 处理水平或分类
– 一个数值型因变量
第7章 方差分析
学习内容
7.1 7.2 7.3 方差分析引论 单因素方差分析 双因素方差分析
学习目标
1. 2. 3. 4. 5. 6. 解释方差分析的概念 解释方差分析的基本思想和原理 掌握单因素方差分析的方法及应用 理解多重比较的意义 掌握双因素方差分析的方法及应用 掌握试验设计的基本原理和方法
k 2 k i 1 j 1 i 1
ni
2
前例的计算结果 SSA = 1456.608696
构造检验的统计量 (计算组内平方和 SSE )
1. 每个水平或组的各样本数据与其组平均值的 离差平方和 2. 反映每个样本各观察值的离散状况 3. 该平方和反映的是随机误差的大小 4. 计算公式为
SSE xij xi
3. 有单因素方差分析和双因素方差分析
– 单因素方差分析：涉及一个分类的自变量 – 双因素方差分析：涉及两个分类的自变量
什么是方差分析? (例题分析)
【 例 】为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者 协会在4个行业分别抽取了不同的企业作为样本。最近一 年中消费者对总共23家企业投诉的次数如下表
消费者对四个行业的投诉次数 行业 观测值 零售业 旅游业 航空公司 家电制造业
4个样本的均值越接近，推断4个总体均值相
等的证据也就越充分 样本均值越不同，推断总体均值不同的证据 就越充分
方差分析中的基本假定
• 如果原假设成立，即H0 ： m1 = m2 = m3 = m4
– 4个行业被投诉次数的均值都相等 – 意味着每个样本都来自均值为m、方差为 2的同一 正态总体
•
比如，零售业被投诉次数的误差平方和
只包含随机误差
3. 组间平方和(between groups)
因素的不同水平之间数据误差的平方和
•
比如，4个行业被投诉次数之间的误差平方和
既包括随机误差，也包括系统误差
方差分析的基本思想和原理 (均方—MS)
1. 平方和除以相应的自由度 2. 若原假设成立，组间均方与组内均方的数值就应该 很接近，它们的比值就会接近1 3. 若原假设不成立，组间均方会大于组内均方，它们 之间的比值就会大于1 4. 当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之 间存在着显著差异，即自变量对因变量有影响 判断行业对投诉次数是否有显著影响，也就是检验被投
方差分析中的有关术语
1. 因素或因子(factor)
所要检验的对象
•
分析行业对投诉次数的影响，行业是要检验的因子
2. 水平或处理(treatment)
因子的不同表现
•
零售业、旅游业、航空公司、家电制造业
3. 观察值
在每个因素水平下得到的样本数据
•
每个行业被投诉的次数
方差分析中的有关术语
7.1
7.1.1 7.1.2 7.1.3 7.1.4
方差分析引论
方差分析及其有关术语 方差分析的基本思想和原理 方差分析的基本假定 问题的一般提法
为什么不做两两比较？
1. 设有四个总体的均值分别为 m1 、 m2 、 m3 、 m4 ，要 检验四个总体的均值是否相等，每次检验两个的作法 共需要进行6次不同的检验，每次检验犯第一类错误 的概率为，连续作6次检验犯第Ⅰ类错误的概率增加 到1-(1-)6=0.265，大于0.05。相应的臵信水平会降 低到0.956=0.735 2. 一般来说，随着增加个体显著性检验的次数，偶然因 素导致差别的可能性也会增加，(并非均值真的存在 差别) 3. 方差分析方法则是同时考虑所有的样本，因此排除了 错误累积的概率，从而避免拒绝一个真实的原假设
» ¶ ß Î ý ±Í Ë ´ Ê
40 20 0 0
零售业 1
2旅游业
3 航空公司4
家电制 5
Ð Ò µ
造
» ¬ ² Í Ð Ò ±Í Ë ´ Ê µ É µ Í µ » ¶ ß Î ý Ä ¢ ã ¼
方差分析的基本思想和原理 (图形分析)
1. 从散点图上可以看出
– 不同行业被投诉的次数有明显差异 – 同一个行业，不同企业被投诉的次数也明显 不同
7.2
7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4
单因素方差分析
数据结构 分析步骤 关系强度one-way analysis of variance)
观察值 ( j ) 水平A1 因素(A) i 水平A2 … 水平Ak
1 2 : : n
x11 x12 : : x1n
这种差异 可能 是由于抽样的随机性所造成的，
也可能 是由于行业本身所造成的，后者所形成 的误差是由系统性因素造成的，称为系统误差