生物统计学 第六章 方差分析

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《生统》第六章 方差分析

《生统》第六章 方差分析

Ak 合计
xkn
xk.
xk .
x..
x..

以总体参数表示,有:
xij i ) xij i) ( ( = i ij
——第 i 个处理的效应 i 0 ij~ N (0, 2 ) ——试验误差
二 、平方和与自由度的分解
2 i 1 i 1 j 1
k
k
n
SST
SSt

SSe
总平方和 处理间平方和 处理内平方和
SST ( x ij x.. ) 2
i 1 j 1
k n
k
n
( xi . x ..) 2 2( xi . x ..)( xij xi .) ( xij xi .) 2
i 1
k
k
k
n
k
n
i 1
j 1
i 1 j 1
=0
n ( xi. x.. ) ( xij xi. )2
2 i 1 i 1

SSe
总平方和 处理间平方和 处理内平方和
组间平方和 组间变异
between group variation
Sum of Squares Among
SS MSe e df e
(x ij x i. )
k (n 1)

SS i
k (n 1)

SS1 SS 2 SS k df1 df 2 df k
2 df1 S 12 df 2 S 2 df k S k2 S e2 估计 2 df1 df 2 df k
基本概念:

生物统计-方差分析

生物统计-方差分析
• F检验 FA=
FB=
s /s
A
2
2 e
s /s
B
2
2 e
无重复观测值的二因素方差分析—多重比较
• 多重比较 对达到显著差异的因素的平均数进行多重比较 以SSR检验为例,
设因素A、B的水平数分别a、b,
LSR0.05=SSR0.05* s x 当检验因素A各水平平均数之间的差异显著性时,
s
x
= s
(Excel 文件)
二因素方差分析
无重复观测值的二因素方差分析—方差
• 平方和与自由度的分解 SST=SSA+SSB+SSe dfT=dfA+dfB+dfe
• 各项的方差
s SS / df
2 A A
A
s SS / df
2 B B
BБайду номын сангаас
s SS / df
2 e e
e
无重复观测值的二因素方差分析—F检验
x
= s
an
具有重复观测值的二因素方差分析—多重比较
当检验AxB各水平平均数之间的差异显著性时,
s
x
=
s
2 e
n
例6.5
• 为了研究某种昆虫滞育期长短与环境的关系,在给定的温 度和光照条件下进行实验室培养,每一处理记录4只昆虫的 滞育天数(数据见Excel文件)。试作方差分析,并进行多 重比较。 本例是一个固定模型的方差分析 (Excel 文件)
• F检验 (2)随机模型:A和B均为随机因素
s /s F = s /s
FA=
B
2
2 AB
A
2
2 AB 2 e
B 2

生物统计学3

生物统计学3

第六章 方差分析引言在第四、五章中,学习了单样本与总体或两样本间平均数的显著性检验。

然而,在生物学研究中,常收集到多样本的数据,对这些多样本间平均数差异的统计分析方法即为方差分析(多样本分析)。

方差分析不仅能够分析单因素多水平(处理)效应值间平均数的差异,还能同时分析两个因素、多个因素多水平间平均数的差异,以及各因素间的交互作用。

方差分析是对多因素总体作用的检验,各因素内水平间一对一的比较方法是多重比较。

在方差分析检验差异显著的前提下,进行多重比较的分析。

本章仅对单因素和两因素方差分析,以及多重比较进行介绍。

学习目标1.辨析概念:固定因素和随机因素;固定模型、随机模型和混合模型。

2.掌握适于进行方差分析的不同类型生命科学数据。

3.理解不同方差分析模型计算过程的异同。

4.在方差分析中,固定因素和随机因素在对统计结果进行解释时的不同。

5.掌握方差分析的基本步骤。

6.了解多重比较的前提条件,掌握常用比较方法。

第六章 方差分析方差分析又叫变量分析,它是对多个样本平均数差异显著性检验的一种引伸。

在对多个样本进行比较时,如果用t 检验就会产生较大的误差,提高了犯α错误的概率。

例如我们用t 检验一对一比较的方法检验4个样本平均数之间的差异显著性,就需要做624=C 次检验,每次无效假设的概率都是l 一α=0.95,而且这些检验都是独立的,那么6次都接受的概率是(0.95)6=0.735,犯α错误的概率为1—0.735=0.265,即6次犯错误可能性的累积,因此所犯错误的概率大大增加,使用方差分析就可以避免这一问题。

方差分析是对各因素总体处理效应的显著性检验。

第一节 方差分析的基本原理方差亦称均方,是标准差的平方,是表示变异的量。

在一个多处理试验中,可以得到多组不同的观测值。

各组观测值不同的原因可以分为两大类,一类是因素处理的不同引起的,叫处理效应或条件变异,另一类是试验过程中偶然性因素的干扰和测量误差所致,称为误差或试验误差。

生物统计学之方差分析

生物统计学之方差分析

6.4 均值间的两两比较
对完全随机设计多组平均水平进行比较时,当资料满 足正态性和方差齐性,就可以尝试方差分析,若得到 P>α的结果,不拒绝零假设,认为各组样本来自均数相 等的总体,即不同的处理产生的效应居于同一水平, 分析到此结束; 若方差分析结果P≤α,则拒绝零假设, 接受备择假设,认为各处理组的总体均数不等或不全 相等,即各个处理组中至少有两组的总体均数居于不 同水平。这是一个概括性的结论,研究者往往希望进 一步了解具体是哪两组的总体均数居于不同水平,哪 两组的总体均数相等,这就需要进一步作两两比较来 考察各个组别之间的差别。
6.1 方差分析的相关术语
本例的试验涉及两个因素,称为二因素试验,试 验共有2×3=6个水平组合,即6个处理。每个马氏珠 母贝就是一个试验单位,每个地区每个品种养殖1000 个,1000称为重复。
这里因素A的2个水平三亚品系与印度品系是固定的 ,特意选择的,因素B的3个养殖海区也是特意选择的 ,我们在处理时要用固定模型来处理,得到的结论仅 仅适用试验所涉及的2个品系与3个海区。比如马氏珠 母贝在流沙港、徐闻、大亚湾都有养殖,但我们不能 拿流沙港的养殖结果说明徐闻与大亚湾的养殖情况。
6.4 均值间的两两比较
均数间的两两比较根据研究设计的不同分为两种类型 :一种常见于探索性研究,在研究设计阶段并不明确 哪些组别之间的对比是更为关注的,也不明确哪些组 别间的关系已有定论、无需再探究,经方差分析结果 提示“概括而言各组均数不相同”后,对每一对样本均 数都进行比较,从中寻找有统计学意义的差异;另一 种是在设计阶段根据研究目的或专业知识所决定的某 些均数间的比较,常见于证实性研究中多个处理组与 对照组、施加处理后的不同时间点与处理前比较。最 初的设计方案不同,对应选择的检验方法也不同,下 面分述两种不同设计均数两两比较的方法选择。

生物统计4-方差分析

生物统计4-方差分析

第六章 方差分析一、方差分析的统计意义上章讨论的t 测验、u 测验是适应于两样本相比较的假设测验,不适于多样本比较,因为: 1) 对多个样本进行两两比较的t 测验手续实为麻烦。

如k =3个样本,要作3次测验;k =10个样本,作k (k -1)/2=45次测验。

2) 犯α错误的可能性增大。

因为两两之间取α=0.05,实际k 个样本,则k (k -1)/2次的α>0.05;且k 越大,α被扩大得越多。

3) 估计试验误差时的精确度有所损失。

设k 个样本,每一样本容量均为n ,则用t 测验,每次自由度v =(n -1)+(n -1)=2(n -1);对多个样本,v ’=k (n -1);当k =2时,v =v ’;当k ≥3时,v ’>v 。

又因为:12()x x s -=21212e ss ss s v v +=+ v =v 1+v 2 v 减小,s e 变大,12()x x s -变大。

二、自由度和平方和的分解设:k 组样本,每样本均具有n 个观察值(即样本容量相同),共有nk 个观察值。

i =1~k ,j =1~nT =ij x x =∑∑T :total 总的;t :treatment ,处理;e: error, 误差 总变异:总自由度V T =kn -1总平方和SS T =2222()()ij x x x x x C nk-=-=-∑∑∑∑矫正数:C =2()x nk∑总变异可分解为组内(随机误差)和组间(效应)两部分: 组间变异:组间自由度V t =k -1组间平方和SS t =22()ii T n x x C n-=-∑∑组内变异=总变异-组间变异组内变异:V e =V T -V t =(nk -1)-(k -1)=k (n -1)【或者这样理解:每组组内自由度为(n -1),有k 组,共计:V e =k (n -1)】 组内平方和:SS e =SS T -SS t 证明从略! 均方=平方和/自由度 总均方S T 2=2()1ijxx nk --∑组间均方22()1i t n x x S k -=-∑组内均方22()(1)ix x Se k n -=-∑∑例:以A 、B 、C 、D 4种药剂处理水稻种子,其中A 为对照,每处理各得4个苗高观察值(cm ),请分解其自由度和平方和。

生物统计与田间试验:第六章 方差分析 第3-6节r1

生物统计与田间试验:第六章 方差分析 第3-6节r1

固定模型是指各个处理的平均效应 i ( μi μ) 是固定 的一个常量,且满足 i 0(或 ni i 0 ),但常数未知;
主要是研究并估计处理效应;固定模型中所得的结论仅在
于推断关于特定的处理;
随机模型是指各个处理效应 i不是一个常量,而是从
平均数为零、方差为
2的正态总体中得到的一个随机变量,
表6.1 每组具n个观察值的k 组数据的符号表
组别 观察值 ( yij,i=1,2,…,k;j=1,2…,n) 总和 平均 均方
1 y11 y12 … y1j …
y1n
T1 y1 s12
2 y21 y22 … y2j …
y2n


T2
y2
s
2 2
i
yi1 yi2 … yij …
yin
… …
Ti
表6.13 多重比较时的 LSR0.05
LSR0.01
2
3.01
4.17
3.90
5.41
3
3.16
4.37
4.10
5.67
4
3.25
4.50
4.22
5.84
5
3.31
4.58
4.29
5.94
表6.14 施肥效果的显著性(SSR测验)
处理
尿素 碳酸氢铵 氨水1 氨水2 不施
变异来源 品种间
DF
SS
MS
期望均方(EMS):
固定模型
4
87.6 21.90
2 n 2
品种内(试验误差) 10 24.0 2.40
2
若 i 0 ,则F值等于1。
所以固定模型是测验假设H0: i 0 (i=1,2,…,k)

生物统计学 第六章 方差分析

生物统计学 第六章   方差分析
(1)LSD法
该法是最小显著差数(Least significant difference) 法的简称,是Fisher 1935年提出的,多用于检验某一对 或某几对在专业上有特殊探索价值的均数间的两两比 较,并且在多组均数的方差分析没有推翻无效假设H0 时也可以应用。该方法实质上就是t检验,检验水准无 需作任何修正,只是在标准误的计算上充分利用了样 本信息,为所有的均数统一估计出一个更为稳健的标 准误,因此它一般用于事先就已经明确所要实施对比 的具体组别的多重比较。
xij i ij
它是方差分析的基础。
6.2 方差分析的原理
方差分析的基本原理是认为不同处理组的均数间 的差别基本来源有两个: (1) 随机误差,如测量误差造成的差异或个体间的差 异,称为组内差异,用变量在各组的均值与该组内变 量值之偏差平方和的总和表示,记作 SS e ,组内自由度 df e 。 (2) 实验条件,即不同的处理造成的差异,称为组间 差异。用变量在各组的均值与总均值之偏差平方和表 示,记作 SSt ,组间自由度 df t 。 总偏差平方和 SST SSt SSe 。
6.1 方差分析的相关术语
研究马氏珠母贝三亚、印度品系在不同地区的生 长差异,选择同一批繁殖的两品系马氏珠母贝的稚贝, 分别在海南黎安港、广东流沙港、广西防城港三个海 区进行养殖,每个地区每个品系养殖1000个,1年后 测定马氏珠母贝壳高与总重,比较生长差异。 这里壳高与总重称为试验指标,在试验中常会测定 日增重、产仔数、产奶量、产蛋率、瘦肉率、某些生 理生化和体型指标(如血糖含量、体高、体重)等,这些 都是试验指标,就是我们需要测量的数据。
6.4 均值间的两两比较
对完全随机设计多组平均水平进行比较时,当资料满 足正态性和方差齐性,就可以尝试方差分析,若得到 P>α的结果,不拒绝零假设,认为各组样本来自均数相 等的总体,即不同的处理产生的效应居于同一水平, 分析到此结束; 若方差分析结果P≤α,则拒绝零假设, 接受备择假设,认为各处理组的总体均数不等或不全 相等,即各个处理组中至少有两组的总体均数居于不 同水平。这是一个概括性的结论,研究者往往希望进 一步了解具体是哪两组的总体均数居于不同水平,哪 两组的总体均数相等,这就需要进一步作两两比较来 考察各个组别之间的差别。

【生物统计】第六章 方差分析

【生物统计】第六章 方差分析

722 922 562 1162 SSt C 7056 504 n 4
Ti 2
dft k 1 4 1 3
SSe SST SSt 602 504 98
dfe dfT dft k (n 1) 4 (4 1) 12
yij y

试 验 误 差
yi y
A BLeabharlann yij yiA B C



-2 -2 -2 -2
0 0 0 0
2 2 2 2
-3 -2 -2 -1
-1 0 0 1
0 1 2 5
-1 0 0 1
-1 0 0 1
-2 -1 0 3
SSt n( yi y )2 32
SST ( yij y )2 50
2 2
因为
SST ( yij y ) ( yij yi yi y )
2
( y y ) 0
i
所以 SST SSt SSe
第一节 方差分析的基本原理
自由度的分解 总自由度: 处理项自由度: 误差项自由度:
dfT nk 1
dft k 1
dfe dfT dft k (n 1)
SSe ( yij yi )2 18
第一节 方差分析的基本原理
通过前面的平方和的直观分解可以看出: SSe SSt
SST SSt SSe
2
当然也可以由公式推导出来:
( yij yi ) ( yi y ) 2 (yij yi ) ( yi y )
18 23 14 29
y 21
第一节 方差分析的基本原理
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������������������
������
F分布右尾从F 到+∞的概率为:
P( F F ) 1 F ( F )
F
f ( F )dF
方差分析
图6-1 F分布密度曲线
F分布的取值范围是(0,+∞),其平均值为������������ =1。 附表4列出了不同自由度条件下的右尾概率。 应用举例 当������������1 =3, ������������2 =18时,������0.05(3,18) =?? 方差分析
方差分析
第四步
列出方差分析表 方差分析表
平方和 (SS) 24.3215 0.0060 24.3275 自由度 (df) 3 16 19
变异来源 处理间 处理内 总变异
均方(MS) 8.1072 0.0004
F值 20268**
方差分析
5.多重比较 F检验的结果显著,仅说明k个平均数间有显著差异, 但不能说明哪些平均数间有显著差异。 定义:判断不同处理平均数两两间差异的显著性, 每个处理的平均数都要与其他的处理进行比较, 这个种差异显著性检验方法就叫做多重比较。 方法:主要有(1)最小显著差数法LSD,(2) 最小显著极差法LSR(q检验法和邓肯检验法)
方差分析
线性数学模型 ������������������ = ������ + ������������ + ������������������ ������������������ = ������.. + (������������. − ������.. ) + (������������������ − ������������. ) kn观测值的总变异=处理间的变异+处理内的变异 其中第i处理j个观测值分解为:全试验观测值总体的 平均数(������)、第i个处理的效应(������������ )和试验误差(������������������ )。 ������������������ 相互独立且服从正态分布,所以各处理A������ 所属总 体也服从正态分布N(������������ ,������ 2 )。 基本假定 效应的可加性、分布的正态性、方差 的同质性(各处理的方差相等)。
方差分析
3.线性模型和基本假定
数据资料格式 假设某一单因素试验有k个处理 (即水平),每个处理重复n次,则整个试验共 有kn个观测值。其样本资料可用下表表示。
处理 A1 A2 Ai AK 总计 x11 x21 xi1 xk1 x12 x22 xi2 xk2 观测值(重复) … … … … x1j x2j xij xkj … … … … x1n x2n xin xkn 组总和xi. x1. x2. xi. xk. x.. 组平均值������������. ������������. ������������. ������������. ������������. ������..
养殖方法 A1 A2 A3 A4 总计 2.13 2.56 3.75 4.98 2.16 2.57 3.76 4.97 日增重 2.14 2.52 3.72 4.94 2.13 2.50 3.73 4.95 2.14 2.55 3.74 4.96 合计������������. 平均������������. 10.7 2.14 12.7 2.54 18.7 3.74 24.8 4.96 Tii=66.90 3.345
方差分析
F检验步骤 2 提出无效假设,������0 :处理效应方差(������������ )=0;备择 2 ≠0 选择,������������ : ������������ 制定方差分析表
变异来源 处理间 处理内 总变异 平方和 自由度 均方 F值
方差分析
进行统计推断 当F值>������0.05 ������������1 , ������������2 时,F值在a=0.05水平上显著, 在F值右上方标“*”,存在显著处理效应。 当F值>������0.01 ������������1 , ������������2 时,F值在a=0.01水平上显著, 在F值右上方标“**”,存在极显著处理效应。
方差分析
【例题】 有人为了比较不同养殖方法对鲤鱼日增重的影响, 设计四种不同养殖方法: 施禽粪+高密度养殖(A1)、 施禽粪+谷类饲料+高密度养殖(A2)、施禽粪+高蛋 白质饲料+高密度养殖(A3)、施禽粪+高蛋白质饲料 +低密度养殖(A4)。选取条件基本相同的鱼苗和鱼 池20口, 随机分成4组进行试验, 经一定试验期获 得的日增重结果列于下表。试进行F检验?
2 = 【������������ = ������−1 ������−1 2 ������������ 为效应方差,������������ 为处理效应】
2 ������������
(������������ −������)2 ������
方差分析
4.F检验
4.1 F值和F分布 2 ������������������ ������ 2 +������������������ F= = 2 ,自由度������������1 = k − 1, ������������2 =������������������ =kn-k 在������������1 , ������������2 确定条件下,F值对应的概率分布称为F 分布, 对应的密度函数为f(F)。������������1 , ������������2 决定F分布 的形状, 随着自由度的增加,曲线趋向对称。 用f ( F ) 表示F分布的概率密度函数,则其分布函 F F ( F 数 ) 为: F ( F ) P( F F ) f ( F )dF
第六章
1.基本概念
方差分析
第一节 方差分析的基本原理和步骤
试验指标 为衡量试验结果的好坏或处理效应 的高低,在试验中具体测定的性状或观测的项 目。 试验因子 试验中所研究的影响试验指标的因素。 当试验中考察的因素只有一个时,称为单因素试 验;若同时研究两个或两个以上的因素对试验指 标的影响时,则称为两因素或多因素试验。试验 因素常用大写字母A、B、C、…等表示。
方差分析
2.方差分析的定义&依据
基本依据 平方和的加和性。各因素影响产生的 平方和之和,就是这组观测值的总平方和;总平 方和可以分解成不同影响因素造成的平方和之和。 定义 根据平方和的加和性原理,将总平方和分 解为不同影响因素产生的平方和,以及随机变化 的误差平方和,并利用假设检验(F检验)手段 分析不同影响因素对总平方和的贡献的显著程度, 进而判断这些因素是否对观测结果产生明显影响。
方差分析
总自由度������������������ =kn-1=5×4-1=19 处理自由度������������������ =k-1=4-1=3 误差自由度������������������ =������������������ -������������������ =19-3=16 第二步 计算处理间和处理内均方 ������������������ =������������������ /������������������ =24.3275/19=1.2804 ������������������ =������������������ /������������������ =24.3275/3=8.1072 ������������������ =������������������ /������������������ =0.0060/16=0.0004 第三步 计算F值,查附表4 F值表 F=������������������ /������������������ =8.1072/0.0004=20268 ������0.01 (3,16)=5.29 F=20268>������0.01 (3,16)=5.29,所以P<0.01,F值差异极 显著, 不同养殖方法对鲤鱼日增重差异极显著。
方差分析
方差分析
4.平方和和自由度的剖分
平方和的剖分 总平方和=处理间平方和+处理内平方和 总自由度=处理间自由度+处理内自由度 ������ 2 ������������������ = ������ ������ ������=1 ������=1 ������������ -C
������ 2 ������������������ = (������ ) ������=1 ������. -C ������������������ = ������������������ - ������������������ 2 ������.. 2 为总观测值之和的平方, 其中,C= ������������, ������.. ������������. 各处理观测值之和。 1 ������
方差分析
第一步 校正数C=
2 ������..
总平方和和自由度的分解
66.902 ������������= 4×5 =223.7805
总平方和 5 2 2 2 2 SST= 4 ������ − ������ = 2.13 + 2.16 +…+ 4.96 ������=1 ������=1 ������������ C=248.108-223.78=24.3275
4.2 F检验步骤 F检验概念 小来推断两个总体方差是否相等的方法。
2 ������������������ ������ 2 +������������������ 用F值(F= = 2 )出现概率的大 ������������������ ������
当F值大于������0.05 (������������1 , ������������2 ),则F值在a=0.05水平上 显著,������������������ 代表的总体方差大于������������������ 的总体方差, 处理间差异显著。
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