最新《应用统计学》第八章：方差分析
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方差分析的概念与应用
方差分析的概念与应用方差分析（Analysis of Variance, ANOVA）是一种统计方法，用于比较三个或三个以上样本均值是否存在显著差异。
其基本原理是通过将总方差分解为不同来源的方差，从而判断不同组之间是否存在显著性差异。
方差分析在生物医学、心理学、市场营销等多个领域都得到了广泛的应用。
本文将详细探讨方差分析的基本概念、方法及其实际应用。
一、方差分析的基本概念1.1 什么是方差方差是指数据集中各数据值与其均值之间的离散程度，它衡量了数据分布的变动幅度。
方差越大，数据分布越分散；相反，方差越小，数据分布越集中。
在方差分析中，我们主要关注的是不同样本均值之间的方差。
1.2 方差分析的原理在进行方差分析时，我们首先计算总体样本的总方差。
这一总方差可以分解为组间方差和组内方差。
具体来说：组间方差：代表不同组均值之间的变异程度。
组内方差：代表同一组内部样本之间的变异程度。
根据F检验原理，当组间方差显著大于组内方差时，可以认为至少有一个组的均值与其他组存在显著性差异。
这一过程可以用F统计量来表示，F统计量等于组间平均平方（Mean Square Between）除以组内平均平方（Mean Square Within）。
二、方差分析的类型2.1 单因素方差分析单因素方差分析是最基础的方差分析方法，适用于仅有一个因素对结果变量影响的情况。
例如，研究不同肥料对植物生长高度的影响，我们可以采用单因素方差分析。
在进行单因素分析时，假设我们有n个样本，每个样本在不同处理下进行观察。
通过计算各处理组均值与全局均值的偏离程度，可以判断是否有显著性差异。
2.2 双因素方差分析双因素方差分析则扩展至两个自变量对因变量影响的情况。
例如，研究不同肥料和不同光照条件下植物生长高度的影响。
在这种情况下，不仅要考虑肥料对植物生长高度的影响，还需要考虑光照对植物生长高度以及两者交互作用。
双因素分析可以帮助研究者揭示更复杂的关系，从而提供更加深入的理解。
医学统计学 -第08章 方差分析
第一节 方差分析的基本思想
看一个例子
例8-1 为研究钙离子对体重的影响作用，某研究者将36 只肥胖模型大白鼠随机分为三组，每组12只，分别给 予高脂正常剂量钙(0.5%)、高脂高剂量钙(1.0%)和高 脂高剂量钙(1.5%)三种不同的饲料，喂养9周，测其 喂养前后体重的差值。问三组不同喂养方式下大白鼠 体重改变是否不同？
• 三种喂养方式体重改变的平均值各不相同，这种变异 称为组间变异
•
是组内均值
X
与总均值
i
X
之差的平方和
360
340
组间变异反映了：
320
三种喂养方式的差异（影响）， 300
同时也包含了随机误差。
280
260
240
k ni
220
SS组间
(Xi X )2
200
i1 j
180
X甲
X
X乙
X丙
甲
乙
丙
3、组内变异(SS组内，variation within groups)
0.05
2、根据公式计算SS、MS及F值，列于方差分析表内(计 算过程省略)
变异来源 总变异 组间 组内（误差）
完全随机设计的方差分析表
平方和 SS 自由度
均方MS
47758.32
35
31291.67
2
15645.83
16466.65
33
498.99
F值
31.36
3、确定P值，作出判断
分子自由度=k-1=2，分母自由度=n-k=33，查F 界值表（方差分析用）
表 8-1 三种不同喂养方式下大白鼠体重喂养前后差值(g)
正常钙(0.5%) 高剂量钙(1.0%) 高剂量钙(1.5%)
统计学-第八章正交试验方差分析
交互作用在正交试验中应 用
交互作用概念及意义
交互作用定义
两个或多个因子同时变化时，对试验结果产生的综合影响，不能简单由单个因子的影响叠加得到。
交互作用意义
揭示因子间的相互作用关系，为优化试验方案、提高试验效率提供重要依据。
交互作用在正交表中表示方法
列间交互
在正交表中，通过专门设置的交互列来表示不同因子间的交互作 用。
方差分析前提条件
独立性
各观测值之间相互独立，不受其 他观测值的影响。
正态性
各总体应服从正态分布，或近似正 态分布。
方差齐性
各总体的方差应相等或近似相等。
方差分析基本思想
分解思想
将总变异分解为因素效应和随机误差两部分，通过比较因素是否 显著。
比较思想
通过比较不同组别间均值的差异，推断总体均值是否存在显著差异。在比较过程中，需要消除随机误差的影响，以确 保比较的准确性和可靠性。
对于影响显著的因素，进一步进行多重比 较，找出各水平间的差异。
结果讨论与总结
1 2
结果讨论
根据方差分析结果，讨论各因素对产品质量和产 量的影响程度及显著性。结合实际情况，分析可 能的原因和机理。
最佳生产条件确定
根据方差分析结果和多重比较结果，确定最佳生 产条件，即各因素的最优水平组合。
3
生产建议
针对实际情况，提出相应的生产建议和改进措施， 以提高产品质量和产量。同时指出需要进一步研 究的问题和方向。
结果判断
在得出各因素对试验结果是否有显著影响的结论后，还需要进一步分析各水平对试验结果的影响程度。可以通过 比较各水平的均值大小或效应值大小来判断各水平对试验结果的影响程度。同时，也可以结合实际情况和专业知 识对结果进行解释和判断。
交互作用概念及意义
交互作用定义
两个或多个因子同时变化时，对试验结果产生的综合影响，不能简单由单个因子的影响叠加得到。
交互作用意义
揭示因子间的相互作用关系，为优化试验方案、提高试验效率提供重要依据。
交互作用在正交表中表示方法
列间交互
在正交表中，通过专门设置的交互列来表示不同因子间的交互作 用。
方差分析前提条件
独立性
各观测值之间相互独立，不受其 他观测值的影响。
正态性
各总体应服从正态分布，或近似正 态分布。
方差齐性
各总体的方差应相等或近似相等。
方差分析基本思想
分解思想
将总变异分解为因素效应和随机误差两部分，通过比较因素是否 显著。
比较思想
通过比较不同组别间均值的差异，推断总体均值是否存在显著差异。在比较过程中，需要消除随机误差的影响，以确 保比较的准确性和可靠性。
对于影响显著的因素，进一步进行多重比 较，找出各水平间的差异。
结果讨论与总结
1 2
结果讨论
根据方差分析结果，讨论各因素对产品质量和产 量的影响程度及显著性。结合实际情况，分析可 能的原因和机理。
最佳生产条件确定
根据方差分析结果和多重比较结果，确定最佳生 产条件，即各因素的最优水平组合。
3
生产建议
针对实际情况，提出相应的生产建议和改进措施， 以提高产品质量和产量。同时指出需要进一步研 究的问题和方向。
结果判断
在得出各因素对试验结果是否有显著影响的结论后，还需要进一步分析各水平对试验结果的影响程度。可以通过 比较各水平的均值大小或效应值大小来判断各水平对试验结果的影响程度。同时，也可以结合实际情况和专业知 识对结果进行解释和判断。
统计学8.方差分析
请注意其含义
The Null Hypothesis is True
One Factor ANOVA:
H0: 1 = 2 = 3 = ... = c
H1: not all the k are equal
The Null Hypothesis is NOT True
Total Variation 总变异
SST ( X ij X )
i 1 j 1 s ni 2
Xij = the ith observation in group i
X total [ xij ] / n, n n1 n2 ... ns ;
i 1 j 1 ni
s
ni
X i [ j 1 xij ] / ni , j 1,2,...,s; SStotal [ ( xij X total ) ]
2 i 1 j 1 s ni
Among (Factor) Within (Error) Total s-1 n-s n-1 SSA SSW SST = SSA+SSW Mean F Test Square Statistic (Variance) MSA = MSA = MSW SSA/(s - 1) MSW = SSW/(n - S)
One-Factor Analysis of Variance 单因子方差分析
单因素方差分析是对多套实验方案的效果的对比 分析，可以用来检验多组相关样本之间均值有无显著 性差异。
如：s 组人员的工资水平、s 种同功能药品的效果、s 种 训练方法的训练效果、 等问题，有无显著性差异。 假设条件: 样本是随机并独立地抽取 (这个条件一定要满足) 所有总体都服从正态分布 所有总体的方差都相等
The Null Hypothesis is True
One Factor ANOVA:
H0: 1 = 2 = 3 = ... = c
H1: not all the k are equal
The Null Hypothesis is NOT True
Total Variation 总变异
SST ( X ij X )
i 1 j 1 s ni 2
Xij = the ith observation in group i
X total [ xij ] / n, n n1 n2 ... ns ;
i 1 j 1 ni
s
ni
X i [ j 1 xij ] / ni , j 1,2,...,s; SStotal [ ( xij X total ) ]
2 i 1 j 1 s ni
Among (Factor) Within (Error) Total s-1 n-s n-1 SSA SSW SST = SSA+SSW Mean F Test Square Statistic (Variance) MSA = MSA = MSW SSA/(s - 1) MSW = SSW/(n - S)
One-Factor Analysis of Variance 单因子方差分析
单因素方差分析是对多套实验方案的效果的对比 分析，可以用来检验多组相关样本之间均值有无显著 性差异。
如：s 组人员的工资水平、s 种同功能药品的效果、s 种 训练方法的训练效果、 等问题，有无显著性差异。 假设条件: 样本是随机并独立地抽取 (这个条件一定要满足) 所有总体都服从正态分布 所有总体的方差都相等
医学统计学-8-方差分析
第二节 单因素方差分析
单因素方差分析
单因素方差分析：研究的是一个处理因素的 不同水平间效应的差别。
处 理 因 素
水平1 水平2 水平1 水平2 水平c
单因素方差分析
例1、某地用A、B和C三种方案治疗血红蛋 白含量不满10g的婴幼儿贫血患者，A方案 为每公斤体重每天口服2.5％硫酸亚铁1ml， B方案为每公斤体重每天口服2.5％硫酸亚 铁0.5ml，C方案为每公斤体重每天口服3g 鸡肝粉，治疗一月后，记录下每名受试者血 红蛋白的上升克数，资料见下表，问三种治 疗方案对婴幼儿贫血的疗效是否相同？
A、B、C三种方案治疗婴幼儿贫血的疗效观察表
治疗方案 A n=20
血红蛋白增加量（g） 1.8 1.4 0.5 1.2 2.3 2.3 3.7 0.7 2.4 0.5 2.0 1.4 1.5 1.7 2.7 3.0 1.1 3.2 0.9 2.5
B
n=19
0.2
0.0 2.1 -0.7
0.5
1.6 1.9 1.3
q XA XB
MSe 1 1 2 nA nB
ν=νe
一、q检验
例、在前面对某地用A、B和C三种方案治疗 血红蛋白含量不满10g的婴幼儿贫血患者的 例题（完全随机设计方差分析例1）进行了 方差分析，我们得出三组总体不等的结论。 究竟哪些总体均数之间存在着差别，我们需 要在前方差分析基础之上，再对该资料作两 两比较的q检验。
随机因素是无法避免的，而实质性差异是我们 需要得到的。 如何排除随机因素的干扰，利用样本信息对总 体均数间是否存在差异作出推断？
方差分析的基本思想
按照设计类型将总变异分解为处理因素引 起的变异和随机因素造成的变异； 以处理因素变异与随机因素变异之比来构 造检验统计量F。
卫生统计学-第八章 方差分析(一)
上述条件与两均数比较的t检验的应用条件相同
。
• 作一个电脑实验，该实验是从已知正态总 体N(10,52)进行随机抽样，共抽取了K=10个 样本，每组样本的样本含量n=20,可以算出 各组的均数和标准差，如表2
表2 从已知正态总体随机抽取10个样本的结果
样本 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
编号
均数 12.61 10.85 9.23 9.11 10.90 9.24 9.55 10.28 9.12 8.75
-1.20 2.76 1.40 .98 1.34 1.65 2.34 2.20 2.20 3.50
基本思想 到变异分解
要解决的问题是：
具有一个处理因素的多个样本（多组）是否来 自同一总体？即，多样本的总体均数是否相等？
试验设计的方法是：
完全随机分组设计(simple randomization design):同质的观察对象，不加任何条件限制， 随机的分配到各处理组中去。2组时用t检验，大 于等于2组时用单因素方差分析。
方差分析（analysis of variance） 简写为ANOVA
又称变异数（variance）分析。
也称为 F 检验。
它是英国统计学家R. A. Fisher首先提出 的一种统计方法。
Sir Ronald Aylmer Fisher
Born: 17 Feb 1890 in London, England Died: 29 July 1962 in Adelaide, Australia
7.2g 组
0.89 1.06 1.08 1.27 1.63 1.89 1.19 2.17 2.28 1.72 1.98 1.74 2.16 3.37 2.97 1.69 0.94 2.11 2.81 2.52 30 1.31 2.51 1.88 1.41 3.19 1.92 2.47 1.02 2.10 3.71
。
• 作一个电脑实验，该实验是从已知正态总 体N(10,52)进行随机抽样，共抽取了K=10个 样本，每组样本的样本含量n=20,可以算出 各组的均数和标准差，如表2
表2 从已知正态总体随机抽取10个样本的结果
样本 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
编号
均数 12.61 10.85 9.23 9.11 10.90 9.24 9.55 10.28 9.12 8.75
-1.20 2.76 1.40 .98 1.34 1.65 2.34 2.20 2.20 3.50
基本思想 到变异分解
要解决的问题是：
具有一个处理因素的多个样本（多组）是否来 自同一总体？即，多样本的总体均数是否相等？
试验设计的方法是：
完全随机分组设计(simple randomization design):同质的观察对象，不加任何条件限制， 随机的分配到各处理组中去。2组时用t检验，大 于等于2组时用单因素方差分析。
方差分析（analysis of variance） 简写为ANOVA
又称变异数（variance）分析。
也称为 F 检验。
它是英国统计学家R. A. Fisher首先提出 的一种统计方法。
Sir Ronald Aylmer Fisher
Born: 17 Feb 1890 in London, England Died: 29 July 1962 in Adelaide, Australia
7.2g 组
0.89 1.06 1.08 1.27 1.63 1.89 1.19 2.17 2.28 1.72 1.98 1.74 2.16 3.37 2.97 1.69 0.94 2.11 2.81 2.52 30 1.31 2.51 1.88 1.41 3.19 1.92 2.47 1.02 2.10 3.71
应用统计方差分析
异常值处理
异常值的识别
方差分析对异常值较为敏感，少量异常值可 能导致分析结果偏离真实情况。因此，在进 行方差分析前，需要对数据进行异常值检测 和处理。
处理方法的选取
对于检测出的异常值，应根据具体情况选择 合适的处理方法。常见的处理方法包括删除 异常值、用中位数或平均数替代异常值等。
交互作用与协方差分析
R语言应用
开放性
R语言是一个开源项目，用 户可以自由获取和使用源代 码。
灵活性
R语言提供了丰富的函数库 和工具包，用户可以根据需 要自由组合。
高效性
R语言在处理大数据和复杂 模型方面表现优秀，能够提 高分析效率。
学术研究支持
R语言在学术界广泛使用， 许多统计和机器学习领域的 论文都是基于R语言实现的。
详细描述
双因素方差分析是用来比较两个分类变量对数值型因变量的交互作用。例如，比较不同品牌和型号手机的使用寿 命是否具有显著差异。
多因素方差分析
总结词
多因素方差分析用于比较多个分类变量对数值型因变量的影响。
详细描述
多因素方差分析是用来比较多个分类变量对数值型因变量的交互作用。例如，比较不同品牌、型号、 屏幕大小和操作系统的手机的使用寿命是否具有显著差异。
Python应用
通用性
高效性
丰富的库
人工智能支持
Python是一种通用的编程语 言，不仅适用于统计分析， 还可以用于数据清洗、数据
可视化等多个环节。
Python的语法简洁明了，运 行速度快，能够提高分析效
率。
Python拥有众多的第三方库 和工具包，如NumPy、
Pandas、SciPy等，可以满 足各种统计分析需求。
方差分析的统计量计算
应用统计学8-方差分析(2)
第八章
方差分析
8. 4. 2 正交表与直观分析法
反应温度对产率影响最大，其次是 反应时间，再其次是搅拌速度. 反应温度是40度好，反应时间是1.5 小时好，搅拌速度是快速好. 最好的生产工艺是A2B2C1， 即 反应温度 40摄氏度 反应时间 1.5小时 搅拌速度 快速
结 论
第八章
方差分析
8. 4. 3 方差分析法
① L4(23)表的结构: 包括4行， 3列，表中只出现1、 2两个反映水平的数字。
列数 L4(23) 水平数
行数
第八章
方差分析
8. 4. 2 正交表与直观分析法
② L4(23)表的用法 作4次试验，可以最多安排3个二水平的因素（ 因子）
因子数 L4(23) 水平数
试验数
第八章
方差分析
8. 4. 2 正交表与直观分析法
直观分析法
列号 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 均值m1 均值m2 均值m3 极差R 1反应温度 ( 摄氏度) A 1 ( 30) 1 ( 30) 1 ( 30) 2 ( 40) 2 ( 40) 2 ( 40) 3 ( 50) 3 ( 50) 3 ( 50) 79.7 82.3 66.7 15.6 2反应时间 ( 小时) B 1 3 1 3 1 3 ( 1) ( 2) ( 1) ( 2) ( 1) ( 2) 75.3 79.3 74 5.3 2 ( 1. 5) 3搅拌速度 C 1 ( 快) 2 ( 中) 3 ( 慢) 2 ( 中) 3 ( 慢) 1 ( 快) 3 ( 慢) 1 ( 快) 2 ( 中) 78.7 75 75 3.7 4 1 2 3 3 1 2 2 3 1 试验结果 产率（% ） 82 81 76 80 85 82 64 72 64